14~15 강

1

모평균은 m=30, 모분산은 r@=16, 표본의 크기는 n이므로 E{Xk}=m=30

V{Xk}= 16n=1

2 / n=32 / m+n=62

2

모표준편차는 r=18, 표본의 크기는 n이므로 r{Xk}= 18jnk<3에서 jnk>6 / n>36 따라서 n의 최솟값은 36이다.

3

상자에서 구슬 한 개를 꺼낼 때, 구슬에 적힌 숫자를 확률변 수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X -1 1 3 합계

P{X=x} 1 3

1 2

1

6 1

E{X}={-1}\1 3+1\1

2+3\1 6=2

3 E{X@}={-1}@\1

3+1@\1 2+3@\1

6=7 3 / V{X} =E{X@}-9E{X}0@=7

3-[ 23 ]@=17 9

5

모표준편차는 r=2, 표본의 크기는 n=400이므로

⑴

신뢰도 95 %의 신뢰구간의 길이는 2\1.96\ 2

j400l=0.392

⑵

신뢰도 99 %의 신뢰구간의 길이는 2\2.58\ 2

j400l=0.516

6

모표준편차는 r=7, 표본의 크기는 n=196이므로 신뢰도 95 %로 추정한 모평균에 대한 신뢰구간의 길이는

a=2\1.96\ 7

j196l=1.96

또 신뢰도 99 %로 추정한 모평균에 대한 신뢰구간의 길이는 b=2\2.58\ 7

j196l=2.58 / b-a=0.62

이때 P{0<Z<1}=0.3413이므로 jnk2 =1, jnk=2

/ n=4

7

모집단이 정규분포 N{m, 20@}을 따르고 표본의 크기가 25 이므로 표본평균 Xk는 정규분포 N[m, 20@25 ], 즉 N{m, 4@}

을 따른다.

즉, Z=Xk-m

4 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}

을 따르므로

P{|Xk-m|<4} =P{-4<Xk-m<4}

=P{m-4<Xk<m+4}

=P[ m-4-m4 <Z< m+4-m4 ]

=P{-1<Z<1}

=2P{0<Z<1}

=2\0.3413

=0.6826

8

고속버스를 타고 이동하는 데 걸리는 시간을 확률변수 X라 고 하면 X는 정규분포 N{4.5, 0.5@}을 따르므로 n번 측정 한 시간의 표본평균 Xk는 정규분포 N[4.5, 0.5@n ]을 따른다.

즉, Z=Xk-4.5 0.5 jnk

로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을

따르므로 P{Xk>5}=0.0013에서 P

[

Z> 5-4.5

0.5

jnk

]

^=0.0013

P{Z>jnk}=0.0013

P{Z>0}-P{0<Z<jnk}=0.0013 0.5-P{0<Z<jnk}=0.0013 / P{0<Z<jnk}=0.4987 이때 P{0<Z<3}=0.4987이므로 jnk=3 / n=9

9

표본평균은 xk=60, 모표준편차는 r=15, 표본의 크기는 n=25이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 60-1.96\ 15

j25k<m<60+1.96\15 / 54.12<m<65.88 j25k

10

표본의 크기는 n=400으로 충분히 크고, 표본평균은 xk=50, 표본표준편차는 S=15이므로 모평균 m에 대한 신 뢰도 95 %의 신뢰구간은

50-1.96\ 15

j400k<m<50+1.96\ 15 j400k / 48.53<m<51.47

따라서 신뢰구간에 속하는 정수는 49, 50, 51의 3개이다.

이때 표본의 크기는 n=3이므로

E{Xk}= 23 , V{Xk}=

17 9 3 =17

27 V{Xk}=E{Xk @}-9E{Xk}0@에서

E{Xk @} =V{Xk}+9E{Xk}0@

=17 27+[2

3 ]@=29 27

4

^E{X}=0\1₅^+1\1₂^+2\₁₀^{3 =11}₁₀

E{X@}=0@\1 5+1@\1

2+2@\ 3 10=17

10

/ V{X} =E{X@}-9E{X}0@

=17 10-[11

10 ]@=49 100 이때 V{Xk}= 49900 이므로

49 100

n = 49

900 / n=9

5

로션 한 개의 용량을 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{200, 4@}을 따르므로 로션 64개의 용량의 표본평균 Xk는 정규분포 N[200, 4@64 ], 즉 N{200, 0.5@}을 따른다.

즉, Z=Xk-200

0.5 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}

을 따른다.

따라서 로션의 평균 용량이 199 mL 이상 201 mL 이하일 확 률은

P{199<Xk<201} =P[199-200

0.5 <Z<201-200 0.5 ]

=P{-2<Z<2}

=2P{0<Z<2}

=2\0.4772=0.9544

6

모집단이 정규분포 N{80, 10@}을 따르고 표본의 크기가 n 이므로 표본평균 Xk는 정규분포 N[80, 10@n ]을 따른다.

즉, Z=Xk-80 10 jnk

으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}

을 따르므로 P{Xk<75}=0.1587에서 P

[

Z< 75-8010

jnk

]

^=0.1587

P[Z<- jnk2 ]=0.1587 P[Z> jnk2 ]=0.1587

0.5-P[0<Z< jnk2 ]=0.1587 / P[0<Z< jnk2 ]=0.3413

11

모표준편차는 r=4, 표본평균은 xk=27이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은

27-2.58\ 4

jnk<m<27+2.58\ 4 이때 26.14<m<27.86이므로 jnk 2.58\ 4

jnk=0.86, jnk=12 / n=144

12

표본평균은 xk, 모표준편차는 5이므로 모평균 m에 대한 신 뢰도 95 %의 신뢰구간은

xk-1.96\ 5jnk<m<xk+1.96\ 5jnk 이때 199.3<m<200.7이므로

xk-1.96\ 5jnk=199.3, xk+1.96\ 5jnk=200.7 위의 두 식을 연립하여 풀면

xX=200, n=196 / n+xX=396

13

표본의 크기는 n=900으로 충분히 크고, 표본표준편차는 S=2이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간의 길이는

2\2.58\ 2

j900k=0.344

14

P{|Z|<a}=0.9, P{|Z|<b}=0.95, P{|Z|<c}=0.99 라고 하면 각각의 신뢰구간의 길이는

① 2a\ r j100k=ar

5

② 2b\ r j100k=br

5

③ 2c\ r j100k=cr

5

④ 2b\ r j400k=br

10

⑤ 2c\ r j400k=cr

10 이때 a<b<c이므로

ar 5 <br

5 <cr 5 ,

br 10<cr

10<cr 5

따라서 신뢰구간의 길이가 가장 긴 것은 ③이다.

15

모표준편차를 r, P{|Z|<k}= a

100 라 하고, 모평균을 신 뢰도 a %로 추정할 때, 표본의 크기는 100, 신뢰구간의 길 이는 16이므로

2k\ r

j100k=16 / kr=80

모평균을 신뢰도 a %로 추정할 때, 구하는 표본의 크기를 n이라고 하면 신뢰구간의 길이는 8이므로 2k\r

jnk=8 이때 kr=80이므로

160

jnk=8, jnk=20 / n=400 따라서 표본의 크기는 400으로 해야 한다.

16

모표준편차는 r=10이고, 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간의 길이가 0.98 이하가 되어야 하므로

2\1.96\10 jnk<0.98 jnk>40

/ n>1600

따라서 n의 최솟값은 1600이다.

17

표본평균은 xk, 모표준편차는 r=30이고, 표본의 크기를 n 이라고 하면 신뢰도 95 %로 추정한 모평균 m에 대한 신뢰구 간은

xk-2\ 30

jnk<m<xk+2\ 30 jnk -60

jnk<m-xk< 60 jnk / |m-xk|< 60

모평균 m과 표본평균 xjnk k의 차가 6 이하가 되려면 60

jnk<6, jn k>10 / n>100

따라서 최소 100개의 표본을 조사해야 한다.

18

정규분포 N{m, r@} {r>0}을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 a % 의 신뢰구간의 길이는

2k\ r

jnk [단, P{|Z|<k}= a 100 ]

ㄱ. 신뢰도 a %가 일정하면 k의 값이 일정하므로 표본의 크기 n이 커질수록 2k\r

jnk의 값은 작아진다.

즉, 신뢰구간의 길이는 짧아진다.

ㄴ. 표본의 크기 n이 일정할 때, 신뢰도 a %를 높일수록 k 의 값이 커지므로 2k\ r

jnk의 값은 커진다.

즉, 신뢰구간의 길이는 길어진다.

ㄷ. 표본의 크기 n을 크게 하여도 신뢰도 a %를 높이면 k 의 값이 같이 커지므로 2k\ r

jnk의 값이 반드시 작아진 다고 할 수 없다.

즉, 신뢰구간의 길이는 짧아진다고 할 수 없다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

19

초콜릿 한 개의 무게를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분 포 N{6, 1@}을 따르므로 초콜릿 4개의 무게의 평균을 Xk라 고 하면 Xk는 정규분포 N[6, 1@4 ], 즉 N{6, 0.5@}을 따른다.

즉, Z=Xk-6

0.5 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.

초콜릿 4개가 들어 있는 세트 한 개의 무게는 X1+X2+X3+X4=4Xk

따라서 초콜릿 세트가 중량 미달로 판매되지 못할 확률은 P{4Xk<20} =P{Xk<5}

=P[Z< 5-60.5 ]

=P{Z<-2}

=P{Z<0}-P{-2<Z<0}

=0.5-P{0<Z<2}

=0.5-0.4772=0.0228

20

P{|Z|<k}= a

100 라고 하면 모표준편차는 r=10, 표본의 크기는 n=100, 표본평균은 xk=70이므로 모평균 m에 대 한 신뢰도 a %의 신뢰구간은

70-k\ 10

j100k<m<70+k\ 10 j100k / 70-k<m<70+k

68.35<m<71.65이므로 k=1.65 이때 P{0<Z<1.65}=0.45이므로

P{|Z|<1.65} =P{-1.65<Z<1.65}

=2P{0<Z<1.65}

=2\0.45=0.9 따라서 0.9= a

100 이므로 a=90

21

모표준편차를 r라고 하면 b-a=2\2.58\ r

j100k=0.516r d-c=2\2.58\r

jnk=5.16\ r jnk d-c=2{b-a}이므로

5.16\ r

jnk=2\0.516r jnk=5 / n=25

22

주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 공에 적힌 숫자를 확률변 수 X라 하고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 1 2 3 합계

P{X=x} 1 6

1 3

1

2 1

E{X}=1\1 6+2\1

3+3\1 2=7

3 E{X@}=1@\1

6+2@\1 3+3@\1

2=6

/ V{X} =E{X@}-9E{X}0@

=6-[ 73 ]@=5

9 yy

㈎

이때 표본의 크기는 n=4이므로

E{Xk}= 73 , V{Xk}=

5 9 4 =5

36 yy

㈏

E{3Xk-1}=3E{Xk}-1=3\ 73-1=6 V{6Xk}=6@ V{Xk}=36\ 536=5

/ E{3Xk-1}+V{6Xk}=6+5=11 yy

㈐

채점 기준 배점

㈎

모평균 E{X}와 모분산 V{X}를 구한다. 2점

㈏

^{표본평균 E{X}X}와 표본분산 V{XX}를 구한다. 2점

㈐

^E{3XX-1}+V{6XX}의 값을 구한다. 2점

23

감나무에 달린 감의 개수를 확률변수 X라고 하면 X는 정 규분포 N{200, 50@}을 따르므로 n그루에 달린 감의 개수의 표본평균 Xk는 정규분포 N[200, 50@n ]을 따른다.

즉, Z=Xk-200 50 jnk

으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N{0, 1}

을 따른다. yy

㈎

P{Xk>200+8jnk}<0.1에서 P

[

Z> 200+8jnk-20050

jnk

]

^<0.1

P{Z>0.16n}<0.1

P{Z>0}-P{0<Z<0.16n}<0.1 0.5-P{0<Z<0.16n}<0.1

/ P{0<Z<0.16n}>0.4 yy

㈏

이때 P{0<Z<1.28}=0.4이므로

0.16n>1.28 / n>8

따라서 n의 최솟값은 8이다. yy

㈐

채점 기준 배점

㈎

Xk가 따르는 확률분포를 구하고 표준화한다. 2점

㈏

^P{Xk>200+8jn k}<0.1을 확률변수 Z에 대한 식으

로 변형한다. 3점

㈐

n의 최솟값을 구한다. 2점

24

^{표본평균을 x}k라고 하면 모표준편차는 r, 표본의 크기는 n 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은 xk-2.58\ r

jnk<m<xk+2.58\ r

jnk yy

㈎

이때 19.68<m<40.32이므로

xk-2.58\ r

jnk=19.68 xk+2.58\r

jnk=40.32 위의 두 식을 연립하여 풀면 xk=30, r

jnk=4 yy

㈏

따라서 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 30-1.96\4<m<30+1.96\4

/ 22.16<m<37.84 yy

㈐

채점 기준 배점

㈎

모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간을 구한다. 2점

㈏

표본평균 xk의 값과 r

jn k의 값을 구한다. 3점

㈐

모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간을 구한다. 2점

내공 점검

1

A, B를 한 명으로 생각하면 {n-1}명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {n-2}?

이때 A, B가 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2?=2

따라서 A, B가 이웃하게 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {n-2}?\2

이 경우의 수가 240이므로

{n-2}?\2=240, {n-2}?=120=5?

n-2=5 / n=7

2

이웃한 두 수의 곱이 항상 짝수이려면 홀수끼리 이웃하지 않도록 배열해야 하므로 짝수를 원형으로 배열한 후 그 사 이사이의 자리에 홀수를 배열하면 된다.

짝수 2, 4, 6, 8, 10을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {5-1}?=4?=24

짝수 사이사이의 5개의 자리에 홀수 1, 3, 5, 7, 9를 배열하 는 방법의 수는 5?=120

따라서 구하는 방법의 수는 24\120=2880

3

정육각형 모양의 영역을 칠하는 방법의 수는 2이다.

반원 6개를 나머지 6가지 색으로 칠하는 방법의 수는 {6-1}?=5?=120

따라서 구하는 방법의 수는 2\120=240

4

8명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 {8-1}?=7?

이때 직사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 4 가지씩 있다.

1 2 3

7 6 5 4 8

8 1 2

6 5 4 3 7

7 8 1

5 4 3 2 6

6 7 8

4 3 2 1 5

따라서 구하는 방법의 수는 7?\4

1

④

2

③

3

②

4

③

5

15

6

④

7

100

8

④

9

①

10

①

11

720

12

162

13

38

p. 74~75 내공 점검

01~02^강

5

전구 4개를 각각 켜거나 끄는 경우의 수는

2T4=2$=16

이때 전구가 모두 꺼진 경우는 신호에서 제외해야 하므로 구하는 신호의 개수는 16-1=15

6

만들 수 있는 한 자리의 자연수의 개수는 3 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는 3\4T1=3\4=12

만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 3\4T2=3\4@=48

즉, 1000보다 작은 자연수의 개수는 3+12+48=63

따라서 1000은 64번째 수이다.

7

f{2}=5이므로 f{2}의 값이 될 수 있는 수는 1, 3, 7, 9의 4개이고, Y의 원소 1, 3, 5, 7, 9의 5개에서 중복을 허용하 여 2개를 택하여 X의 원소 1, 3에 대응시키면 된다.

따라서 구하는 함수의 개수는 4\5T2=4\5@=100

8

7개의 숫자 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3을 일렬로 배열하는 경우의

수는

7?

3?\2?\2?=210

이때 1112233은 제외하므로 구하는 자연수의 개수는 210-1=209

9

8개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 8?

2?\2?=10080

이때 양 끝에 서로 다른 문자를 배열하는 경우의 수는 전체 경우의 수에서 양 끝에 서로 같은 문자를 배열하는 경우의 수를 빼면 된다.

! 양 끝에 t를 배열하는 경우

나머지 문자 e, x, b, o, o, k를 일렬로 배열하는 경우 의 수는 6?

2?=360

@ 양 끝에 o를 배열하는 경우

나머지 문자 t, e, x, t, b, k를 일렬로 배열하는 경우 의 수는 6?

2?=360

!, @에 의하여 양 끝에 서로 같은 문자를 배열하는 경우 의 수는 360+360=720

따라서 구하는 경우의 수는 10080-720=9360

10

오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 잡으면 지점 A에서 지점 B까 지 가는 최단 경로의 수는 다음과 같 이 나누어 생각할 수 있다.

A

P

B R Q

1

구하는 방법의 수는 서로 다른 3개 중에서 8개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 3H8=10C8=10C2=45

2

먼저 사과, 포도, 딸기, 배를 각각 1개씩 꺼내고, 나머지 4개 의 과일을 꺼내면 된다.

따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 4개를 택하 는 중복조합의 수와 같으므로 4H4=7C4=7C3=35

3

{a+b+c}에서 서로 다른 항의 개수는 3이다.

{x+y+z}%을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수는 서 로 다른 3개의 문자 x, y, z 중에서 5개를 택하는 중복조합 의 수와 같으므로 3H5=7C5=7C2=21

따라서 구하는 항의 개수는 3\21=63

4

X=x+1, Y=y, Z=z-1, W=w-2로 놓으면 X, Y, Z, W는 음이 아닌 정수이다.

이때 x=X-1, y=Y, z=Z+1, w=W+2를 방정식 x+y+z+w=10에 대입하면

{X-1}+Y+{Z+1}+{W+2}=10

/ X+Y+Z+W=8 yy`㉠

따라서 구하는 순서쌍 {x, y, z, w}의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

즉, 구하는 순서쌍 {x, y, z, w}의 개수는 4개의 문자 X, Y, Z, W 중에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 4H8=11C8=11C3=165

1

⑤

2

⑤

3

③

4

165

5

⑤

6

⁴₃

7

③

8

1

9

③

10

③

11

③

12

210

13

2

14

11

p. 76~77 내공 점검

03~04^강 ! A`!`P`!`B인 경우: 1\ 6?5?=6

@ A`!`Q`!`B인 경우: 4?3?\ 4?

2?\2?=24 # A`!`R`!`B인 경우: 1\ 4?3?=4

!, @, #에 의하여 구하는 최단 경로의 수는 6+24+4=34

오른쪽 그림과 같이 두 도로 l, m이 있다고 가정하면 지점 A에서 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는

8?

5?\3?=56

지점 A에서 도로 L을 거쳐 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는 2?\1\5?

4?=10

지점 A에서 도로 m을 거쳐 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는 3?

2?\1\4?

3?=12

따라서 구하는 최단 경로의 수는 56-{10+12}=34

11

성호의 자리를 고정하면 윤주가 앉는 방법의 수는 1

yy`㈎

나머지 6명이 앉는 방법의 수는 6명을 일렬로 배열하는 순 열의 수와 같으므로

6?=720 yy`㈏

따라서 구하는 방법의 수는

1\720=720 yy`㈐

채점 기준 배점

㈎

성호, 윤주가 앉는 방법의 수를 구한다. 4점

㈏

나머지 6명이 앉는 방법의 수를 구한다. 4점

㈐

8명의 학생이 앉는 방법의 수를 구한다. 2점

12

5의 배수이려면 일의 자리의 숫자가 0이어야 하므로 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0으로 1개이다. yy`㈎

이때 십만의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 2개이다.

yy`㈏

또 나머지 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 3개이다. yy`㈐

따라서 구하는 5의 배수의 개수는

1\2\3T4=1\2\3$=162 yy`㈑

채점 기준 배점

㈎

일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수를 구한다. 2점

㈏

십만의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수를 구한다. 2점

㈐

나머지 각 자리에 올 수 있는 숫자의 개수를 구한다. 2점

㈑

5의 배수의 개수를 구한다. 4점

13

4개의 문자를 택하는 방법은

a, a, a, b 또는 a, a, a, c 또는 a, a, b, b 또는 a, a, b, c 또는 a, b, b, c 로 5가지 경우가 있다.

A L m

B

! a, a, a, b 또는 a, a, a, c를 일렬로 배열하는 방법의 수는 각각 4?

3?=4

@ a, a, b, b를 일렬로 배열하는 방법의 수는 4?

2?\2?=6

# a, a, b, c 또는 a, b, b, c를 일렬로 배열하는 방법의 수는 각각 4?

2?=12 yy`㈎

!, @, #에 의하여 구하는 방법의 수는

2\4+6+2\12=38 yy`㈏

채점 기준 배점

㈎

4개의 문자를 택하는 각 경우에 대하여 일렬로 배열하

는 방법의 수를 구한다. 6점

㈏

4개의 문자를 일렬로 배열하는 방법의 수를 구한다. 4점

문서에서 2 6 1 5 4 3 1 (페이지 46-64)