ㄴ. + =-1-1=-2 (참)
ㄷ. x4n+(x+1)4n+1 ㄷ. =x4n+(-x¤ )4n+1 ㄷ. =(x› )« +(x8)n+1 ㄷ. =(x‹ x)« +(x‹ x‹ x¤ )« +1 ㄷ. =x« +x2n+1=x2n+x« +1 ㄷ. ⁄n=3k(k=1, 2, 3, y)이면
x6k+x3k+1=1+1+1=3 ㄷ. ¤n=3k+1(k=0, 1, 2, y)이면
x6k+2+x3k+1+1=x2+x+1=0 ㄷ. ‹n=3k+2(k=0, 1, 2, y)이면
x6k+4+x3k+2+1=x4+x2+1=x+x2+1=0 ㄷ. ⁄, ¤, ‹으로부터 x4n+(x+1)4n+1=0을 만족시키는
양의 정수는 3의 배수를 제외한 정수임을 알 수 있다.
ㄷ. 30 이하의 양의 정수 중 3의 배수는 10개이므로 식을 만족 시키는 정수 n의 개수는 30-10=20(개) (참)
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
`
`
xÆ -xÆ x¤
-x2 xÆ
1+xÆ2 x¤
1+x
121 4
121 4
B A
09. 평면좌표
76`~77쪽
01 ⑴ AB”=|1-(-5)|=6
⑵ BC”=|4-1|=3
⑶ CA”=|-5-4|=9
02 ⑴ AB”="√(4-√1)¤ √+(2√+2)¤ ='∂25=5
⑵ CD”="√5¤ +√(-2)¤ ='∂29
03 ⑴ 점 P의 좌표를 x라 하면
⁄
⁄ x= =4 ∴ P(4)
⑵ 점 M의 좌표를 x라 하면
⁄
⁄ x= =3 ∴ M(3)
⑶ 점 Q¡의 좌표를 x라 하면
⁄
⁄ x= =12 ∴ Q¡(12)
⑷ 점 Q™의 좌표를 x라 하면
⁄
⁄ x= =-6 ∴ Q™(-6)
04 A(5, -3), B(-3, 5)이므로
⑴ 점 M의 좌표를 (x, y)라 하면
⑵ x= =1, y= =1 ∴ M(1, 1)
⑵ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
⑵ x= =0,
⑵ y= =2
⑵ ∴ P(0, 2)
⑶ 점 Q¡의 좌표를 (x, y)라 하면
⑵ x=5_(-3)-3_5=-15, 5-3
5_5+3_(-3) 5+3 5_(-3)+3_5
5+3
-3+5 2 5-3
2
1_6-2_0 1-2 x
Q™ B
0 6
1 A2 2_6-1_0
2-1 x
A Q¡
0 6
2 1 B 0+6 2
x
A M B
0 6
1 1
2_6+1_0 2+1
A P B
0 x 6
2 1
● ● ●개념확인● ● ●
01 ⑴ 6 ⑵ 3 ⑶ 9 02 ⑴ 5 ⑵ '∂29 03 ⑴ P(4) ⑵ M(3) ⑶ Q¡(12) ⑷ Q™(-6)
04 ⑴ M(1, 1) ⑵ P(0, 2) ⑶ Q¡(-15, 17) ⑷ Q™(17, -15)
도형의 방정식
Ⅲ
⑵ y= =17
⑵ ∴ Q¡(-15, 17)
⑷ 점 Q™의 좌표를 (x, y)라 하면
⑵ x= =17,
⑵ y= =-15
⑵ ∴ Q™(17, -15) 3_5-5_(-3)
3-5 3_(-3)-5_5
3-5 5_5-3_(-3)
5-3
핵심유형
1
오른쪽 그림에서 직선 y=x 위의 점을 P(a, a)로 놓으면AP”=BP”이므로
"√(a-√3)¤ +a¤
="√(a-√1)¤ √+(a√+2)¤
양변을 제곱하여 정리하면
8a=4 ∴ a=;2!; ∴ P{;2!;, ;2!;}
1-1 삼각형의 세 변의 길이를 구해 보면
AB”="√(-3√-1)√¤ +(√-2√-1)¤ ='∂25=5 BC”="√(4+√3)¤ √+(√-3√+2)¤ ='∂50=5'2 CA”="√(1-√4)¤ √+(√1+3)¤ ='∂25=5 따라서 AB”=CA”, AB”¤ +CA”¤ =BC”¤ 이므로
△ABC는 BC”가 빗변인 직각이등변삼각형이다.
x y
O
A{1,`1}
C{4,`-3}
B{-3,`-2}
x y
O
A{3,`0}
B{1,`-2}
P{a,`a}
y=x 78`~79쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
핵심유형 1 {;2!;, ;2!;}
1-1③ 1-2P(-2, 0), Q(0, 2) 1-3 '∂10 1-4(2, -2)
핵심유형 2 ②
2-15 2-2④
핵심유형 3 ②
3-1M(-12, 14) 3-26 3-30<m<;2!;
핵심유형 4 C(8, 9)
4-1(2, -1) 4-2a=3, b=3 4-3B(8, 5), C(10, 15), D(4, 11)
1-2
x축 위의 점을 P(a, 0)이라 하면 AP”=BP”이므로
"√(a+√1)¤ √+4¤ ="√(a-√2)¤ +1¤
양변을 제곱하여 정리하면 6a=-12 ∴ a=-2
∴ P(-2, 0)
y축 위의 점을 Q(0, b)라 하면 AQ”=BQ”이므로
"√1¤ +√(b-4)¤ ="√2¤ +√(b-1)¤
양변을 제곱하여 정리하면 12=6b ∴ b=2
∴ Q(0, 2)
1-3 AP”+BP”가 최소가 되려면 점 P가 선분 AB” 위에 있어야 하고, 이때의 최솟값은 AB”의 길이와 같다.
∴ AP”+BP”
∴æAB”
∴="√(4-1)¤ +√(2-3)¤ ='∂10
1-4 삼각형 ABC의 외심을 P(x, y)라 하면 PA”=PB”=PC”이므로
PA”¤ =PB”¤ =PC”¤
PA”¤ =PB”¤ 에서
(x-1)¤ +y¤ =(x-3)¤ +(y+4)¤
4x-8y=24 ∴ x-2y=6 yy ㉠ PA”¤ =PC”¤ 에서
(x-1)¤ +y¤ =(x-4)¤ +(y+1)¤
6x-2y=16 ∴ 3x-y=8 yy ㉡
㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 x=2, y=-2
∴ P(2, -2)
핵심유형
2
점 C가 선분 AB를 5 : 2로 외분하는 점이므로 점 A는 선분 BC를 3 : 5로 외분하는 점이고, 점 B는 선분 AC를 3 : 2로 내분하는 점이다.
2-1 두 점 A(-3), B(5)에 대하여 선분 AB의 중점 M의 좌 표를 x¡이라 하면
x¡= =1 ∴ M(1)
선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점 N의 좌표를 x™라 하면 -3+5
2
A B C
5
3 2
y y=2x
O x
B A P
1 2 3
4 B{2,`1}
2 1 A{-1,`4}
x y
O Q{0,`b}
P{a,`0}
59
09.평면좌표
3a-3=12, 3a=15 ∴ a=5
∴ a+b=6
3-3 m>0, 1-m>0이므로 0<m<1 yy㉠
선분 AB를 m : (1-m)으로 내분하는 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
x= =-10m+5,
y= =-2m+3
점 P가 제`1`사분면 위의 점이므로 -10m+5>0, -2m+3>0
∴ m<;2!; yy ㉡
A{2,`1} D{e,`f}
C{c,`d}
B{a,`b} N{9,`10}
M{5,`3}
PQ”="√(15√+1)√¤ +(√13-1)¤ ='∂400=20
3-1 두 점 A(4, -2), B(-3, 5)에 대하여 선분 AB를 4 : 3 21+3b=6(3+b) yy ㉡
㉡`에서 21+3b=18+6b, -3b=-3 ∴ b=1
‹따라서 c=10, d=15이므로 C(10, 15)
‹ 사각형 ABCD가 평행사변형이므로 AC”의 중점과 BD”
의 중점은 같다. 즉,
‹ = , =
‹따라서 e=4, `f=11이므로 D(4, 11) 5+f
2 1+15
2 8+e
2 2+10
2
01 "√(a+2)¤ +(3-ç5)¤ =10의 양변을 제곱하면 a¤ +4a+8=100, a¤ +4a-92=0 yy ㉠ 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=2¤ +92>0이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
따라서 구하는 모든 실수 a의 값의 합은 이차방정식 ㉠`의 근과 계수의 관계에 의하여 -4이다.
02 "√x¤ +y¤ +"√(x-√3)¤ √+(√y+4)¤ 은 점 (x, y)에서 원점 (0, 0)과 점 (3, -4)에 이르는 거리의 합이다.
따라서 최솟값은 두 점 (0, 0), (3, -4) 사이의 거리이다.
∴ "√3¤ +√(-4)¤ =5
03 점 C의 좌표를 (x, y)라 하면 AC”=AB”에서 AC”¤ =AB”¤ 이므로
(x-1)¤ +(y+2)¤ =(-2-1)¤ +(1+2)¤
x¤ +y¤ -2x+4y-13=0 yy ㉠ BC”=AB”에서 BC”¤ =AB”¤ 이므로
(x+2)¤ +(y-1)¤ =(-2-1)¤ +(1+2)¤
x¤ +y¤ +4x-2y-13=0 yy ㉡
㉡-`㉠을 하면 6x-6y=0 ∴ y=x 이것을 ㉡`에 대입하면
x¤ +x¤ +4x-2x-13=0 2x¤ +2x-13=0
∴ x= =-;2!;—
∴ C{-;2!;+ , -;2!;+ } 또는
∴C{-;2!;- , -;2!;- }
따라서 p+q의 값은 -1+3'3 또는 -1-3'3이다.
3'32 3'32
3'32 3'32
3'32 -1—'ƒ1+26
2 D
4
80`~81쪽
● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ●
01 -4 02 5 03 -1—3'ß3 04 P{;2&;, ;2&;}
05 외심의 좌표：(2, 0), R='∂29
06 (-1+'ß3, 1-'ß3 ), (-1-'ß3, 1+'ß3 )
07 9 08 ⑤ 09 -3 10 56
11 D(1, -1) 12 D(1, 1) 13 150분 14 풀이 참조 15 풀이 참조
04 점 P의 좌표를 (a, a)라 하면
AP”¤ +BP”¤ =(a-1)¤ +(a-5)¤ +(a-3)¤ +(a-5)¤
=4a¤ -28a+60 AP¤ ”+BP¤ ”=4{a-;2&;}2 +11
따라서 AP”¤ +BP”¤ 은 a=;2&;일 때, 최솟값 11을 가지므로 P{;2&;, ;2&;}
05
삼각형 ABC의 외심을 P(x, y)라 하면 AP”=BP”=CP”=R(외접원의 반지름)이므로
R="√(x+√3)¤ √+(√y-2)¤
R="√x¤ +√(y+ç5)¤
R="√(x√-4)√¤ +(√y-5)¤
"√(x√+3)¤√ +(√y-2)¤ ="√x¤ +√(y+ç5)¤ 의 양변을 제곱하여 정리 하면 3x-7y=6 yy ㉠
"√x¤ +√(y+ç5)¤ ="√(x-√4)¤ √+(y√-5)¤ 의 양변을 제곱하여 정리 하면 2x+5y=4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=0이므로 외심의 좌표는 P(2, 0)
또한 외접원의 반지름의 길이는 BP”="√2¤ +5¤ ='∂29=R
06 A(a, -a)라 하면 AB”¤ =BC”¤ 이므로
(-a)¤ +(2+a)¤ =2¤ +(-2)¤
2a¤ +4a-4=0 a¤ +2a-2=0
∴ a=-1—'3
∴ A(-1+'3, 1-'3 ) 또는 A(-1-'3, 1+'3 )
07 오른쪽 그림과 같이 정사각형 ABCD가 내접하도록 정사각형 OPQR를 그리면
P(a, 0), Q(a, d), R(0, d)
△OAD≡△PBA
≡△QCB≡△RDC
이므로 AO”=BP”=CQ”=DR”, AP”=BQ”=CR”=DO”
∴ b=p, c=q, a=p+q, d=p+q 네 식을 변끼리 더하면
a+b+c+d=3(p+q)
11+16=3(p+q) (∵ a+b=11, c+d=16) 3(p+q)=27
∴ p+q=9
y
O A{p, 0} P{a, 0}x D{0, q}
R{0, d} C{c, d}
Q{a, d}
B{a, b}
y=-x y
O x A {a, -` a}
C{2, 0}
A B{0, 2}
A{-3,`2}
B{0,`-5}
C{4,`5}
P{x,`y}
R
61
"√(10√-2t√)¤ +√(-√5+2t)¤ …5 양변을 제곱하여 정리하면
2t¤ -15t+25…0,` (t-5)(2t-5)…0
∴ ;2%;…t…5
∴ x£<x™<x¡
09 P{ , }, 즉 P(1, 4) y=bxy=ax
O x
01 ⑴ 점 (1, -2)를 지나고 기울기가 -3인 직선의 방정식은 y+2=-3(x-1)
∴ y=-3x+1
⑵ x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45˘이므로 기울기는 tan 45˘=1이다.
따라서 기울기가 1이고 y절편이 3인 직선의 방정식은 y=x+3
⑶ 점 (3, -5)를 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은 y=-5
02 ⑴ 두 점 (1, 3), (4, 7)을 지나는 직선의 기울기는
⑴ =;3$;이므로 직선의 방정식은
⑴ y-3=;3$;(x-1) ∴ y=;3$;x+;3%;
⑵ 두 점 (3, 0), (0, 2)는 각각 x축, y축 위의 점이므로 두 점을 지나는 직선의 방정식은
⑴ + =1 ∴ y=-;3@;x+2
⑶ x절편이 -2이고 y절편이 3인 직선의 방정식은
⑴ + =1 ∴ y=;2#;x+3
⑷ 두 점 (2, -1), (2, 4)의 x좌표가 같으므로 두 점을 지나는 직선의 방정식은 x=2
03 기울기가 같고 y절편이 다른 직선은 서로 평행하다. 주어진 직 선들의 기울기와 y절편을 각각 구하면
ㄱ. -2, 7 ㄴ. -;2!;, ;6%;
ㄷ. -;2!;, -;2#; ㄹ. -2, -4
따라서 평행한 직선끼리 짝지으면 ㄱ과 ㄹ, ㄴ과 ㄷ이다.
04 ⑴ 직선 y=x+3과 수직인 직선의 기울기는 -1이므로 구하는 직선의 방정식은
y+2=-(x-3) ∴ y=-x+1
⑵ x+2y-3=0에서 y=-;2!;x+;2#;이므로
⑵직선 x+2y-3=0과 수직인 직선의 기울기는 2이다.
따라서 구하는 직선의 방정식은 y
3 x -2
y 2 x 3 7-3 4-1 10. 직선의 방정식
82`~83쪽
● ● ●개념확인● ● ●
01 ⑴ y=-3x+1 ⑵ y=x+3 ⑶ y=-5
02 ⑴ y=;3$;x+;3%; ⑵ y=-;3@;x+2 ⑶ y=;2#;x+3 ⑷ x=2 03 ㄱ과 ㄹ, ㄴ과 ㄷ
04 ⑴ y=-x+1 ⑵ y=2x-8 ⑶ y=-2 05 ⑴ (1, 1) ⑵ 2x+y=0
06 ⑴ '5 ⑵ 3 ⑶ '∂10 2
y+2=2(x-3) ∴ y=2x-8
⑶ 직선 x=5와 수직인 직선은 x축과 평행해야 하므로 구하는 직선의 방정식은 y=-2
05 ⑴ 주어진 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 x+y-2=0, 2x-y-1=0
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=1 따라서 구하는 점의 좌표는 (1, 1)이다.
⑵ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
(x-y-6)+k(3x+2y+2)=0 (k는 실수) yy ㉠ 으로 놓으면 이 직선이 원점을 지나므로
-6+2k=0 ∴ k=3 k=3을 ㉠에 대입하면
x-y-6+9x+6y+6=0 ∴ 2x+y=0
06 점과 직선 사이의 거리를 d라 하면
⑴ d= ='5
⑵ d= = =3
⑶ d= = = '∂10
2 5 '∂10
|3_1-2+4|
"√3¤ +(-1)¤
15 5
|3_(-2)-4_1-5|
"√3¤ +(-4)¤
|5|
"√1¤ +2¤
핵심유형
1
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 때, (AB”의 기울기)=(AC”의 기울기) 이므로(AB”의 기울기)= = yy ㉠
(AC”의 기울기)= 0+4 =2 yy ㉡ 3-1
2 a-1 -2+4
a-1
84`~85쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
핵심유형 1 2
1-1 a+b+c=0 1-2제 1, 2, 3사분면 1-3;3$;
핵심유형 2 -4
2-1 5 2-2x-2y=0 2-30
핵심유형 3 x+2y=0
3-1 (1, -2) 3-20<m<2 3-32x-y-1=0
핵심유형 4 :™3™:
4-1 {0, :∞3™:}, (0, -16) 4-2;3!; 4-313
63
10.직선의 방정식
㉠, ㉡이 일치하므로 =2 a-1=1 ∴ a=2
1-1 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건은 (AB”의 기울기)=(BC”의 기울기) 이므로
=
b¤ +ab+a¤ =c¤ +bc+b¤
a¤ +ab-bc-c¤ =0
(a+c)(a-c)+b(a-c)=0
∴ (a-c)(a+b+c)=0 이때 a+c이므로 a+b+c=0
1-2 ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;
a<0, b>0이므로 (기울기)=-;bA;>0 b>0, c<0이므로
(y절편)=-;bC;>0
따라서 직선 ax+by+c=0은 제 1, 2, 3사분면을 지난다.
1-3 직선 4x+3y=12에 대하여 A(3, 0), B(0, 4)라 하면 삼각형 AOB를 이등분하면서 원 점을 지나는 직선은 그림과 같이 AB”
의 중점 M{;2#;, 2}를 지난다.
따라서 구하는 직선의 기울기는 =;3$;이다.
핵심유형
2
두 직선 x-2y+1=0과 ax+y-2=0이 수직이므로 1_a-2_1=0 ∴ a=2두 직선 x-2y+1=0과 (a+1)x+by-3=0이 평행하 므로
= +
∴ b=-2a-2=-2_2-2=-6
∴ a+b=-4
2-1 직선 3x+2y+6=0과 평행한 직선의 방정식을
3x+2y+a=0이라 하면 이 직선이 점 (-2, 2)를 지나므로 3_(-2)+2_2+a=0 ∴ a=2
직선 3x+2y+2=0이 점 (-4, k)를 지나므로 3_(-4)+2_k+2=0 ∴ k=5
-3 1 b -2 a+1
1
2-0
;2#;-0
x y
O 3
4
M
{
23,2{
B
A
4x+3y=12 x y
O - cb
y=-ba x-b c c‹ -b‹
c-b b‹ -a‹
b-a
2
a-1 2-2 AB”의 수직이등분선을 l이라 하고
l의 기울기를 m이라 하면 l⊥AB”이므로
m¥ =-1
∴ m=
또 AB”의 중점을 M이라 하면 M(2, 1)
따라서 직선 l은 기울기가 ;2!;이고 점 M(2, 1)을 지나므로 y-1=;2!;(x-2) ∴ x-2y=0
2-3 세 직선 x-y=0 y ㉠, x+y=4 y ㉡, 2x-ky=8 y ㉢ 에 의해 삼각형이 만들어지지 않는 경우는 다음과 같다.
⁄ 두 직선 ㉠, ㉢이 평행할 경우
⁄;2!;= +;8);이므로 k=2
¤ 두 직선 ㉡, ㉢이 평행할 경우
⁄;2!;= +;8$;를 만족하는 경우가 없다.
⁄즉, 두 직선 ㉡, ㉢은 평행할 수 없다.
‹ 직선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 교점을 지날 경우
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=2 이것을 ㉢에 대입하면
⁄ 2_2-k_2=8 ∴ k=-2
⁄, ¤, ‹으로부터 모든 상수 k의 값의 합은 2+(-2)=0
핵심유형
3
구하는 직선의 방정식을 (x-y-3)+k(2x+y-3)=0`(k는 실수) yy ㉠ 으로 놓으면 직선 ㉠이 원점 (0, 0)을 지나므로
-3-3k=0
∴ k=-1
k=-1을 ㉠에 대입하면
(x-y-3)-(2x+y-3)=0
∴ x+2y=0 [다른 해설]
두 직선의 방정식 x-y-3=0, 2x+y-3=0을 연립하여 교점의 좌표를 구하면 (2, -1)이다.
따라서 점 (2, -1)과 원점을 지나는 직선의 방정식은 y=-;2!;x ∴ x+2y=0
3-1 (k-2)x+(k+1)y+k+4=0에서
k(x+y+1)-2x+y+4=0 yy ㉠
㉠이 k에 대한 항등식이므로
x y
O
x-y-3=0
2x+y-3=0 -3
3
3
㉠ 1
-k -1 -k 1 2 -1-3
3-1 x
y
O
l
-1 1 3 3 A{1,`3}
B{3,`-1}
M
x+y+1=0, -2x+y+4=0 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-2
따라서 주어진 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, -2) 를 지난다.
3-2 직선
mx-y-3m+2=0HjK m(x-3)+(2-y)=0은 m의 값에 관계없이 항상 점 (3, 2)를 지나는 직선이다.
점 (3, 2)를 지나는 직선이 직
선 y=-x+2와 이 제`1`사분면에서 만나도록 하는 기울기 m의 범위는 0<m<2
3-3 두 직선 x-2y+4=0, x+y-5=0의 교점을 지나는 직 선의 방정식은
(x-2y+4)+k(x+y-5)=0`(k는 실수)
∴ (k+1)x+(k-2)y-5k+4=0 yy ㉠ y=-;2!;x에서 x+2y=0 yy ㉡ 두 직선 ㉠, ㉡이 수직이므로
(k+1)+2(k-2)=0 3k-3=0 ∴ k=1 따라서 구하는 직선의 방정식은
2x-y-1=0 [다른 해설]
두 직선의 방정식 x-2y+4=0, x+y-5=0을 연립하여 교점의 좌표를 구하면 (2, 3)이다.
구하는 직선의 기울기를 m이라 하면 이 직선은 직선 y=-;2!;x와 수직이므로
m_{-;2!;}=-1 ∴ m=2 따라서 구하는 직선의 방정식은
y=2(x-2)+3=2x-1 ∴ 2x-y-1=0
핵심유형
4
OA”="√3¤ +4¤ =5직선 OA의 방정식은 y=;3$;x ∴ 4x-3y=0 점 B(2, k)와 직선 OA 사이의 거리는
=
이므로 △OAB=;2!;_5_ =7
|8-3k|=14
∴ 8-3k=14 또는 8-3k=-14
∴ k=-2 또는 k=;;™3™;;
따라서 양수 k의 값은 ;;™3™;;이다 .
|8-3k|
5
|8-3k|
5
|4_2-3_k|
"√4¤ +(-3)¤
x y
O 2 3
2
{3,`2}
y=-x+2 m=2
m=0
4-1 P(0, a)라 하면 점 P와 직선 4x+3y-2=0 사이의 거리 가 10이므로
=10, |3a-2|=50 즉, 3a-2=50 또는 3a-2=-50이므로
a=;;∞3™;; 또는 a=-16
따라서 점 P의 좌표는 {0, ;;∞3™;;}, (0, -16)이다.
4-2 평행한 두 직선 ax+by=3 y ㉠, ax+by=4 y ㉡ 사이 의 거리는 직선 ㉠ 위의 한 점 {0, ;b#;}과 직선 ㉡ 사이의 거리 와 같다. 즉,
= =;3!;
4-3 OA”="√3¤ +(-4)¤ =5
직선 OA의 방정식은 y=-;3$;x ∴ 4x+3y=0 점 B(5, 2)와 직선 4x+3y=0 사이의 거리는
=;;™5§;;
∴ △OAB=;2!;_5_;;™5§;;=13
|4_5+3_2|
"√4¤ +3¤
|3-4|
'9
|a_0+b_;b#;-4|
"√a¤ +b¤
|4_0+3_a-2|
"√4¤ +3¤
01 세 점 A(1, 3), B(4, -3), C(a, 7)이 한 직선 위에 있을 때, (AB”의 기울기)=(AC”의 기울기)이므로
=
-2= , a-1=-2 ∴ a=-1
02 두 점 (-5, k), (k, -1)을 지나는 직선의 기울기는
=k, k¤ +6k+1=0 양변을 k로 나누면 k+1=-6
k -1-k
k+5 4 a-1
7-3 a-1 -3-3
4-1
86`~87쪽
● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ●
01 -1 02 ④ 03 ;9&; 04 P{;5(;, 0}
05 ⑴ -1 ⑵ 0 또는 -3 06 ;2#; 07 y=;2#;x
08 ;2!;<m<2 09 ① 10 (-1, 0), (4, 0)
11 ⑤ 12 13 x-3y=0, 3x+y-2=0
14 -;3&; 15 600 2'55
65
3(6-3m)=11 ∴ m=;9&;
04 OP”+BP”가 최소가 되려면 점 P는 OB” 위에 있어야 하고, AP”+CP”가 최소가 되려면 점 P는 AC” 위에 있어야 하므로 OP”+AP”+BP”+CP”의 값이
최소가 되도록 하는 점 P는 두 직선 OB, AC의 교점이어야 한다.
⑴ 1¥a+a(a+2)=0
⑴ a¤ +3a=0, a(a+3)=0 범위는 ;2!;<m<2이다.
09 두 직선 x+y+1=0, 2x-y-4=0의 교점을 지나는 직선의
3a-2=—(a+6) ∴ a=-1 또는 a=4 따라서 구하는 x축 위의 점의 좌표는
(-1, 0) 또는 (4, 0)
11 2x+y-2+k(x+y)=0에서
(k+2)x+(k+1)y-2=0 yy ㉠ 원점과 직선 ㉠ 사이의 거리 f(k)는
f(k)= =
f(k)=
이때 f(k)가 최대가 되려면 분모가 최소이어야 한다.
2{k+;2#;}¤ +;2!;은 k=-;2#;일 때 최소이고, 최솟값은 ;2!;이다.
따라서 f(k)의 최댓값은 k=-;2#;일 때의 값으로 =2'2 이다.
12 y=;2!;x+1에서 x-2y+2=0
PH”의 길이는 점 P(2, 1)에서 직선까지의 거리이므로
= =
13 각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선 y=2x-1, y=-;2!;x+;2!;, 즉
2x-y-1=0, x+2y-1=0 에 이르는 거리가 같으므로
=
|2x-y-1|=|x+2y-1|
2x-y-1=—(x+2y-1)
∴ x-3y=0 또는 3x+y-2=0 [참고]
각의 이등분선은 다음과 같이 두 가지로 나타난다.
14 두 직선의 방정식 2x-y-8=0, 3x+4y-1=0을 연립하여 교점의 좌표를 구하면 (3, -2)이다. yy ❶ 세 직선이 한 점에서 만나려면 교점 (3, -2)가 직선
ax-2y+3=0 위에 있어야 하므로
3a-2¥(-2)+3=0 ∴ a=-;3&; yy ❷ x
y
O
y=2x-1
y=-21x+
2 1 P{x,`y}
|x+2y-1|
'ƒ1+4
|2x-y-1|
'ƒ4+1
2'55 2
'5
|2-2+2|
"√1¤ +(-2)¤
2 Æ;2!;
2 Æ2…{k+;2#;}¤ +;2!;
2
"√2k¤ +6k+5
|-2|
"√(k+2)¤ +(k+1)¤
15 점 A를 원점으로 놓고 오른쪽 그림 과 같이 좌표평면 위에 나타내면 직선 AC의 방정식은
y=;2!;x yy ❶ 직선 BD의 방정식은
y=-x+600 yy ❷
두 직선의 교점이 P일 때, PA”+PB”+PC”+PD”가 최소가 된다.
두 직선의 교점의 좌표가 (400, 200)이므로 yy ❸ 안테나를 A마을에서 동쪽으로 400 m, 북쪽으로 200 m 이동 한 지점에 세워야 한다.
∴ a=400, b=200
∴ a+b=600 yy ❹
x y
O A
D{200,`400}
400 C{600,`300}
B{600,`0}
P
채점 기준 배점
❶ 교점의 좌표 구하기
❷ a의 값 구하기
50 % 50 %
채점 기준 배점
❶ 직선 AC의 방정식 구하기
❷ 직선 BD의 방정식 구하기
❸ 최소가 되도록 하는 점 P의 좌표 구하기
❹ a+b의 값 구하기
30 % 30 % 30 % 10 %
11. 원의 방정식
88`~90쪽
● ● ●개념확인● ● ●
01 ⑴ (x-2)¤ +(y-3)¤ =4 ⑵ x¤ +y¤ =5
⑶ (x+1)¤ +(y-2)¤ =18 ⑷ (x-2)¤ +(y-3)¤ =9 02 ⑴ 중심의 좌표：(2, -4), r=5
⑵ 중심의 좌표： {;2#;, -1}, r=
03 k<;4%;
04 ⑴ -10<k<10 ⑵ k=—10 ⑶ k<-10 또는 k>10 05 ⑴ y=-x—2'2 ⑵ y='3x—2 ⑶ 2x-y=5
⑷ 4x+3y+1=0
06 ⑴ 원 O가 원 O'의 내부에 있다. ⑵ 원 O가 원 O'에 내접한다.
⑶ 두 점에서 만난다. ⑷ 두 점에서 만난다.
⑸ 두 원이 서로 외접한다. ⑹ 한 원이 다른 원의 외부에 있다.
07 x+3y-17=0 08 {;2#;, -;4#;}
'∂192
67
11.원의 방정식
⑴구하는 접선의 방정식은
⑴ (-1-3)(x-3)+(1-4)(y-4)=25
⑴ ∴ 4x+3y+1=0
⑴[다른 해설]
⑴원의 중심 C(3, 4)와 원 위의
⑷점 B(-1, 1)을 이은 직선은 원의 접선 l과 수직이다.
직선 l의 기울기를 m이라 하면
⑷m_{ }=-1이므로
⑷ m=-;3$;
⑷따라서 m=-;3$;이고 점 B(-1, 1)을 지나는 직선의
⑷방정식은
⑷ y-1=-;3$;(x+1) ∴ 4x+3y+1=0
06 ⑴ 9-6>2
⑷이므로 원 O가 원 O'의 내부에 있다.
⑵ 9-6=3
⑷이므로 원 O가 원 O'에 내접한다.
⑶ 9-6<5<9+6
⑷이므로 두 원이 두 점에서 만난다.
⑷ 9-6<12<9+6
⑷이므로 두 원이 두 점에서
⑷만난다.
⑸ 9+6=15
⑷이므로 두 원이 서로 외접한다.
⑹ 9+6<20
⑷이므로 한 원이 다른 원의
⑷외부에 있다.
07 두 원 x¤ -7x+y¤ -9y+30=0, x¤ -4x+y¤ -21=0의 교점 을 지나는 직선의 방정식은
(x¤ -7x+y¤ -9y+30)-(x¤ -4x+y¤ -21)=0 -3x-9y+51=0 ∴ x+3y-17=0
O 6 9 O'
20
O 6 9 O'
15
O O'
9 6 12
O O'
6 5 9 6
9 O O' 6 2 1
9 O O' 4-1
3+1
x y
O 1 -1
C{3,`4}
B{-1,`1}
l
01 ⑴ (x-2)¤ +(y-3)¤ =2¤
⑵ 원점에서 점 (1, 2)까지의 거리가 반지름의 길이이므로
⑴ r="√1¤ +2¤ ='5 ∴ x¤ +y¤ =5
⑶ 중심 (-1, 2)에서 점 (2, -1)까지의 거리가 반지름의 길
⑶ 중심 (-1, 2)에서 점 (2, -1)까지의 거리가 반지름의 길