01
① 1의 제곱근은 -1, 1의 2개이다.③ '1å6=4
⑤ 음이 아닌 모든 수의 제곱근은 1개 또는 2개이다.
02
'8å1=9이므로 9의 제곱근은 —3이다.03
두 원의 반지름의 길이의 비가 1：'3이므로 넓이의 비는 1：('3)¤ =1：3이다.넓이의 합이 40p cm¤ 이므로 큰 원의 넓이는 40p_;4#;=30p(cm¤ )
따라서 큰 원의 반지름의 길이는 '3å0 cm이다.
04
① '0∂.01=0.1의 제곱근은 —'0ß.1이다.② 1.H7=;;¡9§;;의 제곱근은 —Ƭ;;¡9§;;=—;3$;
③ ;4!;의 제곱근은 —Æ;4!;`=—;2!;
④ ;;•4¡;;의 제곱근은 —Ƭ;;•4¡;;=—;2(;
⑤ '2∂56=16의 제곱근은 —'1å6=—4
05
⑤ æ{≠-;9$;}¤ =;9$;06
"≈9¤ ÷(-'3)¤ +"(√-7)¤ _{-Æ;7!; }¤=9÷3+7_;7!;=3+1=4
07
2-x<0, x-5<0이므로(주어진 식)="(√2-x)¤ +"{√3(x√-5)}¤
(주어진 식)=-(2-x)+{-3(x-5)}
(주어진 식)=-2+x-3x+15 (주어진 식)=-2x+13
08
'2ƒ10-∂7x가 자연수가 되려면 210-7x가 제곱수가 되어야 한 다.210-7x=7(30-x)에서 30-x=7 또는 30-x=28 따라서 x의 값은 2, 23의 2개이다.
❶ 괄호 안의 식의 부호 각각 정하기
❷ 주어진 식을 간단히 정리하기
50 % 50 %
채점 기준 배점
❶ a의 값 중 가장 작은 자연수 구하기
❷ b의 값 중 가장 작은 자연수 구하기
❸ 두 수의 합 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
내신만점도전편 정답 및 풀이
③ 2-'3-('5-'3)=2-'5='4-'5<0이므로 2-'3<'5-'3
④ 3<'1å0이므로 '7+3<'7+'1å0
⑤ ;3!;>;5!;이므로 -æ;3!;<-æ;5!; ∴ 5-æ;3!;<5-æ;5!;
10
A-B=1-('3-1)=2-'3>0이므로 A>B C-A='5-1-1='5-2>0이므로 C>A∴ C>A>B
11
0<'2-1<1이므로 '2-1에 대응하는 점은 C이다.12
점 C가 수직선과 만나는 점에 대응하는 수는 2이므로 점 A가 수 직선과 만나는 점에 대응하는 수는 2+'2, 점 B가 수직선과 만 나는 점에 대응하는 수는 2+'2+1=3+'2이다.13
[단계❶] EFGH의 넓이는 10이므로 한 변의 길이는 '1å0이 다.[단계❷] 점 P에 대응하는 수는 -1-'1å0이므로 a=-1, b=10
[단계❸] 점 Q에 대응하는 수는 -1+'1å0이므로 c=-1, d=10
[단계❹] ∴ a+b+c+d=-1+10-1+10=18
14
음수의 대소 관계를 구해 보면-;4%;-(1-'3)=-;4(;+'3<0이므로
-;4%;<1-'3 yy❶
양수의 대소 관계를 구해 보면 '2<'2+1<'3+1 yy❷
∴ -;4%;<1-'3<'2<'2+1<'3+1 yy❸
3 4 5
2 1 B
B B
C
C A
A 88~89쪽
02. 무리수와 실수
01④, ⑤ 02③ 03② 04④
05③ 06④ 07④ 08②
09④ 10④ 11③ 12⑤
1318 14-;4%;, 1-'3, '2, '2+1, '3+1
01
순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.① 2.25의 제곱근은 —'2∂.25=—1.5
② 제곱근 49는 '4å9=7이다.
③⁄0‹.H4=Æ;9$;=;3@;
따라서 무리수는 ④, ⑤이다.
02
정사각형의 한 변의 길이를 각각 구해 보면① '3 ② '7 ③ 3 ④ '1å3 ⑤ 3'3
03
② `유한소수로 나타낼 수 없는 수 중에서 순환소수는 유리수이다.04
-1+'2는 -1에서 오른쪽으로 '2만큼 이동한 점 D에 대응한 다.05
AC”=AE”='2이므로 점 A에 대응하는 수는 3+'2이다.정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 1이므로 점 D에 대응하는 수는 3+'2-1=2+'2
06
① 점 A는 -1에서 왼쪽으로 '2만큼 이동한 점이므로 A(-1-'2 )② 점 B는 -2에서 오른쪽으로 '2만큼 이동한 점이므로 B(-2+'2 )
③ 점 C는 2에서 왼쪽으로 '5만큼 이동한 점이므로 C(2-'5 )
④ 점 D는 2에서 오른쪽으로 '5만큼 이동한 점이므로 D(2+'5)
⑤ CD”=2'5
07
ㄱ. 2<'7<3<'1å3<4이므로 '7과 '1å3 사이에는 1개의 자연 수가 있다. (참)ㄴ. 두 자연수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다. (참) ㄷ. 무리수와 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. (거짓) ㄹ. 두 유리수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다. (참)
따라서 옳은 것은 모두 3개이다.
08
② 3-'3<'3이므로 두 수 사이에 있는 수가 아니다.09
① '1å0-2-1='1å0-3='1å0-'9>0이므로 '1å0-2>1② '8-2-(-2+'7)='8-'7>0이므로 '8-2>-2+'7
❶ EFGH의 한 변의 길이 구하기
❷ 점 P에 대응하는 수 구하기
❸ 점 Q에 대응하는 수 구하기
❹ a+b+c+d의 값 구하기
30 % 30 % 30 % 10 %
채점 기준 배점
❶ 음수의 대소 관계 구하기
❷ 양수의 대소 관계 구하기
❸ 작은 수부터 차례로 나열하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
= =;1ı2;'6이므로 ;1ı2;=;3@;
3'2÷ ÷ =3æ2≠_;5*;≠_40 3'2÷ ÷ =24'2
∴ n=24
04
'7å5="3√_5¤ =5'3이므로 a=5 4'5="4√¤ _5='8å0이므로 b=80∴ b-a=75
05
'1ƒ5_1ƒ8_20="3√_5√_2√_3¤ √_2¤√ _5=30'6
∴ a=30
06
'1∂80="2√¤¤ _√3¤ _5=3_('2)¤ _'5=3a¤ b07
aæ–;;™aı;;+bæ≠;8Åb;=æa¤ ≠_;;™aı;;+æb¤ ≠_;8Åb;='2∂ab+æ–;;Å8ı;;
92~93쪽
02
2'a+2=4'a-4, 2'a=6, 'a=3∴ a=9
04
'2('6-'3 )-'2('6+'3 )='1å2-'6-'1å2-'6=-2'6
④ 3-('1å7-1)=4-'1å7='1å6-'1å7<0
∴ 3<'1å7-1
11
① '3∂29='1ƒ00_ƒ3.29=10'3∂.29=18.14② '3∂290='1ƒ00_ƒ32.9=10'3∂2.9=57.36
③ '0∂.3∂29=æ≠ = =0.5736
④ '0ƒ.0329=æ≠ = =0.1814
⑤ '0ƒ.003∂29=æ≠ = =0.05736
12
1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로 2<4-'2<3∴ a=(4-'2 )-2=2-'2
=-{('1-'X2 )+('X2-'X3 )+y+('Y9å9-'1∂00)
=-('1-'1∂00)=-1+10=9
94~97쪽
1<'3<2에서 <'3>='3-1 yy❷
=
< < 이므로 '1å2<'x<'1å8 따라서 x의 값은 13, 14, 15, 16, 17의 5개이다.
08 a-b>0, ab<0이므로 a>0, b<0, b-a<0
∴ "ça¤ +|b|-"(√b-a)¤ =a-b+(b-a)
=0
09 '2_'a_'6_'3åa='2ƒ_aƒ_6ƒ_3a
="3√6_a¤
=6a 따라서 6a=30이므로 a=5
10 '0∂.05=Æ;1¬0%0;= =;1Å0;
11 '2å7+'7å5-'4å5+'8å0=3'3+5'3-3'5+4'5
18 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 모든 경우의 '1ƒ+3ƒ+5ƒ+7="≈4¤ =4, y이므로
'1ƒ+3ƒ+5ƒ+yƒ+99="5≈0¤ =50이다.
14 ① 2-'3-('5-'3)=2-'5<0이므로
③2-'3<'5-'3
16 1<'3<2, 3<2+'3<4이므로 a=3, b=2+'3-3=-1+'3
98~99쪽 05. 인수분해와 인수분해 공식`⑴
01⑤ 02② 03② 04④
05③ 06③ 07② 08③
09③ 10③ 11⑤ 12⑤
13② 1437 15;9%;
03
2x¤ +ax+b=(x-3)(2x-1)=2x¤ -7x+3 이므로 a=-7, b=3∴ a+b=-7+3=-4
04
④ x(x¤ -1)=x(x+1)(x-1)이므로 x-1을 인수로 갖는다.05
x¤ -6x+3+A=(x+B)¤ =x¤ +2Bx+B¤ 에서 -6=2B, 3+A=B¤ 이므로 B=-3, A=6∴ A+B=6+(-3)=3 따라서 주어진 수가 유리수가 되려면
2-a=0이어야 한다. yy❷
∴ a=2 yy❸
24 f(x)=
f(x)=
∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(60)
∴ =;2!;{('3-1)+('5-'3 )+y+('1∂21- '1∂19 )}
∴ =;2!;(-1+'1∂21)=;2!;(-1+11)=5
25 (a+b)(c+d)= _
(a+b)(c+d)= = =16
한편 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
=ad+bc+4 (∵ ac=bd=2) ad+bc+4=16이므로
ad+bc=16-4=12
16 9-8 4_4
(3-2'2)(3+2'2) 4 3+2'2 4
3-2'2 '2ƒx+1-'2ƒx-1
2
'2∂x∂+1-'2ƒx-1
('2∂x∂+1+'2ƒx-1)('2∂x∂+1-'2ƒx-1)
06
① x¤ -3x+;4(;={x-;2#;}¤② x¤ -4x+4=(x-2)¤
④ x¤ +8x+16=(x+4)¤
⑤ x¤ +10x+25=(x+5)¤
07
⁄9x¤ +(3+a)x+16=(3x+4)¤ 에서①3+a=24 ∴ a=21
¤9x¤ +(3+a)x+16=(3x-4)¤ 에서
①3+a=-24 ∴ a=-27 따라서 두 수의 합은 21+(-27)=-6
08
x+2>0, x-3<0이므로"x√¤ +4√x+4+"4√x¤ -√24x√+36
="(√x+2ç)¤ +2"(√x-3)¤
=x+2-2(x-3)
=-x+8
09
9x¤ -81=9(x¤ -9)=9(x+3)(x-3) 이므로 A=9, B=3∴ AB=27
10
;4!;x¤ -a={;2!;x+5}{;2!;x+b}라 하면 일차항이 없으므로 ;2%;+;2B;=0∴ b=-5
따라서 ;4!;x¤ -a={;2!;x+5}{;2!;x-5}이므로 a=25
11
x› -1=(x¤ +1)(x¤ -1)=(x¤ +1)(x+1)(x-1) 따라서 인수가 아닌 것은 ⑤이다.
12
x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=36에서 18_(x-y)=36∴ x-y=2
x+y=18, x-y=2를 연립하여 풀면 x=10, y=8
∴ 3x-2y=3_10-2_8
=30-16=14
13
8n‹ -2n=2n(4n¤ -1)=2n(2n-1)(2n+1)즉, 연속된 세 자연수의 곱이고 연속된 세 자연수는 2의 배수인 동시에 3의 배수이므로 8n‹ -2n은 6의 배수이다.
❶ 주어진 식 간단히 정리하기
❷ 유리수가 될 조건 알기
❸ a의 값 구하기
50 %
20 % 30 %
채점 기준 배점
14
[단계❶] ;1¡6;x¤ +Ax+;9!;이 완전제곱식이 되려면 A=2_;4!;_;3!;=;6!;[단계❷] x¤ +12x+B가 완전제곱식이 되려면 B={;;¡2™;;}¤ =36
[단계❸] ∴ 6A+B=6_;6!;+36=1+36=37
15
f(x)={1+;[!;}{1-;[!;}이므로 yy❶ f(2)_f(3)_y_f(9)={1+;2!;}{1-;2!;}{1+;3!;}{1-;3!;}y{1+;9!;}{1-;9!;}yy❷
=;2#;_;2!;_;3$;_;3@;_ y _;;¡9º;;_;9*;
=;2!;_;;¡9º;;=;9%; yy❸
100~101쪽 06. 인수분해 공식`⑵
01② 02① 03④ 04③
05⑤ 06④ 07⑤ 08④
09② 10④ 11⑤ 12②
13① 144 15(x-9)(x+2)
01
x¤ -x-20=(x-5)(x+4)이므로 두 일차식의 합은 (x-5)+(x+4)=2x-102
(x+a)(x+b)=x¤ +(a+b)x+ab이므로 ab=-12 이를 만족하는 두 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는(1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), (-1, 12), (-2, 6), (-3, 4), (-4, 3), (-6, 2), (-12, 1)
이므로 A의 값이 될 수 있는 것은 -11, -4, -1, 1, 4, 11이다.
따라서 A의 값이 될 수 없는 것은 ① -13이다.
❶ A의 값 구하기
❷ B의 값 구하기
❸ 6A+B의 값 구하기
40 %
20 % 40 %
채점 기준 배점
❶ f(x)를 인수분해하기
❷ x=2, 3, y, 9를 대입하기
❸ f(2)_f(3)_y_f(9)의 값 구하기
30 %
40 % 30 %
채점 기준 배점
03
x¤ +4x+3=(x+1)(x+3)이므로 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 x+1, x+3 또는 x+3, x+1이므로 이 직사각형 의 둘레의 길이는 2(x+1+x+3)=4x+804
(x+2)(x-4)-7=x¤ -2x-8-7=x¤ -2x-15
=(x-5)(x+3)
05
ax¤ +3x-2=(4x-1)(bx+2)이므로 3=8-b에서 b=5, a=4b=4_5=20∴ a+b=20+5=25
06
6x¤ +ax-6이 3x-2로 나누어 떨어지므로 6x¤ +ax-6=(3x-2)(2x+b)라 하면 -6=-2b에서 b=3따라서 6x¤ +ax-6=(3x-2)(2x+3)이므로 a=3_3-2_2=5
07
6x¤ +3x-18=3(2x¤ +x-6)=3(x+2)(2x-3) 이므로 ax+b=2x-3따라서 a=2, b=-3이므로 a-b=2-(-3)=5
08
④ 4x¤ +4x-15=(2x+5)(2x-3)09
① 2x(x-3) ③ (x-2)¤ ④ (x-4)(x+2) ⑤ (3x+1)¤따라서 유리수의 범위에서 인수분해할 수 없는 것은 ②이다.
10
① 2x¤ -7x+3=(2x-1)(x-3)② x¤ -6x+9=(x-3)¤
③ 4x¤ -11x-3=(4x+1)(x-3)
④ 3x¤ +8x-3=(x+3)(3x-1)이므로 x-3을 인수로 갖지 않는다.
⑤ 2x¤ -13x+21=(2x-7)(x-3)
11
x¤ -mx+12=(x-2)(x+a)로 놓으면-m=-2+a, -2a=12 ∴ a=-6, m=8 3x¤ -2x-n=(x-2)(3x+b)로 놓으면
-2=-6+b, -n=-8 ∴ n=8
∴ m+n=8+8=16
12
2x¤ -7x+6=(2x-3)(x-2) x¤ -x-2=(x-2)(x+1)이므로 A=2x-3, B=x-2 , C=x+1
따라서 A와 C를 뽑아 뒷면에 적힌 일차식을 곱한 결과는 (2x-3)(x+1)=2x¤ -x-3이다.
13
(가)의 넓이는(x-3)¤ -1¤ =(x-3+1)(x-3-1)
=(x-4)(x-2) 따라서 (나)의 세로의 길이는 x-4이다.
14
[단계❶] 3x¤ +(a+5)x-6 =(3x-2)(x+m)이라 하면 -6=-2m에서 m=3a+5=-2+3m에서 a=2 [단계❷] 이때 2x¤ +4x+2=2(x+1)¤ 이므로
b=2
[단계❸] ∴ a+b=2+2=4
15
동은이는 상수항을 제대로 보았으므로 상수항은-6_3=-18 yy❶
슬기는 x의 계수를 제대로 보았으므로 x의 계수는
-8+1=-7 yy❷
따라서 처음의 이차식은 x¤ -7x-18이고 yy❸ 이 식을 인수분해하면
x¤ -7x-18=(x-9)(x+2) yy❹
❶ 상수항 구하기
❷ x의 계수 구하기
❸ 처음의 이차식 구하기
❹ 처음의 이차식을 인수분해하기
30 % 30 % 20 % 20 %
채점 기준 배점
❶ a의 값 구하기
❷ b의 값 구하기
❸ a+b의 값 구하기
40 %
20 % 40 %
채점 기준 배점
102~103쪽 07. 인수분해 공식의 활용
01③ 02③ 03② 04②
05③ 06⑤ 07② 08③
09 ② 10② 11② 12②
13④ 144 1520
01
ax¤ -2ax-3a=a(x¤ -2x-3)=a(x-3)(x+1) 따라서 인수가 아닌 것은 ③ x+3이다.
02
(주어진 식)=a(a-c)-b(a-c)+(b-a)(b-c)=(a-c)(a-b)-(a-b)(b-c)
=(a-b)(a-c-b+c)=(a-b)¤
03
xy-3x+y-3=x(y-3)+(y-3)=(x+1)(y-3) x¤ +x-xy-y=x(x+1)-y(x+1)
=(x+1)(x-y) 따라서 두 다항식의 공통인수는 x+1이다.
04
4x¤ +4xy+y¤ -9=(4x¤ +4xy+y¤ )-9=(2x+y)¤ -3¤
=(2x+y+3)(2x+y-3) 이므로 두 일차식의 합은
(2x+y+3)+(2x+y-3)=4x+2y
05
x¤ -xy-x-2y-6=x¤ -x-6-xy-2y=(x-3)(x+2)-y(x+2)
=(x+2)(x-y-3) 이므로 인수인 것은 ③ x-y-3이다.
06
3x-4=A, x+3=B라 하면(3x-4)¤ -(x+3)¤ =A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
=(3x-4+x+3)(3x-4-x-3)
=(4x-1)(2x-7) 이므로 a=4, b=-7
∴ a-b=4-(-7)=11
07
3x+2=A라 하면(3x+2)¤ -2(3x+2)-3=A¤ -2A-3=(A-3)(A+1)
=(3x+2-3)(3x+2+1)
=(3x-1)(3x+3)
=3(3x-1)(x+1)
08
2002_2004+1=(2003-1)(2003+1)+1=2003¤ -1¤ +1=2003¤
이므로 A=—2003 ∴ A=2003 (∵ A>0)
09
(주어진 식)=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)=+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10)
=(-1)_(1+2+3+4+y+9+10)
=-55
10
=;8!;p(22¤ -14¤ )=;8!;p(22+14)(22-14)=36p (cm¤ ) a¤ p
x¤ -4x-y¤ -4y=(x+y)(x-y)-4(x+y) x¤ -4x-y¤ -4y=(x+y)(x-y-4) [단계❷] ∴ a=1, b=-1, c=-4
4x+4y=4(x+y)=4_5=20 yy❹
❶ x¤ -4x-y¤ -4y를 인수분해하기
04 2n+1=A, 2n-1=B로 치환하면 (2n+1)¤ -(2n-1)¤
=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
={(2n+1)+(2n-1)}{(2n+1)+(2n-1)}=4n_2 따라서 연속한 두 홀수의 제곱의 차는 8의 배수가 된다.
05 2x¤ +5x+2=(x+2)(2x+1)이므로
직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이는 x+2, 2x+1이다.
따라서 가로의 길이와 세로의 길이의 합은 x+2+2x+1=3x+3
06 6x¤ -8x-40=2(3x¤ -4x-20)
=2(x+2)(3x-10) x-3=A라 하면
(x-3)¤ +2(x-3)-15=A¤ +2A-15 (x-3)¤ +2(x-3)-15=(A+5)(A-3) (x-3)¤ +2(x-3)-15=(x-3+5)(x-3-3) (x-3)¤ +2(x-3)-15=(x+2)(x-6) 따라서 두 다항식의 공통인수는 x+2이다.
07 x+1과 2x-3으로 나누어 떨어지므로 ax¤ -x+b=(x+1)(2x-3)=2x¤ -x-3 따라서 a=2, b=-3이므로
a+b=2+(-3)=-1
08 A는 상수항을 제대로 보았으므로 처음 이차식의 상수항은 2_(-6)=-12
B는 x의 계수를 제대로 보았으므로 처음 이차식의 x의 계수는 3-2=1
따라서 처음의 이차식은 x¤ +x-12이고 이를 바르게 인수분해 하면 (x+4)(x-3)이다.
09 2x¤ +5x+1=(2x+3)A-2이므로 2x¤ +5x+3=(2x+3)A
다항식 A=ax+b라 하면 2x¤ +5x+3=(2x+3)(ax+b) 2=2a에서 a=1, 3=3b에서 b=1
따라서 2x¤ +5x+3=(2x+3)(x+1)이므로 A=x+1
10 6(2x-1)¤ -(2x-1)=(2x-1)(12x-6-1)
=(2x-1)(12x-7) 이므로 a=-1, b=12
∴ a+b=-1+12=11
11 4x¤ -y¤ +2y-1=4x¤ -(y¤ -2y+1)
=(2x)¤ -(y-1)¤
=(2x+y-1)(2x-y+1) 이므로 두 일차식의 합은
(2x+y-1)+(2x-y+1)=4x
12 x+1=A, y-2=B라 하면
3(x+1)¤ -4(x+1)(y-2)+(y-2)¤
=3A¤ -4AB+B¤ =(3A-B)(A-B)
=(3x+3-y+2)(x+1-y+2)
=(3x-y+5)(x-y+3) 이므로 인수인 것은 ① , ④이다.
13 98¤ -1=(98+1)(98-1)=99_97이므로 가장 알맞은 인수 분해 공식은 ③이다.
14 42¤ -2_42_38+38¤ =(42-38)¤ =4¤ =16
15 x= = =5+2'6
∴ x¤ -10x+25=(x-5)¤ ={(5+2'6 )-5}¤
=(2'6 )¤ =24
16 x¤ -y¤ -8x+8y=(x+y)(x-y)-8(x-y)
=(x-y)(x+y-8)
='6(9-8)='6
17 양변을 제곱하면 m¤ =n¤ +99, m¤ -n¤ =99 (m+n)(m-n)=1_99=3_33=9_11
⁄ m-n=1, m+n=99이면 n=49
¤ m-n=3, m+n=33이면 n=15
‹ m-n=9, m+n=11이면 n=1 따라서 n의 값은 1, 15, 49이다.
18 x=(a-1)¤ =a¤ -2a+1이므로 yy❶ 'xƒ+6aƒ+3+'xƒ-4aƒ+8
="a√¤ +4√a+4+"a√¤ -6√a+9
="(√a+2)¤ +"(√a-3)¤ yy❷
=a+2-(a-3) (∵ a+2>0, a-3<0)
=5 yy❸
5+2'6 (5-2'6 )(5+2'6 ) 1
5-2'6
❶ x를 a에 관한 식으로 나타내기
❷ 주어진 식의 근호 안을 완전제곱식으로 나타내기
❸ 주어진 식을 간단히 하기
30 % 30 % 40 %
채점 기준 배점
19 5⁄ fl -1=(5° )¤ -1=(5° +1)(5° -1)
=(5° +1)(5› +1)(5› -1)
=(5° +1)(5› +1)(5¤ +1)(5¤ -1)
=(5° +1)(5› +1)(5¤ +1)(5+1)(5-1) 이므로 20과 30 사이의 두 자연수는 24, 26이다.
20 x¤ -x-m이 x의 계수와 상수항이 모두 정수인 두 일차식의 곱 으로 인수분해되려면 m이 연속하는 두 자연수의 곱이어야 한다.
따라서 조건을 만족하는 다항식은
x¤ -x-2, x¤ -x-6, x¤ -x-12, x¤ -x-20, x¤ -x-30, x¤ -x-42의 6개이다.
21 [x, y, z]-[y, z, x]=x¤ +yz-(y¤ +zx)
=x¤ -y¤ +yz-zx
=(x+y)(x-y)-z(x-y)
=(x-y)(x+y-z)
22 xy-3x-3y+2=x(y-3)-3(y-3)-7=0에서
(x-3)(y-3)=7이므로 yy❶
⁄x-3=1, y-3=7일 때, x=4, y=10
¤x-3=7, y-3=1일 때, x=10, y=4
‹x-3=-1, y-3=-7일 때, x=2, y=-4
›x-3=-7, y-3=-1일 때, x=-4, y=2 yy❷ 따라서 정수 x, y는 모두 4쌍이다. yy❸
23 (주어진 식)=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-15
=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)-15 x¤ +5x=A라 하면
(A+4)(A+6)-15
=A¤ +10A+9
=(A+1)(A+9)
=(x¤ +5x+1)(x¤ +5x+9)
따라서 a=5, b=1, c=5, d=9 또는 a=5, b=9, c=5, d=1이므로
a+b+c+d=5+1+5+9=20
24 21¤ +6_21+9=21¤ +2_21_3+3¤
=(21+3)¤ =24¤
=(2‹ _3)¤ =2fl _3¤
이므로 약수의 개수는 (6+1)(2+1)=21(개)
❶ 주어진 식을 변형하기
❷ 정수 x, y를 각각 구하기
❸ 정수 x, y가 몇 쌍인지 구하기
40 %
20 % 40 %
채점 기준 배점
108~109쪽 08. 이차방정식의 뜻과 해
01④ 02④ 03③ 04③
05④ 06② 07① 08③
09⑤ 10② 11③ 12②
13⑤ 14x=-1 155
01
x에 대한 이차방정식은 (x에 대한 이차식)=0의 꼴이다.① 이차식
② 일차방정식
③ x¤ -x¤ -;2!;x=0, -;2!;x=0 (일차방정식)
⑤ 이차방정식이 아니다.
02
(ax+1)(3x-2)=6x¤ +2에서 3ax¤ +(-2a+3)x-2=6x¤ +2 (3a-6)x¤ +(-2a+3)x-4=0 이 방정식이 x에 대한 이차방정식이 되려면 3a-6+0 ∴ a+203
3x¤ -x+1=x¤ +3x-2에서 3x¤ -x+1-x¤ -3x+2=0 2x¤ -4x+3=0∴ a=2, b=-4, c=3
∴ a+b+c=2+(-4)+3=1
04
x=3을 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다.③ 3¤ +5_3-24=0
05
① 1¤ +1+0② (-1)¤ -1-2+0
③ 3¤ -6_3+3+0
④ -1_(-1+3)=-1-1
⑤ (-1+1)(-1-3)+-3
따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ④이다.
06
x=-3일 때, (-3)¤ -3_(-3)-4+0 x=-2일 때, (-2)¤ -3_(-2)-4+0 x=-1일 때, (-1)¤ -3_(-1)-4=0 x=0일 때, 0¤ -3_0-4+0x=1일 때, 1¤ -3_1-4+0
따라서 x¤ -3x-4=0의 해는 x=-1이다.
07
x=-2일 때, (-2)¤ +3_(-2)+2=0 x=-1일 때, (-1)¤ +3_(-1)+2=0 x=0일 때, 0¤ +3_0+2+015
x=k를 대입하면 k¤ +k-1=0∴ 1-k¤ =k, 1-k=k¤ yy❶
∴k+0이므로 + = +
=2+3=5 yy❷
3k¤
k¤
2k k 3k¤
1-k 2k
1-k¤
❶ k에 대한 관계식으로 나타내기
❷ 식의 값 구하기
50 % 50 %
채점 기준 배점
110~111쪽 09. 이차방정식의 풀이
01③ 02⑤ 03① 04①
05④ 06④ 07② 08③
09③ 10④ 11⑤ 12③
13 ③ 14x=-2 또는 x=-3 15x=-;4#;
01
① x=-1 또는 x=;2!;② 2x¤ +x-1=0에서 (x+1)(2x-1)=0
②∴ x=-1 또는 x=;2!;
③ 2x¤ -x-1=0에서 (x-1)(2x+1)=0
②∴ x=1 또는 x=-;2!;
④ ;2!;(x¤ -1)=0에서 ;2!;(x+1)(x-1)=0
②∴ x=-1 또는 x=1
⑤ -;2!;(x¤ +x-2)=0에서 -;2!;(x+2)(x-1)=0
②∴ x=-2 또는 x=1
02
(2x+1)(x-3)=x¤ -9에서 2x¤ -5x-3=x¤ -9, x¤ -5x+6=0 (x-2)(x-3)=0∴ x=2 또는 x=3
03
6x¤ +7x-3=0에서 (3x-1)(2x+3)=0∴ x=;3!; 또는 x=-;2#;
A=;3!;+{-;2#;}=-;6&;, B=;3!;_{-;2#;}=-;2!;
∴ A+B=-;6&;+{-;2!;}=-;3%;
x=1일 때, 1¤ +3_1+2+0 x=2일 때, 2¤ +3_2+2+0
따라서 x¤ +3x+2=0의 해는 x=-1 또는 x=-2이므로 구 하는 값은 (-1)+(-2)=-3
08
2x-2…x+1, x…3인 자연수이므로 x=1, 2, 3을 (x-2)¤ =x에 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다.x=1일 때, (1-2)¤ =1 x=2일 때, (2-2)¤ +2 x=3일 때, (3-2)¤ +3
따라서 (x-2)¤ =x의 해는 x=1이다.
09
x=2를 대입하면 2¤ -5_2+a=0 ∴ a=610
x=-1을 두 이차방정식에 각각 대입하면(-1)¤ -2_(-1)+a=0, 1+2+a=0 ∴ a=-3 3_(-1)¤ +b_(-1)-2=0, 3-b-2=0 ∴ b=1
∴ a+b=-3+1=-2
11
x¤ -px+10=0에 x=2를 대입하면 2¤ -2p+10=0, -2p=-14 ∴ p=7 x¤ -3x+4q=0에 x=7을 대입하면7¤ -3_7+4q=0, 4q=-28 ∴ q=-7
∴ p+q=7+(-7)=0
12
x=k를 대입하면 k¤ -4k-1=0에서 k¤ -4k=1 2k¤ -8k+a=2(k¤ -4k)+a=2_1+a=5∴ a=3
13
x=a를 대입하면 a¤ -5a-1=0a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-5-;a!;=0
∴ a-;a!;=5
14
[단계❶] -3<x…1을 만족하는 정수는 -2, -1, 0, 1이다.[단계❷] x=-2일 때, 2_(-2)¤ +(-2)-1+0 x=-1일 때, 2_(-1)¤ +(-1)-1=0 x=0일 때, 2_0¤ +0-1+0
x=1일 때, 2_1¤ +1-1+0 [단계❸] 따라서 해는 x=-1이다.
❶ -3<x…1을 만족하는 정수 구하기
❷ x의 값을 대입하여 성립하는 등식 찾기
❸ 이차방정식의 해 구하기
30 % 50 % 20 %
채점 기준 배점
04
3x¤ -16x-12=0에서 (3x+2)(x-6)=0∴ x=-;3@; 또는 x=6
따라서 두 근의 곱은 -;3@;_6=-4이다.
x=-4를 x¤ +3x+k=0에 대입하면 (-4)¤ +3_(-4)+k=0
∴ k=-4
05
2x¤ +x-3=0에서 (2x+3)(x-1)=0∴ x=-;2#; 또는 x=1 (x-2)¤ =x, x¤ -5x+4=0 (x-1)(x-4)=0
∴ x=1 또는 x=4
따라서 공통인 해는 x=1이다.
06
(완전제곱식)=0의 꼴로 인수분해되려면 4m+5={ }¤ , 4m+5=25∴ m=5
07
(완전제곱식)=0의 꼴로 인수분해되려면16={-(m+1)}¤ , 16=m¤ +2m+1, m¤ +2m-15=0 (m-3)(m+5)=0
∴ m=3 또는 m=-5
따라서 모든 상수 m의 값의 합은 3+(-5)=-2
08
16x¤ -25=0에서 16x¤ =25 x¤ =;1@6%; ∴ x=—Ƭ;1@6%;=—;4%;09
(x+1)¤ -;4#;=0에서 (x+1)¤ =;4#;x+1=—Æ;4#;, x=-1—
∴ x=
10
3(x+2)¤ -21=0에서 (x+2)¤ =7, x+2=—'7∴ x=-2—'7
11
4(x-a)¤ -20=0에서 (x-a)¤ =5 x-a=—'5 ∴ x=a—'5 따라서 a=3, b=5이므로 a+b=3+5=8-2—'3 2
'3 2 -10
2
12
2x¤ -3x+1=0에서 x¤ -;2#;x+;2!;=0 x¤ -;2#;x=-;2!;, x¤ -;2#;x+;1ª6;=-;2!;+;1ª6;{x-;4#;}¤ =;1¡6; ∴ p=;4#;, q=;1¡6;
∴ p+q=;4#;+;1¡6;=;1!6#;
13
x¤ +10x-7=p에서 x¤ +10x=p+7 x¤ +10x+25=p+7+25, (x+5)¤ =p+32∴ x=-5—'p∂+∂32
이때, x=a—2'1å0=a—'4å0이므로 a=-5 p+32=40에서 p=8
∴ a+p=-5+8=3
14
[단계❶] x의 계수와 상수항을 바꾸어 놓은 이차방정식은 x¤ +2ax+(a+2)=0이므로x=-1을 x¤ +2ax+(a+2)=0에 대입하면 (-1)¤ +2a_(-1)+(a+2)=0 1-2a+a+2=0 ∴ a=3
[단계❷] a=3을 x¤ +(a+2)x+2a=0에 대입하면 x¤ +5x+6=0
[단계❸] (x+2)(x+3)=0
∴ x=-2 또는 x=-3
15
2x¤ -7x+3=0에서 (2x-1)(x-3)=0∴ x=;2!; 또는 x=3
3x¤ -8x-3=0에서 (3x+1)(x-3)=0
∴ x=-;3!; 또는 x=3
따라서 공통인 근은 x=3이다. yy❶
x=3을 4x¤ +ax-9=0에 대입하면
4_3¤ +3a-9=0 ∴ a=-9 yy❷ 4x¤ -9x-9=0, (4x+3)(x-3)=0
∴ x=-;4#; 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 x=-;4#;이다. yy❸
❶ 상수 a의 값 구하기
❷ 처음 이차방정식 구하기
❸ 처음 이차방정식의 해 구하기
40 % 30 % 30 %
채점 기준 배점
❶ 두 이차방정식의 공통인 근 구하기
❷ 상수 a의 값 구하기
❸ 다른 한 근 구하기
40 % 30 % 30 %
채점 기준 배점
09
양변에 6을 곱하면 x¤ -3x-4=0이므로 두 근의 합은 3, 두 근 의 곱은 -4이다.따라서 x¤ 의 계수가 2이고, 두 근의 합과 곱을 해로 갖는 이차방 정식은 2(x+4)(x-3)=0 ∴ 2x¤ +2x-24=0 즉, p=2, q=-24이므로
p+q=2+(-24)=-22
10
다솜이의 생일의 날짜를 x일이라 하면 민우의 생일의 날짜는 (x+7)일이므로 x(x+7)=368, x¤ +7x-368=0 (x+23)(x-16)=0 ∴ x=-23 또는 x=16 x>0이므로 x=16따라서 다솜이와 민우의 생일은 각각 16일, 23일이므로 두 사람 의 생일의 날짜의 합은 16+23=39(일)이다.
11
땅에 떨어질 때의 높이는 0이므로 0=30+25t-5t¤ , t¤ -5t-6=0(t+1)(t-6)=0 ∴ t=-1 또는 t=6 t>0이므로 t=6
따라서 폭죽이 땅에 떨어지는 것은 6초 후이다.
12
넓이가 처음과 같아지는 데 걸리는 시간을 x초라 하면 (24-x)(20+2x)=24_20, x¤ -14x=0 x(x-14)=0 ∴ x=0 또는 x=14 x>0이므로 x=14따라서 넓이가 처음과 같아지는 데는 14초가 걸린다.
13
밭의 가로의 길이를 x m라 하면 세로의 길이는 (x-5) m이다.(x-3)(x-7)=621, x¤ -10x-600=0 (x+20)(x-30)=0 ∴ x=-20 또는 x=30 x>7이므로 x=30
따라서 처음 밭의 가로의 길이는 30 m이다.
14
[단계❶] ;2!;x¤ +x+;4!;=0의 양변에 4를 곱하면 2x¤ +4x+1=0이므로 a+b=-2, ab=;2!;[단계❷] ∴ (b-a)¤ =b¤ -2ab+a¤ =(a+b)¤ -4ab
∴ (b-a)¤=(-2)¤ -4_;2!;=2 [단계❸] x=2를 3x¤ +ax-2=0에 대입하면
3_2¤ +2a-2=0 ∴ a=-5
❶ 두 근의 합과 곱 구하기
❷ (b-a)¤ 의 값 구하기
❸ a의 값 구하기
30 % 40 % 30 %
채점 기준 배점
채점 기준 배점