01 2x@-5x-1=0에서
a=2, b=-5, c=-1이므로
b@-4ac={-5}@-4\2\{-1}=33
따라서 b@-4ac>0이므로 근의 개수는 2이다. 33, 2 02 3x@+5x+3=0에서
a=3, b=5, c=3이므로 b@-4ac=5@-4\3\3=-11
따라서 b@-4ac<0이므로 근의 개수는 0이다. -11, 0 03 x@+4x+4=0에서
a=1, b=4, c=4이므로 b@-4ac=4@-4\1\4=0
따라서 b@-4ac=0이므로 근의 개수는 1이다. 0, 1 04 x@-x+5=0에서 {-1}@-4\1\5=-19<0
따라서 근의 개수는 0이다. 0
05 3x@+2x-1=0에서 2@-4\3\{-1}=16>0
따라서 근의 개수는 2이다. 2
06 4x@-12x+9=0에서 {-12}@-4\4\9=0
따라서 근의 개수는 1이다. 1
07 {x+1}{x-5}=0, x@-4x-5=0 x@-4x-5=0 08 [x- 12 ][x-1
3 ]=0, x@-5 6x+1
6=0 x@-5
6x+1 6=0 09 {x-5}@=0, x@-10x+25=0 x@-10x+25=0 10 3+j5
11 2-j7 12 x+1
13 x{x+1}=132에서 x@+x-132=0 {x+12}{x-11}=0
/ x=11 {∵ x는 자연수} 11
14 11, 12
15 {20-x}{15-x}`m@
16 {20-x}{15-x}=204에서 x@-35x+300=204 x@-35x+96=0, {x-3}{x-32}=0
이때 0<x<15이므로 x=3
따라서 도로의 폭은 3`m이다. 3`m
17 60x-5x@=160에서 5x@-60x+160=0 x@-12x+32=0, {x-4}{x-8}=0 / x=4 또는 x=8
따라서 공의 높이가 160`m가 되는 것은 공을 쏘아 올린 지 4초 후일 때와 8초 후일 때이다. 4초, 8초
06. 이차방정식의 활용
18 60x-5x@=0에서 x@-12x=0 x{x-12}=0 / x=0 또는 x=12따라서 x>0이므로 공이 다시 지면에 떨어지는 것은 공을
쏘아 올린 지 12초 후이다. 12초
1 ①• •㉠
②• •㉡
③• •㉢
④• •㉣
01
① {-3}@-4\2\1>0 ⇨ 근의 개수는 2이다.② {-2}@-4\4\{-1}>0 ⇨ 근의 개수는 2이다.
③ 2@-4\1\{-1}>0 ⇨ 근의 개수는 2이다.
④ {-4}@-4\3\3<0 ⇨ 근의 개수는 0이다.
⑤ {-9}@-4\3\{-2}>0 ⇨ 근의 개수는 2이다.
따라서 근의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. ④
02
ㄱ. m=-3, n=2이면 x@-3x+2=0에서{-3}@-4\1\2>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
ㄴ. m=0, n=9이면 x@+9=0에서 0@-4\1\9<0이므로 근이 없다.
ㄷ. m=2, n=1이면 x@+2x+1=0에서 2@-4\1\1=0이므로 중근을 갖는다.
ㄹ. n<0이면 m@-4n>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. ㄱ, ㄹ
03
2x@-5x-3=0에서{-5}@-4\2\{-3}>0 / a=2 1
5x@-2x+5=0에서 {-2}@-4\1
5\5=0 / b=1 -2{x+1}@=4에서 {x+1}@=-2
x@+2x+3=0이므로 2@-4\1\3<0 / c=0
/ a-b+c=2-1+0=1 1
04
x@+k{2x-3}+4=0에서 x@+2kx-3k+4=0이므로 {2k}@-4{-3k+4}=0, 4k@+12k-16=0k@+3k-4=0, {k+4}{k-1}=0 / k=-4 또는 k=1
이때 k>0이므로 k=1 1
ਬഋ
BIBLE 96~101쪽이차방정식의 성질
15
THEME 96~97쪽
알고 있나요?
다른 풀이 x@+2kx-3k+4=0에서 [ 2k2 ]@=-3k+4
k@+3k-4=0, {k+4}{k-1}=0 / k=-4 또는 k=1
이때 k>0이므로 k=1
05
x@-4x+p=0에서{-4}@-4p=0, 16-4p=0 / p=4
x@-2{p+1}x+q=0에서 x@-10x+q=0, {-10}@-4q=0 100-4q=0 / q=25 / qq
p=q 254 w=5
2 ②
06
x@+6x+{k-3}=0에서 6@-4\1\{k-3}=0 -4k+48=0 / k=12k=12를 x@+{k-5}x+2{k-7}=0에 대입하면 x@+7x+10=0, {x+5}{x+2}=0
/ x=-5 또는 x=-2 ①, ②
07
이차방정식 2x@-8x+k-5=0이 근을 가지므로 {-8}@-4\2\{k-5}>0에서64-8k+40>0, -8k>-104
/ k<13 ⑤
08
이차방정식 x@+4x+k-2=0의 해가 없으므로 4@-4{k-2}<0에서16-4k+8<0, -4k<-24 / k>6
따라서 k의 값이 될 수 있는 것은 ⑤이다. ⑤
09
이차방정식 x@+2x+a=0이 서로 다른 두 근을 가지므로2@-4\1\a>0에서 4-4a>0
/ a<1 yy ㉠
이차방정식 x@+{a+1}x+1=0이 중근을 가지므로 {a+1}@-4\1\1=0에서
a@+2a+1-4=0, a@+2a-3=0 {a+3}{a-1}=0
/ a=-3 또는 a=1 yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=-3 -3
10
두 근이 -13 , 2이고 x@의 계수가 6인 이차방정식은 6[x+ 13 ]{x-2}=0, 6[x@- 53x-23 ]=0 6x@-10x-4=0
따라서 a=6, b=-10, c=-4이므로
a+b-c=6+{-10}-{-4}=0 ③
11
x@의 계수가 3이고 중근 x=3을 가지므로 3{x-3}@=0에서 3{x@-6x+9}=0 3x@-18x+27=0 / a=18, b=27/ a+b=18+27=45 45
12
이차방정식 x@+ax+b=0의 두 근이 2, 4이므로 {x-2}{x-4}=0에서 x@-6x+8=0/ a=-6, b=8 y❶
따라서 x@의 계수가 2이고 -6, 8을 두 근으로 하는 이차방 정식은 2{x+6}{x-8}=0
/ 2x@-4x-96=0 y❷
2x@-4x-96=0
채점 기준 배점
❶ a, b의 값 각각 구하기 60 %
❷ 주어진 조건에 맞는 이차방정식 구하기 40 %
01
대각선의 개수가 54이므로 n{n-3}2 =54 n@-3n-108=0, {n+9}{n-12}=0 / n=12`{∵ n>3}
따라서 구하는 정다각형은 정십이각형이다. ②
02
n{n-1}2 =190이므로n@-n-380=0, {n+19}{n-20}=0 / n=20`{∵ n>1}
따라서 이 모임의 회원은 모두 20명이다. 20명
03
n{n+1}2 =36이므로n@+n-72=0, {n+9}{n-8}=0 / n=8`{∵ n>0}
따라서 구하는 삼각형 모양은 8단계이다. 8단계
04
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면{x+1}@=x@+{x-1}@-12 x@+2x+1=x@+x@-2x+1-12 x@-4x-12=0, {x+2}{x-6}=0 / x=6`{∵ x는 자연수}
따라서 세 자연수는 5, 6, 7이므로 구하는 합은
5+6+7=18 ④
05
연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면 x@+{x+2}@=164, 2x@+4x+4=164 x@+2x-80=0, {x-8}{x+10}=0 / x=8`{∵ x는 자연수}따라서 두 짝수는 8, `10이므로 구하는 곱은
8\10=80 80
이차방정식의 활용
16
THEME 98~101쪽
06. 이차방정식의 활용
43
06
어떤 자연수를 x라 하면 2x=x@-35, x@-2x-35=0{x+5}{x-7}=0 / x=7`{∵ x는 자연수}
따라서 어떤 자연수는 7이다. ③
07
십의 자리의 수를 x라 하면 일의 자리의 수는 7-x이므로 이 두 자리의 자연수는10x+{7-x}
십의 자리의 수와 일의 자리의 수의 곱은 원래의 자연수보다 15만큼 작으므로
x{7-x}=10x+{7-x}-15 y❶
7x-x@=10x+7-x-15
x@+2x-8=0, {x+4}{x-2}=0 / x=2`{∵ x는 자연수}
따라서 십의 자리의 수는 2, 일의 자리의 수는 7-2=5이므
로 두 자리의 자연수는 25이다. y❷
25
채점 기준 배점
❶ 주어진 조건에 맞는 식 세우기 50 %
❷ 두 자리의 자연수 구하기 50 %
08
서현이의 나이를 x살이라 하면 동생의 나이는 {x-4}살이 므로{x-4}@=4x+5, x@-8x+16=4x+5 x@-12x+11=0, {x-1}{x-11}=0 / x=11`{∵ x>4}
따라서 서현이의 나이는 11살이다. ④
09
봉사 활동 모임의 전체 회원을 x명이라 하면 회원 1인당 모 은 그림책은 {x-3}권이므로x{x-3}=130, x@-3x-130=0
{x+10}{x-13}=0 / x=13`{∵ x는 자연수}
따라서 봉사 활동 모임의 회원은 모두 13명이다. ②
10
셋째 주 일요일을 x일이라 하면첫째 주 일요일은 {x-14}일이므로 x{x-14}=147, x@-14x-147=0
{x-21}{x+7}=0 / x=21`{? x>14}
따라서 이번 달 셋째 주 일요일은 21일이다. ④
11
물체가 지면에 떨어졌을 때의 높이는 0`m이므로55+50t-5t@=0, t@-10t-11=0 {t+1}{t-11}=0 / t=11`{∵ t>0}
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 물체를 쏘아 올린 지
11초 후이다. 11초
12
공이 지면에 떨어졌을 때의 높이는 0`m이므로 2+3t-5t@=0에서 5t@-3t-2=0 {5t+2}{t-1}=0 / t=1`{∵ t>0}따라서 이 선수가 던진 공이 지면에 떨어지는 것은 1초 후이
다. ①
13
10+30t-5t@=55에서 t@-6t+9=0 {t-3}@=0 / t=3따라서 지면으로부터 축구공까지의 높이가 55`m가 되는 것 은 축구공을 차 올린 지 3초 후이다. 3초
14
가로의 길이를 x`cm라 하면 세로의 길이는 {13-x}`cm이므로
x{13-x}=42, x@-13x+42=0
{x-6}{x-7}=0 / x=6`[? 0<x< 132 ] 따라서 직사각형의 가로의 길이는 6`cm이다. ③
15
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 늘인 직사각 형의 가로의 길이는 {x+4}`cm, 세로의 길이는 {x+6}`cm 이고 늘인 직사각형의 넓이가 처음 정사각형의 넓이의 2배이 므로{x+4}{x+6}=2x@, x@-10x-24=0 {x+2}{x-12}=0 / x=12`{∵ x>0}
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 12`cm이다.
12`cm
16
큰 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 {8-x}`cm이므로 x@+{8-x}@=34, 2x@-16x+30=0 x@-8x+15=0, {x-3}{x-5}=0 / x=5`{∵ 4<x<8}
따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 5`cm이다. ②
17
도로의 폭을 x`m라 하면 도로를24`m x`m
x`m 30`m
제외한 땅의 넓이는 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로 {30-x}{24-x}=520 x@-54x+200=0 {x-4}{x-50}=0 / x=4`{∵ 0<x<24}
따라서 도로의 폭은 4`m이다. 4`m
18
꽃밭의 세로의 길이를 x`m라 하면 가로의 길이는 2x`m이 므로x{2x-2}=40, 2x@-2x-40=0 x@-x-20=0, {x+4}{x-5}=0 / x=5`{∵ x>0}
따라서 꽃밭의 세로의 길이는 5`m이다. ②
19
오려 낸 부분의 폭을 x`cm라20`cm x`cm
30`cm
x`cm 하면 오려 낸 부분을 제외한 나
머지 네 조각의 넓이의 합은 오 른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓 이와 같으므로
{30-x}{20-x}=375, x@-50x+225=0 {x-5}{x-45}=0 / x=5`{∵ 0<x<20}
따라서 오려 낸 부분의 폭은 5`cm이다. 5`cm
20
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 {x-6}\{x-6}\3=192{x-6}@=64, x-6=-8 / x=-2 또는 x=14 / x=14 {∵ x>6}
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 14`cm이다. ③
21
⑴ 접은 부분의 한쪽 폭을 x`cm라 하면 빗금친 부분의 가로의 길이는 {60-2x}`cm, 세로의 길이는 x`cm이다.
따라서 빗금친 부분의 넓이는
{60-2x}x=-2x@+60x`{cm@} y❶
⑵ -2x@+60x=450에서
-2x@+60x-450=0, x@-30x+225=0 {x-15}@=0
/ x=15`
따라서 물받이의 높이는 15`cm이다. y❷ ⑴ {-2x@+60x}`cm@ ⑵ 15`cm
채점 기준 배점
❶ 빗금친 부분의 넓이를 x에 대한 이차식으로 나타
내기 50 %
❷ 물받이의 높이 구하기 50 %
22
ABZ=x`cm라 하면 OAZ={x+1}`cm이므로 p{2x+1}@-p{x+1}@=40p4x@+4x+1-{x@+2x+1}=40 3x@+2x-40=0, {x+4}{3x-10}=0 / x= 103 `{? x>0}
따라서 ABZ의 길이는 103 `cm이다. ③
23
원기둥의 높이를 3x`cm, 밑면인 원의 반지름의 길이를 2x`cm라 하면 옆면의 넓이가 48p`cm@이므로{2p\2x}\3x=48p, 12x@=48, x@=4 / x=2`{? x>0}
따라서 원기둥의 높이는 3\2=6{cm}, 밑면인 원의 반지 름의 길이는 2\2=4{cm}이므로 이 원기둥의 부피는
{p\4@}\6=96p{cm#} ①
24
가장 작은 반원의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 중간 크기 의 반원의 반지름의 길이는 {15-x}`cm이므로1
2p915@-x@-{15-x}@0=50p 1
2p{-2x@+30x}=50p, x@-15x+50=0 {x-5}{x-10}=0
/ x=5 [? 0<x< 152 ]
따라서 가장 작은 반원의 반지름의 길이는 5`cm이다.
5`cm
01 {x-4}@=3에서 x=4-j3 / a=2 x@+6=-2x에서
x@+2x+6=0이므로 2@-4\1\6<0 / b=0 4x@-12x=-9에서
4x@-12x+9=0이므로
{-12}@-4\4\9=0 / c=1
/ a-b+c=2-0+1=3 ④
02 x@-{k+3}x+1=0에서 9-{k+3}0@-4=0이어야 하므로 k@+6k+5=0, {k+5}{k+1}=0 / k=-5 또는 k=-1
상수 k의 값 중에서 큰 값은 -1이므로 x=-1을 2x@-2ax+a@-1=0에 대입하면 2+2a+a@-1=0, a@+2a+1=0
{a+1}@=0 / a=-1 ②
03 {x-1}@=3-a가 중근을 가지므로 3-a=0 / a=3
a=3을 x@+2{a+1}x-b=0에 대입하면 x@+8x-b=0 x@+8x-b=0이 중근을 가지므로
8@-4\1\{-b}=0 64+4b=0 / b=-16
/ a+b=3+{-16}=-13 -13
04 {m+1}x@-2x-1=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 {-2}@-4\{m+1}\{-1}>0, m+2>0 / m>-2
그런데 m+1=0, 즉 m=-1이면 주어진 방정식이 이차방 정식이 아니므로 m=-1이다.
따라서 구하는 m의 값의 범위는
-2<m<-1 또는 m>-1이다. ⑤ 05 두 근이 -3, 2이고 x@의 계수가 1인 이차방정식은
{x+3}{x-2}=0
x@+x-6=0 / a=1, b=-6
a=1, b=-6을 bx@+ax+1=0에 대입하면 -6x@+x+1=0에서
6x@-x-1=0, {3x+1}{2x-1}=0 / x=- 13 또는 x=1
2 ②
06 2x@-7x+3=0에서 {2x-1}{x-3}=0 / x= 12 또는 x=3
이때 A>B이므로 A=3, B=1 2에서 A+2B=3+2\1
2=4