2.4. 분석자료
3.2.1. 가격에 대한 확률과정
기초자산의 가격 움직임은 확률미분방정식(Stochastic Differential Equation, SDE)으로 축약하여 나타낼 수 있다. 일정한 추세를 가지 면서 평균이 0이고 분산이 1인 무작위 가격 움직임을 보이는 확률 과정은 다음 식 (3.1)과 같다. 이는 기하브라운운동(Geometric Brownian Motion, GBM)으로 널리 알려져 있다.
혹은
(3.1)여기서
는 기초자산의 가격을 의미하고, 는 기준시간당 평균율 (drift)을 나타낸다. 는 표준편차이고, 은 평균이 0이고, 분산이 1 인 표준정규분포로부터 추출한 난수를 의미한다. 는 시간단위를 나타낸다.
는 위너과정(Wiener process, )이라 한다.기하브라운운동을 전제하여 미래의 가격 움직임을 생성하는 경우, 시작가격이 0에 근접하면 할수록 음(-)의 가격이 발생할 가능성이 커지는 단점이 있다. 따라서 기초자산의 가격
를 log
로 변환하여 사용한다. 이는 Ito의 정리(Ito’s lemma)12)에 따라 식 (3.2)와
(3.3)에 대한 이산형 확률과정은 다음 식 (3.4)와 같다.
(3.4)이상의 GBM 확률과정은 기초자산이 일정한 추세만 있고, 위너과 정을 한다는 전제에서 표현되었다. 그러나 실물자산은 수요와 공급 에 따라 가격이 특정 균형값에서 변동하는 현상이 많이 나타난다.
즉, 가격이 높은 경우에는 공급이 증가하여 가격이 낮아지고, 가격 이 낮은 경우에는 공급이 감소하여 가격이 다시 상승하는 현상이 나타나게 된다. 이와 같은 현상을 평균회귀(mean reversion) 현상 이라 하고 다음 식 (3.5)와 같이 SDE로 나타낼 수 있다.
(3.5)여기서 는 평균회귀속도(speed of mean-reverting)를 나타내고,
는 균형값을 나타낸다. 따라서 균형값
보다 높은
값이 출현하 는 경우에는
가 음(-)이 되어 낮아지고, 반대로 균형값
보 다 낮게
값이 출현하는 경우에는
가 양(-)이 되어 높아진 다. 그리고 에 의해 조정폭이 결정되게 된다. 이 모형은 이자율 및 실물자산의 확률과정을 나타내는 모형으로 널리 사용되고, Ornstein-Uhlenbeck 과정으로 불린다.식 (3.5)의 위험중립측도하에서의 확률과정의 변환은 Girsanov의 정리에 따라 평균율(drift)의 변환을 통해서 가능하다. 만약 배당수
,
, ,
익(dividend yield) 또는 편의수익(convenience yield)이 존재하면, 위험중립측도하의 평균율 는 (은 무위험이자율, 배당수익 또는 편의수익)이 될 것이다. 평균회귀모형의 실제세계(real world) 에서의 평균율 는
에 해당한다. 이를 로 정리하면 다음 식 (3.6)과 같다.
(3.6)위 식 (3.6)을 이용하여 위험중립측도하에서의 평균율 를 정 리하면 평균회귀모형의 평균율은 다음 식 (3.7)과 같이 된다.
(3.7)식 (3.5)의 평균회귀모형에서 평균율
을 식 (3.7)의
로 변환하면 위험중립측도하의 평균회귀모형을 얻 을 수 있다.그리고 위험중립측도를 고려하여 이산형 확률과정으로 나타내면 식 (3.8)과 같다(Dixit and Pindyck, 1994).
(3.8)
실물자산의 경우 특수한 충격이 발생하면 가격이 폭등하거나 폭 락하는 현상이 나타날 수 있다. 예를 들어, 농산물은 태풍이나 폭우 등으로 생산량이 급감할 수 있고, 이는 가격 폭등을 야기할 수 있 다. 또한, 축산물은 가축전염병이 발생하면 전염병 확산 방지를 위
하여 기존 가축을 살처분하게 된다. 이로 말미암아 생산량이 급감하 게 되고 가격은 폭등하는 현상이 나타난다. 이러한 특징을 확률과정 에 반영하기 위해서는 점프(jump)가 반영된 평균회귀 과정을 모색 할 필요가 있다. 다음 식 (3.9)는 점프가 반영된 평균회귀 과정을 나타낸다.
,
(3.9)
식 (3.8)에서 는 점프를 생성하는 포아송(poisson) 과정이다. 는 백분율로 측정한 점프의 평균 크기를 의미하고, 는 점프(jump) 의 연평균 발생 횟수를 의미한다. 점프를 나타내는 새로운 항 는 점프의 발생이 의 확률로 발생하고, 의 확률로 점프가 발생하 지 않는 분포를 나타낸다. 이에 대한 이산화는 평균회귀 SDE의 이 산형 확률과정인 식 (3.8)에 점프과정을 포함함으로써 다음 식 (3.10)과 같이 구현할 수 있다.
(3.10)