고 새로운 구조와 패턴을 만드는 학문이다. 예를 들어, 날씨 예보의 정확도를 높이고, 유전체 데이 터베이스를 통해 맞춤형 의료서비스를 구현하며, 휴대폰 통화내용을 암호화하는 데에도 모두 수학 이 사용된다. 영국의 공학및물리과학연구협의회 (Engineering and Physical Sciences Research Council, EPSRC) 보고서에 따르면, 수학은 물리, 인공지능, 동물학, 스포츠 등 22개 분야에 영향을 준다. 미래에 대한 불확실성이 커질수록 변화의 패 턴을 찾고 예측하기 위해 수학의 중요성은 더욱 강 조될 것이다.
수학은 대수학, 기하학, 해석학 등 세부 분야별 로도 발전해 나가는 한편, 이들을 종합적으로 활용 하여 세상의 모든 움직임을 수치화·정형화하고 이 를 분석하여 구조와 패턴을 만들고 예측하는 수학 적 모델링이 향후 폭넓게 활용될 것이다. 예를 들 어, COVID-19와 같은 바이러스의 확산 패턴 분석 과 예측에도 수학적 모델링이 필요하다.
수학은 미래의 핵심기술인 인공지능을 효과적으 로 활용하기 위해서도 반드시 필요하다. 예를 들어, 인공지능의 학습에 사용되는 데이터와 계산 결과는 모두 벡터(vector)와 행렬(matrix)로 표현된다. 벡 터와 행렬은 다차원 공간에서 데이터를 체계적으로 표현하는 방법이다. 또한, 인공지능의 학습 과정에
서 수학의 미분과 적분 개념이 사용된다. 따라서 인 공지능의 작동 원리를 이해하고 그 알고리즘을 개 발하기 위해서는 수학의 역할이 필수적이다.
전통적인 수학 난제에 대한 도전도 지속적으로 이루어져야 한다. 특히, 미국 클레이수학연구소가 2000년에 선정한 7대 밀레니엄 수학 난제, 즉 ① P-NP 문제, ② 리만 가설, ③ 양-밀스 이론과 질량 간극 가설, ④ 나비에-스토크스 방정식의 해의 존 재와 매끄러움, ⑤ 호지 추측, ⑥ 버츠와 스위너톤-다이어 추측, ⑦ 푸앵카레 정리 등에 대한 도전은, 비록 그 과정이 어렵더라도 의미 있는 작업이다.[211]
이러한 난제 풀이의 성과는 수학의 발전에 어떤 형 태로든 기여하게 되고 우리 실생활이나 산업 발전 에도 활용된다. 예를 들어, ‘나비에-스토크스 방정
식의 해의 존재와 매끄러움’ 난제에서 나비에-스토 크스 방정식은 물, 공기, 가스와 같은 유체에 작용 하는 힘과 운동량의 변화를 기술하는 편미분 방정 식이고, 이 방정식의 해가 3차원에 존재하는지를 밝히는 것이 난제이다. 지금까지는 컴퓨터 계산을 통해 정확한 해는 아니지만 충분히 근사한 해를 구 할 수 있었는데, 이 근사해만으로도 항공기와 자동 차의 설계, 기상 예측 등을 발전시켜 왔다. 향후 난 제가 풀려 방정식의 정확한 해를 구하게 된다면 공 기저항을 줄이도록 항공기나 자동차를 설계할 수 있고, 구름이나 태풍 등의 기상 흐름을 더 정밀하게 측정할 수 있을 것이다.
난제 개요
① P-NP 문제
“알고 보면 풀기 쉬운 문제(NP)가 답을 알기 전에도 쉬운 문제(P)인지를 증명하라.”라는 문제이다.
여기서 P는 1 더하기 1처럼 보기만 해도 바로 풀리는 쉬운 문제를 말한다. 반면에, NP의 예로는
“1147을 두 개의 소수의 곱으로 표현하라.”라는 문제가 있는데, 이 문제는 답을 모르는 상태에서는 풀기 어렵지만, 두 소수의 곱 31×37이 1147이라는 답을 안다면 풀기 쉬운 문제이다.
② 리만가설 소수의 분포에 관한 추측으로, 3, 5, 7 등 1과 자신으로만 나눌 수 있는 소수들은 단순히 보면 불규칙적으로 등장하는 것 같지만, 일정한 등장 패턴이 존재할 수 있음을 증명하는 가설이다.
③ 양-밀스 이론과 질량간극 가설
양자물리학에서 나온 양-밀스 이론과 질량 간극가설을 수학적으로 증명하는 문제이다. 양-밀스 이론은 양성자를 구성하는 쿼크와 글루온이 각각 질량이 없음을 설명해야 하는데, 이 둘이 모인 양성자는 질량이 있는 모순이 생겨, 이에 대한 수학적 증명을 필요로 하는 것이다.
④ 나비에-스토크스 방정식 해의 존재와 매끄러움
나비에 스토크스 방정식은 물처럼 흐르는 유체의 움직임을 나타나는 편미분 방정식으로, 이 방정식의 해(solution)가 3차원에서 존재하는지에 대해 아직 밝혀지지 않았다. 이를 해결하게 되면, 3차원 공간에서 유체의 움직임, 즉 구름이나 태풍의 경로, 해류의 흐름 등 자연환경의 운동을 설명하고 예측할 수 있게 된다.
⑤ 호지 추측 일반적인 용어로 적절하게 설명하기는 어렵지만, 어떤 대상체도 모두 기하학 조각의 조합이라는 사실 을 증명하라는 문제이다.
⑥ 버츠와 스위너톤- 다이어 추측
역시 일반적인 용어로 적절하게 설명하기는 어렵지만, 타원곡선을 유리수로 정의하는 방정식이 유한 개의 유리수 해를 가지는지 무한 개의 해를 가지는지 알 수 있는 간단한 방법을 구하라는 문제이다.
⑦ 푸앵카레 정리
3차원의 두 물체가 특정 성질을 공유한다면 두 물체는 같은 것인지를 증명하는 문제이다. 단순화하여 표현하면, 가운데 구멍이 뚫린 도넛과 손잡이가 있는 머그컵은 구멍이 뚫린 성질을 공유하기 때문에 위상수학 측면에서 같은 물질(위상동형)이라는 증명을 하는 것이다.
밀레니엄 7대 수학 난제의 개요
[참고 3] 과학기술 도전과제가 해결된 미래 모습: 2045년 미래사회 시나리오
과학기술은 연결과 확장을 통해 발전하며 인류가 직면한 도전과제를 해결함으로써 미래에 많은 변화를 만들 것 으로 기대된다. 이하에서는 과학기술이 변화시킬 미래사회의 모습을 인간, 공간, 환경 측면에서 예상해 본다.
2045년 미래사회 시나리오
인간의 능동적 삶을 지원하는 과학기술
생명과학과 지능정보기술이 접목되면서 암과 치매를 포함한 난치성 질환에 대한 예방과 치료의 길이 열 렸다. 특히, 21세기 초반부터 주기적으로 나타나기 시작한 감염병 팬데믹(pandemic) 현상은 다양한 종류 의 백신 개발을 촉진하였다. 이와 같은 의료기술의 비약적 발전은 인류의 건강수명 증가에 커다란 기여를 하였으나, 동시에 의료기술 혜택의 양극화라는 사회적 문제도 유발하였다. 특히, 의료보험 혜택이 적용되 지 않는 유전자 편집 기술의 발전은 상위 극소수의 계층에게만 활용되고 있다. 이러한 유전자 편집을 통해 난치병 치료, 노화 지연 등의 신체적 이점을 부유 계층이 독점하게 되고, 이것이 후대에까지 이어질지 모른 다는 우려를 낳고 있다.
그러나 이러한 부작용에도 불구하고, 의료기술의 비약적 발전은 인간의 삶을 보다 능동적으로 변화시 켰다. 노화로 쇠퇴한 치아나 뼈, 피부, 혈액, 장기 등을 교체하는 기술의 적용 범위가 크게 확대되어 많은 사람들이 신체의 일부가 노화되거나 손상을 입으면 새것으로 교체하고 있다. 물론 의료보험이 적용되어 큰 비용은 들지 않는다. 뇌에 칩을 이식하거나 뇌를 기계로 자극해서 기억과 판단력, 상실된 언어능력을 회복 하고 정서까지 조절하는 기술을 통해 나이가 들어도 젊을 때와 같은 정신 상태를 유지할 수 있다. 고령자 의 세포 수명을 신생아 상태로 되돌리는 기술도 개발되었으나, 여전히 생명윤리 논란이 있어서 상용화될 수 있을지는 미지수다.
건강수명이 획기적으로 증가하면서 인간의 활동 범위는 ‘나이’라는 굴레로부터 일정 부분 해방되었다.
2045년 현재 65세 이상이 고령자라는 등식은 더 이상 성립되지 않고, 고령이라는 이유로 차별을 받거나 활 동에 제약을 받는 일도 사라졌다. 고령자라 해서 운전면허를 반납할 필요도 없고, 높은 보험료를 낼 필요도 없다. 21세기 초반에 우려했던 고령화의 재앙은 이제 옛이야기가 되었다. 나이가 들어도 젊을 때의 정신과 신체적 기능을 유지하는 경우가 많아지면서, ‘노령(老齡)’ 대신 ‘장생(長生)’이라는 개념이 보편화되었다.
인간이 건강을 유지하며 오래 살게 되면서 교육, 직업, 결혼 및 출산, 은퇴라는 생애주기가 적어도 한 번
이상은 반복되는 순환 과정으로 변하고 있다. 먼저, 교육은 평생교육을 넘어 일정 기간 동안의 주기적인 집 중 교육과 학습이 일반화되었다. 직장도 마찬가지다. 20대 중후반에 처음 취직을 하고 60세 전후에 은퇴를 하는 20세기 시스템은 더 이상 유효하지 않다. 많은 사람들이 은퇴 이후에도 일정 기간의 집중적인 재교육 을 통해 새로운 직종과 직장을 찾고 있다. 특히, 지능화된 기계와의 협업이 보편화되면서 생산성은 20년 전 에 비해 3배 이상으로 증가했다. 여가와 소비문화의 경우 과거보다 연령대별 차이가 줄어들고 있다. 젊은 이들은 근무시간이 단축되면서 주말이 아니더라도 여가 활동에 많은 시간을 쓰고 있고, 노인들은 은퇴 시 점이 늦어지고 평생교육에 힘쓰고 있기 때문이다. 한편, 장생 시대가 도래하고 개인의 자율성이 강화되어 재혼은 이전처럼 선택이 아니라 매우 보편적인 현상이 되고 있으며, 70세가 넘어서도 출산과 양육을 하는 부부들이 늘고 있다.
정보통신 기술이 발전하면서 사람 간의 소통이나 사회관계가 크게 달라지고 있다. 가상·증강현실 기술 이 발전하여 현실이 아닌 가상세계에서 전 세계 어느 곳으로든 여행을 떠나고, 현실에서 가기 어려운 우주 공간을 경험하기도 한다. 사람들은 서로 대면하지 않고도 현실감 넘치는 소통을 할 수 있고, 마을마다 설치 된 스마트워크센터에서는 현실과 구별이 어려울 정도의 홀로그램 영상과 가상현실이 구현됨으로써 노인이 나 장애인, 아동 등 사회적 약자가 굳이 멀리 이동하지 않고도 원하는 장소 어디서나 사회활동을 하고 원 격업무를 해낼 수 있다. 또한, 뇌파통신 기술로 인해 뇌와 기계를 연결하여 컴퓨터를 통해 뇌파 신호를 읽 고 해석하는 기술이 개발됨에 따라 사람들은 별다른 동작 없이 생각만으로 기계를 움직일 수 있게 되었다.
이 기술은 다양한 분야에 접목되었고, 지금은 부모가 어린 아이의 생각을 읽거나 동물과의 간단한 소통을 하는 것까지 가능하게 되었다. 한편, 부작용도 있어서 부모들은 자녀의 스마트폰 중독뿐 아니라 가상·증강 현실 중독을 염려하고 있고, 가상과 현실 세계를 구분하지 못하는 이들이 늘어나면서 사회적으로 문제가 되기도 한다.
공간의 한계를 극복하는 과학기술