2 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
III. 이차함수
정답과해설
1 12 2 a=- , b=-2'2
3 <a<2 4 y=- x¤ 5 { , }
6 <a< 7 36 8 9 -2
10 {0, } 11 p=- 또는 p=
12 18
2 3 1
2 5
2
3 4 5
4 3 16
1 4 1 2 1
4 1
3
1 2
2 단계 P. 40~42
f(1)=- _1¤ +3_1-1= y`⁄
f(-2)=- _(-2)¤ +3_(-2)-1=-9 y`¤
∴ 2f(1)-f(-2)=2_ -(-9)=12 y`‹
y=ax¤ 의 그래프가 점 (2, -2)를 지나므로
-2=4a ∴ a=- y`⁄
즉, y=- x¤ 의 그래프가 점 (b, -4)를 지나므로 -4=- b¤ , b¤ =8 ∴ b=—2'2
그런데 b<0이므로 b=-2'2 y`¤
이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 아래로 볼록하므로
a>0인 범위에서 생각하면 y`⁄
y=- x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으므로
a> y`㉠ y`¤
y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로
0<a<2 y`㉡ y`‹
1 3
1 3 3
1 2 1 2
1 2 2
3 2 1
2
3 2 1
1 2
⁄ p, q의 값 구하기
¤ a의 값 구하기
‹ a+p-q의 값 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ f(1)의 값 구하기
¤ f(-2)의 값 구하기
‹ 2f(1)-f(-2)의 값 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ a의 값 구하기
¤ b의 값 구하기
50%
50%
채점 기준 배점
㉠, ㉡에서 <a<2 y`›
꼭짓점이 원점이므로 y=ax¤ 으로 놓자. y`⁄
그래프가 점 (4, -4)를 지나므로
-4=16a ∴ a=- y`¤
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=- x¤ 이다. y`‹
점 A의 x좌표를 a라 하면
A(a, a¤ ), B(-a, a¤ ), C{a, - a¤ } y`⁄
AB” : AC”=3 : 1이므로 2a : {a¤ + a¤ }=3 : 1 2a : a¤ =3 : 1, 4a¤ =2a, 2a(2a-1)=0
∴ a=0 또는 a=
그런데 a>0이므로 a=
따라서 점 A의 좌표는 { , } y`¤
이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 정사각형 ABCD의 둘레 위 의 서로 다른 두 점을 지나려면 y=ax¤ 의 그래프가 AC” 위 의 한 점을 지나야 한다.
점 A(2, 5)를 지날 때, 5=4a ∴ a= y`⁄
점 C(4, 3)을 지날 때, 3=16a ∴ a= y`¤
따라서 <a<5 y`‹
4 3
16
3 16 5 4 6
1 4 1 2 1 2 1 2 4
3
1 3 1 3 5
1 4 1
4 4
1 3
⁄ y=ax¤ 으로 놓기
¤ a의 값 구하기
‹ 이차함수의 식 구하기
30%
50%
20%
채점 기준 배점
⁄ 그래프의 모양에 따른 a의 값의 범위 구하기
¤ y=- x¤의 그래프보다 폭이 좁을 때 a의 값의 범 위 구하기
1 3
‹ y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓을 때 a의 값의 범위 구 하기
› a의 값의 범위 구하기
20%
30%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ 세 점 A, B, C의 좌표를 문자를 이용하여 나타내기
¤ 점 A의 좌표 구하기
40%
60%
채점 기준 배점
Ⅲ.이차함수
정 답 과 해설 이차함수 y=ax¤ +3의 그래프가 점 A(2, 1)을 지나므로
1=4a+3 ∴ a=- y`⁄
선분 CD의 길이가 8이고, 두 점 C, D는 y축에 대칭이므 로 점 D의 x좌표는 4이다.
따라서 점 D의 y좌표는 - _4¤ +3=-5
∴ D(4, -5) y`¤
사다리꼴 ABCD는 윗변과 아랫변의 길이가 각각 4, 8이 고, 높이가 1-(-5)=6이므로
ABCD= _(4+8)_6=36 y`‹
꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로 f(x)=a(x+2)¤ 으로 놓
자. y`⁄
점 (0, 3)을 지나므로 3=4a ∴ a= y`¤
따라서 f(x)= (x+2)¤ 이므로
f(-3)= _(-1)¤ = y`‹
이차함수 y=- x¤ -1의 그래프를 x축의 방향으로 a만 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-2=- (x-a)¤ -1
∴ y=- (x-a)¤ +1 y`⁄
이 그래프가 점 (2, -7)을 지나므로 -7=- (2-a)¤ +1
a¤ -2a-6=0, a¤ -4a-12=0, (a+2)(a-6)=0
∴ a=-2 또는 a=6 y`㉠ y`¤
1 2
1 2 1 2 1 2
1 9 2
3 4 3
4 3 4
3 4 8
1 2
1 2 1 2 7
⁄ 점 A를 지날 때 a의 값 구하기
¤ 점 C를 지날 때 a의 값 구하기
‹ a의 값의 범위 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ a의 값 구하기
¤ 점 D의 좌표 구하기
‹ 사다리꼴 ABCD의 넓이 구하기
20%
40%
40%
채점 기준 배점
⁄ f(x)=a(x+2)¤으로 놓기
¤ a의 값 구하기
‹ f(-3)의 값 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
그런데 꼭짓점의 좌표가 (a, 1)이고, 제2사분면 위에 있으
므로 a<0이다. y`㉡ y`‹
㉠, ㉡에서 a=-2 y`›
꼭짓점의 좌표가 (3, -2)이므로 y=a(x-3)¤ -2로 놓
자. y`⁄
그래프가 점 (-1, 6)을 지나므로
6=a(-1-3)¤ -2, 16a=8 ∴ a= y`¤
즉, y= (x-3)¤ -2에 x=0을 대입하면 y= (0-3)¤ -2=
따라서 이차함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는
{0, }이다. y`‹
꼭짓점의 좌표가 (p, 3p¤ )이고 y`⁄
이 점이 직선 y= x+1 위의 점이므로
3p¤ = p+1 y`¤
6p¤ -p-2=0, (2p+1)(3p-2)=0
∴ p=- 또는 p= y`‹
오른쪽 그림과 같이 두 이 차함수
y= (x+2)¤ +1, y= (x+2)¤ -5의 그 래프와 직선 x=-3의 교 점을 각각 A, B, y축의 교점을 각각 D, C라 하자.
1 2 1 2
y= (x+2)™ 2 -5 1 y= (x+2)™
2 +1 1
x=-3 y
O x
A D
C B
12
2 3 1
2 1 2
1 2 11
5 2
5 2 1
2 1 2
1 2 10
⁄ 평행이동한 그래프의 식 구하기
¤ 지나는 점의 좌표에 따른 a의 값 구하기
‹ 꼭짓점의 위치에 따른 a의 값의 범위 구하기
› a의 값 구하기
20%
30%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ y=a(x-3)¤ -2로 놓기
¤ a의 값 구하기
‹ y축과 만나는 점의 좌표 구하기
30%
35%
35%
채점 기준 배점
⁄ 꼭짓점의 좌표 구하기
¤ p에 대한 식 세우기
‹ p의 값 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
정답과해설
이때 y= (x+2)¤ +1의 그래프는 y= (x+2)¤ -5의 그래프를 y축의 방향으로 6만큼 평행이동한 것과 같으므로 빗금친 부분의 넓이는 서로 같다.
따라서 색칠한 부분의 넓이는 평행사변형 ABCD의 넓이와
같으므로 y`⁄
(색칠한 부분의 넓이)=AB”_(높이)=6_3=18 y`¤
1 2 1
2
1 49 m 2 풀이 참조
3 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 13.5 m
3 단계 P. 43
배가 x초 동안 이동한 거리를 y m라 하면 이동한 거리는 시간 의 제곱에 정비례하므로 y=ax¤ 으로 나타낼 수 있다. y`⁄
주어진 그림에서 배가 1초 동안 1 m 이동했으므로
1=a_1¤ ∴ a=1 y`¤
즉, y=x¤ 이므로 x=7을 대입하면 y=7¤ =49
따라서 배가 처음 위치로부터 7초 동안 이동한 거리는 49 m
이다. y`‹
옳지 않은 내용을 말한 학생은 민지와 동욱이다. y`⁄
[민지]y=- (x+3)¤ -5에 x=0을 대입하면 y=-
-5=-따라서 y축과 점 {0, - }에서 만난다. y`¤
[동욱]y=- (x+3)¤ -5의 그래프는 y=- x¤ -5의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼 평행이동하면 완
전히 포개어진다. y`‹
1 2 1
2
19 2 19
2 9
2 1 2 2
1
⁄ y=ax¤ 으로 놓기
¤ a의 값 구하기
‹ 배가 처음 위치로부터 7초 동안 이동한 거리 구하기
20%
40%
40%
채점 기준 배점
|예시 답안|
⑴ 호수의 표면의 중앙 지점 을 원점으로 하여 호수의 단면인 포물선을 좌표평 면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. y`⁄
이때 꼭짓점의 좌표가 (0, -18)이므로
y=ax¤ -18로 놓으면 그래프가 점 (20, 0)을 지나므로 0=400a-18 ∴ a=
따라서 구하는 이차함수의 식은
y= x¤ -18 y`¤
⑵ x=10을 y= x¤ -18에 대입하면 y= _100-18= -18
y=- =-13.5 y`‹
따라서 호수의 표면의 중앙 지점으로부터 수평 방향으로 10 m 떨어진 지점의 수심은 13.5 m이다. y`›
27 2
9 2 9
200 9 200 9
200
9 200
40 m
18 m
20 y
O x
-18 -20
3
⁄ 옳지 않은 내용을 말한 학생을 모두 말하기
¤ 민지의 말을 바르게 고치기
‹ 동욱이의 말을 바르게 고치기
20%
40%
40%
채점 기준 배점
⁄ 호수의 단면인 포물선을 좌표평면 위에 나타내기
¤ 이차함수의 식 구하기
‹ x=10일 때, y의 값 구하기
› 수심 구하기
20%
40%
20%
20%
채점 기준 배점
꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로 y=a(x+2)¤ +3
으로 놓자. y`⁄
점 (-1, 5)를 지나므로
5=a+3 ∴ a=2 y`¤
y=2(x+2)¤ +3=2(x¤ +4x+4)+3
=2x¤ +8x+11
이므로 b=8, c=11 y`‹
1
2 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
1 a=2, b=8, c=11 2 8
3 3 4 195 m, 6초
1 단계 P. 44~45
⁄ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
¤ a의 값 구하기
‹ b, c의 값 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
⁄ 색칠한 부분의 넓이가 평행사변형 ABCD의 넓이와 같음을 설명하기
¤ 색칠한 부분의 넓이 구하기
60%
40%
채점 기준 배점
Ⅲ.이차함수
정 답 과 해설 y=x¤ +2x-3=(x+1)¤ -4에서
A(-1, -4) y`⁄
0=x¤ +2x-3에서 (x+3)(x-1)=0이므로 x=-3 또는 x=1
∴ B(-3, 0), C(1, 0) y`¤
△ABC= _4_4=8 y`‹
x=3에서 최솟값 -1을 가지므로 꼭짓점의 좌표는 (3, -1)
즉, 이차함수의 식을 y=a(x-3)¤ -1로 놓자. y`⁄
점 (1, 7)을 지나므로 7=4a-1 ∴ a=2
즉, y=2(x-3)¤ -1=2x¤ -12x+17이므로
b=-12, c=17 y`¤
∴ -a+b+c=-2+(-12)+17=3 y`‹
y=-5x¤ +60x+15=-5(x-6)¤ +195 y`⁄
이므로 x=6에서 최댓값이 195이다.
따라서 로켓의 최고 높이는 195 m이고, 그때까지 걸린 시간
은 6초이다. y`¤
4 3
1 2
2 이차함수 y=2x¤ +ax-1의 그래프가 점 (-1, 5)를 지나
므로 5=2-a-1 ∴ a=-4 y`⁄
즉, y=2x¤ -4x-1=2(x-1)¤ -3 y`¤
따라서 꼭짓점의 좌표는 (1, -3)이다. y`‹
이차함수 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y 축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-(x+2)¤ +3 y`⁄
=-(x¤ +4x+4)+3
=-x¤ -4x-1
이므로 a=-1, b=-4, c=-1 y`¤
∴ abc=-1_(-4)_(-1)=-4 y`‹
y=-x¤ +2kx+k=-(x¤ -2kx)+k
=-(x¤ -2kx+k¤ -k¤ )+k
=-(x-k)¤ +k¤ +k y`⁄
이므로 꼭짓점의 좌표는 (k, k¤ +k) y`¤
이 그래프가 x축과 한 점에서 만나므로
k¤ +k=0 y`‹
k(k+1)=0 ∴ k=-1 또는 k=0
그런데 k+0이므로 k=-1 y`›
y=-2x¤ +8x+k=-2(x-2)¤ +8+k이므로 축의 방정
식은 x=2이다. y`⁄
두 점 A, B는 직선 x=2에 대칭이고, AB”=12이므로 A(2-6, 0), B(2+6, 0) 또는 A(2+6, 0), B(2-6, 0)
∴ A(-4, 0), B(8, 0) 또는 A(8, 0), B(-4, 0) y`¤
즉, y=-2x¤ +8x+k의 그래프가 점 (-4, 0)을 지나므로
0=-32-32+k ∴ k=64 y`‹
따라서 y=-2x¤ +8x+64=-2(x-2)¤ +72이므로 꼭짓
점의 좌표는 (2, 72)이다. y`›
4 3 2 1
⁄ 점 A의 좌표 구하기
¤ 두 점 B, C의 좌표 구하기
‹ △ABC의 넓이 구하기
25%
50%
25%
채점 기준 배점
⁄ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
¤ a, b, c의 값 구하기
‹ -a+b+c의 값 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
¤ 최고 높이와 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간 구하기 50%
50%
채점 기준 배점
1 (1, -3) 2 -4 3 -1 4 (2, 72)
5 6 { , }
7 ⑴ a>0, b<0, c<0 ⑵ 풀이 참조 8 18 9 -1 10 0<a<
11 ⑴ m=-8k¤ +4k ⑵ 12 12 4 3 4 15
8 1 4 1
2
2단계 P. 46~48
⁄ a의 값 구하기
¤ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
‹ 꼭짓점의 좌표 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
¤ 꼭짓점의 좌표 구하기
‹ 그래프가 x축과 한 점에서 만나는 k의 조건 설명하기
› k의 값 구하기
30%
20%
20%
30%
채점 기준 배점
⁄ 평행이동한 그래프의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
¤ a, b, c의 값 구하기
‹ abc의 값 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
정답과해설
y=-2x¤ +4x+1
=-2(x-1)¤ +3
이므로 A(1, 3) y`⁄
y=-2x¤ +4x+1에 x=0을 대입하면 y=1이므로
B(0, 1) y`¤
∴ △OAB= _1_1= y`‹
y=ax¤ +bx+c의 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
c=2 y`⁄
즉, y=ax¤ +bx+2의 그래프가 두 점 (1, 3), (-1, 5) 를 지나므로
3=a+b+2, a+b=1 y`㉠
x=-1, y=5를 대입하면 5=a-b+2, a-b=3 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, b=-1 y`¤
따라서 y=2x¤ -x+2
=2{x¤ - x+ - }+2
=2{x- }2 + y`‹
이므로 꼭짓점의 좌표는 { , } y`›
⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축보다 오른쪽에 위치하므로 ab<0 ∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 위치하므로
c<0 y`⁄
7
15 8 1 4 15
8 1 4
1 16 1 16 1 2 6
1 2 1
2 5
⑵ y=cx¤ +bx+a에서
c<0이므로 그래프가 위로 볼록하고, cb>0이므로 축이 y축의 왼쪽에 위치한다.
또 a>0이므로 y축과의 교 점이 x축보다 위쪽에 위치 한다.
따라서 이차함수
y=cx¤ +bx+a의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같
다. y`¤
y=-x¤ -6x+1
=-(x+3)¤ +10
이므로 x=-3에서 최댓값은 10이다.
∴ M=10 y`⁄
y=2x¤ -8x=2(x-2)¤ -8 이므로 x=2에서 최솟값은 -8이다.
∴ m=-8 y`¤
∴ M-m=10-(-8)=18 y`‹
㈎에서 y=-x¤ 과 x¤ 의 계수가 같으므로 a=-1 y`⁄
㈏에서 꼭짓점의 x좌표는 -2이고, ㈐에서 꼭짓점의 y좌표 는 8이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, 8)이다. y`¤
따라서 주어진 이차함수의 식은
y=-(x+2)¤ +8 y`‹
=-x¤ -4x+4
∴ b=-4, c=4 y`›
∴ a-b-c=-1-(-4)-4=-1 y`fi
x=2에서 최솟값 -3을 가지므로 꼭짓점의 좌표는 (2, -3)이다.
즉, 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ -3으로 놓자. y`⁄
10 9 8
y
O x
⁄ c의 값 구하기
¤ a, b의 값 구하기
‹ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
› 꼭짓점의 좌표 구하기
20%
40%
20%
20%
채점 기준 배점
⁄ 축의 방정식 구하기
¤ 두 점 A, B의 좌표 구하기
‹ k의 값 구하기
› 꼭짓점의 좌표 구하기
20%
40%
20%
20%
채점 기준 배점
⁄ 점 A의 좌표 구하기
¤ 점 B의 좌표 구하기
‹ △OAB의 넓이 구하기
35%
35%
30%
채점 기준 배점
⁄ M의 값 구하기
¤ m의 값 구하기
‹ M-m의 값 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ a, b, c의 부호 정하기
¤ y=cx¤ +bx+a의 그래프의 개형 그리기
60%
40%
채점 기준 배점
⁄ a의 값 구하기
¤ 꼭짓점의 좌표 구하기
‹ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
› b, c의 값 구하기 fi a-b-c의 값 구하기
15%
30%
25%
20%
10%
채점 기준 배점
Ⅲ.이차함수
정 답 과 해설 이때 이 이차함수는 최솟값을 가지므로
a>0 y`㉠ y`¤
또 그래프가 모든 사분면을 지나므로 (y절편)<0이어야 한다.
x=0을 y=a(x-2)¤ -3에 대입하면 y=4a-3이므로
4a-3<0
∴ a< y`㉡ y`‹
따라서 ㉠, ㉡에서 0<a< y`›
⑴ y=2x¤ -8kx+4k
=2(x¤ -4kx+4k¤ -4k¤ )+4k
=2(x-2k)¤ -8k¤ +4k y`⁄
이므로 x=2k에서 최솟값은 -8k¤ +4k이다.
∴ m=-8k¤ +4k y`¤
⑵ m=-8k¤ +4k
=-8{k¤ - k+ - }
=-8{k- }2 + y`‹
이므로 k= 에서 최댓값은 이다. y`›
점 P의 좌표를 (t, -t+4)라 하면
PR”=t, PQ”=-t+4 y`⁄
직사각형 OQPR의 넓이를 y라 하면
y=t(-t+4) y`¤
=-t¤ +4t
=-(t-2)¤ +4 y`‹
이므로 t=2에서 최댓값은 4이다.
따라서 직사각형 OQPR의 넓이의 최댓값은 4이다. y`›
12
1 2 1
4 1 2 1 4
1 16 1 16 1 2 11
3 4 3
4
1 a=-6, b=3, c=10 2 -16
3 ⑴ y=-2x+600 ⑵ S=-2x¤ +600x ⑶ 150원
3단계 P. 49
이 게임에서 점수를 얻으려면 오 른쪽 그림과 같이 x축 위의 두 점 A, B를 지나는 위로 볼록한 포물선의 모양을 따라 공이 움직 여야 한다.
즉, 이차함수 y= x¤ +bx+c 의 그래프가 두 점 A(-2, 0), B(5, 0)을 지나야 하므로
y= (x+2)(x-5)로 놓자. y`⁄
y= (x+2)(x-5)= (x¤ -3x-10)= x¤- x- a 이때 y축과의 교점의 y좌표는 - a이므로 장애물에 부딪 히지 않으려면 9<- a<14이어야 한다.
∴ - <a<-그런데 a는 정수이므로
a=-6, -7, -8 y`㉠ y`¤
또 y= (x¤ -3x-10)= {x- }2 - a에서 꼭짓 점의 좌표는 { , - a}이므로 장애물에 부딪히지 않으 려면 - a<14이어야 한다.
∴ a>- y`㉡ y`‹
따라서 ㉠, ㉡에서 a=-6이므로 y=-x¤ +3x+10
∴ a=-6, b=3, c=10 y`›
두 사각형의 넓이를 각각 이등분하려면 일차함수 y=ax+b의 그래프가두 점 (-3, 4), (4, -4)를 지나야한다. y`⁄
이때 기울기는 a= =-8
7 -4-4 4-(-3) 2
48 7 49 24
49 24 3 2
49 24 3 2 a 6 a
6
27 5 42
5
5 3
5 3
5 3 a 2 a 6 a
6 a
6 a 6
a
6 AO B
y
x
1
⁄ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
¤ m을 k에 대한 식으로 나타내기
‹ ¤의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
› m의 최댓값 구하기
30%
20%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
¤ 최솟값을 가지기 위한 a의 조건 설명하기
‹ 그래프가 모든 사분면을 지나기 위한 a의 조건 설명하기
› a의 값의 범위 구하기
30%
20%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ 점 P의 좌표를 이용하여 PR”, PQ”의 길이 나타내기
¤ 직사각형 OQPR의 넓이를 식으로 나타내기
‹ ¤의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
› 직사각형 OQPR의 넓이의 최댓값 구하기
30%
20%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ x축과의 교점의 좌표를 이용하여 이차함수의 식 세우기
¤ y축과의 교점의 좌표를 이용하여 정수 a의 값 모두 구 하기
‹ 꼭짓점의 좌표를 이용하여 a의 값의 범위 구하기
› a, b, c의 값 구하기
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30%
30%
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채점 기준 배점