09~10 강 - 2 6 1 5 4 3 1

1

①

2

⁷₉

3

④

4

⁵₈

5

③

6

③

7

②

8

9

②

10

②

11

①

12

¹₉

13

②

14

120

15

⑤

16

⁷₂

17

18

③

19

②

20

①

21

¹¹⁵₂

22

④

23

⑴ 1 6 ⑵

24

⁵₃

25

p. 50~53 족집게

기출문제

11

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 확률 은 각각

P{X=0}=4C0\6C3 10C3 =1

6 , P{X=1}=4C1\6C2 10C3 =1

2 P{X=2}=4C2\6C1

10C3 =3

10 , P{X=3}=4C3\6C0 10C3 = 1

30 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 0 1 2 3 합계

P{X=x} 1 6

1 2

3 10

30 1

E{X}=0\1 6+1\1

2+2\3

10+3\1 30=6

5 E{X@} =0@\1

6+1@\1

2+2@\ 3

10+3@\ 1 30=2 / V{X} =E{X@}-9E{X}0@=2-[ 65 ]@=14 25

12

확률의 총합은 1이므로 a+1

3+b=1 / a+b=2

3 yy`㉠

E{X}=0\a+1\1

3+2b=1 3+2b E{X@}=0@\a+1@\1

3+2@\b=1 3+4b

/ V{X} =E{X@}-9E{X}0@

3+4b-[ 13+2b]@

=-4[b- 13 ]@+2 3 즉, b=1

3 일 때 분산이 최대이다.

b=1

3 을 ㉠에 대입하면 a+1 3=2

3 / a=1 3 / ab=1

3\1 3=1

13

V{X}=E{X@}-9E{X}0@=125-5@=100이므로 V{Y} =V[ 25X+40]=[ 25 ]@ V{X}

25\100=16 / r{Y}=1V{Y}3=j16k=4

14

E{X}=m, r{X}=r이므로 E{T} =E[20\X-m

r +100]

=20

r E{X}-20m

r +100

=20m r -20m

r +100=100 r{T} =r[20\X-m

r +100]

=|20

r |r{X}=20

r \r=20 / E{T}+r{T}=100+20=120 P{X=1000}=1

8 , P{X=1100}=1 8 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 0 100 500 600 1000 1100 합계 P{X=x} 1

8 1 8

1 4

1 8

8 1

/ E{X} =0\1

8+100\1

8+500\1

4+600\1 4

+1000\1

8 +1100\

1 8

=550

따라서 상금의 기댓값은 550원이다.

8

받을 수 있는 금액을 확률변수 X라고 하면 X가 가질 수 있는 값은 -1000, 5000이고, 그 확률은 각각

P{X=-1000}= x

6+x , P{X=5000}= 6 6+x X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X -1000 5000 합계

P{X=x} x

6+x

6+x 1

이때 X의 기댓값이 1000원이므로 -1000\ x

6+x+5000\ 6

6+x=1000 -1000x+30000

6+x =1000 -x+30=6+x / x=12

9

확률의 총합은 1이므로 1 4+a+1

8+b=1 / a+b=5

8 yy`㉠

E{X}=11 4 이므로 0\1

4+2a+4\1

8+6b=11 4 / a+3b=9

8 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3 8 , b=1

4 / a-b=1

10

X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 1 2 3 합계

P{X=x} 1 12

1 3

12 1

E{X}=1\1 12+2\1

3+3\ 7 12=5

2 E{X@} =1@\ 1

12+2@\1

3+3@\ 7 12=20

3 / V{X} =E{X@}-9E{X}0@=20

3 -[ 52 ]@= 5 12

15

E{X}=770, r{X}=70이므로 E{Y} =E[ 87X+160]=8

7 E{X}+160 =8

7\770+160=1040 r{Y} =r[8

7X+160]=|8

7 |r{X}

7\70=80 / E{Y}

r{Y}=1040 80 =13

16

E{Y}=E{4X-2}=4E{X}-2이므로 6=4E{X}-2 / E{X}=2 E{Y}=6, E{Y@}=60이므로

V{Y} =E{Y@}-9E{Y}0@

=60-6@=24

한편 V{Y}=V{4X-2}=4@ V{X}이므로 24=4@ V{X}

/ V{X}=3 2

/ E{X}+V{X}=2+3 2=7

Y=4X-2에서 Y @=16X@-16X+4 이것을 E{Y @}=60에 대입하면 E{16X@-16X+4}=60 16E{X@}-16E{X}+4=60

이때 E{Y}=E{4X-2}=4E{X}-2에서 E{X}=2이 므로

16E{X@}-32+4=60, 16E{X@}=88 / E{X@}=11

/ V{X} =E{X@}-9E{X}0@

=11 2-2@=3

2 / E{X}+V{X}=2+3

2=7 2

17

확률의 총합은 1이므로

a+b+c=1 yy`㉠

E{X}=1이므로

b+2c=1 yy`㉡

이때 E{X@}=b+4c, V{X}=1 3 이므로

V{X} =E{X@}-9E{X}0@

=b+4c-1=1 3 / b+4c=4

3 yy`㉢

㉡, ㉢을 연립하여 풀면 b=2

3 , c=1 6

b=2 3 , c=1

6을 ㉠에 대입하면 a+2

3+1

6=1 / a=1 6

/ E{2aX+b} =2aE{X}+b

=2\1 6\1+2

3=1

18

확률의 총합은 1이므로

P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}=1 k+4k+9k+16k=1

30k=1 / k= 1 30

X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 1 2 3 4 합계

P{X=x} 1 30

2 15

3 10

15 1

/ E{X}=1\ 1

30+2\2

15+3\3

10+4\ 8 15=10

/ E{6X-5} =6E{X}-5

=6\10 3 -5=15

19

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 9, 11, 13, 15이고, 그 확 률은 모두 1

4 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음 과 같다.

X 9 11 13 15 합계

P{X=x} 1 4

1 4

4 1

E{X}=9\1

4+11\1

4+13\1

4+15\1 4=12 E{X@} =9@\1

4+11@\1

4+13@\1

4+15@\1 4=149 / V{X}=E{X@}-9E{X}0@=149-12@=5 / V{2X+4}=2@ V{X}=4\5=20

20

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 2, 4이고, 그 확률은 각각 다음과 같다.

! X=0인 경우

(짝, 홀, 짝), (홀, 짝, 홀)이므로 그 경우의 수는 2 / P{X=0}=2\[ 12\1

2\1 2 ]=1

@ X=2인 경우

(짝, 짝, 홀), (홀, 짝, 짝), (홀, 홀, 짝), (짝, 홀, 홀) 이므로 그 경우의 수는 4

/ P{X=2}=4\[ 12\1 2\1

2 ]=1 2

# X=4인 경우

(짝, 짝, 짝), (홀, 홀, 홀)이므로 그 경우의 수는 2 / P{X=4}=2\[ 12\1

2\1 2 ]=1

⑵

P{X@=1}

=P{X=-1 또는 X=1}

=P{X=-1}+P{X=1} yy

㈏

6+1 2=2

3 yy

㈐

채점 기준 배점

㈎

a의 값을 구한다. 2점

㈏

P{X@=1}이 나타내는 확률을 찾는다. 2점

㈐

P{X@=1}을 구한다. 2점

24

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3이고, 그 확률은 각각 다음과 같다.

! X=1인 경우

나머지 카드에 적힌 숫자는 2, 3, 4로 3가지이므로 P{X=1}= 3

4C2=1 2

@ X=2인 경우

나머지 카드에 적힌 숫자는 3, 4로 2가지이므로 P{X=2}= 2

4C2=1 3

# X=3인 경우

나머지 카드에 적힌 숫자는 4로 1가지이므로 P{X=3}= 1

4C2 =1 6

X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 1 2 3 합계

P{X=x} 1 2

1 3

6 1

㈎

/ E{X}=1\1 2+2\1

3+3\1 6=5

3 yy

㈏

채점 기준 배점

㈎

X가 가질 수 있는 값과 그 확률을 각각 구한다. 4점

㈏

X의 평균을 구한다. 3점

25

E{X}=m, E{X@}=4m+5이므로

V{X} =E{X@}-9E{X}0@

=4m+5-m@

=-{m-2}@+9 yy

㈎

r{X}=1-{m-32}@+93이므로

r{-2X+5} =|-2|r{X}

=2r{X}

=21-{m-32}@+93 yy

㈏

따라서 m=2일 때, r{-2X+5}는 최댓값 6을 갖는다.

㈐

채점 기준 배점

㈎

V{X}를 m에 대한 식으로 나타낸다. 2점

㈏

r{-2X+5}를 m에 대한 식으로 나타낸다. 2점

㈐

r{-2X+5}의 최댓값을 구한다. 2점

X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 0 2 4 합계

P{X=x} 1 4

1 2

4 1

E{X}=0\1 4+2\1

2+4\1 4=2 E{X@} =0@\1

4+2@\1 2+4@\1

4=6 / V{X}=E{X@}-9E{X}0@=6-2@=2 / r{X}=1V{X}3=j2

21

색종이의 한 변의 길이를 확률변수 X라고 하면 둘레의 길 이는 4X이므로

E{4X}=30에서 4E{X}=30 / E{X}=15

V{4X}=20에서 4@ V{X}=20 / V{X}=5

이때 한 변의 길이가 X인 색종이의 넓이는 X@이고, V{X}=E{X@}-9E{X}0@이므로 색종이의 넓이의 평균은

E{X@} =V{X}+9E{X}0@

=5 4+[15

2 ]@=115 2

22

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, j2, j3이고, 그 확률은 각각 다음과 같다.

! X=1인 경우

정육면체의 모서리의 양 끝점을 택해야 하므로 P{X=1}=12

8C2=3 7

@ X=j2인 경우

정육면체의 각 면의 대각선의 양 끝점을 택해야 하므로 P{X=j2}= 6\28C2 =3

# X=j3인 경우

정육면체의 대각선의 양 끝점을 택해야 하므로 P{X=j3}= 48C2=1

X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 1 j2 j3 합계

P{X=x} 3 7

3 7

7 1

/ E{X@}=1@\3

7+{j2}@\ 37+{j3}@\ 17=12 7 / E{14X@}=14E{X@}=14\12

7 =24

23 ⑴

확률의 총합은 1이므로

P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1 a+2a+3a=1, 6a=1 / a=1

6 yy

㈎

1

^강

이항분포

1

화살을 10발 쏘는 시행은 독립시행이고, 명중률은 0.8이므로 확률변수 X의 확률분포는 이항분포 B{10, 0.8}이다.

2 ⑴

E{X}=15\1 3=5

⑵

V{X}=15\1 3\2

3=10 3

⑶

r{X}=q 10 3 e= j30k3

3

1 6

p. 54

1 ⑴

6명의 환자가 주사를 맞는 시행은 독립시행이고, 주사 를 맞고 치유될 확률이 1

3 이므로 확률변수 X는 이항분 포 B[6, 13 ]을 따른다.

따라서 X의 확률질량함수는 P{X=x}=6Cx[ 13 ]X[

3 ]^_X {x=0, 1, 2, y, 6}

⑵

P{X=4}=6C4[ 13 ]$[

2 3 ]@= 20

243

2

10명이 이벤트에 응모하는 시행은 독립시행이고, 이벤트에 당첨될 확률이 2

5 이므로 확률변수 X는 이항분포 B[10, 25 ]를 따른다.

즉, X의 확률질량함수는 P{X=x}=10Cx[ 25 ]X[

5 ]!)_X {x=0, 1, 2, y, 10}

/ P{X>1} =1-P{X=0}

=1-10C0[ 25 ])[

5 ]!)=1-[3 5 ]!) 따라서 P{X>1}은 ④이다.

3

자유투가 성공하는 횟수를 확률변수 X라고 하면 자유투가 성공할 확률이 0.2이므로 X는 이항분포 B{10, 0.2}를 따 른다.

즉, X의 확률질량함수는

P{X=x}=10Cx 0.2X 0.8!)_X {x=0, 1, 2, y, 10}

따라서 자유투가 성공한 횟수가 한 번 이하일 확률은 P{X<1} =P{X=0}+P{X=1}

=10C0 0.2) 0.8!)+10C1 0.2! 0.8(

=0.107+0.268=0.375

p. 55 교^/과^/서^/속

핵심유형

실전 문제

4

정답을 맞히는 문항 수를 확률변수 X라고 하면 정답을 맞 힐 확률이 1

2 이므로 X는 이항분포 B[10, 12 ]을 따른다.

즉, X의 확률질량함수는 P{X=x}=10Cx[1

2 ]X[

2 ]!)_X=10Cx[

1 2 ]!)

{x=0, 1, 2, y, 10}

따라서 시험 점수가 45점 이상이려면 X>9이어야 하므로 합격할 확률은

P{X>9} =P{X=9}+P{X=10}

=10C9[ 12 ]!)+10C10[1

2 ]!)

= 10 1024+ 1

1024= 11 1024

5

확률변수 X는 이항분포 B[36, 23 ]를 따르므로 E{X}=36\2

3=24, r{X}=q36\ 23\1 3e=2j2

6

확률변수 X는 이항분포 B{20, p}를 따른다.

E{X}=4이므로 20p=4 / p=1 5 이때 V{X}=20\1

5\4 5=16

5 이고, V{X}=E{X@}-9E{X}0@이므로 E{X@} =V{X}+9E{X}0@=16

5 +4@=96 5

7

확률변수 X는 이항분포 B{60, 0.05}를 따르므로 E{X}=60\0.05=3

V{X}=60\0.05\0.95=2.85 따라서 X의 평균은 3, 분산은 2.85이다.

8

확률변수 X는 이항분포 B[50, 25 ]를 따르므로 E{X}=50\2

5=20, V{X}=50\2 5\3

5=12 / E{X}+V{X}=20+12=32

2

^강

정규분포

1

구하는 확률은 y=f{x}의 그래프와

O 1 2

1 2!

y y=f{x}

x축 및 두 직선 x=0, x=1로 둘러 싸인 부분의 넓이와 같으므로 P{0<X<1}=1

2\1\1 2=1

4 p. 56

1

y=f{x}의 그래프와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓 이가 1이므로

2\3\a=1 / a=2 3

2

y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림

O x

y y=f{x}

4 6a

2a 과 같고, y=f{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=4로 둘러싸 인 도형의 넓이가 1이므로

2\{2a+6a}\4=1, 16a=1 / a= 1

3

y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이 므로

2\{2+5}\a=1 7

2 a=1 / a=2 7

따라서 구하는 확률은 오른쪽 그

x O

y=f{x}

5 4 2 1 7@

림에서 y=f{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, x=5로 둘러싸 인 도형의 넓이와 같으므로

P{1<X<5} =1-P{0<X<1}

=1-1 2\1\1

7=13 14

4

y=f{x}의 그래프와 x축 및 두

O 2 4x

2a y

y=f{x}

직선 x=0, x=4로 둘러싸인 도 형의 넓이가 1이므로

2\[ 12\2\2a]=1 4a=1 / a=1

따라서 구하는 확률은 오른쪽 그

x O 1 2 3 4 2!

y=f{x}

림에서 y=f{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, x=3으로 둘 러싸인 도형의 넓이와 같으므로 P{1<X<3} =2\[ 12\1\1

4 ]

=1 4

따라서 P{1<X<3}은 ④이다.

p. 57 교^/과^/서^/속

유형핵심

실전 문제 2 ⑴

N{6, 2@}

⑵

N{-3, 3@}

5 ⑴

세 곡선 A, B, C는 각각 직선 x=m1, x=m2, x=m3 에 대하여 대칭이므로

m1<m2<m3

⑵

표준편차가 클수록 곡선의 가운데 부분의 높이는 낮아 지고 양쪽으로 넓게 퍼진 모양이므로

r2<r1<r3

6

ㄱ. 확률변수 X1의 확률밀도함수의 그래프의 대칭축이 확 률변수 X2의 확률밀도함수의 그래프의 대칭축보다 왼 쪽에 있으므로

E{X1}<E{X2}

ㄴ. 확률변수 X1의 확률밀도함수의 그래프의 가운데 부분 의 높이가 확률변수 X2의 확률밀도함수의 그래프의 가 운데 부분의 높이보다 낮으므로

r{X2}<r{X1}

ㄷ. E{X1}<a이므로 P{X1>a}<0.5 E{X2}>a이므로 P{X2>a}>0.5 / P{X1>a}=P{X2>a}

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

표준정규분포

문서에서 2 6 1 5 4 3 1 (페이지 34-39)