06. 이차방정식의 활용
45
B-1 A=1
2-1 3=1
6 즉, 4, 1
6을 두 근으로 하고 x@의 계수가 6인 이차방정식은 6{x-4}[x- 16 ]=0에서
6[x@- 256 x+2
3 ]=0, 6x@-25x+4=0 따라서 a=-25, b=4이므로
a+b=-25+4=-21 ①
07 둘째 주 수요일을 x일이라 하면 넷째 주 금요일은 {x+16}일이므로 x{x+16}=192, x@+16x-192=0 {x+24}{x-8}=0 / x=8`{? x>0}
따라서 이 달의 둘째 주 수요일은 8일이다. 8일 08 점 A의 좌표를 A[a, - 12a+6]이라 하면
점 P의 좌표는 P{a, 0}
점 Q의 좌표는 Q[0, - 12a+6] 따라서 fAQOP의 넓이는
a\[- 12a+6]=16, - 12a@+6a=16 a@-12a+32=0, {a-4}{a-8}=0 / a=4 또는 a=8
a=4일 때, -1
2a+6=-1
2\4+6=4 a=8일 때, -1
2a+6=-1
2\8+6=2
따라서 점 A의 좌표는 {4, 4} 또는 {8, 2}이므로 ③, ⑤이다.
③, ⑤
09 통로의 폭을 x`m라 하면 {8+2x}{5+2x}-8\5=30
40+26x+4x@-40=30, 4x@+26x-30=0 2x@+13x-15=0, {2x+15}{x-1}=0 / x=1 {? x>0}
따라서 통로의 폭은 1`m이다. ②
10 규칙에 따라 안에 알맞은 식은
n\{n+1}-2\n, 즉 n{n+1}-2n이다.
n{n+1}-2n=600이 되는 n의 값을 구하면 n@+n-2n=600, n@-n-600=0
{n+24}{n-25}=0
/ n=25`{? n은 자연수} n{n+1}-2n, 25 11 두 정사각형 중 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면
큰 정사각형의 한 변의 길이는 x+6이므로 x@+{x+6}@=468
x@+{x@+12x+36}=468
2x@+12x-432=0, x@+6x-216=0 {x+18}{x-12}=0 / x=12`{? x>0}
따라서 두 정사각형 중 작은 정사각형의 한 변의 길이는 12
이다. 12
೨ब ѐ֛
ALL 107, 109쪽01 ◯
02 y=-x{x+2}+x@=-2x이므로 이차함수가 아니다.
\ 03 ◯
04 y=32{x+2} 또는 y=3
2 x+3, \ 05 y=12{x+3}{x-2} 또는 y=1
2 x@+1
2 x-3, ◯
06 f{2}=2@-2\2+6=6 6
07 f{-1}={-1}@-2\{-1}+6=9 9 08 아래
09 y축 10 감소, 증가 11 {0, 0}
12 x=0 13 >, <
14 a의 절댓값 15 ㉡ 16 ㉠ 17 ㄴ, ㄹ 18 ㅁ 19 ㄱ과 ㄹ 20 ㄱ, ㄷ, ㅁ 21 y=2x@+4 22 y=13x@-1 23 {0, 2}, x=0 24 {0, -1}, x=0 25 a>0, q<0 26 a<0, q>0 27 y=5{x+2}@
28 y=13{x-5}@
29 {-2, 0}, x=-2 30 {1, 0}, x=1 31 a>0, p<0 32 a<0, p>0 33 y=2{x-1}@+4
07. 이차함수와 그 그래프
34 y=-12{x+3}@+14 35 y=-4{x+2}@-3 36 {-1, -5}, x=-1 37 {3, 1}, x=3 38 [-2, - 12 ], x=-2 39 a>0, p>0, q<0 40 a<0, p<0, q<0
1 축, 포물선, 꼭짓점, 아래, 위, y, x
01
① y=x{6-x}=-x@+6x ⇨ 이차함수② y=1
x@-1 ⇨ 이차함수가 아니다.
③ y=x@-{1-x}@=x@-{1-2x+x@}=2x-1 `
⇨ 일차함수
④ 2x@+x+3 ⇨ 이차식
⑤ y=x#+{2-x}@=x#+x@-4x+4
⇨ 이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ①이다. ①
02
① y=x\5=5x ⇨ 일차함수② y=x# ⇨ 이차함수가 아니다.
③ y=2p\x=2px ⇨ 일차함수
④ y=1
2\x\{x+5}=1 2x@+5
2x ⇨ 이차함수
⑤ y=29{x+2}+{x+3}0=4x+10 ⇨ 일차함수 따라서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ④이다. ④
03
y ={x+4}@-ax@-1={1-a}x@+8x+15이 함수가 이차함수가 되기 위해서는 1-a=0이어야 하므
로 a=1 a=1
04
y =4x@+1-2x{ax+1}={4-2a}x@-2x+1 이때 4-2a=0이므로 a=2
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ④이다. ④
05
y =k{k-2}x@+5x-3x@={k@-2k-3}x@+5x 이때 k@-2k-3=0이므로 {k+1}{k-3}=0 / k=-1이고 k=3
따라서 k의 값이 될 수 없는 것은 ②, ⑤이다. ②, ⑤
ਬഋ
BIBLE 110~117쪽이차함수 y=ax@의 그래프
17
THEME 110~113쪽
알고 있나요?
06
f{1}=1+2-1=2 f{-1}=1-2-1=-2 f{-2}=4-4-1=-1/ f{1}-f{-1}\f{-2} =2-{-2}\{-1}
=0 ③
07
f{a}=2a@-9a-4=1이므로 2a@-9a-5=0, {2a+1}{a-5}=0 / a=- 12 또는 a=5따라서 정수 a의 값은 5이다. ⑤
08
f{-2}={-2}\4+2+3=-3이므로a=-3 y❶
f{b}=-2b@-b+3=2이므로 2b@+b-1=0, {b+1}{2b-1}=0
이때 b<0이므로 b=-1 y❷
/ a+b={-3}+{-1}=-4 y❸
-4
채점 기준 배점
❶ a의 값 구하기 40 %
❷ b의 값 구하기 40 %
❸ a+b의 값 구하기 20 %
09
ㄱ. a>0이면 아래로 볼록한 포물선이다.ㄴ. 점 {1, a}를 지난다.
ㅁ. a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. ㄷ, ㄹ
10
① y축에 대하여 대칭인 도형이다.② 점 {2, -4}를 지난다.
③ 제3, 4사분면을 지나는 포물선이다.
④ 위로 볼록한 포물선이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤
11
③ 그래프 ㈏의 폭이 가장 넓다. ③12
y=ax@의 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0y=ax@의 그래프의 폭은 y=3x@의 그래프의 폭보다 넓고 y=1
2 x@의 그래프의 폭보다 좁으므로 1 2<a<3
따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ④이다. ④
13
이차함수 y=ax@에서그래프가 위로 볼록하려면 a<0
그래프의 폭이 가장 좁으려면 a의 절댓값이 가장 커야 한다.
따라서 위로 볼록하면서 폭이 가장 좁은 것은 ①이다. ①
14
그래프가 색칠한 부분을 지나는 이차함수의 식을y=ax@으로 놓으면 -1
3<a<0 또는 0<a<2
따라서 구하는 이차함수는 ③, ④이다. ③, ④
07. 이차함수와 그 그래프
47
15
y=-2x@에 x=a, y=3a를 대입하면 3a=-2a@, 2a@+3a=0, a{2a+3}=0/ a=- 32`{? a=0} -3
ABZ=1-0=1, BCZ=a-1 이때 ABZ=BCZ이므로 a-1=1
/ a=2 ②
24
ABZ=4, CDZ=12이고 B{2, 4a}, C{6, 36a}이므로 fABCD= 12\{4+12}\{36a-4a}=641
2\16\32a=64, 256a=64 / a= 14
1 4
1 y=ax@+q y=a{x-p}@ y=a{x-p}@+q 이차함수
04
① 이차함수 y=-12x@의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동하면 이차함수 y=-1
2{x+1}@의 그래프와 완전 히 포개어진다.
④ 이차함수 y=-1
2x@의 그래프를 y축의 방향으로 -3만 큼 평행이동하면 이차함수 y=-1
2x@-3의 그래프와 완 전히 포개어진다.
따라서 완전히 포갤 수 있는 것은 ①, ④이다. ①, ④
05
⑴ 이차함수 y=-3x@의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼,y축의 방향으로 8만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-3{x-1}@+8 y❶
⑵ y=-3{x-1}@+8의 그래프가 점 {-4, a}를 지나므로 a=-3{-4-1}@+8=-75+8=-67 y❷
⑴ y=-3{x-1}@+8 ⑵ -67
채점 기준 배점
❶ 평행이동한 그래프의 식 구하기 60 %
❷ a의 값 구하기 40 %
06
ㄴ. 이차함수 y=-x@의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평 행이동한 것이다.ㄹ. 축의 방정식은 x=0이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ
07
꼭짓점의 좌표가 {0, 1}이므로 이차함수의 식은 y=ax@+1 / q=1이 그래프가 점 {2, 17}을 지나므로 17=4a+1, 4a=16 / a=4
/ a+q=4+1=5 5
08
이차함수 y=3x@의 그래프를 y축의 방향으로 -1 4 만큼 평 행이동한 그래프의 식은 y=3x@-14
① 꼭짓점의 좌표는 [0, - 14 ]이다.
② 아래로 볼록한 포물선이다.
③ 축의 방정식은 x=0이다. y
O x
y=3x@
-4!
4!
④ x=1
2을 대입하면 y=3\1
4 -1 4 =
1 2 이므로 점 [ 12, 1
2 ]을 지난다.
⑤ 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 모든 사분면을 지난다.
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
09
이차함수 y=3{x-1}@의 그래프에서꼭짓점의 좌표는 {1, 0}이고, 축의 방정식은 x=1이므로 p=1, q=0, r=1
/ p+q+r=1+0+1=2 ②
10
이차함수 y=-2x@의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은y=-2{x+3}@
따라서 x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소하는 x의 값의 범
위는 x>-3이다. x>-3
11
꼭짓점의 좌표가 {-3, 0}이므로 이차함수의 식은 y=a{x+3}@ / p=3이 그래프가 점 {0, -3}을 지나므로 -3=a{0+3}@, 9a=-3 / a=-1
3
/ ap=[- 13 ]\3=-1 ②
12
축의 방정식이 x=2이고, 꼭짓점이 x축 위에 있으므로 이차 함수의 식을 y=a{x-2}@으로 놓을 수 있다.이 그래프가 점 {4, 12}를 지나므로 12=a{4-2}@, 4a=12 / a=3
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=3{x-2}@이다.
y=3{x-2}@
13
이차함수 y=-23x@의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이므로 꼭짓점의 좌 표는 {-2, -3}이고 축의 방정식은 x=-2이다.꼭짓점의 좌표：{-2, -3}, 축의 방정식：x=-2
14
이차함수 y=2x@의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2{x-1}@-3이므로 꼭짓점의 좌표는 {1, -3}이고, 축 의 방정식은 x=1이다.
따라서 p=1, q=-3, m=1이므로
p+q+m=1+{-3}+1=-1 -1
15
이차함수 y=a{x-p}@+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {p, q}이므로 p=-2, q=1y=a{x+2}@+1의 그래프가 점 {0, -5}를 지나므로 -5=a{0+2}@+1, 4a=-6 / a=-3
2
/ apq=[- 32 ]\{-2}\1=3 ⑤
16
이차함수 y=3{x+2p}@-p의 그래프의 꼭짓점의 좌표는{-2p, -p}이고, 이 점이 직선 y=-x+6 위에 있으므로 -p=2p+6, -3p=6 / p=-2 ②
17
① 꼭짓점의 좌표는 {-2, -1}이다.③ x=0을 대입하면 y=1
3{0+2}@-1=1
3이므로 y축과 만나는 점의 좌표는 [0, 13 ]이다.
④ 축의 방정식은 x=-2이다.
따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다. ②, ⑤
07. 이차함수와 그 그래프
49
18
이차함수 y={x-3}@-1의 그래프는-1 O 8
3 x
y 오른쪽 그림과 같으므로 제3사분면을 지나지 않는다.
③
19
③ 이차함수 y={x-3}@-2의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③
20
그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0 꼭짓점 {p, q}가 제2사분면 위에 있으므로p<0, q>0 a<0, p<0, q>0
21
그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0꼭짓점 {p, q}가 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0
⑤ 주어진 그래프가 원점을 지나므로 x=0, y=0을 대입하면 ap@+q=0
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤
22
y=a{x-p}@+q의 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 꼭짓점 {p, q}가 제4사분면 위에 있으므로 p>0, q<0 따라서 y=p{x-q}@+a의 그래프는 p>0에서 아래로 볼 록하고 꼭짓점 {q, a}가 제2사분면 위에 있으므로 그래프로알맞은 것은 ①이다. ①
23
y=-2{x-1}@+8에서x=0을 대입하면 y=-2\{-1}@+8=6 즉, 점 A의 좌표는 {0, 6}이다.
y=0을 대입하면
-2{x-1}@+8=0, 2{x-1}@=8 {x-1}@=4, x-1=-2
/ x=-1 또는 x=3
즉, 점 B의 좌표는 {-1, 0}, 점 C의 좌표는 {3, 0}이다.
/ sABC= 12\4\6=12 ④
24
이차함수 y=12 {x+2}@-8의 그래O
A -6
-8 2 -2
B C
x y 프에서 꼭짓점 A의 좌표는
{-2, -8}이다. y❶ y=0을 대입하면
1
2{x+2}@-8=0 1
2{x+2}@=8, {x+2}@=16
x+2=-4 / x=-6 또는 x=2
점 B가 점 C보다 왼쪽에 있다고 하면 점 B의 좌표는 {-6, 0}, 점 C의 좌표는 {2, 0}이다. y❷
/ sABC= 12\8\8=32 y❸
32
채점 기준 배점
❶ 점 A의 좌표 구하기 20 %
❷ 두 점 B, C의 좌표 구하기 50 %
❸ sABC의 넓이 구하기 30 %
25
점 P의 좌표를 {a, -a@+3} {a>0}이라 하면 Q{-a, -a@+3}, S{-a, 0}, R{a, 0}fPQSR가 정사각형이므로 PQZ=PRZ에서 2a=-a@+3, a@+2a-3=0
{a+3}{a-1}=0 / a=-3 또는 a=1 이때 a>0이므로 a=1 / P{1, 2}
따라서 PQZ=2이므로
fPQSR=2\2=4 ①
01 y가 x에 대한 이차함수가 되려면 a@-4=0이고 a@+3a+2=0이어야 한다.
! a@-4=0에서 {a+2}{a-2}=0 / a=-2이고 a=2
@ a@+3a+2=0에서 {a+2}{a+1}=0 / a=-2 또는 a=-1
!, @에서 a=-1 -1
02 점 A의 좌표를 {a, 5a@}{a>0}이라 하면 ABZ=4이므로 B{a+4, 5a@}
점 B는 y=1
5x@의 그래프 위의 점이므로 5a@=1
5{a+4}@, 25a@=a@+8a+16, 24a@-8a-16=0 3a@-a-2=0, {3a+2}{a-1}=0
/ a=1{? a>0}
/ k=5a@=5\1@=5 ①
다른 풀이 이차함수 y=5x@의 그래프에서 점 A의 y좌표가 k이므로
k=5x@, x@=k
5 / x= j5kk
5 {? x>0}
즉, 점 A의 x좌표는 j5kk 5 이다.
이차함수 y=1
5x@의 그래프에서 점 B의 y좌표가 k이므로 k=1
5x@, x@=5k / x=j5kk {? x>0}
즉, 점 B의 x좌표는 j5kk이다.
이때 ABZ=4이므로 j5kk- j5kk5 =4 4j5kk
5 =4, j5kk=5, 5k=25 / k=5