1.연구 방법 및 절차
가.연구 대상 :제주특별자치도 제주시 일도2동 소재 I 초등학교 6학년 3개 반 100명
나.연구 기간 :2010년 4월 ～ 2011년 2월
다.연구 절차
1)제7차 교육과정 및 개정 교육과정 초등학교 수학 교과서․지도서 분석 제7차 교육과정 및 개정 교육과정 초등학교 수학 교과서와 지도서의 내용을 분석하여 분수와 나눗셈이 도입되는 단계와 그에 따른 개념 정의를 파악한다.
2)개념 이미지 분석 질문지 제작
수학 교과서와 지도서에서 나오는 분수와 나눗셈에 대한 여러 개념들의 핵심 을 추려 학생들의 개념 발달(지도)수준에 맞게 문항을 개발한다.
3)분수와 나눗셈 개념 이미지 질문지 투입
학생들에게 개념 이미지 질문지를 투입하여 개념 이미지를 표현하게 하고 그 결과를 바탕으로 점진적으로 질문지를 수정․보완하면서 재투입한다.
4)분수와 나눗셈에 대한 학생들의 개념 이미지 분석
학생들이 응답한 질문지를 문항 별로 분석하여 분수와 나눗셈의 이미지를 분 석하고 그에 따른 특징이나 시사점을 도출해낸다.
2.검사 도구
본 연구를 수행하기 위한 표준화된 검사 도구가 없기 때문에 본 연구자가 문 항을 개발하였다.
1)1차 질문지 제작
처음에는 시각적 표상과 언어적 표현을 함께 알아보기 위해서 하나의 개념을 주고 그것을 그림으로 표현해보고,문장제 또는 언어로 설명해보도록 2가지 형 태로 문항을 구성하였다.그리고 다양한 개념 이미지를 알아보기 위해서 한 개 념에 떠오르는 이미지들을 5가지 이상 써보도록 제시하였다.
[그림Ⅲ-1]은 학생들이 작성한 1차 질문지 그림이다.1차 질문지는 학생들로 하여금 개념을 표상하는데 오히려 거부감을 들게 하였고 5가지 이상 쓰는 것도 오히려 같은 개념 이미지를 반복적으로 쓰는 등의 비효율적인 결과를 양산하여 결국에는 질문지를 수정하게 되었다.
<앞장 - 6÷2의 몫을 구하는 방법>
• 5가지 이상 그림으로 나타내기
• 5가지 이상 문장제 만들기
<뒷장 -
÷5의 몫을 구하는 방법>
• 5가지 이상 그림으로 나타내기
• 5가지 이상 문장제 만들기 [그림Ⅲ-1]학생이 작성한 1차 질문지
2)2차 질문지 제작
1차 질문지의 문제점을 보완하여 시각적 표상과 언어적 표현을 학생들이 스 스로 판단하게끔 ‘그림이나 글로’나타내도록 선택권을 주었다.그리고 질문할 수 있는 개념을 많이 제시하여 단계적으로 학생들이 개념 이미지를 생성할 수 있도록 질문을 구성하였다.
학생들은 1차 질문지와는 다르게 어려움을 느끼지 않았고 자신만의 방식으로 표상을 할 수 있게 되었다.
<앞장 - 단계적인 6문항>
• 분수(진분수,가분수,대분수)의 개념
• 분수의 덧셈(동분모,이분모) 개념
<뒷장 - 단계적인 6문항>
• 분수의 덧셈(동분모,이분모) 개념
• 분수의 곱셈 개념
[그림Ⅲ-2]학생이 작성한 2차 분수 개념이미지 질문지
<앞장 - 단계적인 6문항>
• 자연수끼리의 나눗셈 개념
• (분수)÷(자연수) 개념
<뒷장 - 단계적인 6문항>
• (분수)÷(자연수) 개념
• 진분수끼리의 나눗셈 개념
• (자연수)÷(분수) 개념 [그림Ⅲ-3]학생이 작성한 2차 나눗셈 개념이미지 질문지
3.검사 실시
1)1차 질문지 검사
1차 검사는 2010년 9월 7일(화)아침 활동 시간을 이용하여 15분간 실시하였 다.1차 검사 결과 드러난 문제점으로는 개념 이미지가 학생들에게 매우 생소해 서 학생들이 쉽게 표상하지 못했으며 문제의 요구 사항이 많아 어려움을 겪는 것으로 드러났다.
분수의 개념 (문항1, 2,3,4번)
12의
합 계
백 분 응답수 백분율 응답수 백분율 응답수 백분율 응답수 백분율 율
그림 87 87 77 77 80 80 83 83 327 81.7 그림과
언어 6 6 14 14 7 7 2 2 29 7.3
언어 7 7 7 7 11 11 15 15 40 10
무응답 0 0 2 2 2 2 0 0 4 1
합계 100 100 100 100 100 100 100 100 400 100 2)2차 질문지 검사
2차 검사는 2010년 11월 11일(목)아침 활동 시간에 이루어졌다.학생들은 1 차 질문지에서 개념을 한 번 표상해본 경험이 있어서인지 전보다 수월하게 개 념을 표상해내고 있었으며 1차 질문지보다 쉽고 재미있게 개념 이미지를 표상 하는 것을 볼 수 있었다.
4.분석 기준 수립
6학년 3개 반 100명을 모두 연구 대상으로 포함시키고,각 문항마다 무응답과 전혀 다른 개념을 설명한 학생의 수를 제외하고자 하였으나,문항마다의 무응답 의 비율이 다르기 때문에,무응답의 비율도 나름대로 의미가 있다는 판단 아래 무응답도 하나의 기준으로 마련하였다.우선 이미지 유형에 따라,그림,언어, 그림과 언어를 동시에 사용하는 경우로 구분하였으며,그 안에서 세부적인 분석 기준을 마련하여 비율을 분석하였다.
5.학생들의 개념 이미지 분석
가.분수의 개념 이미지 분석 결과 1)분수의 여러 의미
<표Ⅲ-1> 분수 개념 이미지 유형 분석
가)문항 1번
의 개념 이미지 분석
초등학교 2학년 수학 교과서에서
의 개념 정의는 ‘전체를 똑같이 2로 나 눈 것 중에 1’이다.교과서에서는 직사각형을 점선으로 반으로 나눈 것 중 한 쪽에만 색칠 된 것으로 표상되어져 있다.
에 대한 개념 이미지는 그림으로 나타내는 것이 87%로 가장 많았고,언어 로 7%,그림과 언어로 동시에 표현한 응답이 6%로 나타났다.그림으로 나타낼 때에는 원으로 나타낸 경우가 45.1%,직사각형을 모델로 사용하는 경우가 35.5%로 대부분을 차지하고,그 외에도 사람 모양이나 빵,비커,사과와 같은 구체물을 사용하는 경우도 있었다.
의 개념이미지를 언어로 나타낸 학생은 1
명이었으며 “반”으로 표현하였다.학생 응답의 전체적인 특징은
을 나타낼 때 전체에서 반을 색칠하여 이미지를 표상하는 경우가 많다는 것이며,교과서 안에 개념 정의 표상(반으로 나눈 것 중 한 쪽에만 색칠 된 것)이 학생들에게 많은 영향을 끼치고 있다는 것을 알 수 있다.분수의 도입에서 처음으로 나오는 개념 이며 반을 의미하는
은 97.2%의 올바른 개념 이미지 표상을 보이며 개념 이 미지 형성에 큰 어려움을 가지고 있지 않음을 알 수 있었다.그러나 분수의 도 입에서 이루어지는 “똑같이 나누기”(등분할)의 개념에서 오류를 범하는 학생이 보이기도 하였다.
[그림Ⅲ-4]그림 표상 [그림Ⅲ-5]언어 표상 [그림Ⅲ-6]그림과 언어
나)문항 2번 12의
의 개념 이미지 분석
이 문항은 초등학교 3학년 수학 교육과정에 나오는 개념인 전체에 대한 부 분으로서의 분수를 알아보고자 하는 것이다.수학을 지도하면서 학생들이 이해 하기 어려운 부분 중 하나가 바로 이 ‘분수만큼’의 개념인데 이 개념 이미지를
[그림Ⅲ-7]직사각형 그림 [그림Ⅲ-8]원 낱개 그림
분석해 보면서 학생들이 느끼는 부분으로써의 분수는 어떤 이미지를 가지고 있 는지 알아보고자 한다.12의
에 대한 개념 이미지를 그림으로 표현한 경우는 77%,그림과 언어로 표현한 경우가 14%이고,언어로 표현한 7% 응답하지 않은 학생은 2%였다.그림으로 표현한 경우는 직사각형으로 나타낸 학생이 54.9%, 원(낱개)33%,그 밖에 수직선이나 사람으로 나타낸 경우가 각각 7명(7.7%),4 명(4.4%)으로 나타났다.그림과 언어로 표현한 경우는 그림을 그려놓고 언어로 보충 설명하는 것으로 나타났다.이미지 유형에는 선으로 나눠 색칠하는 것이 65.7%로 가장 많았고,묶음 표현이 31.4%,수직선으로 나누는 것이 2.9%로 나 타났다.학생들은 전체에 대한 부분으로서의 분수를 이산량보다는 연속량으로 나타내어 선으로 나누어 색칠하는 것에 더 익숙한 듯 보였으며,심지어 이산량 임에도 불구하고 묶음으로 표현하지 않고 공간을 나눔의 개념으로 이미지를 표 현하는 것으로 보아 분수에 대한 개념이 연속량의 의미 선에서 머무는 학생이 있음을 알 수 있었다.
다)문항 3번
의 개념 이미지 분석
가분수는 초등학교 4학년에 처음 개념이 등장한다.가분수의 개념 정의는
‘분자가 분모와 같거나 분모보다 큰 분수’를 말한다.가분수
에 대한 개념 이 미지를 분석해본 결과 그림으로 표상하는 경우가 80%,언어로 표상하는 경우 11%,그림과 언어로 동시에 나타내는 경우 7% 무응답 2%로 나타났다.
의 개념 이미지를 그림으로 표상하는 경우에는 원을 그려 표현하는 학생이 40.0%, 직사각형으로 표현하는 학생은 30.0%로 나타났으며 그 외에도 비커,사과,과자 등 구체물(16.0%)로 나타내기도 하였다. 교육과정 상 가분수와 연이어 대분수 를 공부하고 가분수를 대분수로 바꾸는 방법을 학습하게 되어,그 결과 영향을
받아 이 문항의 특징은
개념을 그대로 이미지화하는 것이 아니라
로 표
상하는 학생들이 28.5%나 있다는 점이다.뿐만 아니라,
과 동일한 양의 개념 인 소수 1.5로 나타내는 경우도 있어 가분수가 학생들의 개념 이미지로 자리 잡 을 때 ‘양의 개념’에 치중한 나머지 같은 양 의미의 다른 표현들로 변화된다는 것을 알 수 있다.즉,학생들은 분수의 여러 가지 기능을 알고 있음에도 불구하 고 ‘양의 개념’으로 일반화 시키는 경향이 있음을 알 수 있었다.분수의 다른 기 능으로 비의 개념을 나타내는 것이 있는데,이 문항에서 2명(5.7%)이
의 개 념 이미지를 비의 개념으로 이미지화 하였다.
라)문항 4번
의 개념 이미지 분석
대분수는 가분수와 함께 4학년 교육과정에 연이어 등장하는 개념이다.대분 수의 개념 정의는 ‘자연수와 진분수로 이루어진 분수’이다.이 문항에서는 그림 으로 개념 이미지를 표상한 경우가 대부분이었으며(83%),그림과 언어로 동시 에 표현한 학생은 2%,언어로 표현한 학생은 15%로 나타났다.그림으로 나타 낸 경우는 원 42.9%,직사각형 45.2%로 나타났으며,그 밖에 사람,음료수 통, 숫자 1모양 등으로 표현하기도 하였다(10.7%).흥미로운 점은
를 개념 이미 지화 하는 데 있어 이번에는
의 개념이미지로 나타내는 학생이 6명(17.1%)으 로,바로 전 문항인 3번 문항 가분수의 개념을 설명할 때 대분수의 개념이미지 로 나타낸 것에 비추어 생각해볼 때 가분수와 대분수를 동일시하는 학생들이 있는 것으로 보인다.그리고 3,4번 문항의 응답자를 확인해본 결과 대분수를 가 분수로 개념 이미지화한 학생과 가분수를 대분수로 개념 이미지화 한 학생이
의 개념이미지로 나타내는 학생이 6명(17.1%)으 로,바로 전 문항인 3번 문항 가분수의 개념을 설명할 때 대분수의 개념이미지 로 나타낸 것에 비추어 생각해볼 때 가분수와 대분수를 동일시하는 학생들이 있는 것으로 보인다.그리고 3,4번 문항의 응답자를 확인해본 결과 대분수를 가 분수로 개념 이미지화한 학생과 가분수를 대분수로 개념 이미지화 한 학생이