04. 복소수
36~37쪽
Ⅱ
● ● ● 개념확인● ● ●
01 실수 : -2, 2+'3 허수 : 3-2i, 5i 02 ⑴ 2-3i ⑵ 3+'2i ⑶ 3 ⑷ i 03 ⑴ x=2, y=2 ⑵ x=2, y=-1
04 ⑴ 5-4i ⑵ -1-2i ⑶ 3-11i ⑷ ;1ª0;-;1¶0; i 05 ⑴ -i ⑵ i ⑶ -i ⑷ 0
06 ⑴ 3'2i ⑵ (3-2'3)i 07 ⑴ 4i ⑵ -4 ⑶ -2i ⑷ 2
01 a+bi (`a, b는 실수)의 꼴에서 b=0이면 실수, b+0이면 허수이 므로 -2, 2+'3은 실수이고 3-2i, 5i는 허수이다.
02 ⑴ 2+”3i”=2-3i
⑵ √3-'≈2Ωi =3+'2i
⑶ 3Æ=3
⑷ -ÚiÆ=i
03 ⑴ x+(y-1)i=2+i에서 x, y-1이 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
x=2, y-1=1 ∴ x=2, y=2
⑵ (2x+3y)+(x+y)i=1+i에서 2x+3y, x+y가 실수이 므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
2x+3y=1, x+y=1
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-1
04 ⑴ (2-3i)+(3-i)=2+3-(3+1)i=5-4i
⑵ (2-3i)-(3-i)=(2-3)+(-3+1)i=-1-2i
⑶ (2-3i)(3-i)=6-2i-9i-3=3-11i
⑷ = = =;1ª0;-;1¶0; i
05 ⑴ i⁄ ⁄ =i4_2+3=-i
⑵ (-i)‡ =-i‡ =-i4_1+3=i
⑶ -ifi =-i4_1+1=-i
⑷ 1+i+i¤ +i‹ =1+i+(-1)+(-i)=0
06 ⑴ '∂-2+'∂-8='2i+'8i
⑴ '∂-2+'∂-8='2i+2'2i=3'2i
⑵ '∂-3+'∂-9-'ß-27
⑴='3i+'9i-'2å7i
⑴='3i+3i-3'3i=(3-2'3)i 9-7i
9+1 (2-3i)(3+i)
(3-i)(3+i) 2-3i
3-i
핵심유형
1
z가 실수가 되려면 허수부분이 0이어야 하므로 x¤ -1=0, (x+1)(x-1)=0∴ x=-1 또는 x=1
즉, a=-1, b=1 또는 a=1, b=-1 z가 순허수가 되려면 실수부분이 0이어야 하므로
x¤ +2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
그런데 x=1이면 허수부분도 0이 되어 z=0으로 실수가 되므로 순허수가 되려면 x=-3이어야 한다.
∴ c=-3
∴ a+b+c=1+(-1)+(-3)=-3
1-1 z=(x+1)(x-2)+(x+1)(x-1)i가 순허수가 되려면 실수부분이 0이어야 하므로
(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
그런데 x=-1이면 허수부분도 0이 되어 z=0으로 실수가 되므로 순허수가 되려면 x=2이어야 한다.
1-2 (1+2i)x+(1-i)y=5-2i에서 (x+y)+(2x-y)i=5-2i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
x+y=5, 2x-y=-2
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=4
1-3 z=åz이므로 z는 실수이다.
38~39쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
07 ⑴ '2_'∂-8='2_'8i='1å6i=4i
⑵ '∂-2_'∂-8='2i'8i='1å6i¤ =-4
⑶ = = ¥ ='4¥(-i)=-2i
⑷ = ='8='4=2 '2
'8i '2i '∂-8 '∂-2
1 '8 i '2 '8 '2i '8 '∂-2
핵심유형 1 -3
1-12 1-2② 1-3-3, 0
핵심유형 2 ①
2-1⑴ 4+4i ⑵ 0 ⑶ -i ⑷ -1 2-2x=6, y=8 2-35
핵심유형 3 ⑴ 9+2i ⑵ 1
3-1② 3-21 3-33
핵심유형 4 ①
4-1⑴ -6i ⑵ -1 ⑶ -'3i ⑷ '3-'3i
4-21 4-3y+2z
즉, z=(x-1)+(x¤ +x-2)i에서 허수부분이 0이어야
a+b=3, b-a=1
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2
⑵ 2x=1-'3i에서 2x-1=-'3i
⑵양변을 제곱하여 정리하면
4a¤ -4a+1=-1, 4a¤ -4a+2=0
∴ 2a¤ -2a+1=0
∴ f(a)=2a‹ -4a¤ +3a+2
∴ f(a)=a(2a¤ -2a+1)-2a¤ +2a+2
∴ f(a)=a(2a¤ -2a+1)-(2a¤ -2a+1)+3
∴ f(a)=3 (∵ 2a¤ -2a+1=0)
핵심유형
4
a<0에서 -a>0이므로= =i
= = ¥ = =-i
4-1 ⑴ '∂-2'∂-3'∂-6='2i'3i'6i='2'3'6i‹
='ƒ2¥3¥6¥(-i)=-6i
⑵ '∂-2Æ-˚;2!;='2iÆ;2!; i='2Æ;2!; i¤ =-1
⑶ 2'∂-3-'ƒ-27=2'3i-'∂27i
=(2'3-3'3)i=-'3i
23
04.복소수
x-3<0, x-2æ0
∴ "√(x-3)¤ +"√(x-2)¤ =-(x-3)+(x-2)
=1
4-3 'x'y=-'∂xy이므로 x<0, y<0 y<0이고 =æ≠ 이므로 z<0
∴ x<0, y<0, z<0
이때 x+y<0, y+z<0, x+y+z<0이므로
|x+y|-|y+z|-"√(x+y+z)¤
=-(x+y)+(y+z)+(x+y+z)
=-x-y+y+z+x+y+z
=y+2z z 'z y 'y
01 z=a+bi(`a, b는 실수)라 하면
① zÆÆ=≈ßa+bi=a-bi”=a+bi=z (참)
② -z”=ç-(a+bi)=-a”-b”iÆ
② -z=-a+bi=-(a-bi)=-zÆ (참)
③ z가 실수이면 b=0이므로 z=a이다.
③zÆ=aÆ=a=z (참)
④ z가 순허수이면 a=0이고 b+0이므로 z=bi이다.
③zÆ=bi Ú=-bi=-z (참)
⑤ zzÆ=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤
③a¤ +b¤ æ0이므로 음의 실수인 경우는 존재하지 않는다. (거짓)
02 zÆ=z이므로 z는 실수이다.
즉, z=(2a+3)+(3a-2)i에서 허수부분이 0이어야 하므로 3a-2=0 ∴ a=;3@;
03 주어진 식을 정리하면
(2x-y+5)+(3x-2y)i=(x+2y)+(-3x+y)i 이므로 2x-y+5=x+2y, 3x-2y=-3x+y 즉, x-3y+5=0, 6x-3y=0
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2
∴ x+y=3
04 z+zÆ=0을 만족시키는 복소수 z(+0)는 순허수이므로 z=(i-2)x¤ -3xi-4i+32
z=-2x¤ +32+(x¤ -3x-4)i 에서
40~41쪽
● ● ● 기출문제로내신대비하기● ● ●
01 ⑤ 02 ④ 03 ⑤ 04 ①
05 2-4i 06 ⑤ 07 ① 08 ①
09 1-3i 10 ③ 11 5i 12 ①
13 ③ 14 6 15 1
-2x¤ +32=0이고 x¤ -3x-4+0 이어야 한다.
-2x¤ +32=0에서 x¤ =16 x=4 또는 x=-4 yy ㉠ x¤ -3x-4+0에서 (x+1)(x-4)+0
x+-1, x+4 yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족하는 실수 x의 값은
x=-4
05 (준식)=3-6i-i+2i¤ +
(준식)=1-7i+
(준식)=1-7i+1+3i=2-4i
06 åz=1-2i이므로
2z+åz=2(1+2i)+(1-2i)
=2+4i+1-2i
=3+2i
07 z=a+bi(`a, b는 실수, b+0)라 하면 z(z-2)=(a+bi)(a-2+bi)
=a(a-2)-b¤ +(2ab-2b)i 이 값이 실수이어야 하므로
2ab-2b=0, 2b(a-1)=0
∴ a=1(∵ b+0)
한편 zåz=6이므로 (a+bi)(a-bi)=6 a¤ +b¤ =6
a=1을 대입하면 1+b¤ =6 ∴ b¤ =5
∴ z(z-2)=a(a-2)-b¤
=1¥(1-2)-5=-6
08 åa-åb=3-2i에서 ƒa-b=3-2i이므로 a-b=3+2i
åa åb=2+5i에서 ƒab=2+5i이므로 ab=2-5i
∴ (a-2)(b+2)=ab+2a-2b-4
=ab+2(a-b)-4
=2-5i+2(3+2i)-4
=4-i
09 z¡åz¡=3에서 z¡= 이므로 =
z™åz™=3에서 z™= 이므로 =
∴ + = + = =
∴ + = =3-9i=1-3i ƒ3+9i 3
3
ƒz¡+z™
åz¡+åz™ 3 åz™ 3
åz¡ 3 3 1 z™
1 z¡
åz™3 1 z™
3 åz™
åz¡3 1 z¡
3 åz¡
2+6i 2
(4+2i)(1+i) (1-i)(1+i)
10 i(1-i)« 이 음의 정수가 되기 위해서는
(1-i)« =ai(`단, a>0인 실수)의 꼴이어야 한다.
(1-i)⁄ =1-i (1-i)¤ =-2i (1-i)‹ =-2-2i (1-i)› =-4 (1-i)fi =-4+4i (1-i)fl =8i (1-i)‡ =8+8i (1-i)° =16 (1-i)· =16(1-i) y
이므로 n=6, 14, 22, y일 때 (1-i)« 은 ai의 꼴이 된다.
따라서 i(1-i)« 이 음의 정수가 되도록 하는 자연수 n의 값이 될 수 있는 것은 ③ 22이다.
11 (준식)=
-(준식)= i- ¥ (준식)=2i-3(-i)=5i
12 a<0, b<0이므로 a=-x, b=-y라 하면 x>0, y>0이다.
① (좌변)="(√-x)√¤ (-çy)Ω¤ ="xç¤ y¤ =xy
③(우변)=(-x)(-y)=xy
③ ∴ "aç¤ b¤ =ab
② (좌변)="(ç-x)(-yΩ)='xåy='x'y
③(우변)='∂-x'∂-yi='xi'yi¥i
③ (우변)='x'yi‹ =-'x'yi
③ ∴ 'aåb+'a'bi
③ (좌변)="ç-(-x)(Ω-y)='∂-xåy='x'yi
③(우변)='∂-x '∂-yi='xi'yi¥i
③ (우변)='x'yi‹ =-'x'yi
③ ∴ 'å-ab+'a'bi
④ (좌변)=-x'∂-y=-x'yi
③(우변)="(√-x)√¤ (-≈yΩ)="x≈¤ yi
③ (우변)="xΩ¤ 'yi=x'yi
③ ∴ a'b+"a≈¤ b
⑤ (좌변)=
=-③(우변)=Ƭ =Ƭ =Ƭ i= i
③ ∴ +Ƭ
13 =-Ƭ 이므로 a<0, b>0 a=-a'(a'>0)이라 하면
"a+"ç-b="ç-a '+"ç-b="ça 'i+"bi
=("ça'+"b )i 이므로 "a+"ç-b의 켤레복소수는
-("ça'+"b )i=-"ça'i-"bi
=-"ç-a'-"ç-b
=-"a-"ç-b b
a 'b
'a
b 'b a¤
a
'yx y x¤
-y x¤
-y (-x)¤
'yix 'å-y-x
i i '2å7 '3i '2'6
'3
'2å7 '3i '2i_'6i
'3i
14 z=(x¤ -3x+2)+(x¤ -4x+3)i z=(x-1)(x-2)+(x-1)(x-3)i
⁄z¤ æ0인 것은 z가 실수라는 뜻이다.
따라서 x=1 또는 x=3일 때이다. yy ❶
¤z¤ <0인 것은 z가 순허수라는 뜻이다.
따라서 x=2일 때이다. yy ❷
⁄, ¤에서 조건을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 합은
1+2+3=6 yy ❸
15 =a라 하면
a¤ ={ }¤= =-i,
a› =(a¤ )¤ =(-i)¤ =-1 yy ❶
∴ a+a¤ +a‹ +a› +afi +afl +a‡ +a°
=(a+a¤ +a‹ +a› )+a› (a+a¤ +a‹ +a› )
=(a+a¤ +a‹ +a› )-(a+a¤ +a‹ +a› )=0 yy ❷
∴ f(a)=a¤ ‚ ‚ fi +a¤ ‚ ‚ fl +a¤ ‚ ‚ ‡ +y+a¤ ‚ ⁄ ° +a¤ ‚ ⁄ ·
=a¤ ‚ ‚ › (a+a¤ +y+a° )
+a¤ ‚ ⁄ ¤ (a+a¤ +y+a° )-a¤ ‚ ¤ ‚
∴ f(a)=-a¤ ‚ ¤ ‚ =-(a› )fi ‚ fi =-(-1)fi ‚ fi =1 yy ❸ -2i
2 1-i
'2 1-i
'2
채점 기준 배점
❶ z¤ æ0을 만족시키는 실수 x의 값 구하기
❷ z¤ <0을 만족시키는 실수 x의 값 구하기
❸ 조건을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 합 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
❶ 1-i=a라 할 때, a¤ , a› 의 값 구하기 '2
❷ a+a¤ +a‹ +y+a° 의 값 구하기
❸ f {1-i}의 값 구하기 '2
30 % 30 % 40 %
05. 이차방정식
42~43쪽
● ● ●개념확인● ● ●
01 ⑴ 풀이 참조 ⑵ x=-1 02 ⑴ x=—2i
⑵ x= ⑶ x=1—i ⑷ x=
⑸ x= ⑹ x=
03 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근 ⑶ 서로 다른 두 허근 04 ⑴ k<1 ⑵ k=1 ⑶ k>1
05 ⑴ 합：;3$;, 곱：-;3%; ⑵ 합：2, 곱：0 ⑶ 합：0, 곱：4
⑷ 합：6, 곱：;5$;
06 ⑴ x¤ -x-6=0 ⑵ x¤ -2x+2=0
07 ⑴ (x-'3)(x+'3) ⑵ (x-1-2i)(x-1+2i) -2—'2i
1—'∂59i 6 6
2—'22 -1—'∂17
2
25
05.이차방정식
01 ⑴ (a¤ -1)x=a+1에서 (a+1)(a-1)x=a+1
⑴⁄a+-1, a+1이면 x= =
⑴¤a=-1이면 0¥x=0이므로 해가 무수히 많다.
⑴‹a=1이면 0¥x=2이므로 해가 없다.
⑵ |x-1|=2x+4에서
⑴⁄x<1이면 x-1<0이므로 주어진 방정식은 -(x-1)=2x+4
-3x=3 ∴ x=-1
⑴¤xæ1이면 x-1æ0이므로 주어진 방정식은 x-1=2x+4
-x=5 ∴ x=-5
⑴ ¤그런데 xæ1이므로 성립하지 않는다.
⑴⁄, ¤에 의하여 x=-1
02 ⑴ x¤ +4=0에서 x¤ =-4
⑴ ∴ x=—'∂-4=—2i
⑵ x¤ +x-4=0에서
⑴ x= =
⑶ x¤ -2x+2=0에서
⑴ x=1—'∂1-2=1—'∂-1=1—i
⑷ 2x¤ -4x+1=0에서
⑴ x= =
⑸ 3x¤ -x+5=0에서
⑴ x= = =
⑹ 6x¤ +4x+1=0에서
⑴ x= = =
03 ⑴ x¤ +2x-1=0에서
⑴ D=4-4_(-1)=8>0
⑴따라서 서로 다른 두 실근을 가진다.
⑵ x¤ +2x+1=0에서
⑴ D=4-4=0
⑴따라서 중근(서로 같은 두 실근)을 가진다.
⑶ x¤ +x+1=0에서
⑴ D=1-4=-3<0
⑴따라서 서로 다른 두 허근을 가진다.
04 이차방정식 x¤ -2x+k=0의 판별식을 D라 하면
=1-k
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지므로 D>0이어야 한다 .
⑴ =1-k>0 ∴ k<1
⑵ 중근을 가지므로 D=0이어야 한다.
⑴ D=1-k=0 ∴ k=1 4
D 4 D
4
-2—'2i 6 -2—'∂-2
6 -2—'∂4-6
6
1—'∂59i 6 1—'∂-59
6 1—'∂1-60
6
2—'2 2 2—'∂4-2
2
-1—'∂17 2 -1—'∂1+16
2
1 a-1 a+1
(a+1)(a-1)
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지므로 D<0이어야 한다 .
⑴ =1-k<0 ∴ k>1
05 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면
⑴ 3x¤ -4x-5=0에서
⑴ a+b=;3$;, ab=-;3%;
⑵ x¤ -2x=0에서
⑴ a+b=2, ab=0
⑶ x¤ +4=0에서
⑴ a+b=0, ab=4
⑷ ;2!;x¤ -3x+;5@;=0에서 양변에 10을 곱하면
⑴ 5x¤ -30x+4=0
⑴ ∴ a+b=6, ab=;5$;
06 ⑴ 두 근이 3, -2이고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 x¤ -(3-2)x+3_(-2)=0
∴ x¤ -x-6=0
⑵ 두 근이 1-i, 1+i이고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 x¤ -(1-i+1+i)x+(1-i)(1+i)=0
∴ x¤ -2x+2=0
07 ⑴ x¤ -3=0에서 x¤ =3이므로 x=—'3
⑴ ∴ x¤ -3=(x-'3)(x+'3)
⑵ x¤ -2x+5=0에서 x=1—'∂-4=1—2i
⑴ ∴ x¤ -2x+5={x-(1+2i)}{x-(1-2i)}
=(x-1-2i)(x-1+2i) D
4
44~45쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
핵심유형 1 ⑴ x=-2a 또는 x=b ⑵ x=-1 또는 x=3
⑶ x=-3 또는 x=3
1-14 1-2⑴ x=2 ⑵ x=0 또는 x=3
1-3⑴ x=-2a 또는 x=4a ⑵ x=-a 또는 x=-a+b
⑶ x=0 또는 x=2 ⑷ x=-6 또는 x=6
핵심유형 2 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ a>1이면 서로 다른 두 실근, a=1이면 중근, a<1이면 서로 다른 두 허근
2-1⑴ 실근 ⑵ 중근 또는 서로 다른 두 허근 2-2-12 2-3a=-;2!;, b=;4!;
핵심유형 3 7
3-1⑴ -2 ⑵ -10 ⑶ 2 ⑷ ;3@; ⑸ -;3@; ⑹ -:¡3º:
3-2⑴ x¤ -x-6=0 ⑵ x¤ +2=0
⑶ x¤ +2x+9=0 ⑷ x¤ +8=0 3-3x¤ -12x+36=0
핵심유형
1
⑴ 방정식을 인수분해하면 (x+2a)(x-b)=0 x+2a=0 또는 x-b=0∴ x=-2a 또는 x=b
⑵ |x+1|+|x-1|=x+3에서
¤⁄x<-1일 때, x+1<0, x-1<0이므로 -(x+1)-(x-1)=x+3
-2x=x+3, -3x=3 ∴ x=-1 그런데 x<-1이므로 성립하지 않는다.
¤¤-1…x<1일 때, x+1æ0, x-1<0이므로 (x+1)-(x-1)=x+3
2=x+3 ∴ x=-1
¤‹xæ1일 때, x+1>0, x-1æ0이므로 (x+1)+(x-1)=x+3 2x=x+3 ∴ x=3
¤⁄, ¤, ‹에 의하여 x=-1 또는 x=3
⑶ x¤ -|x|-6=0에서
¤⁄x<0일 때,
¤ ¤ x¤ +x-6=0, (x+3)(x-2)=0
¤ ¤ ∴ x=-3 또는 x=2
¤ ¤그런데 x<0이므로 x=-3
¤¤xæ0일 때,
x¤ -x-6=0, (x-3)(x+2)=0
∴ x=3 또는 x=-2
¤ ¤그런데 xæ0이므로 x=3
¤⁄, ¤에 의하여 x=-3 또는 x=3 [다른 해설]
x¤ =|x|¤ 이므로 x¤ -|x|-6=0에서
|x|¤ -|x|-6=0 (|x|-3)(|x|+2)=0
∴ |x|=3 또는 |x|=-2 그런데 |x|=-2는 성립하지 않으므로
|x|=3 (∵ |x|æ0)
∴ x=—3
1-1 a¤ x+2=a+4x에서 a¤ x-4x=a-2 (a¤ -4)x=a-2, (a+2)(a-2)x=a-2
⁄ 해가 무수히 많으려면 0¥x=0의 꼴이어야 하므로 a=2
¤ 해가 없으려면 0¥x=(상수)의 꼴이어야 하므로 a=-2
⁄, ¤에서 구하는 a의 값의 차는 2-(-2)=4이다.
1-2 ⑴ 2x-|x-3|=x+1에서
핵심유형 4 0, 12
4-1;2!;, 8 4-2-13, 5 4-3a=-2, b=-1
⑴⁄x<3일 때, x-3<0이므로 2x+(x-3)=x+1 2x=4 ∴ x=2
⑴¤xæ3일 때, x-3æ0이므로 2x-(x-3)=x+1, 0¥x=-2
∴ 해가 없다.
⑴⁄, ¤에 의하여 x=2
⑵ |x-1|+|x-2|=3에서
⑴⁄x<1일 때, x-1<0, x-2<0이므로 -(x-1)-(x-2)=3
-2x=0 ∴ x=0
⑴¤1…x<2일 때, x-1æ0, x-2<0이므로 (x-1)-(x-2)=3, 0¥x=2
∴ 해가 없다.
⑴‹xæ2일 때, x-1>0, x-2æ0이므로 (x-1)+(x-2)=3
2x=6 ∴ x=3
⑴⁄, ¤, ‹에 의하여 x=0 또는 x=3
1-3 ⑴ x¤ -2ax-8a¤ =0에서
⑴ (x+2a)(x-4a)=0
⑴ ∴ x=-2a 또는 x=4a
⑵ x¤ +(2a-b)x+a(a-b)=0에서
⑴ (x+a)(x+a-b)=0
⑴ ∴ x=-a 또는 x=-a+b
⑶ (x-1)¤ +|x-1|-2=0에서
¤⁄x<1일 때,
¤ ¤ (x-1)¤ -(x-1)-2=0
¤ ¤ x¤ -3x=0, x(x-3)=0
¤ ¤ ∴ x=0 또는 x=3
¤ ¤그런데 x<1이므로 x=0
¤¤xæ1일 때,
(x-1)¤ +(x-1)-2=0
¤ ¤ x¤ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0
¤ ¤ ∴ x=-1 또는 x=2
¤ ¤그런데 xæ1이므로 x=2
¤⁄, ¤에 의하여 x=0 또는 x=2 [다른 해설]
(x-1)¤ +|x-1|-2=0에서
|x-1|¤ +|x-1|-2=0
|x-1|=t(tæ0)라 하면
t¤ +t-2=0, (t+2)(t-1)=0 (|x-1|+2)(|x-1|-1)=0
∴ |x-1|=1 (∵ |x-1|æ0) x-1=—1이므로 x=0 또는 x=2
⑷ x¤ -4|x|-12=0에서
¤⁄x<0일 때,
¤ ¤ x¤ +4x-12=0, (x+6)(x-2)=0
27
05.이차방정식
¤ ¤ ∴ x=-6 또는 x=2
¤ ¤그런데 x<0이므로 x=-6
¤¤xæ0일 때,
x¤ -4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
¤ ¤그런데 xæ0이므로 x=6
¤⁄, ¤에 의하여 x=-6 또는 x=6 [다른 해설]
x¤ -4|x|-12=0에서
|x|¤ -4|x|-12=0 (|x|-6)(|x|+2)=0
∴ |x|=6 (∵ |x|æ0)
∴ x=—6
핵심유형
2
⑴ x¤ +ax+a-2=0에서 판별식을 D라 하면⑴ D=a¤ -4(a-2)=a¤ -4a+8=(a-2)¤ +4>0
⑴따라서 서로 다른 두 실근을 가진다.
⑵ x¤ +2x-a+2=0에서 판별식을 D라 하면
⑴ =1-(-a+2)=a-1
⑴⁄a>1이면 >0이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.
⑴¤a=1이면 =0이므로 중근(서로 같은 두 실근)을
⑴ ¤가진다.
⑴‹a<1이면 <0이므로 서로 다른 두 허근을 가진다.
2-1 ⑴ x¤ -mx-m¤ =0에서 판별식을 D라 하면
⑴ D=m¤ -4(-m¤ )=5m¤ æ0
⑴이므로 실근을 가진다.
⑵ x¤ +'3mx+m¤ =0에서 판별식을 D라 하면
⑴ D=3m¤ -4m¤ =-m¤ …0
⑴이므로 중근 또는 서로 다른 두 허근을 가진다.
2-2 kx¤ -3kx+2k-3=0에서 판별식을 D라 하면 D=9k¤ -4k(2k-3)=0
k¤ +12k=0, k(k+12)=0
∴ k=-12 (∵ k+0)
2-3 x¤ -2(k+a)x+(k¤ -k+b)=0에서 판별식을 D라 하면 D=0이 k에 대한 항등식이다.
=(k+a)¤ -(k¤ -k+b)
=(2a+1)k+a¤ -b=0 이 식이 k에 대한 항등식이므로
2a+1=0, a¤ -b=0
이를 연립하여 풀면 a=-;2!;, b=;4!;
D 4
D 4 D
4 D 4 D
4
핵심유형
3
x¤ -3x+5=0에서 a+b=3, ab=5이므로a+b, ab를 두 근으로 하는 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 x¤ -(a+b+ab)x+(a+b)ab=0
x¤ -(3+5)x+3¥5=0 x¤ -8x+15=0
따라서 이 식이 x¤ +mx+n=0이므로 m=-8, n=15 ∴ m+n=7
3-1 x¤ -2x+3=0에서 a+b=2, ab=3
⑴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=2¤ -2¥3=-2
⑵ a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)
⑵ a‹ +b‹=2‹ -3¥3¥2=-10
⑶ afi +bfi =(a¤ +b¤ )(a‹ +b‹ )-a¤ b¤ (a+b)
⑶ afi +bfi=(-2)¥(-10)-3¤ ¥2=2
⑷ + = =
⑸ + = =
=-⑹ + = =
=-3-2 x¤ +2x+3=0에서 a+b=-2, ab=3
⑴ (a+b)+(ab)=-2+3=1
⑴(a+b)(ab)=(-2)¥3=-6
⑴a+b, ab를 두 근으로 하는 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
⑴ x¤ -{(a+b)+(ab)}x+(a+b)(ab)=0
⑴ ∴ x¤ -x-6=0
⑵ (a+1)+(b+1)=a+b+2=-2+2=0
⑴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=3-2+1=2
⑴a+1, b+1을 두 근으로 하는 x¤ 의 계수가 1인 이차방 정식은
⑴ x¤ -{(a+1)+(b+1)}x+(a+1)(b+1)=0
⑴ ∴ x¤ +2=0
⑶ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=(-2)¤ -2¥3=-2
⑴a¤ b¤ =(ab)¤ =9
⑴a¤ , b¤ 을 두 근으로 하는 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
⑴ x¤ -(a¤ +b¤ )x+a¤ b¤ =0
⑴ ∴ x¤ +2x+9=0
⑷ (a¤ +1)+(b¤ +1)=(a¤ +b¤ )+2=(-2)+2=0
⑴(a¤ +1)(b¤ +1)=a¤ b¤ +a¤ +b¤ +1
=9+(-2)+1=8
⑴a¤ +1, b¤ +1을 두 근으로 하는 x¤ 의 계수가 1인 이차방 정식은
⑴ x¤ -{(a¤ +1)+(b¤ +1)}x+(a¤ +1)(b¤ +1)=0
⑴ ∴ x¤ +8=0
3-3 x¤ -6x+1=0에서 a+b=6, ab=1 10 3 -10
3 a‹ +b‹
ab a¤
b b¤
a
2 3 -2
3 a¤ +b¤
ab a b b a
2 3 a+b
ab 1 b 1 a
a+ , b+ 을 두 근으로 하는 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
x¤ -{a+ +b+ } x+{a+ } {b+ }=0 x¤ -{a+b+ } x+ab+ + =0
x¤ -{6+ }x+1+ + =0
x¤ -12x+2+36-2=0
∴ x¤ -12x+36=0
핵심유형
4
x¤ -(k-2)x+2k=0의 두 근을 a, a+2로 놓으면 a+(a+2)=k-2 yy ㉠a(a+2)=2k yy ㉡
㉠에서 a= 를 ㉡에 대입하면
{ +2}=2k k¤ -12k=0, k(k-12)=0
∴ k=0 또는 k=12
4-1 x¤ -(k+2)x+3k=0의 두 근을 2a, 3a로 놓으면 2a+3a=k+2 yy ㉠
2a¥3a=3k yy ㉡
㉠에서 a= 를 ㉡에 대입하면 6_{ }¤ =3k
2k¤ -17k+8=0, (2k-1)(k-8)=0
∴ k=;2!; 또는 k=8
4-2 x¤ -(k+4)x+18=0의 두 근을 a, 2a로 놓으면 a+2a=k+4 yy ㉠
a¥2a=18 yy ㉡
㉡에서 2a¤ =18, a¤ =9
∴ a=-3 또는 a=3
⁄ a=-3일 때, ㉠에서 k=-13
¤ a=3일 때, ㉠에서 k=5
따라서 ⁄, ¤에 의하여 k=-13 또는 k=5
4-3 x=1+'2를 x¤ +ax+b=0에 대입하면 (1+'2)¤ +a(1+'2)+b=0 (3+2'2)+(a+a'2)+b=0 (3+a+b)+(2+a)'2=0 3+a+b, 2+a가 유리수이므로
3+a+b=0, 2+a=0
∴ a=-2, b=-1 [다른 해설]
주어진 이차방정식의 계수가 유리수이고 1+'2가 근이므로 k+2
5 k+2
5 k-4
2 k-4
2 k-4
2
(a+b)¤ -2ab 1 1
1 6
1
a¤ +b¤
ab 1
ab a+b
ab
1 b 1 a 1
b 1
a 1 b 1 a
46~47쪽
● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ●
01 (a-1)(a+5)x=a-8x+3에서 (a¤ +4a-5)x+8x=a+3 (a¤ +4a+3)x=a+3
∴ (a+1)(a+3)x=a+3
⁄a=-1일 때, 0¥x=2 ∴ 해가 없다
¤a=-3일 때, 0¥x=0 ∴ 해는 모든 수
‹a+-1, a+-3일 때, x=
따라서 해가 모든 수인 경우는 a=-3일 때이다.
02 ||x-2|-3|=4에서
⁄x<2일 때, x-2<0이므로
|-(x-2)-3|=4, |-x-1|=4
|x+1|=4
⁄㉠ x<-1이면 x+1<0이므로 -(x+1)=4 ∴ x=-5
⁄㉡ -1…x<2이면 x+1æ0이므로 x+1=4 ∴ x=3
⁄ 그런데 -1…x<2이므로 성립하지 않는다.
¤xæ2일 때, x-2æ0이므로
|x-2-3|=4, |x-5|=4
⁄㉢ 2…x<5이면 x-5<0이므로 -(x-5)=4 ∴ x=1
그런데 2…x<5이므로 성립하지 않는다.
⁄㉣ xæ5이면 x-5æ0이므로 x-5=4 ∴ x=9
⁄, ¤에 의하여 x=-5 또는 x=9 따라서 모든 근의 합은 -5+9=4이다.
[다른 해설]
||x-2|-3|=4에서
|x-2|-3=4 또는 |x-2|-3=-4
|x-2|=7 또는 |x-2|=-1 그런데 |x-2|æ0이므로
|x-2|=7
1 a+1 1-'2도 근이다.
근과 계수의 관계에 의하여
(1+'2)+(1-'2)=-a ∴ a=-2 (1+'2)(1-'2)=b ∴ b=-1
01 ④ 02 ③ 03 x=-2 또는 x=-3
04 ③ 05 12 06 ① 07 ⑤
08 서로 다른 두 실근 09 ④ 10 -2
11 ② 12 m=-3, 나머지 한 근：4 13 13 14 25 15 45
29
05.이차방정식
x-2=7 또는 x-2=-7
∴ x=9 또는 x=-5
따라서 모든 근의 합은 9+(-5)=4이다.
03 a≠b=a+b+ab이므로 (x≠x)+(2≠x)+4=0에서
x+x+x¤ +2+x+2x+4=0 x¤ +5x+6=0
(x+2)(x+3)=0
∴ x=-2 또는 x=-3
04 이차방정식 x¤ +2ax-3a=0의 판별식을 D라 하면 중근을 가질 조건은
=a¤ -(-3a)=0
a¤ +3a=0에서 a=0 또는 a=-3
따라서 모든 실수 a의 값의 합은 0+(-3)=-3이다.
05 x¤ -(k-4)x+k-1이 완전제곱식이 되려면 판별식을 D라 할 때 D=(k-4)¤ -4(k-1)=0이어야 한다.
k¤ -12k+20=0에서 (k-2)(k-10)=0
∴ k=2 또는 k=10
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 2+10=12이다.
06 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 중근을 가지므로 D=0이어야 한다. 즉,
=(k-a)¤ -(k¤ -2k+a-b+1)=0 k¤ -2ak+a¤ -k¤ +2k-a+b-1=0 (2-2a)k+a¤ -a+b-1=0 이때 k의 값에 관계없이 등식이 성립하므로
2-2a=0, a¤ -a+b-1=0 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1
∴ a+b=2
07 (k-6)x¤ -8x+k=0에서
⁄k=6일 때, -8x+6=0에서 x=;4#;으로 하나의 실근을 갖
⁄는다.
¤k+6일 때, 이차방정식 (k-6)x¤ -8x+k=0이 하나의 실 근을 가지려면 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 D=0이어야 한다. 즉,
¤ =(-4)¤ -(k-6)k=0, k¤ -6k-16=0
¤ (k+2)(k-8)=0 ∴ k=-2 또는 k=8
⁄, ¤에 의하여 하나의 실근을 갖도록 하는 k의 값은 -2, 6, 8 이므로 그 합은 -2+6+8=12이다 .
08 (a+c)x¤ -2bx+a-c=0 yy ㉠ 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
D 4 D
4 D
4
=b¤ -(a+c)(a-c)=b¤ +c¤ -a¤
a, b, c를 세 변의 길이로 하는 삼각형이 예각삼각형이므로 b¤ +c¤ >a¤ ∴ b¤ +c¤ -a¤ >0
따라서 =b¤ +c¤ -a¤ >0이므로 이차방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
09 x¤ -5x+1=0에서 a+b=5, ab=1
a¤ +b¤ +5(a+b)=(a+b)¤ -2ab+5(a+b)
=25-2+25=48
10 2x¤ +xy-y¤ +3y+k=0을 x에 대한 이차방정식이라 하면 근의 공식으로부터
x=
x=
이때 D¡=9y¤ -24y-8k라 하면 주어진 식은
{x- } {x- }
로 인수분해된다. 이 식이 두 일차식으로 곱이기 위해서는
"≈D¡이 일차식이 되어야 하므로 D¡이 완전제곱식이 되어야 한 다.
즉, y에 대한 이차방정식 D¡=9y¤ -24y-8k=0이 중근을 가 져야 한다. 이 이차방정식의 판별식을 D™라 하면
=12¤ +9¥8k=0 ∴ k=-2
11 조건 ㈎, ㈏에 의하여 c, d는 서로 다른 100 이하의 자연수이면 서, 소수의 제곱수이어야 하므로 4, 9, 25, 49 중 하나이다.
이차방정식 x¤ -ax+b=0의 두 근이 c, d이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a=c+d, b=cd
이고 a, b도 서로 다른 100 이하의 자연수이므로
⁄c=4, d=9 또는 c=9, d=4일 때, (a, b)=(13, 36)
¤c=4, d=25 또는 c=25, d=4일 때, (a, b)=(29, 100)
따라서 조건을 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 2개이다.
12 x¤ +mx+3m+5=0의 한 근이 -1이므로 1-m+3m+5=0 ∴ m=-3 m=-3을 방정식에 대입하면
x¤ -3x-4=0, (x-4)(x+1)=0
∴ x=4 또는 x=-1 따라서 나머지 한 근은 4이다.
13 이차방정식 x¤ +(1-3m)x+2m¤ -4m-7=0의 두 근을 a, b라 하면 두 근의 차가 4이므로
D™
4
-y-"≈D¡
4 -y+"≈D¡
4
-y—"√9y¤ -24y-8k 4
-y—"√y¤ -8(-y¤ +3y+k) 4
D 4 D
4
|a-b|=4
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=3m-1, ab=2m¤ -4m-7 yy ㉠ 이때, (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=16이므로
(3m-1)¤ -4(2m¤ -4m-7)=16 (∵ ㉠) 9m¤ -6m+1-8m¤ +16m+28=16 m¤ +10m+29=16
∴ m¤ +10m+13=0
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 실수 m의 모든 값의 곱은 13 이다.
14 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-p, ab=q yy ❶
|a-b|=2의 양변을 제곱하면 (a-b)¤ =4, a¤ +b¤ -2ab=4
10-2q=4 ∴ q=3 yy ❷
한편 a¤ +b¤ =10에서 (a+b)¤ -2ab=10이므로
p¤ -2q=10 ∴ p¤ =10+2q=16 yy ❸
∴ p¤ +q¤ =16+3¤ =25 yy ❹
15 이차방정식의 계수가 실수이고 한 근이 3-ai이므로 다른 한 근
은 3+ai이다. yy ❶
근과 계수의 관계에 의하여
(3-ai)+(3+ai)=-2a에서 a=-3 (3-ai)(3+ai)=3b에서 9+a¤ =3b
9+(-3)¤ =3b ∴ b=6 yy ❷
∴ a¤ +b¤ =(-3)¤ +6¤ =45 yy ❸
[다른 해설]
3-ai가 이차방정식 x¤ +2ax+3b=0의 한 근이므로 (3-ai)¤ +2a(3-ai)+3b=0
(9-6ai-a¤ )+(6a-2a¤ i)+3b=0
(9-a¤ +6a+3b)+(-6a-2a¤ )i=0 yy ❶ a, b가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
9-a¤ +6a+3b=0 yy ㉠, -6a-2a¤ =0 yy ㉡
㉡에서 -2a(a+3)=0 ∴ a=-3 ( ∵ a+0) 이것을 ㉠에 대입하면
9-(-3)¤ +6¥(-3)+3b=0
채점 기준 배점
❶ 근과 계수의 관계 나타내기
❷|a-b|=2의 양변을 제곱하여 q의 값 구하기
❹ p¤ +q¤ 의 값 구하기
❸(a+b)¤ -2ab=a¤ +b¤임을 이용하여 p¤ 의 값 구하기
20 % 30 % 30 % 20 %
-18+3b=0 ∴ b=6 yy ❷
∴ a¤ +b¤ =(-3)¤ +6¤ =45 yy ❸
채점 기준 배점
❶ 다른 한 근이 3+ai임을 알아내기
❷ 근과 계수의 관계를 이용하여 a, b의 값 구하기
❸ a¤ +b¤ 의 값 구하기
❸ a¤ +b¤ 의 값 구하기