40
A, A, A, B, B, C의 문자가 하나씩 적혀 있는 6장의 카드를 일 렬로 나열하는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열의 수 6! 3!2! =60과 같다.
양 끝 모두에 A가 적혀 있는 카드가 나열되는 사건을 A라 하자.
양 끝 모두에 A가 적혀 있는 카드가 나열되는 경우는 양 끝 모두 에는 A가 적혀 있는 카드가 나오고 A, B, B, C가 적혀 있는 4장 의 카드가 A, A가 적혀 있는 2장의 카드 사이에 나열되는 경우이다.
이때 카드를 나열하는 경우의 수는 4!2! =12와 같다.
따라서 P(A)=;6!0@;=;5!;
②
41
9장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 9!
문자 A가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 각각 숫자가 적혀 있는 카드를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는
¢Pª=4_3=12
이 각각에 대하여 나머지 6장의 카드와 함께 일렬로 나열하는 경 우의 수는
7!
따라서 구하는 확률은 12_7!
9! =;6!;
④
42
한 개의 동전을 4번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나오는 사건은 한 개의 동전을 4번 던질 때 뒷면이 4번 나오는 사건의 여사건이다.
여러 가지 사건의 확률의 계산
유형3
A;B={1, 5} P(B)=;3!;, P(A;B)=;3!;
따라서 P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A와 B는 서 로 독립이 아니다.
ß m=6일 때, B={1, 2, 3, 6}
A;B={1, 3}, P(B)=;3@;
따라서 P(A;B)=;3!;이므로 P(A;B)=P(A)P(B)
즉, 두 사건 A와 B는 서로 독립이다.
Ú~ß에서 모든 m의 값의 합은 2+6=8
8
38
첫 번째 던져서 나오는 주사위의 눈의 수를 a라 할 때 f(a)=0이 되는 사건을 A라 하고, 두 번째 던져서 나오는 주사위의 눈의 수 를 b라 할 때 f(b)=0이 되는 사건을 B라 하자.
이차방정식 f(x)=0의 해는 x=3 또는 x=4이므로 P(A)=;6@;= ;3!; , P(B)=;6@;= ;3!;
구하는 확률 P(A'B)는
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이고, 두 사건 A와 B는 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)
=;3!;_;3!;
= ;9!;
그러므로
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=;3!;+;3!;-;9!;
= ;9%;
따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 수는 각각 ;3!; , ;9!; , ;9%; 이므로
m_n_k =;3!;_;9!;_;9%;
=;24%3;
②
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정답과 풀이 ●33
확률
Ⅱ
따라서 구하는 확률은 1-{;2!;}4=1-;1Á6;=;1!6%;
⑤
43
a>b이고 a>c를 만족시키는 경우는 다음 표와 같다.
a b c
2 1 1
3 1, 2 1, 2
4 1, 2, 3 1, 2, 3
5 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4
6 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5
즉, 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 1_1+2_2+3_3+4_4+5_5
=1+4+9+16+25
=55
한편, 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6Ü`=216
따라서 구하는 확률은
;2°1°6;
②
44
경찰관 9명 중에서 임의로 3명을 선택하는 모든 경우의 수는
»C£=9_8_7 3_2_1 =84
선택된 3명 모두 근무조 A에 속하는 경우의 수는
°C£=°Cª=5_4 2_1 =10
선택된 3명 모두 근무조 B에 속하는 경우의 수는
¢C£=¢CÁ=4
따라서 선택된 3명 중 근무조 A와 근무조 B에서 적어도 1명씩 선 택되는 경우의 수는
84-(10+4)=70 이므로 구하는 확률은
;8&4);=;6%;
⑤
45
6개의 공 중에서 2개를 동시에 꺼내는 경우의 수는
¤Cª=15
2개 모두 흰 공을 꺼내는 경우의 수는 ªCª=1 따라서 구하는 확률은 ;1Á5;이므로
p+q=15+1=16
16
46
세 수를 곱해서 4가 나오는 경우는 1, 1, 4 또는 1, 2, 2이므로 Ú 1, 1, 4인 경우의 확률
3_{;6!;}3`=;7Á2;
Û 1, 2, 2인 경우의 확률 3_{;6!;}3`=;7Á2;
Ú, Û에서 구하는 확률은
;7Á2;+;7Á2;=;3Á6;
②
47
꺼낸 3개의 공 중에서 적어도 한 개가 검은 공인 사건을 A라 하면 A``은 모두 흰 공인 사건이다.
따라서
P(A)=1-P(A``)
=1- ¢C£¦C£
=1-;3¢5;
=;3#5!;
⑤
48
모든 경우의 수는 여섯 명을 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므 로 6!
(A, a), (B, b), (C, c)
와 같이 각 부부를 한 묶음으로 생각하여 나열하는 경우의 수는 3!
각 묶음 내에서 부부가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2_2_2 따라서 구하는 확률은
3!_2_2_2 6! =;1Á5;
①
49
7개의 구슬이 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 구슬을 동시에
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34●EBS 수능 기출의 미래 확률과 통계
꺼내는 경우의 수는
¦Cª= 7_62_1 =21
이때 꺼낸 구슬에 적힌 두 자연수가 서로소인 경우는 (2, 3), (2, 5), (2, 7),
(3, 4), (3, 5), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 7),
(5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (7, 8)
의 14가지이다.
따라서 구하는 확률은
;2!1$;=;3@;
④
50
7개 동아리의 발표 순서를 정하는 경우의 수는 7!
Ú 수학 동아리 A가 수학 동아리 B보다 먼저 발표하는 경우 두 수학 동아리 A, B를 같은 것으로 보고 순서를 정하는 경우
의 수는 7!2!
이 경우의 확률은 7!2!
7! =;2!;
Û 두 수학 동아리의 발표 사이에 2개의 과학 동아리가 발표하는 경우
두 수학 동아리의 발표 사이에 발표할 2개의 과학 동아리를 택 하고 순서를 정하는 경우의 수는
2_°Pª=40
네 동아리를 하나로 묶어 전체 순서를 정하는 경우의 수는 4!
이 경우의 확률은 40_4!
7! =;2¢1;
Ü 수학 동아리 A가 수학 동아리 B보다 먼저 발표하고, 두 수학 동아리의 발표 사이에 2개의 과학 동아리가 발표하는 경우 두 수학 동아리의 발표 사이에 발표할 2개의 과학 동아리를 택
하고 순서를 정하는 경우의 수는
°Pª=20
네 동아리를 하나로 묶어 전체 순서를 정하는 경우의 수는 4!
이 경우의 확률은 20_4!
7! =;2ª1;
Ú ~ Ü에서 구하는 확률은
;2!;+;2¢1;-;2ª1;=;4@2%;
③
51
|a-3|+|b-3|=2인 사건을 A, a=b인 사건을 B라 하자.
Ú P(A)의 값을 구하면
|a-3|=0이고 |b-3|=2일 때, 순서쌍 (a, b)는 (3, 1), (3, 5)
|a-3|=1이고 |b-3|=1일 때, 순서쌍 (a, b)는 (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)
|a-3|=2이고 |b-3|=0일 때, 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (5, 3)
그러므로
P(A)= 2+4+26_6 =;3¥6;
Û P(B)의 값을 구하면 a=b일 확률이므로 P(B)= 66_6 =;3¤6;
Ü P(A;B)의 값을 구하면
Ú, Û에서 두 사건 A와 B를 동시에 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (2, 2), (4, 4)
그러므로
P(A;B)= 26_6 =;3ª6;
따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=;3¥6;+;3¤6;-;3ª6;
=;3!;
②
다른 풀이
|a-3|+|b-3|=2인 사건을 A, a=b인 사건을 B라 하면 구 하는 확률은 P(A'B)이다.
한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면
사건 A가 일어나는 경우는
(1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 3) 이므로
P(A)=;3¥6;
사건 B가 일어나는 경우는
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정답과 풀이 ●35
확률
Ⅱ
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 이므로
P(B)=;3¤6;
사건 A;B가 일어나는 경우는 (2, 2), (4, 4)
이므로
P(A;B)=;3ª6;
따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=;3¥6;+;3¤6;-;3ª6;
=;3!;
52
A 또는 B가 뽑힐 확률은 1에서 A, B 모두 뽑히지 않을 확률을 뺀 값이다.
8명의 회원 중에서 5명을 뽑는 경우의 수는
¥C°=¥C£= 8_7_63_2_1 =56
A, B가 모두 뽑히지 않는 경우의 수는 ¤C°=¤CÁ=6이므로 A 또는 B가 뽑힐 확률은
1-;5¤6;=;5%6);=;2@8%;
⑤
53
한 개의 주사위를 두 번 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 6_6=36
이차함수 f(x)=xÛ`-7x+10에서 f(x)=(x-2)(x-5)
f(1)>0, f(6)>0, f(2)=f(5)=0, f(3)<0, f(4)<0 이므로 f(a) f(b)<0을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(1, 3), (1, 4), (3, 1), (4, 1), (6, 3), (6, 4), (3, 6), (4, 6) 의 8개이다.
따라서 구하는 확률은
;3¥6;=;9@;
④
54
주머니에서 임의로 흰 공 2개와 검은 공 1개를 꺼내는 경우의 수는
¢Cª_¢CÁ=6_4=24
꺼낸 검은 공에 적힌 수가 꺼낸 흰 공 2개에 적힌 수의 합보다 큰 경우는 다음 표와 같다.
흰 공에 적힌 두 수 검은 공에 적힌 수
1, 2 5 또는 7 또는 9
1, 3 5 또는 7 또는 9
1, 4 7 또는 9
2, 3 7 또는 9
2, 4 7 또는 9
3, 4 9
따라서 구하는 확률은 ;2!4#;이다.
③
다른 풀이 조건부확률을 이용한 풀이
주머니에서 임의로 꺼낸 3개의 공 중에서 흰 공이 2개, 검은 공이 1개일 확률은
¢Cª_¢CÁ
¥C£ = 2456
꺼낸 검은 공에 적힌 수가 꺼낸 흰 공 2개에 적힌 수의 합보다 큰 경우는 다음 표와 같다.
흰 공에 적힌 두 수 검은 공에 적힌 수
1, 2 5 또는 7 또는 9
1, 3 5 또는 7 또는 9
1, 4 7 또는 9
2, 3 7 또는 9
2, 4 7 또는 9
3, 4 9
꺼낸 검은 공에 적힌 수가 꺼낸 흰 공 2개에 적힌 수의 합보다 클 확률은
3+3+2+2+2+1
¥C£ = 1356 따라서 구하는 확률은
;5!6#;
;5@6$;=;2!4#;
55
두 수 a, b를 선택하는 모든 경우의 수는
¢CÁ_¢CÁ=4_4=16 Ú a=1일 때,
1<;1B; <4, 즉 1<b<4이므로 b는 존재하지 않는다.
Û a=3일 때,
1<;3B; <4, 즉 3<b<12이므로
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36●EBS 수능 기출의 미래 확률과 통계
b=4, 6, 8, 10 Ü a=5일 때,
1<;5B; <4, 즉 5<b<20이므로 b=6, 8, 10
Ý a=7일 때,
1<;7B; <4, 즉 7<b<28이므로 b=8, 10
Ú~Ý에서 주어진 조건을 만족시키도록 두 수 a, b를 선택하는 경우의 수는
0+4+3+2=9
따라서 구하는 확률은 ;1»6;
②
56
12장의 카드 중에서 임의로 3장의 카드를 선택하는 경우의 수는 ÁªC£이다.
Ú 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 2장인 경우
이 사건을 A라 하면 같은 숫자가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수는 ¢CÁ이고 이 각각에 대하여 이 숫자가 적혀 있는 카 드 3장 중 2장의 카드를 선택하는 경우의 수는 £Cª이다.
이 각각에 대하여 나머지 다른 숫자가 적혀 있는 카드를 선택 하는 경우의 수는 9이므로
P(A)=¢CÁ_£Cª_9 ÁªC£
=;5@5&;
Û 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 3장인 경우
이 사건을 B라 하면 같은 숫자가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수는 ¢CÁ이므로
P(B)= ¢CÁ ÁªC£
=;5Á5;
Ú, Û에서 구하는 확률은 P(A)+P(B)=;5@5&;+;5Á5;
=;5@5*;
⑤
57
주머니에서 임의로 4개의 공을 동시에 꺼내어 임의로 일렬로 나열 하는 경우의 수는 1의 숫자가 적힌 공의 개수에 따라 다음과 같다.
Ú 1의 숫자가 적힌 공이 1개인 경우
1, 2, 3, 4의 숫자가 적힌 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!=24
Û 1의 숫자가 적힌 공이 2개인 경우
2, 3, 4의 숫자가 적힌 공 중 2개를 택하는 경우의 수는 £Cª 이 각각에 대하여 1이 적힌 공 2개와 2, 3, 4의 숫자가 적힌 공
2개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!2!
이때 경우의 수는 £Cª_ 4!
2! =36
Ú, Û에서 4개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는 24+36=60
나열된 순서대로 공에 적힌 수를 a, b, c, d라 할 때, aÉbÉcÉd인 경우의 수는 다음과 같다.
Ü 1이 적힌 공이 1개인 경우
2, 3, 4가 적힌 공을 모두 뽑는 경우의 수이므로
£C£=1
Ý 1이 적힌 공이 2개인 경우
2, 3, 4가 적힌 공 중 2개를 뽑는 경우의 수이므로
£Cª=3
Ü, Ý에서 aÉbÉcÉd인 경우의 수는 1+3=4
따라서 구하는 확률은
;6¢0;=;1Á5;
①
58
a_b_c_d=12에서 a_b_c_d=2Û`_3
이므로 a, b, c, d는 6, 2, 1, 1 또는 4, 3, 1, 1 또는 3, 2, 2, 1이다.
따라서 구하는 확률은 4!2! +4!
2! +4!
2!
6Ý` =12+12+12 6Ý`
=;3Á6;
①
59
a<b-2Éc에서 a¾1이므로 1<b-2
3<bÉ6
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정답과 풀이 ●37
확률
Ⅱ
Ú b=4일 때,
a<b-2Éc에서 a<2Éc이므로 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 1_5=5
Û b=5일 때,
a<b-2Éc에서 a<3Éc이므로 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 2_4=8
Ü b=6일 때,
a<b-2Éc에서 a<4Éc이므로 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 3_3=9
따라서 모든 경우의 수는 6_6_6=216이므로 구하는 확률은 5+8+9
216 = 22216 = 11108
④
60
공집합이 아닌 서로 다른 15개의 부분집합에서 임의로 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수는
15_14_13 yy ㉠
이때 세 부분집합이 A, B, C로 나열되었을 때, A,B,C를 만 족시켜야 하므로 그림과 같고 다음 세 조건을 만족시켜야 한다.
A+∅이고 B-A+∅이고 C-B+∅
9
$
#
"
ץ צק
그림에서 A, B-A, C-B를 각각 ㉠, ㉡, ㉢이라 하고 이 부분 에 들어갈 원소의 개수로 경우를 나누면 다음과 같다.
Ú ㉡: 1개, ㉢: 1개
1, 2, 3, 4 중 ㉡과 ㉢에 들어갈 서로 다른 2개를 택하는 경우 의 수는
4_3
이 각각에 대하여 ㉠에 2개가 들어가는 경우의 수는 1이고 ㉠ 에 1개가 들어가는 경우의 수는 2이므로 경우의 수는
3
그러므로 이 경우의 수는 4_3_3
Û ㉡: 1개, ㉢: 2개
1, 2, 3, 4 중 ㉡과 ㉢에 원소를 배정하는 경우의 수는 4_£Cª=4_£CÁ=4_3
나머지 원소 1개는 ㉠에 들어가야 하므로 경우의 수는
4_3_1=4_3 Ü ㉡: 2개, ㉢: 1개
Û와 같은 방법으로 하면 경우의 수는 4_3
따라서 구하는 사건을 E라 하면 P(E)= 4_3_3+4_3_215_14_13
= 4_3_515_14_13
= 2 7_13
= 291
②
61
갑이 주머니 A에서 두 장의 카드를 꺼내고, 을이 주머니 B에서 두 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는
¢Cª_¢Cª= 4_32_1 _4_3 2_1
=36
갑이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합과 을이 가진 두 장의 카드 에 적힌 수의 합이 같은 경우는 다음과 같다.
Ú 갑과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적힌 수가 모두 같을 때 이때의 경우의 수는
¢Cª=4_3 2_1 =6
Û 갑이 1과 4가 적힌 카드를 꺼내고 을은 2와 3이 적힌 카드를 꺼 내거나 갑이 2와 3이 적힌 카드를 꺼내고 을은 1과 4가 적힌 카 드를 꺼낼 때
이때의 경우의 수는 2
Ú, Û에서 갑이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합과 을이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 같은 경우의 수는 6+2=8이므로 구하는 확률은
;3¥6;=;9@;
따라서 p=9, q=2이므로 p+q=9+2=11
11
62
선택된 두 점 사이의 거리가 1보다 큰 사건을 A라 하면
A` 은 선택된 두 점 사이의 거리가 1보다 작거나 같은 사건이므로
A` 은 선택된 두 점 사이의 거리가 1보다 작거나 같은 사건이므로