1.연구의 필요성 및 목적
수학 내용은 현실적으로 존재하지 않는 관념들을 대상으로 취급하기 때문에 초등학교 학생들에게는 어렵게 느껴지기 마련이다.그러므로 초등학교 수학 교 육은 내용을 연역적 방법이나 추상적인 방법으로 이해하기 보다는 학생들이 느 낄 수 있는 현실에서 직관이나 구체적인 활동 등을 통해 점진적으로 추상화 과 정을 거치도록 도와주어야 한다.이러한 관점에서 제7차 개정 교육과정 교과서 는 실제 상황과 구체적 활동 중심으로 짜여져 있는 것을 알 수 있다.
그러나 학생들은 개념을 이해할 때,현실에서 직관하거나 구체적인 조작 활동 을 하여 정의한 교과서 개념 정의를 곧바로 이용하여 개념을 정의하기 보다는 현실과 개념의 중간 개념으로 스스로 개념을 만들어 나간다.Skemp(1987)에 의 하면 수학적 개념 형성은 수학 학습의 기본이 되는 것이므로 학습자 자신의 마 음속에서 일어나야 하며 학습자에게 강요할 수도 없고 대신해 줄 수도 없는 것 으로서 교사가 할 수 있는 최선의 것은 수학적인 개념을 바르게 형성할 수 있 도록 도와주는 일이라고 하였다.개념 학습은 이렇게 교사가 원하는 방식대로 학생들에게 심어질 수 있는 것이 아니다.
Vinner(류희찬 역,2003)에 의하면,수학에서의 개념은 주로 정의에 의해 획 득된다고 하였다.그러나,개념에 대한 정의를 암기하는 것으로 그 개념을 이해 했다고는 할 수 없다.(Vinner,1991)학생들은 개념을 정립하기 위해 여러 가지 조작이나 활동을 거치며 심상과 경험을 구성하게 되는데 이 때,개념 명칭과 관 련하여 개인이 기존의 경험 등과의 결합을 통해 형성하게 되는 비언어적인 것 을 개념 이미지라고 한다.개념이 시각적 표상을 갖는 경우,개념 이미지는 시 각적 표상일 수 있으며,인상이나 경험의 집합체일 수도 있다.개념 명칭과 결 합된 시각적 표상,심상,인상,경험은 언어의 형태로 번역될 수 있다.이렇게 형성된 개념 이미지는 학생들의 수학 학습에서 문제 해결의 근거가 될 수도 있 고,다른 개념을 구성하는 데 활용될 수 있다.
초등학교 수학 교육 목표중 하나가 개념 형성임에도 불구하고,그러한 개념 형성 학습보다는 문제 풀이 식에 급급한 교수․학습이 이루어지는 것이 지금의 현실이다.학생들은 교과서에 나오거나 선생님이 알려주는 개념 정의를 암기하 는데 시간을 투자하고 스스로 수학적인 개념을 형성하는 데 전력을 다하지 않 는다.그리고 가지고 있는 수학 개념을 표상(representation)하는 것에도 매우 서툴다.
표상은 학교 수학을 위한 원리와 규준에서 제시된 다섯 가지 수학적인 과정 (문제해결,추론,연결성,의사소통,표상)중의 하나(NCTM,2000)이며 그것은 또한 수학학습 활동 중에 일어나는 어떤 절차를 나타내는 것 이상으로 수학의 교수와 학습에 관한 한 방법으로 볼 수 있다.뿐만 아니라 교사의 측면에서 보 면 아이들이 해 놓은 표상을 통해서 수학에 관해 아이들이 어떻게 이해하고 사 고하고 있는가를 꿰뚫어 볼 수 있는 중한 자료가 될 수 있다.(최창우,2002)
학생들이 실제로 형성하게 된 다양한 개념 이미지의 유형을 분석하여 학생들 의 수학 개념 학습 과정의 메커니즘을 이해하고,오개념의 형성도 줄일 수 있을 것이다.즉,학생들은 교사나 교과서의 언어적 진술과 시각적 설명을 통하여 수 학 개념을 형성하게 되며,교사는 직접적으로 학생이 구성한 개념을 볼 수 없으 므로 학생이 표현한 개념에 대한 정의나 설명을 통해 학생이 구성한 개념을 판 단하고 교정할 수 있다.교사가 학생들이 겪는 인지적 갈등 상태를 파악할 수 있고,특정한 인지체계에 대한 지식을 가지고 있다면 학생의 반응을 보다 잘 감 지할 수 있고,학생의 갈등 요인을 표면으로 드러내어 갈등을 해결하는 시작으 로 삼을 수 있다.이러한 측면에서 학생들이 갖고 있는 개념 이미지를 파악하는 것은 학생들의 개념 이해를 돕고 잘못된 개념 이미지를 형성하는 교육 방법을 개선하기 위한 시사점을 줄 수 있을 것으로 본다.(김미령,2004)
개념 이미지에 대한 앞선 연구들을 살펴본 결과 초등학교 수학의 개념 이미 지 연구는 지극히 드물었으며,기하 영역에 치중한 연구들이 많은 것으로 보인 다.그러나 초등학교에서는 도형 영역에서 비교적 많은 표상 활동이 이루어지기 때문에 본 연구에서는 수와 연산 영역 중에서 ‘분수’와 ‘나눗셈’에 대한 개념 이 미지를 분석해보고자 한다.또,학생들의 개념 이미지를 분석한 결과를 통해 개 념 학습 과정에서의 시사점을 도출하도록 하겠다.
2.연구 문제
본 연구에서는 초등학교 수학에서의 ‘분수’와 ‘나눗셈’에 대한 학생들의 수학 개념 이미지를 분석하고,학생들의 다양한 개념 이미지를 통해 초등 수학 교육 에 있어서 학생들의 개념 학습 과정의 시사점을 도출해보고자 한다.
가.초등학교 학생들의 분수 개념 이미지를 분석한다.
나.초등학교 학생들의 나눗셈 개념 이미지를 분석한다.
다.학생들의 개념 이미지를 분석하여 개념 학습 과정에서의 시사점을 도출한다.
3.용어의 정의
가.개념 이미지(Conceptimage)와 개념 정의(Conceptdefinition)
개념 명칭을 보거나 들을 때 그것은 우리의 기억을 자극한다.개념 명칭에 의 해 우리의 기억 속에 무엇인가가 떠오른다.일반적으로 그 개념이 정의되어 있 더라도 떠오르는 것은 개념 정의가 아니다.떠오르는 것은 소위 개념 이미지 (conceptimage)라고 한다.(Tall&Vinner,1981;Vinner,1983)즉,개념 명칭과 결합된 시각적 표상,심상,인상이나 경험의 집합체를 언어한다.
Vinner(1983)는 비순환적인 방법으로 개념을 정확히 설명하는 언어적 정의 (verbaldefinition)를 개념 정의라고 하였다.이 개념 정의는 공식적인 수학 이 론의 바탕을 이루는 것으로 공적 개념 정의라고 할 수 있다.
본 연구에서는 개념 이미지란 개념의 시각적 표상 또는 언어적 표현 등을 언 어하고,수학을 가르치는 데 필요한 개념을 명확히 설명한 것을 개념 정의라고 한다.
나.표상(representation)
표상이라는 용어는 과정과 결과(product)양쪽 모두에 관련된다고 할 수 있 다.다시 언어해,어떤 형태로 수학적인 개념이나 혹은 관계를 획득하는 행위와 도 관련된다.더욱 나아가,표상은 수학을 행하는 인간의 마음 속에서 내적으로 일어나는 과정 및 결과는 물론이고 외적으로 관찰할 수 있는 것에도 적용된다.
본 연구에서는 외적으로 드러나는 학습자의 기록을 언어한다.
4.연구의 제한점
가.본 연구는 제주시의 한 초등학교를 대상으로 하는 것이므로 다른 지역에서 는 다른 결과를 기대할 수도 있다.
나.학생들의 작성한 개념이미지 질문지를 해석하여 일반화 하는데는 한계가 있 을 수 있다.
다.본 논문에서 보이는 분수와 나눗셈의 개념이미지 유형은 학생들의 구성한 개념이미지 유형을 모두 보였다고 단정 짓기는 어렵다.