11~13 강 - 2 6 1 5 4 3 1

1

확률변수 X는 정규분포 N{60, 10@}을 따르므로 Z=X-60

10 으로 놓으면 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.

⑴

P{55<X<65} =P[ 55-6010 <Z< 65-6010 ]

=P{-0.5<Z<0.5}

=P{-0.5<Z<0}+P{0<Z<0.5}

=P{0<Z<0.5}+P{0<Z<0.5}

=2P{0<Z<0.5}

=2\0.1915=0.383

⑵

P{X>75} =P[Z> 75-6010 ]=P{Z>1.5}

=P{Z>0}-P{0<Z<1.5}

=0.5-0.4332=0.0668

2

확률변수 X는 정규분포 N{44, 8@}을 따르므로 Z=X-44

8 로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.

/ P{36<X<48} =P[ 36-448 <Z< 48-448 ]

=P{-1<Z<0.5}

=P{-1<Z<0}+P{0<Z<0.5}

=P{0<Z<1}+P{0<Z<0.5}

=0.3413+0.1915=0.5328

3

지원자들의 점수를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{420, 12@}을 따르므로 Z=X-420

12 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.

⑴

P{402<X<432} =P[ 402-42012 <Z< 432-420 12 ]

=P{-1.5<Z<1}

=P{-1.5<Z<0}+P{0<Z<1}

=P{0<Z<1.5}+P{0<Z<1}

=0.4332+0.3413=0.7745 따라서 점수가 402점 이상 432점 이하인 지원자는 전체 의 77.45 %이다.

⑵

P{X>426} =P[Z> 426-42012 ]=P{Z>0.5}

=P{Z>0}-P{0<Z<0.5}

=0.5-0.1915=0.3085 따라서 구하는 지원자의 수는 6000\0.3085=1851(명)

4

신입생의 키를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{165, 4@}을 따르므로 Z=X-165

4 로 놓으면 Z는 표준 정규분포 N{0, 1}을 따른다.

p. 59 교^/과^/서^/속

핵심유형

실전 문제

1

명중시키는 횟수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B[5, 25 ]를 따르므로 X의 확률질량함수는

P{X=x}=5Cx[ 25 ]X[

5 ]%_X {x=0, 1, 2, y, 5}

따라서 이 선수가 4발 이상 명중시킬 확률은

P{X>4} =P{X=4}+P{X=5}

=5C4 [ 25 ]$[

5 ]!+5C5 [2 5 ]%[

5 ])

=240 3125+ 32

3125=272 3125

2

E{X}=18p=6에서 p=1 3 / V{X}=18\1

3\2 3=4 V{X}=E{X@}-9E{X}0@이므로 E{X@} =V{X}+9E{X}0@=4+6@=40

3

P{X=x} =80Cx 3X

4*)=80Cx [ 34 ]X[

1 4 ]*)_X

{x=0, 1, 2, y, 80}

이므로 확률변수 X는 이항분포 B[80, 34 ]을 따른다.

/ E{X}=80\3 4=60

4

확률변수 X는 이항분포 B{20, 0.8}을 따르므로 V{X}=20\0.8\0.2=3.2

5

5종류의 액세서리 중에서 2종류를 택할 때, 2종류 모두 목 걸이일 확률은 2C2

5C2= 1 10

따라서 확률변수 X는 이항분포 B[100, 110 ]을 따르므로 r{X}=q100\ 110\9

10 e=3

6

동전 한 개를 20번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X, 총점을 확률변수 Y라고 하면

Y=3X-{20-X}=4X-20 X는 이항분포 B[20, 1

2 ]을 따르므로 E{X}=20\1

2=10

/ E{Y} =E{4X-20}=4E{X}-20

=4\10-20=20 따라서 총점의 기댓값은 20점이다.

7

ㄱ. -2<x<-1에서 f{x}<0이

x O y y=f{x} 1

-1 -2

-1 므로 확률밀도함수가 아니다.

ㄴ. -2<x<0에서 g{x}>0이고

x -2 O

y=g{x}

y=g{x}의 그래프와 x축 및 두 직

선 x=-2, x=0으로 둘러싸인 도 형의 넓이가

2\1

2=1

이므로 확률밀도함수이다.

ㄷ. y=h{x}의 그래프와 x축 및 두 직

x O y=h{x} y

-2 선 x=-2, x=0으로 둘러싸인 도 2 형의 넓이가

2 \2\2=2

이므로 확률밀도함수가 아니다.

ㄹ. y=i{x}의 그래프와 x축 및 두 직

x O y y=i{x}

-2 선 x=-2, x=0으로 둘러싸인 도 2 형의 넓이가

2\2\2=2

이므로 확률밀도함수가 아니다.

ㅁ. -2<x<0에서 j{x}>0이고

x O y

y=j{x}

-2 y=j{x}의 그래프와 x축 및 두 직 1

선 x=-2, x=0으로 둘러싸인 도형의 넓이가

2\2\1=1

이므로 확률밀도함수이다.

따라서 확률밀도함수가 될 수 있는 것은 ㄴ, ㅁ이다.

8

y=f{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=6으로 둘러 싸인 도형의 넓이가 1이므로

2\{4+6}\a=1, 5a=1 / a=1 5 P{X<k}=4

5 이고 P{X<k}는 오

x O

2 6

y=f{x}

k 른쪽 그림에서 y=f{x}의 그래프와 5!

x축 및 두 직선 x=0, x=k로 둘 러싸인 도형의 넓이와 같으므로

2\{k-2+k}\1 5=4

5 2k-2=8 / k=5

9

ㄱ. 정규분포 곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 P{X>m}=0.5

ㄴ. 정규분포 곡선과 x축 사이의 넓이가 1이므로 P{X<a}+P{X>a}=1

ㄷ. a<b일 때,

m x a b

m x

a b

m a bx / P{a<X<b}=P{X<b}-P{X<a}

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

10

E{X}=8이므로 X의 확률밀도함수의 그래프는 직선 x=8에 대하여 대칭이다.

따라서 P{a<X<a+4}가 최대가 되려면 a+{a+4}

2 =8 2a+4=16 / a=6

11

P{X<k}=0.9772>0.5이므로 P{X<m}+P{m<X<k}=0.9772 0.5+P{m<X<k}=0.9772

/ P{m<X<k}=0.4772 yy`㉠

한편 P{X<m-2r}=0.0228<0.5이므로 P{X<m}-P{m-2r<X<m}=0.0228 0.5-P{m-2r<X<m}=0.0228

/ P{m-2r<X<m}=0.4772 yy`㉡

㉠, ㉡에 의하여

P{m<X<k} =P{m-2r<X<m}

=P{m<X<m+2r}

/ k=m+2r=25+2\10=45

12

두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N{45, 6@}, N{56, 10@}

을 따르므로 Zx=X-45

6 , Zy=Y-56

10 으로 놓으면 Zx, Zy는 모두 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.

P{33<X<k} =P[ 33-456 <Zx< k-456 ]

=P[-2<Zx<k-45 6 ]

P{66<Y<76} =P[ 66-5610 <Zy< 76-5610 ]

=P{1<Zy<2}

=P{-2<Zy<-1}

P{33<X<k}=P{66<Y<76}이므로 k-45

6 =-1, k-45=-6 / k=39

13

화영이의 수학 시험 점수를 각각 표준화하면 1학기 중간고사: 72-45

12 =2.25 1학기 기말고사: 80-50

15 =2 2학기 중간고사: 95-60

20 =1.75 2학기 기말고사: 86-56

16 =1.875

따라서 상대적으로 1학기 중간고사 성적이 가장 높고, 2학 기 중간고사 성적이 가장 낮다.

14

감귤 한 개의 무게를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{100, 20@}을 따르므로 Z=X-100

20 으로 놓으면 Z는 표 준정규분포 N{0, 1}을 따른다.

따라서 택한 감귤의 무게가 80 g 이하일 확률은 P{X<80} =P[Z<80-100

20 ]

=P{Z<-1}

=P{Z<0}-P{-1<Z<0}

=0.5-P{0<Z<1}

=0.5-0.3413

=0.1587

15

학생들의 몸무게를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{62, 6@}을 따르므로 Z=X-62

6 로 놓으면 Z는 표준정 규분포 N{0, 1}을 따른다.

몸무게가 56 kg 이상 74 kg 이하일 확률은 P{56<X<74} =P[56-62

6 <Z< 74-62

6 ]

=P{-1<Z<2}

=P{-1<Z<0}+P{0<Z<2}

=P{0<Z<1}+P{0<Z<2}

=0.3413+0.4772

=0.8185 따라서 구하는 학생 수는 2000\0.8185=1637(명)

16

지원자들의 점수를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{60, 20@}을 따르므로 Z=X-60

20 으로 놓으면 Z는 표준 정규분포 N{0, 1}을 따른다.

입사 가능한 최저 점수를 a점이라고 하면 P{X>a}= 3500

10000=0.35 P[Z>a-60

20 ]=0.35 P{Z>0}-P[0<Z<a-60

20 ]=0.35 0.5-P[0<Z<a-60

20 ]=0.35 / P[0<Z< a-6020 ]=0.15 이때 P{0<Z<0.39}=0.15이므로

a-60

20 =0.39 / a=67.8

따라서 입사 가능한 최저 점수는 67.8점이다.

17

확률변수 X가 이항분포 B[450, 2

3 ]를 따르므로 n=450, p=2

3 이다.

이때 n이 충분히 크고 np=450\2

3=300, npq=450\2

3\1 3=100

이므로 X는 근사적으로 정규분포 N{300, 10@}을 따른다.

즉, Z=X-300

10 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}

을 따른다.

/ P{X<280} =P[Z< 280-30010 ]

=P{Z<-2}

=P{Z<0}-P{-2<Z<0}

=0.5-P{0<Z<2}

=0.5-0.4772=0.0228

18

영화 B를 예매할 확률은 0.2

400명의 관객 중 영화 B를 예매하는 관객 수를 확률변수 X 라고 하면 X는 n=400, p=0.2인 이항분포 B{400, 0.2}를 따른다.

이때 n이 충분히 크고 np=400\0.2=80, npq=400\0.2\0.8=64

이므로 X는 근사적으로 정규분포 N{80, 8@}을 따른다.

즉, Z=X-80

8 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.

따라서 영화 B를 예매하는 관객이 72명 이상일 확률은 P{X>72} =P[Z>72-80

8 ]

=P{Z>-1}

=P{-1<Z<0}+P{Z>0}

=P{0<Z<1}+0.5

=0.3413+0.5

=0.8413

19

108번 중에서 화살을 항아리에 넣는 횟수를 확률변수 X라 고 하면 X는 n=108, p=1

4 인 이항분포 B[108, 1 4 ]을 따 른다.

이때 n이 충분히 크고 np=108\1

4=27, npq=108\1

4\3 4=81

이므로 X는 근사적으로 정규분포 N[27, [9

2 ]@]을 따른다.

즉, Z=X-27 9 2

로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을

따른다.

이때 성공한 횟수가 k번 이상일 확률이 0.023이므로 P{X>k}=0.023

[

^{Z> k-27}⁹

]

^=0.023

P{Z>0}-P

[

0<Z< k-279

]

^=0.023

0.5-P

[

^0<Z< ^k-27⁹

]

^=0.023

/ P

[

0<Z< k-279

]

^=0.477

이때 P{0<Z<2}=0.477이므로 k-27

9 2

=2, k-27=9

/ k=36

20

한 팩에 들어 있는 당도가 12브릭스 미만인 딸기의 개수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B{20, 0.05}를 따른다.

즉, X의 확률질량함수는

P{X=x}=20Cx 0.05X 0.95@)_X {x=0, 1, 2, y, 20}

한 팩에 당도가 12브릭스 미만인 딸기가 2알 이상 들어 있을 확률은

P{X>2} =1-P{X<2}

=1-9P{X=0}+P{X=1}0

=1-{20C0 0.05) 0.95@)+20C1 0.05! 0.95!(}

=1-{0.36+0.38}=0.26

따라서 2팩 중에서 한 팩의 딸기 값을 지불하지 않을 확률은 2C1\0.26\{1-0.26}=0.3848

21

㈎에서 f{80-x}=f{80+x}이면 f{x}의 그래프는 직선 x=80에 대하여 대칭이므로

m=80

확률변수 X는 정규분포 N{80, r@}을 따르므로 Z=X-80

r 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따 른다.

P{m-6<X<m+6} =P{80-6<X<80+6}

=P{74<X<86}

=P[74-80

r <Z< 86-80r ] =P[-6

r <Z<6 r ] =2P[0<Z<6

r ]

=0.8664 / P[0<Z< 6r]=0.4332

이때 P{0<Z<1.5}=0.4332이므로 6

r =1.5 / r=4

/ P{72<X<84} =P[ 72-804 <Z< 84-80

4 ]

=P{-2<Z<1}

=P{-2<Z<0}+P{0<Z<1}

=P{0<Z<2}+P{0<Z<1}

=0.4772+0.3413

=0.8185

22

치약 한 개의 무게를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{160, 5@}을 따르므로 Zx=X-160

5 으로 놓으면 Zx는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.

치약 한 개의 무게가 150 g 이하일 확률은 P{X<150} =P[Zx< 150-1605 ]

=P{Zx<-2}

=P{Zx<0}-P{-2<Zx<0}

=0.5-P{0<Zx<2}

=0.5-0.48

=0.02

한편 제품 2500개 중에서 출고하지 않은 치약의 개수를 확 률변수 Y라고 하면 Y는 n=2500, p=0.02인 이항분포 B{2500, 0.02}를 따른다.

이때 n이 충분히 크고 np=2500\0.02=50, npq=2500\0.02\0.98=49

이므로 Y는 근사적으로 정규분포 N{50, 7@}을 따른다.

즉, Zy=Y-50

7 으로 놓으면 Zy는 표준정규분포 N{0, 1}

을 따른다.

따라서 구하는 확률은 P{Y>57} =P[Zy>57-50

7 ]

=P{Zy>1}

=P{Zy>0}-P{0<Zy<1}

=0.5-0.34

=0.16

23 ⑴

y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로

2\3\k=1, 3

2 k=1

∴ k= 23 yy

㈎

⑵

구하는 확률은 다음 그림에서 y=f{x}의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, x=3으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같 으므로

O x y

y=f{x}

1 3

P{1<X<3} =1-P{0<X<1}

=1-1 2\1\1

= 56 yy

㈏

채점 기준 배점

㈎

^{k의 값을 구한다.} ^3점

㈏

P{1<X<3}을 구한다. 3점

24

배터리의 충전 후 사용 가능 시간은 평균 48시간인 정규분포 를 따르므로 배터리 한 개가 48시간 이상 사용 가능할 확률 은 1

2 이다. yy

㈎

충전 후 사용 가능 시간이 48시간 이상인 배터리의 개수를 확률변수 X라고 하면 X는 n=6, p=1

2 인 이항분포 B[6, 1

2 ]을 따른다.

즉, X의 확률질량함수는 P{X=x} =6Cx[1

2 ]X[

1 2 ]^_X =6Cx[1

2 ]^ {x=0, 1, 2, y, 6}

따라서 충전 후 사용 가능 시간이 48시간 이상인 배터리가 5 개 이상일 확률은

P{X>5} =P{X=5}+P{X=6}

=6C5[1

2 ]^+6C6[1

2 ]^

= 6 64+ 1

64 = 7

64 yy

㈏

채점 기준 배점

㈎

충전 후 48시간 이상 사용 가능할 확률을 구한다. 3점

㈏

충전 후 사용 가능 시간이 48시간 이상인 배터리가 5

개 이상일 확률을 구한다. 4점

25

학생들의 영어 점수를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분 포 N{68, 10@}을 따른다.

즉, Z=X-68

10 로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따

른다. yy

㈎

상위 10 % 이내에 속하기 위한 최소 점수를 c점이라고 하면 P{X>c}=0.1

P[Z>c-68 10 ]=0.1 P{Z>0}-P[0<Z<c-68

10 ]=0.1 0.5-P[0<Z<c-68

10 ]=0.1 / P[0<Z< c-6810 ]=0.4 이때 P{0<Z<1.3}=0.4이므로

c-68 10 =1.3 c-68=13 / c=81

따라서 최소 81점 이상이어야 한다. yy

㈏

채점 기준 배점

㈎

확률변수 X를 정하고 표준화한다. 2점

㈏

상위 10 % 이내에 속하기 위한 최소 점수를 구한다. 5점

표본평균의 분포

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