양극화의 지수화 방법 - 농촌사회의 양극화 실태와 정책과제

양극화를 측정하기 위한 대표적인 지수화 방법으로는 ER(Esteban and Ray)지수와 Wolfson지수가 있다.

2.1. ER지수

ER(Esteban and Ray) 양극화지수는 기본적으로 특정 변인의 분포가 2 개의 집단으로 대표될 수 있다고 가정할 때 어느 한 집단에 속해 있는 특 정 개인이 다른 집단에 느끼는 반감의 정도는 동질성함수와 이질성함수의 곱으로 나타낼 수 있다는 개념에서 출발한다.

에스테반과 래이(Esteban & Ray 1994)는 서로 다른 분포간 양극화 지 숫값들을 비교할 수 있기 위해서는 몇 가지 직관적인 공리들(axioms)이 만 족되어야 하며 이 공리들에 따라 동질성 및 이질성 함수들은 구체적인 형

14 양극화에 관한 이론적 고찰

태를 가지게 된다는 것을 보였다.³ 그러나 에스테반과 래이(Esteban & Ray 1994)의 방법을 적용하기 위해서는 모집단이 2개의 집단으로 이미 구분되 어 있어야 한다는 제약이 따른다.

그리하여 최근에 에스테반 등(Esteban et al. 1999; Duclos et al. 2004) 은 E에스테반과 래이(Esteban & Ray 1994)의 방법을 발전시켜 연속분포 를 2개의 극점들로 표시하여 발생하는 근사(approximation)에 의한 오차를 교정하는 방법을 제시하였다.

ER 양극화지수의 도출 과정은 다음과 같다. 확률변수인 소득 y는 유한 폐구간 [a, b]에서 밀도함수 ^f 로 표시되고 y는 평균(µ)이 1이 되도록 정규 화 되었다고 하면, 이 밀도함수 f는 (식 1)과 같은 2개의 극점들로 구성된 집합(ρ)로 표시할 수 있다. 여기서

π

₁_은y₀_과y₁구간사이에 놓일 확률을 의미하며,

µ

₁은 동일 구간 내에서의 조건부 평균값을 의미한다.

(식 1) ρ = (y₀, y₁, y₂;π₁, π₂;µ₁, µ₂)

Esteban과 Ray(1994)의 제안에 따른 양극화지수⁴는 (식 2)와 같이 정의 된다.

(식 2) ER (α, ρ ) = π^α+ (1−π )^α−L (π )

연속밀도함수를 두 개의 극점들로 표시하여 발생하는 오차를 완화하기 위해 에스테반 등(Esteban et al. 1999; Duclos et al. 2004)은 ER지수에 근사 한 양극화의 과장된 부분을 조정하기 위해 (식 3)과 같은 개선된 양극화지 수를 제안하고 있다. 여기서 ^{(f, ρ )}는 근사에 의한 오차를, 는 단순 ER지 수를 계산하는 과정에서 발생하는 근사오차에 두게 되는 가중치를 나타내 는 모수값이다.

3 Esteban and Ray(1994), pp.832-833을 참조.

4 이들이 제안하고 있는 다극화 지수는 ^{ER (α, ρ)}^N⁼

Σ

_j ^π^{1 + α}ⁱ ^π^j^|µⁱ⁻^µ^j^|^{로 정의된다.}

양극화에 관한 이론적 고찰 15

(식 3) P (f, α, ) = ER (α, ρ )− (f, ρ )

연속변수의 분포를 극값으로 표시하여 발생하는 오차는 (식 4)와 같이 표시된다. 여기서 G(.)는 괄호 안의 분포에 해당하는 지니계수를 의미한다.

(식 4) (f, ρ ) = G (π )

−

(π

−

L (π ))

따라서 개선된 ER양극화지수는 (식 5)와 같다.

(식 5) P(f;α, , y ) = (π^α+ (1− π )^α)(π− L (π )) − [G− (π − L (π ))]

2.2. Wolfson지수

울프슨(Wolfson 1994)은 중위층의 소멸을 양극화와 동일시하고 특정 변인에 대한 중위(median)값을 기준으로 중위 값과 그 밖의 계층 간의 차 이가 커질수록 양극화가 커진다는 관점에서 이를 접근하고 있다.

울프슨 양극화지수는 일반적인 불평등 지수들처럼 로렌츠 곡선으로부 터 도출된다. 하지만 누적밀도 함수(cumulative density function)의 두 축을 전치(transpose)한 후, 일반적인 로렌츠 곡선과는 달리 수평축의 각 수준들 을 평균값으로 나누는 것이 아니라 중위수로 나눈다. 그리고 수평축을 곡 선의 가운뎃점까지 이동시킨다. 그 다음 50분위 수 이하 집단들에 해당하 는 곡선부분(중위점의 왼쪽 부분)을 뒤집은 후, 중위수에서부터 양 방향으 로 적분을 하면 <그림 2-4>와 같은 양극화 곡선이 도출된다.

서로 다른 로렌츠 곡선이 불평등 정도의 비교에 있어 부분적인 정보만 을 제공하기 때문에 면적 개념을 활용한 지니계수를 이용하여 그 정도를 직접 비교하듯, 양극화 곡선 자체 역시 부분적인 순위(partial ordering) 정 보만을 제공한다. 따라서 서로 다른 양극화 곡선의 양극화 정도의 완전 비 교(complete ordering)를 위해 양극화 곡선 아랫부분의 면적을 계산한다.

한편, 울프슨은 양극화 곡선의 전환(Transformation of Polarization

16 양극화에 관한 이론적 고찰

Curve)을 통해 지니계수를 활용한 양극화지수 계산방식을 제안하였다. 만 약 곡선에 ‘중위수/평균’을 곱하고, 수평축을 로렌츠 곡선의 접점(tangent) 에까지 기울이면, 로렌츠 곡선과 동일한 전환된 양극화 곡선이 생성된다

<그림 2-5>.

<그림 2-4>에서 양극화 곡선 아래 빗금 친 부분 Po는 <그림 2-5>의 빗 금 친 부분으로 (식 6)으로 전환된다. 여기서 m_{은 중위수,} µ_{은 평균,} m/µ은 로렌츠 곡선에 대한 접점의 기울기, ^G는 지니계수, ^T는 45°선과 중위수 접선(median tangent)에 의해 만들어진 사다리꼴의 면적이다.

(식 6) ^P0= P₁

m/µ = (T−G/2 ) m/µ

한편, 지니계수와의 비교를 위해 울프슨은 Po 면적을 4배수한 (식7)과 같은 최종 공식을 만들어 냈다.⁵ 여기서 L(0.5)은 로렌츠 곡선의 50분위 값

5 전체 집단이 완전하게 동등한 분포를 가질 경우 P0는 0, 인구의 절반이 0, 나머 지가 2µ를 가지는 완전 양극 분포(bimodal distribution)를 가지면 0.25의 값을 가 진다. 즉 0<P0<0.25이다. 따라서 P0의 4배수를 통해 지니계수와 비교될 수 있는

그림 2-4. 양극화 곡선

0 0.5 1

양극화 곡선 P0

양극화에 관한 이론적 고찰 17

이다.

(식 7) ^{W = 4 P}0= µ

m2 (2T− Gini ) = µ

m2 (2 (0.5− L (0.5 )) − G )

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