사례
Ⅴ. 수학과 내용 교수 지식(PCK)의 사례 분석
1. 수학과 내용 교수 지식(PCK) 연구의 내용 영역 선정
가. 가르치기 어려운 수학 주제
수학과 PCK 연구를 위해 기존 연구에서 수학 교사들이 가르치기 어려워하 는 주제나 영역을 알아보고 그 내용을 추출하였다. 대체로 수학 교사들이 학 습 내용을 지도하는데 어려움을 느끼는 주제는 주로 함수와 관련된 내용인데, 이는 학생들의 수준에 비해 어렵고 학생들 간의 수준 차도 심하기 때문이다.
그 밖에 개념이나 원리를 이해해야 하는 내용이거나 개정된 교육과정에서 새 롭게 도입된 내용들10)의 경우 교사들이 지도에 어려움을 겪는다. 수학 교사들 이 가르치기 어려워하는 주제들에 대한 대처 방안을 제안하면 다음과 같다.
첫째, 수학 개념이나 원리는 추상적이어서 학생들이 그 개념이나 원리를 상 상하지 못해서 학습하기 어려워하는 경우가 있다. 이 경우 교사들은 학생들이 이미 알고 있는 사실이나 실생활에서 쉽게 접할 수 있는 사례와 연결시켜 수 학 개념이나 원리를 구체화함으로써 학생들이 쉽게 학습하게 할 수 있다.
둘째, 구체물이나 교구를 활용한 구체적 활동을 통하여 학생들이 수학의 개념 이나 원리를 직접 체험하거나 눈으로 확인하게 할 수 있다. 대부분의 초등학생 들은 피아제의 발달 단계상 구체적 조작기에 해당하므로 구체물이나 교구를 활
10) 예를 들면 초등학교의 경우, 나눗셈(3-나), 혼합계산, 분수(4-가), 도형과 도형 움직이기(2-가), 도형 움직이기(3-가), 입체도형(6-나), 들이 재기(2-가), 시간과 무게(4-가), 넓이와 무게(5-나), 겉넓이와 부피(6-가), 무늬 만들기(5-가) 등과 전 학년에 걸쳐 제시된 문제 푸는 방법 찾기이 라는 문제해결 관련 내용들이다. 이 주제들에 대해서 효율적으로 지도하는 방법이나 수업 사례를 학교 현장에 제공하면 이들 주제를 지도하는데 어려움이 있는 교사들에게는 많은 도 움이 될 것이나, 올해의 연구는 교과 교육이 중심이 되어야 하므로 중학교 수학에 중점을 두어 진행하였다.
용하여 학습하는 것이 용이하지만 중․고등학생도 구체물이나 교구를 활용해서 직접 활동을 할 때 수학의 개념이나 원리를 더 잘 이해하는 경우가 있다. 중․
고등학교에서 활용할 수 있는 교구로는 인수분해나 곱셈공식, 정수의 덧셈과 뺄 셈에서 활용할 수 있는 대수막대가 있다. 또 통계 단원에서는 정형화된 자료와 공식을 사용하기보다는 학생들이 직접 자료를 수집하고 계산을 함으로써 통계 의 개념이나 원리를 이해하도록 하는 것이 도움이 될 것이다.
셋째, 수학적 원리와 수학사를 이용하여 지도할 수 있다. 수학은 어느 정도 체계적인 학문으로, 이미 학습한 수학 개념이나 원리를 이용하여 새로운 수학 개념이나 원리를 지도하면 학생들의 이해에 도움을 줄 수 있다. 또 해당 수학 개념이나 원리가 역사적으로 발생된 사례를 제시하거나 이 개념이나 원리가 수학의 다른 분야에서 활용되는 예를 소개함으로써 학생들의 학습동기를 유발 할 수 있다.
넷째, 각종 동영상이나 그림 자료, 영화 등을 활용한다. 교구나 구체물을 이 용하여 구현할 수 없는 수학적 개념이나 원리를 동영상이나 그림 자료, 영화 등을 이용함으로써 확인할 수 있다. 또 각종 동영상이나 그림, 영화에서 이러 한 수학 개념이나 원리가 활용되는 예를 보임으로써 학생의 동기를 유발할 수 있다.
다섯째, 각종 탐구형 소프트웨어를 이용할 수도 있다. 최근 기술공학의 발달 로 교수 학습 과정에서 ICT의 활용 또는 e-러닝이 강조되고 있다. 수학교실에 서는 GSP나 Cabri, 엑셀과 같은 탐구형 소프트웨어가 사용되고 있다. 이러한 탐구형 소프트웨어는 실물을 사용해서 구현할 수 없는 활동을 소프트웨어를 활용하여 구현함으로써 수학의 개념이나 원리에 대한 학생의 이해를 향상시킬 수 있다.
요약하면, 수학 교사들이 가르치기 어려워하는 주제는 대부분이 함수 영역 이나 기하영역 수업과 관련된 내용이다. 수학은 다른 교과와 달리 용어의 약 85% 이상이 한자어이므로 용어 때문에 어려워하는 경우도 발생한다. 특히 생 소한 용어가 많이 나오는 함수 영역은 학생들이 이해에 어려움을 겪으며, 교
사도 설명에 어려움을 겪는다.
한편, 교육과정이 개정될 때마다 정의나 그 설명 방법, 지도 방법이 바뀜으 로써 어려운 경우도 있다. 특히 교육과정을 제대로 숙지하지 못한 채 수업을 진행하는 경우, 교수 상에 혼란이 생기기 쉬운 부분도 있다. 예컨대, 현행 교 육과정에서는 ‘규칙성과 함수’라는 영역으로 불리어 초등학교와 중․고등학교 에서 내용 영역상의 차이가 없던 ‘규칙성과 함수’ 영역을, 개정 교육과정에서 는 중․고등학교에서 필요로 하는 부분만을 분리해내어 ‘함수’ 영역을 제시하 였다.
따라서 올해 연구에서는 다음 절에 제시한 함수 영역 선정 이유를 근거로 함수 영역을 중심으로 연구하였으며, 처음으로 함수를 접하는 중학교 1학년
‘함수’ 수업을 집중적으로 탐색하여 이에 대한 분석 결과를 제시하였다.
나. 함수 영역 선정 근거
함수는 정의나 논의의 대상 등은 잘 정비되어 있지만(Smith, 2003), 다른 영 역에 비해 학생들이 이해에 어려움을 겪는다. 그 이유로 Even(1989)은 함수를 안다는 것이 무엇을 의미하는지에 대한 명확한 의미 규정이 미흡하기 때문이 라고 주장하였다.
함수 개념을 이해하기 위한 첫 번째 단계는 한 대상에서 다른 대상으로의 변 화 과정, 규칙이나 패턴 혹은 법칙을 인식하는 것이다. 함수 개념의 학습 목적 은 변화하는 대상 사이의 관계를 파악하여, 이들 사이의 관계를 파악하고 규칙 성을 찾아 새로운 사실에 적용할 수 있는 도구로 활용하는 것이다. 함수 개념 이란 주변 세계에서 관찰되고 경험되는 변화를 정확히 설명하기 위하여 만들 어졌으며, 이러한 활동이 수업 상황에 충분히 제공되지 않는다면 학생들이 함 수 개념을 이해하는 데 어려움이 따를 수밖에 없을 것이다(Sierpinska, 1992).
함수 개념 발달의 과정을 9가지-암묵적인 함수 개념 단계, 수표로서의 함수, 비례 관계로서의 함수, 일반화된 비례로서의 함수, 기하학적 함수 개념, 대수적
식으로의 함수, 해석적 표현으로의 함수, 대응으로의 함수, 관계로서의 함수-로 구분지어 설명할 수 있다(이종희, 1999). 함수는 이러한 함수 개념의 발달 과정 을 거치면서 현대수학을 설명하는 하나의 특징으로 자리매김하고 있다.
함수 개념은 역사적 변천과정을 살펴볼 때 ‘비례>기하(그래프)>대수적 식>
해석적 표현>대응>관계’로 발달하여 왔으나, 이들은 독립적으로 만들어진 개 념이라기보다 현대수학의 발전과정에서 함수 개념을 정련화하면서 변화된 것 으로 볼 수 있다. 역사적으로 볼 때, 비례 관계를 이용한 함수의 정의는 오랜 시간동안 수학에서 지배적인 위치를 차지하였다. 그러나 이러한 비례 개념은, 길이, 부피, 넓이 등과 같이 등질적이지 않은 양의 비는 다룰 수 없게 하여, 함수 개념 발달에 장애로 작용되기도 한다(이종희, 1999).
한편, 함수와 관련된 교사의 지식을 조사한 많은 연구들(신현용, 이종욱, 2004;
Bolte, 1993; Even, 1989, 1990, 1993; Howald, 1998; McGehee, 1990; Winsor, 2003)에서 함수를 나타내는 표현에 대한 이해와 표현 사이의 변환이 강조되었 다. 수학적 개념과 관련된 다양한 표현들을 이해하고, 이들을 적절히 사용할 줄 알며, 한 가지 표현을 다른 종류의 것으로 변환시킬 수 있는 능력을 키우는 것 은 심층적인 이해를 위해서 매우 중요하다. 일반적으로 수학적 개념은 동일한 구조를 지닌 여러 가지 표현을 구사할 수 있는 상황에서 시작되어 하나의 개념 에 대하여 이를 직접 경험해봄으로써 다양한 표상을 구성하고 그 대상의 본질 이 되는 개념을 파악할 수 있는 기회를 통하여 형성되어 간다. 따라서 여러 가 지 표현들 간의 변환 능력은 ‘함수’와 관련된 교수․학습에서 흔하게 강조되는 부분이다(정인경, 2003; O'callaghan, 1998, 조성민, 2006, 재인용).
함수 본래의 관계적 정의는 학교수학의 내용으로 제시되기에는 매우 어려운 개념이다. 따라서 제3차 교육과정 이래 ‘대응’ 중심으로 소개되던 함수 개념은 제7차 교육과정에서 ‘비례’ 중심으로 변화되었다. 즉, 제7차 교육과정에서 ‘함 수 개념의 도입은 비례 관계를 이용한다’라고 명시하고 있으며, 이는 제6차 교 육과정에서 초등학교 6학년에 있던 ‘정비례, 반비례’ 단원을 7-가 단계(개정 교 육과정에서의 중학교 1학년)로 옮겨와서 비례 관계를 학습하고, 이것의 연장선
에서 함수를 정의하는 형태를 띠고 있다. 정비례와 반비례 관계는 제6차 교육 과정에서 초등학교에서 다루었던 내용을 제7차 교육과정에서 학습량 경감을 위해 중학교로 이동시켰다. 그러나 정비례와 반비례는 실생활에서 자주 활용 되며, 중학교에서 함수를 도입할 때 함수의 예로 사용되기 때문에 개정 교육 과정에서는 함수 개념이 도입되기 이전인 6학년에서 도입하였다. 또한 초․
중․고등학교 사이의 수학적 개념의 연계성과 관련하여, 중학교 1학년에서 지 도되는 ‘함수’ 개념 도입 방법이 문제제기 되었다(김흥기, 2001).
앞서 설명한 바와 같이 제6차 교육과정까지는 ‘함수’ 개념을 대응 개념을 바 탕으로 도입해 왔으나, 제7차 교육과정에서는 ‘비례 관계’를 바탕으로 도입하 고 있다. 이렇게 바뀌게 된 것은 본래 ‘함수’ 개념이 비례 관계와 같이 함께 변하는 두 양 사이의 관계로부터 발생된 것이고, 실제로 학생들이 중․고등학 교에서 다루는 대부분의 함수가 이 개념에 근거하고 있기 때문이다. 그런데 우리나라에서는 ‘비례 관계’로 함수 개념을 도입하면서 ‘정의역’, ‘치역’, ‘공역’
과 같은 개념을 함께 사용하고 있어서 중학교 교사들이 함수 개념을 일관되게 설명하기가 어려운 일이 벌어지고 있다. 또한, 초등학교에서 함수라는 용어는 사용하지 않았지만 변하는 두 양 사이의 대응 관계를 지도하였는데, 중학교에 서는 대응 용어를 사용하지 못하게 하면서 비례 관계로만 도입하게 하고, 고 등학교에서는 다시 대응에 근거하여 정의함으로써 동일한 개념에 대한 두 가 지 정의 방식 사이에서 학생들이 혼란을 겪고, 초등학교와 중학교, 중학교와 고등학교 사이에 개념 지도 방법이 일관되지 못하다는 문제가 제기되었다.
따라서 개정 교육과정에서는 함수 개념을 ‘한 양이 변함에 따라 다른 양이 변할 때, 두 양 사이의 대응 관계’로 도입하는 방안을 제안하였다. 이 방안은 함수 개념의 핵심인 ‘종속 관계에 있는 두 양의 관계’ 개념을 바탕으로 하고 있고, 종속 관계에 있는 두 양의 대응 관계에 주목함으로써 두 양 사이의 관 계식을 세우기가 편리하며 초등학교에서 학습한 내용의 자연스런 발전 학습이 된다. 이 방안이 제6차 교육과정에서의 함수 개념의 도입 방법과 다른 점은, 제6차 교육과정에서는 ‘두 집합 사이의 대응 관계’로 지도한 것으로, 함수 개