1
p 2p
-p3
5p -3 -12
x
y y=cos`x
이때 0Éx<2p이므로 x=0 또는 x=;3Ò; 또는 x=;3%;p 따라서 모든 해의 합은 0+;3Ò;+;3%;p=2p
④
34
1+'2`sin`2x=0에서 sin`2x=- 1
'2
2x=t로 놓으면 0ÉtÉ2p
O t
y
y=sin t
p 2p
p -45 -47p --1
12
위의 그래프에서 t=;4%; p 또는 t=;4&; p
즉, 2x=:°4É: 또는 2x=:¦4É: 이므로 x=:°8É: 또는 x=:¦8É:
따라서 모든 해의 합은 :°8É:+:¦8É:=;:!8@:Ò;=:£2É:
③
35
방정식 cosÛ``x=sinÛ``x-sin`x에서
1-sinÛ``x=sinÛ``x-sin`x 2`sinÛ``x-sin`x-1=0 (2`sin`x+1)(sin`x-1)=0 즉, sin`x=-;2!; 또는 sin`x=1
O 1
p 2p
-p2
7p -6 -116p -12
- x
y
y=sin`x
Ú sin`x=-;2!; 일 때 x=;6&; p 또는 x=:Á6Á: p Û sin`x=1일 때
x=;2Ò;
Ú, Û에서 주어진 방정식의 모든 해의 합은
;6&; p+:Á6Á: p+;2Ò;=;2&; p
④
36
주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 실근을 갖지 않아야 하 므로
D4 =4 cosÛ``h-6 sin`h<0 4(1-sinÛ``h)-6 sin`h<0 2 sinÛ``h+3 sin`h-2>0 (2 sin`h-1)(sin`h+2)>0 그런데 sin`h+2>0이므로 2 sin`h-1>0
즉, sin`h>;2!;
0Éh<2p일 때 p6 <h<;6%; p
따라서 a= p6 , b=;6%; p이므로 3a+b= p2 +;6%; p=;3$; p
④
37
Ú 2Å` -8<0이고 cos`x-;2!;>0인 경우 2Å` <8에서 2Å` <2Ü`
따라서 0<x<3 yy ㉠
삼각함수의 방정식, 부등식에의 활용 유형 3
해_028~046 수Ⅰ-2단원-ok.indd 33 2020-12-16 오후 7:38:46
34●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ cos`x>;2!;에서
0<x<;3Ò; yy ㉡ ㉠, ㉡에서 0<x<;3Ò;
Û 2Å` -8>0이고 cos`x-;2!;<0인 경우 2Å` >8에서 2Å` >2Ü`
따라서 3<x<p yy ㉢ cos`x<;2!;에서
;3Ò;<x<p yy ㉣ ㉢, ㉣에서 3<x<p
Ú, Û에서 0<x<;3Ò; 또는 3<x<p이므로 (b-a)+(d-c)={;3Ò;-0}+(p-3)
= 4p3 -3
③
38
cosÛ``x-sin`x=1에서 (1-sinÛ``x)-sin`x=1 sinÛ``x+sin`x=0 sin`x(sin`x+1)=0 sin`x=0 또는 sin`x=-1 0<x<2p이므로
x=p 또는 x=;2#; p 따라서 모든 실근의 합은 p+;2#; p=;2%; p
그러므로 p=2, q=5이므로 p+q=2+5=7
7
39
cos`{;2Ò;+x}=-sin`x이므로 주어진 방정식은 4`sinÛ``x+4`sin`x-3=0
(2`sin`x-1)(2`sin`x+3)=0 sin`x=;2!;
이때 0Éx<4p이므로 x=;6Ò;, ;6%;p, 2p+;6Ò;, 2p+;6%;p
따라서 모든 해의 합은
;6Ò;+;6%;p+2p+;6Ò;+2p+;6%;p=6p
②
40
sin`x='3(1+cos`x)에서 sinÛ``x=1-cosÛ``x이므로 1-cosÛ``x=3(1+cos`x)Û`, 2(1+cos`x)(2 cos`x+1)=0 Ú cos`x=-1일 때, sin`x=0이고 x=p
Û cos`x=-;2!;일 때, sin`x= '32 이고 x=;3@;p Ú, Û에서 방정식의 모든 해의 합은 ;3%;p이다.
⑤
41
4`cosÛ``x-1=0에서
(2cos`x+1)(2`cos`x-1)=0 cos`x=-;2!; 또는 cos`x=;2!;
O
;2!;
-;2!; x
y
y=cos`x
p 2p
p3
2 p3 4 p3
5 p3
따라서 방정식을 만족시키는 x의 값은
x= p3 또는 x=;3@;p 또는 x=;3$;p 또는 x=;3%;p
한편, sin`x`cos`x<0이므로 x는 제2사분면의 각 또는 제4사분면 의 각이다.
따라서 구하는 x의 값은 x=;3@;p 또는 x=;3%;p이므로 모든 x의 값 의 합은 ;3&;p이다.
②
42
이차방정식
xÛ`-(2 sin`h)x-3 cosÛ``h-5 sin`h+5=0
의 판별식을 D라 하면 이 이차방정식이 실근을 가져야 하므로 D4 =(-sin`h)Û`-(-3 cosÛ``h-5 sin`h+5)¾0
이어야 한다.
즉, sinÛ``h+3 cosÛ``h+5 sin`h-5¾0
해_028~046 수Ⅰ-2단원-ok.indd 34 2020-12-16 오후 7:38:46
정답과 풀이 ●35
삼각함수
Ⅱ
이때 cosÛ``h=1-sinÛ``h이므로 sinÛ``h+3(1-sinÛ``h)+5 sin`h-5¾0 2 sinÛ``h-5 sin`h+2É0
(2 sin`h-1)(sin`h-2)É0 sin`h-2<0이므로
2 sin`h-1¾0 sin`h¾;2!;
이때 0Éh<2p이므로
;6Ò;ÉhÉ;6%; p
h y
y=sin`h 1
2 p
6 5
6p
2p O
따라서 a=;6Ò;, b=;6%; p이므로 4b-2a=4_;6%; p-2_;6Ò;
=3p
①
43
O p
12
x y
y=sin`x
p6 5 p6
sin`x=;2!;(0ÉxÉp)이므로 x=;6ÒÒ; 또는 x=;6%; p
따라서 모든 해의 합은
;6ÒÒ;+;6%; p=p
②
44
방정식 |cos`x+;4!;|=k가 서로 다른 3개의 실근을 가지려면 함 수 y=|cos`x+;4!;|의 그래프와 직선 y=k가 서로 다른 세 점에 서 만나야 한다.
0Éx<2p에서 함수 y=|cos`x+;4!;|의 그래프는 다음 그림과 같다.
x y
y=k
O 2p
cos`x+
y=
|
41|
43 45
43
-p
따라서 직선 y=k와의 교점이 3개이려면 k=;4#;
이어야 한다.
즉, a=;4#;이므로 40a=40_;4#;=30
30
45
2
'3`sin`{x+;3Ò;}-;8&;=0에서 sin`{x+;3Ò;}= 7'316
t=x+;3Ò; 라 하면 ;3Ò;ÉtÉ;3&;p 7'3
16 <'3
2 이므로 주어진 방정식은 sin`t= 7'316
방정식 sin`t= 7'316 {;3Ò;ÉtÉ;3&;p}는 두 실근 tÁ, tª(tÁ<tª)를 갖 는다.
O t
y
y=sin`t tÁ
y=7''13 16
p p 2p
3 tª 7 p3
'132
tÁ=xÁ+;3Ò;, tª=xª+;3Ò; (xÁ, xª는 실수)라 하면 tª=2p+(p-tÁ)이므로
tÁ+tª={xÁ+;3Ò;}+{xª+;3Ò;}=3p
방정식 sin`{x+;3Ò;}= 7'316 의 모든 실근의 합은 xÁ+xª=3p-;3@;p=;3&;p
따라서 p=3, q=7이므로 p+q=10
10
해_028~046 수Ⅰ-2단원-ok.indd 35 2020-12-16 오후 7:38:47
36●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ
46
삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 7이므로 사인법칙에 의 하여
BCÓ
sin`;3Ò;=2_7
BCÓ=7'3 yy ㉠ 한편, ABÓ`:`ACÓ=3`:`1이므로 ACÓ=k (k>0)이라 하면 ABÓ=3k 이때
BCÓ=¾¨ABÓ Û`+ACÓ Û`-2 ABÓ_ACÓ_cos`;3Ò;
=¾¨9kÛ`+kÛ`-2_3k_k_;2!;
="7kÛ`
='7 k yy ㉡
㉠과 ㉡에서 7'3='7 k k='¶21 따라서 ACÓ=k='¶21
②
47
사인법칙에 의하여 BCÓ
sin`;4Ò;=2_5이므로 BCÓ=2_5_sin`;4Ò;
=2_5_ '22
=5'2
⑤
48
삼각형 ABD에서 코사인법칙에 의하여 cos`A=6Û`+6Û`-('15)Û`
2_6_6
=;7%2&;
이므로 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 BCÓÛ`=ABÓÛ`+CAÓÛ`-2_ABÓ_CAÓ_cos`A
=6Û`+10Û`-2_6_10_;7%2&;
=36+100-95=41
따라서 BCÓ='41
⑤
49
aÛ`=8Û`+7Û`-2_8_7_cos`120ù=169 이때 a>0이므로
a=13
13
50
∠ADB=∠ACB=30ù
△ABD에서 사인법칙에 의하여 sin`45ù =ADÓ 16'2
sin`30ù 따라서 ADÓ=16'2_ '2
2 _2=32
32
51
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
5
sin`;6Ò;=2R 따라서 R=5
⑤
52
삼각형 ABC에서 사인법칙에 의해 sin`B =2_15ACÓ
따라서
ACÓ=30_sin`B=30_;1¦0;=21
21
53
∠C=120ù이므로 사인법칙에 의하여
sin`45ù =BCÓ 8 sin`120ù 따라서
BCÓ= 8 '32
_ '22
= 8'63
③