정답 및 해설
수학 영역
A형 정답
1
③2
④3
②4
①5
④6
②7
①8
①9
④10
⑤11
②12
①13
②14
③15
③16
③17
⑤18
⑤19
②20
③21
⑤22
23
24
25
26
27
28
29
30
B형 정답
1
①2
④3
②4
①5
①6
④7
⑤8
②9
②10
⑤11
③12
①13
⑤14
④15
③16
③17
④18
③19
⑤20
⑤21
③22
23
24
25
26
27
28
29
30
A형 해설
1. [출제의도] 로그 계산하기 log
log log
⋅
log 2. [출제의도] 행렬 계산하기
∴ 행렬의 모든 성분의 합은
3. [출제의도] 수열의 극한 계산하기
lim
→ ∞
lim
→ ∞
4. [출제의도] 확률의 기본 성질 이해하기 P∩PP∩
5. [출제의도] 정적분 계산하기
6. [출제의도] 수열의 극한 이해하기
이라 하면 이고
lim
→ ∞
∴
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
×
7. [출제의도] 접선의 방정식 이해하기
이라 하면
′ 이므로 ′ 접선의 방정식은
∴
8. [출제의도] 함수의 연속성 추론하기 ㄱ.
lim
→
lim
→
이므로
lim
→
(참) ㄴ. × ,
lim
→
,
lim
→
에서
lim
→
lim
→
≠ (거짓) ㄷ.
lim
→
ㄱ에 의하여
lim
→
lim
→
≠
lim
→
이므로 함수 는 에서 극한값이 존재하 지 않으므로 불연속이다.
ㄴ에 의해 에서도 불연속이므로
함수 는 , 에서 불연속이 다. (거짓)
9. [출제의도] 무한급수와 정적분의 관계 이해하기
lim
→ ∞
10. [출제의도] 무한급수와 나머지 정리를 이용하 여 수학 내적 문제 해결하기
라고 하면 를
으로 나눈 나머지는
∞
∞
lim
→ ∞
⋯
11. [출제의도] 도함수를 이용하여 속도와 위치 관계 이해하기
시각 에서의 점 P 의 속도는
′ 이므로,
또는
∴ 일 때 위치는
12. [출제의도] 정적분 이해하기
라 하면,
를 계산하면
∴
13. [출제의도] 등차수열과 조합을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
위 팀의 승리한 경기 수를 라 하면 총 경기 수가 C× 이므로
C×
∴
14. [출제의도] 중복 조합을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
총 경기 수는 C× ,
주어진 두 팀(와 )가 승리할 것으로 예상되는 경기 수의 합은 이고 나머지 개의 팀의 승 리할 것으로 예상되는 경기 수의 합은 이므 로
가 모두 이상 이므로
′ , ′ , ′ 라 하면
′ ′ ′ ′≥ ′≥ ′≥
∴ CCC
15. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명과 정 추론하기
×
×
×⋯×
≤
⋯(★) (i) 일 때
≤
이므로 (★)이 성립한다.
(ii) 일 때 (★)이 성립한다고 가정하면
×
×
× ⋯ ×
×
≤
․
․
․
·
·
·
·
따라서 일 때도 (★)이 성립한다.
그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (★)이 성립한다.
,
∴ ×
․
16. [출제의도] 수열의 규칙성 추론하기
: ⋯ 이므로
≥
(별해)
17. [출제의도] 정적분의 성질 이해하기
′ 이므로
이므로
∴
이므로 구하는 도형의 넓이는
18. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기
이므로 ㄱ.
∴ (참)
ㄴ. 이므로
∴ (참)
ㄷ. 이므로
(참)
19. [출제의도] 조건부 확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
임의로 선택한 상자에서 공을 하나 꺼낼 때, 상 자 에서 공을 꺼낼 사건을 , 상자 에서 공을 꺼낼 사건을 , 꺼낸 공이 검은 공일 사 건을 라 하면, 구하는 값은
P P P∩
P∩ P∩ P∩
×
×
×
20. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
log
× ⋯⋯ ㉠
log
× ⋯⋯ ㉡㉠과 ㉡에 의하여
∴
21. [출제의도] 부정적분을 이용하여 수학 내적 문 제 해결하기
이고,
′ ′이므로
′
는 , 에서 극솟값,
에서 극댓값을 갖는다.
, 이를 이용하여 와 를 구하면 ,
∴
(별해) 함수 를 구하면
이므로,
′
′ ′이므로
′
는 , 에서 극솟값,
에서 극댓값을 갖는다.
, 이를 이용하여 와 를 구하면 ,
∴
22. [출제의도] 함수의 극한 계산하기
lim
→
lim
→
lim
→
23. [출제의도] 그래프와 행렬의 성질 이해하기 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내 는 행렬의 모든 성분의 합은 그래프에서 변의 개수의 배이므로 행렬의 모든 성분의 합은
24. [출제의도] 함수의 미분가능성 이해하기 함수 가 에서 미분가능하면 연속이므 로
∴
′
이고
는 에서 미분가능하므로 따라서 ,
∴
25. [출제의도] 이항계수의 성질 이해하기
의 전개식의 일반항
C 에서
의 계수는 인 경우이므로
C
26. [출제의도] 수열의 성질 이해하기
라고 하면,
, , 이고
, , 가 등차수열이면
가 등비수열이므로
∴
∴
≥
․
(단, 등호는
,
일 때 성립한 다.)
∴ 의 최솟값은
27. [출제의도] 수열의 성질을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
≥
∴
(별해) 도형에서
위와 아래에서 바라본 넓이는 각각
⋯ ,
정면과 뒷면에서 바라본 넓이는 각각
이므로
⋯
∴
28. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기
함수 가 모든 실수에서 연속이 되기 위해서는 에서 연속이 되어야 하므로
lim
→
를 만족하여야 한다.
lim
→
lim
→
이므로
라고 하면,
lim
→
lim
→
∴
이고
∴
∴
29. [출제의도] 상용로그의 성질 이해하기 log의 지표를 이라 하면
log log이므로
loglog logloglog의 지표는 각각 또는
지표가 인 것이 개라고 하면
,
∴
≤log ≤log 이므로
≤ , ≤
≤
이를 만족하는 자연수 의 개수는
30. [출제의도] 무한급수를 이용하여 수학 내적 문 제 해결하기
그림과 같이 정사각형 의 꼭짓점을 각각 A, B, C, D이라 하고, 문제의 조건에 따 라 그린 정삼각형의 꼭짓점을 각각 C, E, F이라 하자.
D C
A B
G E
F O
정사각형 의 한 변의 길이를 , 정삼각형 CEF의 한 변의 길이를 이라 하자.
CG GA
원 O의 반지름의 길이 은
×
정사각형 의 한 변의 길이는 이므로
∴
수열
은 첫째항이 , 공비가 인등비수열이다.
∴
∞
∴
B형 해설
1. [출제의도] 행렬 계산하기
∴행렬의 모든 성분의 합은
2. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기
lim
→
lim
→
lim
→
3. [출제의도] 공간좌표의 내분점 계산하기 선분AB 를 로 내분하는 점의 좌표는
이므로 4. [출제의도] 정적분 계산하기
sin
cos
5. [출제의도] 삼각함수의 성질 이해하기 sin
cos
cos
cos
6. [출제의도] 확률의 기본 성질 이해하기 P∪
, P
이므로 P∪ PP PP
P
P
P
∴P
7. [출제의도] 일차변환의 성질 이해하기 일차변환 를 나타내는 행렬을 라 하면
,
∴
8. [출제의도] 무리방정식의 성질 이해하기 방정식
의 양변을 제곱하면
∴ (∵ ≥ )
O
와 이 만나는 점의 좌표를
라 하면 의 그래프가 직선
에 대하여 대칭이므로
∴
9. [출제의도] 조건부 확률과 역행렬의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
행렬의 역행렬이 존재하지 않는 사건을 , 가 홀수인 사건을 라 하자.
의 역행렬이 존재하지 않으려면 이므로, 순서쌍 는
, , , ,
, 개이고, 이 중에서 가 홀 수인 경우는 개이므로
∴P
10. [출제의도] 일차변환의 성질 이해하기 일차변환 , 를 나타내는 행렬을 각각 , 라 하면
합성변환 ∘ 를 나타내는 행렬은
이므로
∴
11. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 외 적 문제 해결하기
log
× ⋯⋯ ㉠
log
× ⋯⋯ ㉡㉠과 ㉡에 의하여
∴
12. [출제의도] 합성함수의 미분법 이해하기
cos sin tan의 양변을 미분하면,
sin ⋅ ′cos cos sec
일 때, cos
이므로
′
∴ ′
13. [출제의도] 정사영을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
′
원뿔의 밑면을 포함한 평면과 평면 가 이루는
각의 크기를 라 하고
원뿔의 밑면의 평면 위로의 정사영의 넓이를
′이라 하자.
∴′⋅cos ⋅
14. [출제의도] 정적분을 이용하여 수학 내적 문 제 해결하기
O B
D
C A
F E
삼각형 ABC 에 대하여 BC 이고
BC D O , O A O C 이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여
D O
BC
좌표평면에 포물선을 나타내면 D
E O F
이 포물선은
을 꼭짓점으로 하고 을 지나므로, 포물선의 방정식은
따라서 구하고자 하는 단면의 넓이는
15. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명과 정 추론하기
×
×
×⋯×
≤
⋯(★) (i) 일 때
≤
이므로 (★)이 성립한다.
(ii) 일 때 (★)이 성립한다고 가정하면
×
×
× ⋯ ×
×
≤
․
․
․
·
·
·
·
따라서 일 때도 (★)이 성립한다.
그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (★)이 성립한다.
,
∴ ×
․
16. [출제의도] 함수의 연속성 추론하기 ㄱ.
lim
→
lim
→
lim
→
함수 는 에서 연속 (참) ㄴ.
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
함수 는 에서 연속 (참) ㄷ.
lim
→
lim
→
lim
→
함수 ∘ 는 에서 극한값이 존재하 지 않으므로 불연속 (거짓)
17. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
모든 경우의 수는 P이고,
명이 어느 누구와도 서로 이웃하지 않게 타는 경우의 수는 빈자리 개 사이의 자리와 양끝
자리를 포함한 자리에 명이 앉는 경우의 수 P 와 같으므로
∴ P
P
18. [출제의도] 도함수를 이용하여 그래프의 개형 추론하기
에 대한 증감표를 작성하면
- - + + +
+ - + - +
′ - + + - +
↘ 극소 ↗ ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ ㄱ. 는 열린 구간 에서 증가한다.(참) ㄴ. 는 에서 극솟값을 갖는다.(참) ㄷ. 는 닫힌 구간 에서 , , 에
서 극값을 가지므로 개의 극값을 갖는다. (거짓) 19. [출제의도] 공간도형의 성질 이해하기
A
C B
D
E F
H G M
N
선분 AF 와 선분 BE 의 교점을 점 M 이라 하 면, 평면 AFG D와 평면 BEG의 교선은 직선 G M이다.
점 M에서 평면 EFG H에 내린 수선의 발을 N이라 하자.
G F FN , MN 이므로
G N , G M
cos G M
G N
∴ cos
20. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기
가 성립하므로
이므로
, ㄱ. (참)
ㄴ. (참)
ㄷ. 이 존재하면 이 존재하고 이 성립하므로 이다. (참) 21. [출제의도] 삼각함수의 극한을 이용하여 수 학 내적 문제 해결하기
원 와 선분 O P 의 접점을 점 R 라 하자.
A O B
P R Q
BP sin,
∠RO B 이므로, BR sin BQ
P Q P B BQ sin sin
sin sincos sin cos
lim
→
P Q
lim
→
sin cos
lim
→
sin⋅
cos
⋅⋅
22. [출제의도] 미분계수 계산하기
′
′
23. [출제의도] 이항계수의 성질 이해하기
의 전개식의 일반항C
에서 상수항은 인 경우이므로 C
24. [출제의도] 쌍곡선의 성질 이해하기 쌍곡선의 방정식을
( ,
)이라 할 때, 주어진 조건에 의해서
, 이므로
∴주축의 길이는
25. [출제의도] 계차수열 이해하기
26. [출제의도] 정적분의 성질 이해하기
와 의 교점은
∴
27. [출제의도] 원순열을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
(ⅰ) 남학생 명 중 명씩 조를 만드는 경우의 수 C×
(ⅱ) 명의 학생과 개의 빈자리를 묶어서 생 각하면 개의 묶음을 원형으로 배열하는 원순 열의 경우의 수
(ⅲ) 같은 조의 학생끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여
∴ C×
× ×
28. [출제의도] 타원의 성질 이해하기
장축의 길이는 정삼각형의 한 변의 길이의 5배 와 같으므로 이고
[그림2]에서 점 A의 좌표가 이므로
에 대입하여 정리하면
∴
29. [출제의도] 무한급수를 이용하여 수학 내적 문 제 해결하기
그림과 같이 정사각형 의 꼭짓점을 각각 A, B, C, D이라 하고, 문제의 조건에 따 라 그린 정삼각형의 꼭짓점을 각각 C, E, F이라 하자.
D C
A B
G E
F O
정사각형 의 한 변의 길이를 , 정삼각형 CEF의 한 변의 길이를 이라 하자.
CG GA
원 O의 반지름의 길이 은
×
정사각형 의 한 변의 길이는 이므로
∴
수열
은 첫째항이 , 공비가 인등비수열이다.
∴
∞
∴
30. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
log
log
(ⅰ) ⋯ 이면 log
의 가수는
,
(ⅱ) ⋯ 이면 log
의 가수는
,
(ⅲ) 이면 log
의 가수는 ,
(ⅳ) ≥ 에서는 , , , ⋯, 일 때 의 가수가 반복하여 나타난다.
그러므로 집합 의 원소의 개수는 이다.
집합 의 모든 원소의 합은
⋯
