102
동전 한 개를 던져 앞면이 나오는 횟수를 X라 할 때, 얻은 점수의 합이 6 이하가 되려면 X=0 또는 X=1이므로 구하는 확률은
°C¼{;2!;}Þ`+°CÁ{;2!;}Þ`=;3Á2;+;3°2;
=;1£6;
④
103
상자를 던져서 2가 나올 확률은 ;4!; 이고, 2가 아닌 숫자가 나올 확 률은 ;4#; 이다.
이 상자를 3번 던지는 시행이므로 0ÉmÉ3, 0ÉnÉ3이고 m+n=3, 즉 n=3-m이므로
97
한 개의 주사위를 1번 던져서 4의 눈이 나올 확률은 ;6!; 이다.
따라서 한 개의 주사위를 3번 던져서 4의 눈이 한 번만 나올 확률은
£CÁ {;6!;}Ú`{;6%;}Û`=;2!;_;3@6%;
=;7@2%;
①
98
한 개의 동전을 6번 던져서 앞면이 2번 이상 나오는 사건을 A라 하면 A` 은 앞면이 0번 또는 1번 나오는 사건이므로 그 확률은
P(A` )=¤C¼{;2!;}â`{;2!;}ß`+¤CÁ{;2!;}Ú`{;2!;}Þ`=;6¦4;
따라서 P(A)=1-P(A` )=1-;6¦4;=;6%4&;
④
99
주사위를 던져서 나온 눈의 수와 앞면이 나온 동전의 개수가 모두 n (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)일 확률은
;6!;_¤CÇ{;2!;}n{;2!;}6-n= 16_2ß`_¤CÇ 따라서 구하는 확률은
;N6+!{ 16_2ß`_¤CÇ}
= 16_2ß`_(2ß`-1)=;1ª2Á8;
④
100
한 개의 동전을 5번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수와 뒷면이 나오는 횟 수의 곱이 6인 경우는 앞면과 뒷면이 각각 2회, 3회 나오거나 3회, 2 회 나오는 경우뿐이다.
따라서 구하는 확률은
°Cª {;2!;}Û`{;2!;}Ü`+°C£ {;2!;}Ü`{;2!;}Û` =;3!2);+;3!2);
=;8%;
①
101
동전 A를 세 번 던져 나온 3개의 수의 합은 3, 4, 5, 6 중 하나이고, 동전 B를 네 번 던져 나온 4개의 수의 합은 12, 13, 14, 15, 16 중
독립시행의 확률
유형5
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정답과 풀이 ●49
확률
Ⅱ
m-n=m-(3-m)=2m-3 0ÉmÉ3에서
|2m-3|=3 또는 |2m-3|=1 즉, |m-n|=3 또는 |m-n|=1 그런데 i |m-n|=-i이므로
|m-n|=3
따라서 m=3, n=0 또는 m=0, n=3이므로 구하는 확률은
£C£ {;4!;}Ü`{;4#;}â`+£C¼ {;4!;}â`{;4#;}Ü`=;6Á4;+;6@4&;
=;6@4*;
=;1¦6;
②
104
동전의 앞면이 나온 횟수와 뒷면이 나온 횟수가 같을 사건을 A, 동전을 4번 던지는 사건을 B라 하자.
사건 A가 일어나는 확률은
P(A)=;3¤6;_¢Cª{;2!;}2{;2!;}2+;3#6)';_ªCÁ{;2!;}Ú`{;2!;}Ú`
=;6!;_;8#;+;6%;_;2!;
= 3+2048 =;4@8#;
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률은 P(A;B)=;3¤6;_¢Cª{;2!;}2 {;2!;}2
=;1Á6;
따라서 구하는 확률은 P(B|A)=P(A;B)
P(A)
=;1Á6;
;4@8#;= 323
①
105
A와 B가 각각 주사위를 5번씩 던진 후, A는 1의 눈이 2번, B는 1의 눈이 1번 나왔고, C가 주사위를 3번째 던졌을 때 처음으로 1 의 눈이 나왔으므로 A가 승자가 되기 위해서는 C가 주사위를 4번 째, 5번째 던졌을 때 모두 1이 아닌 눈이 나와야 한다.
주사위를 1번 던질 때, 1이 아닌 눈이 나올 확률은 ;6%; 이므로 A가 승자가 될 확률은
;6%;_;6%;=;3@6%;
또, C가 승자가 되기 위해서는 C가 주사위를 4번째, 5번째 던졌을 때 모두 1의 눈이 나와야 하므로 C가 승자가 될 확률은
;6!;_;6!;=;3Á6;
따라서 A 또는 C가 승자가 될 확률은
;3@6%;+;3Á6;=;3@6^;
=;1!8#;
②
106
6번째 시행 후 상자 B에 8개의 공이 들어 있으려면 동전의 앞면이 뒷면보다 2번 더 많이 나와야 한다.
즉, 동전의 앞면이 4번, 뒷면이 2번 나와야 한다.
상자 B에 들어 있는 공의 개수가 6번째 시행 후 처음으로 8이 되 어야 하므로 5번째 시행 후에는 7이어야 하고 4번째 시행 후에는 6이어야 한다.
4번째 시행까지 동전의 앞면이 2번, 뒷면이 2번 나와야 하고, 이 중에서 상자 B에 공이 8개 들어가는 경우를 제외하면 된다.
동전의 앞면을 , 뒷면을 ×로 나타내어 문제의 조건을 만족시키 는 경우를 표로 나타내면 다음과 같다.
1 2 3 4 5 6
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
5가지 경우 모두 4번째 시행까지 앞면이 2번, 뒷면이 2번 나오므 로 각각의 확률은
{;2!;}Ý`{;2!;}Û`={;2!;}ß`
따라서 구하는 확률은 5_{;2!;}ß`=;6°4;
③
107
a-b=3이므로 다음 각 경우로 나눌 수 있다.
Ú a=5이고 b=2일 때
주사위를 5번 던질 때 홀수의 눈이 5번 나오고, 동전을 4번 던 질 때 앞면이 2번 나와야 하므로 확률은
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50●EBS 수능 기출의 미래 확률과 통계
°C°{;2!;}5{;2!;}0_¢Cª{;2!;}2{;2!;}2
= 12Þ`_ 32Ü`
= 32¡`
Û a=4이고 b=1일 때
주사위를 5번 던질 때, 홀수의 눈이 4번 나오고, 동전을 4번 던 질 때 앞면이 1번 나와야 하므로 확률은
°C¢{;2!;}4{;2!;}1_¢CÁ{;2!;}1{;2!;}3
= 52Þ`_ 1 2Û`
= 52à`
Ü a=3이고 b=0일 때
주사위를 5번 던질 때 홀수의 눈이 3번 나오고, 동전을 4번 던 질 때 앞면이 0번 나와야 하므로 확률은
°C£{;2!;}3{;2!;}2_¢C¼{;2!;}0{;2!;}4
= 52Ý`_ 12Ý`
= 52¡`
따라서 구하는 확률은 2¡`3 + 52à`+ 52¡`= 182¡` = 92à`
=;12(8;
이므로
p+q=128+9=137
137
108
한 개의 동전을 1번 던질 때, 앞면이 나오는 확률은 ;2!; 이고, 한 개 의 동전을 6번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수가 뒷면이 나오는 횟수 보다 클 때는 앞면이 4, 5, 6회 나올 때이다.
Ú 한 개의 동전을 6번 던질 때, 앞면이 4회, 뒷면이 2회 나올 확 률은
¤C¢{;2!;}Ý `{;2!;}Û `=¤Cª{;2!;}ß `
Û 한 개의 동전을 6번 던질 때, 앞면이 5회, 뒷면이 1회 나올 확 률은
¤C°{;2!;}Þ`{;2!;}Ú`=¤CÁ{;2!;}ß`
Ü 한 개의 동전을 6번 던질 때, 앞면이 6회, 뒷면이 0회 나올 확 률은
¤C¤{;2!;}ß `{;2!;}â `=¤C¼{;2!;}ß ` Ú~Ü에서 구하는 확률은
¤Cª{;2!;}ß `+¤CÁ{;2!;}ß `+¤C¼{;2!;}ß `=(¤Cª+¤CÁ+¤C¼)_{;2!;}ß `
=(15+6+1)_{;2!;}ß `
=;6@4@;
=;3!2!;
이므로 p+q=32+11=43
43
109
앞면을 H, 뒷면을 T로 나타내기로 하자.
Ú 앞면이 3번 나오는 경우
H 3개와 T 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ¦C£ = 7_6_53_2_1
=35
H가 이웃하지 않는 경우의 수는 °C£=°Cª
= 5_42_1
=10
즉, 조건 (나)를 만족시킬 확률은 (35-10)_{;2!;}7
Û 앞면이 4번 나오는 경우
H 4개와 T 3개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ¦C¢=¦C£
= 7_6_53_2_1
=35
H가 이웃하지 않는 경우의 수는 1 즉, 조건 (나)를 만족시킬 확률은 (35-1)_{;2!;}7
Ü 앞면이 5번 이상 나오는 경우
조건 (나)를 항상 만족시키므로 이 경우의 확률은 (¦C°+¦C¤+¦C¦)_{;2!;}7
Ú ~ Ü에서 구하는 확률은 (25+34+29)_{;2!;}7=;1¥2¥8;
=;1!6!;
①
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정답과 풀이 ●51
확률
Ⅱ
110
y좌표가 처음으로 3이 되는 경우는
Ú 점 A가 (0, 2)에 있을 때 동전의 뒷면이 나오는 경우 Û 점 A가 (1, 2)에 있을 때 동전의 뒷면이 나오는 경우 Ü 점 A가 (2, 2)에 있을 때 동전의 뒷면이 나오는 경우 이다.
이때 점 A의 x좌표가 1인 경우는 Û의 경우이다.
Ú의 경우의 확률은 ªCª{;2!;}2_;2!;=;8!;
Û의 경우의 확률은
£Cª{;2!;}3_;2!;=;1£6;
Ü의 경우의 확률은
¢Cª{;2!;}4_;2!;=;1£6;
따라서 구하는 확률은