112
두 점 A(k, logª`k), B(k, -logª (8-k))에 대하여 ABÓ=2이 므로
|logª`k+logª (8-k)|=2
|logª`k (8-k)|=2
logª`k(8-k)=-2 또는 logª`k(8-k)=2 Ú logª`k(8-k)=-2일 때
k(8-k)=;4!;, 4kÛ`-32k+1=0 이때 0<k<8이므로
k=8-3'7
2 또는 k=8+3'7
2 Û logª`k(8-k)=2일 때
k(8-k)=4, kÛ`-8k+4=0 이때 0<k<8이므로
k=4-2'3 또는 k=4+2'3 Ú, Û에서 모든 실수 k의 값의 곱은
8-3'7
2 _8+3'7
2 _(4-2'3)_(4+2'3)=;4!;_4=1
②
113
{;9!;}x<321-4x에서 3-2x<321-4x -2x<21-4x 2x<21 x<;;ª2Á;;
따라서 자연수 x는 1, 2, y, 10이므로 그 개수는 10이다.
⑤
부등식에의 활용 유형 7
114
log2 (xÛ`-7x)-log2 (x+5)É1의 진수 조건에서 -5<x<0 또는 x>7 yy ㉠ log2 (xÛ`-7x)Élog2 2(x+5)이므로
xÛ`-7xÉ2x+10, xÛ`-9x-10É0
(x-10)(x+1)É0, -1ÉxÉ10 yy ㉡
㉠, ㉡에서 -1Éx<0 또는 7<xÉ10 따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 -1, 8, 9, 10이므로 그 합은 26이다.
③
115
27 9Å`= 3Ü`
3Û`Å`=3Ü`ÑÛ`Å` 이므로 주어진 부등식은 3Ü`ÑÛ`Å`¾3Å` Ñá`
밑이 1보다 크므로 3-2x¾x-9 3xÉ12, 즉 xÉ4
따라서 부등식을 만족시키는 자연수는 1, 2, 3, 4이므로 모든 자연 수 x의 개수는 4이다.
④
116
부등식 {;2!;}x-5¾4에서
{;2!;}x-5¾{;2!;}-2
밑이 0보다 크고 1보다 작으므로 x-5É-2
에서 xÉ3
따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 1, 2, 3이므로 그 합은
1+2+3=6
6
117
로그의 진수 조건에 의하여 x>0 yy ㉠ 부등식 logª`xÉ2에서 logª`xÉlogª`4
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22●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ 밑이 1보다 크므로 xÉ4 yy ㉡
㉠, ㉡에서 0<xÉ4
따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 1, 2, 3, 4로 그 개수는 4 이다.
④
118
로그의 진수 조건에 의해
nÛ`-9n+18>0, (n-6)(n-3)>0 n<3 또는 n>6 yy ㉠ logÁ¥`(nÛ`-9n+18)<1에서 nÛ`-9n+18<18이므로 nÛ`-9n<0, n(n-9)<0 0<n<9 yy ㉡
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 n의 값의 범위는 0<n<3 또는 6<n<9
이를 만족시키는 자연수는 1, 2, 7, 8이므로 구하는 모든 자연수 n의 값의 합은 1+2+7+8=18
⑤
119
로그의 진수 조건에서 x-1>0, 4x-7>0
이므로 x>;4&; yy`㉠
부등식 log£`(x-1)+log£`(4x-7)É3에서 log£`(x-1)(4x-7)Élog£`3Ü`
밑이 1보다 크므로 (x-1)(4x-7)É27
4xÛ`-11x-20É0, (x-4)(4x+5)É0 -;4%;ÉxÉ4 yy`㉡
㉠, ㉡에서 ;4&;<xÉ4
따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 2, 3, 4이므로 정수 x의 개 수는 3이다.
③
120
부등식 3Å` ÑÝ`É;9!; 에서 3Å` ÑÝ`É3ÑÛ`
밑이 1보다 크므로
x-4É-2 에서 xÉ2
따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 1, 2이므로 그 합은 1+2=3
3
121
2logª`|x-1|É1-logª`;2!;
2logª`|x-1|É1-(-1) 2logª`|x-1|É2 logª`|x-1|É1 logª`|x-1|Élogª`2 0<|x-1|É2
이때 x가 정수이므로 |x-1|도 정수이다. 즉,
|x-1|=1 또는 |x-1|=2 x-1=-1 또는 x-1=1 또는 x-1=-2 또는 x-1=2 따라서 정수 x의 값은 -1, 0, 2, 3
이고 그 개수는 4이다.
②
122
로그의 진수 조건에서 x-1>0, ;2!;x+k>0 이므로 x>1 yy ㉠ log°`(x-1)Élog°`{;2!;x+k}에서
x-1É;2!;x+k
;2!;xÉk+1
즉, xÉ2(k+1) yy ㉡
㉠, ㉡에서 1<xÉ2(k+1)이고, 모든 정수 x의 개수가 3이므로 2(k+1)-1=2k+1=3
따라서 k=1
①
123
일차함수 f(x)에 대하여 y=f(x)의 그래프의 기울기를 a라 하면 a>0이고 f(-5)=0이므로
f(x)=a(x+5) (a>0)
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정답과 풀이 ●23
지수함수와로그함수
로 놓을 수 있다.
Ⅰ
2 f(x)É8에서 2 f(x)É2Ü`
밑이 1보다 크므로 f(x)É3
즉, a(x+5)É3이고 a>0이므로 x+5É;a#;
xÉ;a#;-5
이때 주어진 부등식의 해가 xÉ-4이므로
;a#;-5=-4에서
;a#;=1, a=3
따라서 f(x)=3(x+5)이므로 f(0)=15
15
124
logª`(xÛ`-1)+logª`3É5에서 로그의 진수 조건에 의하여
xÛ`-1>0, xÛ`>1 yy ㉠ logª`(xÛ`-1)+logª`3É5에서 logª`(xÛ`-1)Élogª`:£3ª:
로그의 밑이 1보다 크므로
xÛ`-1É`:£3ª:, xÛ`É`:£3°: yy ㉡
㉠, ㉡을 만족시키는 정수 x는 -3, -2, 2, 3
이므로 정수 x의 개수는 4이다.
④
125
로그의 진수 조건에 의하여 x-2>0, x>2 yy`㉠
부등식 logª`(x-2)<2에서 logª`(x-2)<logª`2Û`
밑이 1보다 크므로
x-2<2Û`, 즉 x<6 yy`㉡
㉠, ㉡에서 2<x<6
따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 3, 4, 5이므로 그 합은 3+4+5=12
12
126
{;2!;} f(x)g(x)¾{;8!;} g(x)에서
{;2!;} f(x)g(x)¾{;2!;} 3g(x) f(x)g(x)É3g(x) { f(x)-3}g(x)É0
Ú f(x)-3¾0, g(x)É0인 경우 주어진 그래프에서
f(x)¾3이므로 xÉ1 또는 x¾5 yy ㉠ g(x)É0이므로 xÉ3 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 xÉ1
Û f(x)-3É0, g(x)¾0인 경우 주어진 그래프에서
f(x)É3이므로 1ÉxÉ5 yy ㉢ g(x)¾0이므로 x¾3 yy ㉣ ㉢, ㉣에서 3ÉxÉ5
따라서 조건을 만족시키는 모든 자연수 x는 1, 3, 4, 5이므로 구하 는 합은
1+3+4+5=13
④
127
로그의 진수 조건에서
f(x)>0이므로 0<x<7 yy ㉠ x-1>0이므로 x>1 yy ㉡
㉠, ㉡에서 1<x<7 yy ㉢ log£` f(x)+log ;3!;`(x-1)É0에서
log£` f(x)-log£ (x-1)É0, log£` f(x)Élog£ (x-1) f(x)Éx-1
그러므로 ㉢과 주어진 그래프에서 4Éx<7
따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x의 값은 4, 5, 6이고 그 합은 4+5+6=15
15
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24●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ
128
신호 전송 범위 d와 수신 신호 강도 R 사이의 관계를 나타낸 그래 프에서
d=1일 때, R=-35이므로 -35=k-10 log`1Ç`
즉, k=-35
d=10일 때, R=-55이므로 -55=-35-10 log`10Ç`
10n=-35+55=20 즉, n=2
그러므로 R=-35-10 log`dÛ`에서 수신 신호 강도가 -65일 때 -65=-35-10 log`dÛ`
20 log`d=-35+65=30 log`d=;2#;
즉, d=10;2#;
따라서 신호 전송 범위는 10;2#;
④
129
a>0에서 0<2-;a@;<1 즉, 1-2-;a@;>0이므로
Q(4)
Q(2)=Q¼{1-2-;a$;}
Q¼{1-2-;a@;}=1-{2-;a@;}Û`
1-2-;a@;
={1-2-;a@;}{1+2-;a@;}
1-2-;a@; =1+2-;a@;
Q(4)
Q(2)=;2#;에서 1+2-;a@;=;2#;
2-;a@;=;2!;=2ÑÚ`
-;a@;=-1 따라서 a=2
②
다른 풀이 치환을 이용한 풀이 Q(4)
Q(2)=;2#;에서 2Q(4)=3Q(2) 2Q¼{1-2-;a$;}=3Q¼{1-2-;a@;}