제 18 장 전류회로와 축전기 - Inha

(1)

제18장. 전류회로와 축전기

(2)

2

제 18 장 전류회로와 축전기

들어서며

1. 기전력과 전류회로 2. 키르히호프의 법칙 3. 축전기와 전기용량 4. 축전기와 전기장 5. 유전체와 전기용량 6. RC 회로

전기와 자기 학습 map

전기와 자기

전하

쿨롱의 법칙

전기장

전위 가우스

법칙

자기장

비오-사바르 법칙

암페어 법칙

파라데이 법칙

전기회로

저항

축전기

DC회로

AC 회로 기전력과

전류

인덕터

맥스웰 방정식

전자기파

광학

(4)

4

전류 회로 : 전하의 이동하는 경로

전기 소자: 기전력 장치, 저항, 축전기, 인덕터 등..

기전력 장치 : 전기 위치에너지 ( 전위 ) 를 높여주는 장치

[건전지, 기전기]

축전기 (capacitor) : 정전기 에너지를 저장하는 창고

전기용량(capacitance) C : 창고의 크기

[기전력]

+

VA

-  = V

A

− V

B



[저항]

R

들어서며

인덕터: 자기에너지를 저장하는 창고

VB

(5)

5

1. 기전력과 전류회로

기전력

기전력장치

- 회로상의 두 점 사이의 전위차를 일정하게 유지시킬 수 있는 장치 - 전기 위치에너지(전위)를 높여주는 펌프 역할

예] 건전지, 발전기 등 기전력

- 단위 전하당 하는 일 [V]

(6)

6

회로에 흐르는 전류

미소 전하량 dq를 보다 높은 전위로 이동시킬 때 하는 일 = dW

기전력

:

단위 전하당 하는 일



단위 전하당 위치에너지(전위)가 기전력만큼 증가



dq

 dW

 ^dW =  ^dq

V V

V

_A

−

_B

=

 =

R R

i V 

=

1. 기전력과 전류회로

(7)

7

에너지 보존 법칙

기전력 장치가 하는 일 = 저항에서 발생하는 열에너지

저항에 의한 전위저하

1. 기전력과 전류회로

dt 동안 기전력이 하는 일

dt 동안 저항에서 발생한 열에너지

 

dt i dq

dW =



=



dt R i dt

P = ²

=

(전하량 보존)

dt R i dt

i = ²



i  R

=

i

 ^R ⁱ

i

VA

VB

R i V

V_A

−

_B

=  =

저항 R에 전류 i가 흐르면

전위가 i R 만큼 저하된다.

(8)

8

1. 기전력과 전류회로

Req

I R

R R

I

R I R I R I V V

V

= +

+

=

+ +

= +

+

=

)

( ₁ ₂ ₃

3 2

1 3

2

 1

3 2

1

R R

R

_eq

= + +

직렬연결

2

1 I

I

I = +





 



 = =

2 2

1

,

I R

I R  

eq

R

R R R

I 



 



 +

=

2 1



 

2 1

1 1

1 R R

R

_eq

= +

병렬연결

직렬과 병렬저항

(9)

직렬 연결 저항과 병렬 연결 저항

직렬 연결 저항

각각의 저항에 같은 전류가 흐른다.

각 저항에 흐르는 전류 곱하기 저항값이 그 저항에 걸리는 전위차이다. 전위차를 나누어 갖는 것으로 볼 수 있다.

병렬 연결 저항

각 저항에 다른(나누어진) 전류가 흐른다. 각 저항에 걸리는 전위차가 동일하다. 전류를 나누어 갖는 것으로 볼 수 있다.

• 전류의 비는 저항의 비에 반대이다.

제 18 장 전류회로와 축 전기

(10)

10

예제 18.1 등가저항 계산

그림과 같은 직렬＋병렬회로에서 저항에 흐르는 전류를 구하여라.

풀이]

등가저항 : 8 

A 8 3

V 24

1

=

= 

=

eq

R

i 

) (

A 5

.

1

₂ ₁

2 s

R

R R

i =  =

1

(11)

11

접합점 (junction) 과 고리 (loop)

접합점: 3개 또는 그 이상의 전선이 만나는 점 (a,b)

고리 : 방향성이 있는 임의의 닫힌 회로의 경로 (C₁, C₂, C₃)

전류의 방향을 임의로 선택 고리의 방향을 임의로 선택 전위상승과 전위저하

접합점 법칙 (junction theorem)

고리 법칙 (loop theorem)



⁼

n

in 0



⁼

n

Vn 0

(전하량보존)

(에너지보존)

2. 키르히호프의 법칙

C₁

C₂

C₃

(12)

키르히호프 법칙의 적용

1) 회로의 각 부분에서 전류의 방향을 임의로 설정한다 .

접합점 법칙에 따라 각 접합점에서 전류의 합을 계산한다

2) 고리의 방향을 임의로 설정한다 .

고리 법칙에 따라 각 고리에서 전위차의 합을 계산한다

3) 전기소자를 지나갈 때 전위의 상승과 전위의 저하에 대해 일관성 있게 규칙을 적용한다 .

-저항을 지날 때 전류 방향으로 가게 되면 전위 저하, 전류 반대 방향으로 가게 되면 전위 상승으로 계산

만약 전류의 해가 음수가 되면 전류의 방향이 반대인 것이다.

(13)

예제 . 키르히호프 법칙의 응용

i2

i1

i3

1

R1

R2

a

b

R3

2

C

3

C

2

C

1

1 3 3

2 2

1

2 2 1

3 2

1

) (

R R R

R R

R

R R

i R

+ +

−

= +  



, 9 , 2

6

12 ,

6

3 2

1

1 1

=

R R

R

V V 

 _i ₀_.₅_A_, _i ₁_.₀_A_, _i ₁_.₅_A

3 2

1 = − = + = −

3

: C

접합점 법칙

3 2

1 i i

i = + 고리 법칙

1

: C

2

: C

에서 출발

a

1 0

1 1 3

3

2 − + − =

−  i R  i R

a

에서 출발

2 0

3 3 2

2 + + =

− i R i R  불필요(항등식)

(14)

14

예제 18.2 키르히호프 법칙의 응용

다음 그림의 회로에서 각각의 전류값을 구해 보자.

풀이]

각 저항에 흐르는 전류를 I₁, I₂, I₃ 접합점법칙:

고리법칙:

- C₁ : - C₂ :

- C₃ : 불필요

I

₁

= I

₂

+ I

₃

- e

₂

- I

₃

R

₃

+ e

₁

- I

₁

R

₁

= 0 - I

₂

R

₂

+ I

₃

R

₃

+ e

₂

= 0

e

₁

= 6 V, e

₁

= 12 V

R

₁

= 6 W , R

₂

= 9 W , R

₃

= 2 W I

₁

= ( R

₂

+ R

₃

) e

₁

- R

₂

e

₂

R

₁

R

₂

+ R

₂

R

₃

+ R

₃

R

₁

I

₃

= e

₁

^R

₂

- e

₂

( ^R

₂

+ R

₁

)

R

₁

R

₂

+ R

₂

R

₃

+ R

₃

R

₁

I

₂

= R

₃

e

₁

+ R

₁

e

₂

R

₁

R

₂

+ R

₂

R

₃

+ R

₃

R

₁

Þ I

₁

= - 1

2 A, I

₃

= - 3

2 A, I

₂

= 1A

연립

(- : 실제전류는 반대 방향)

(15)

15

축전기 (capacitor): 정전기 에너지를 저장하는 창고

전기용량(capacitance): 창고의 크기

[단위전위차당 대전되는 전하량]

평행판 축전기 [면적 A, 사이거리 d : A >> d]

V C = Q

(C/V=F : Farad)

d E

V = _{[균일한 전기장]}



0

=



E

(

Q =



A

)

_{[가우스법칙]}

d

C = ₀ A 축전기 내부에만 전기장존재

 전기장 창고

3. 축전기와 전기용량

V C

+Q

−Q

V

(16)

16

예제 18.3 구형 축전기

그림과 같이 안쪽 작은 도체구의 반지름이 a이고 바깥쪽 속이 빈 큰 도체구의 반지 름이 b이다. 안쪽 도체구에 +Q의 전하를, 바깥쪽 도체구에 -Q의 전하를 대전했다. 두 도체구를 축전기로 사용할 때 축전기의 전기용량은 얼마인가?

풀이]

가우스 법칙에 의해

 

 

  −

=



=   _r ^Q ^r ^Q _a _b

V

b a b

ab a

1 1

d 4 4

d 1

0 2

0



r 

E

a, b사이 전위차

0

2

) /

4 (

d = E  r = Q 

 ^E  ^a

2

4

0

1 r E Q

= 

a b

ab a

b ab Q Q

V C Q

ab

= −

= 4

⁰

4

₀

 

구형 축전기의 전기용량

+Q

−Q

r E

도체 빈 공간 사이의 전기장

(17)

17

예제 18.4 도체 구의 축전기

반지름이 R인 도체구의 전기용량을 구하여라.

풀이]

예제3과 비교하여 바깥 고체구 반경이  - 안쪽 도체구 표면에서 전위

Q R

a =

지구를 도체구로 고려, R = 6370 km  719 F

R Q R

r Q r

V Q

R R R

0 0

2

0

4 1 1

1 d 4

4 d 1



 ^ _ ⁼

 





− 

=



= 

^

^E ^r 

^

Q R Q R

V C Q

R

0

4 4  

=

- 도체구의 전기용량

(18)

18

Ceq

Q C

C Q C

V Q V

V

 =







 +

=

+

= +

=

2 1

1 1

2

1 C

C C_eq = +

2 1

1 1

1

C C

C_eq = +

(

C C

)

V C V V C V

C Q

Q Q

= eq

+

=

+

= +

=

2 1

3. 축전기와 전기용량

직렬과 병렬 축전기

직렬연결 병렬연결

(19)

19

예제 18.5 등가 전기용량 계산

전기용량이 동일한 세 개의 축전기가 그림과 같이 연결되어 있다. 등가 전기용량 을 구하여라.

풀이]

직렬연결 먼저

C C

2 1

1 1

직렬

= +

=

병렬연결(C_직렬, C)

C C C

C C

C 2

3 2 + =

= +

=

_직렬

등가

(20)

20

전기 에너지 밀도

(평행판 축전기)

용수철 : 역학적에너지의 저장

저장된 탄성에너지 = 용수철을 늘이는데 한 일=

축전기 : 전기에너지의 저장

저장된 전기에너지 = 전하를 대전 시키는데 한일

2

2 1 k x

용수철의 경우 축전기의 경우

0 x

x x + dx

U x

k x

x k W

x x k x x F W

x   = =

=



= 



= 



0

2

2 d 1

d d

) ( d

q q d

U C CV

q q C W q

C q q q

q V W

q   = = =

=

 

 =

= 



0 ²

2

2 1 2

d 1

d d

) ( d

0 x

2 0 2

0 2

1 2

1 E

d V Ad

V d

A Ad

u U

 

 =





 



= 



 



= 

=

4. 축전기와 전기장

(21)

21

예제 18.6 대전된 도체구에 저장된 에너지

반지름이 R인 도체구가 전하량 Q로 대전된다면 도체구 주위에 전기장이 형성된다.

전기장 속에 저장된 에너지를 구하여라.

풀이]

도체구의 전기용량

전기 에너지 R C

= 4 

₀

R Q C

U Q

0 2 2

8 2

1

=



=

(22)

22

유전체 (dielectric) : 부도체 ( 자유전자 X, 속박전자 O)

유전체 내부의 전기장 E = E₀ - E_i (weaker)

= E₀ /  (  1)

 : 유전상수 (진공: 1, 공기: 1.0006, 유리: 4.7, …)

유전체를 평행판 축전기 사이에 넣었을 때 동영상

+Q

−Q

E0

d E

Q V

C Q

0 0

0 = =

+Q

−Q

E

0 0

0

V C Q V

C Q

d V E V



=

5. 유전체와 전기용량

E0

 ^- ^- ^- _- ⁺ ⁺ ⁺ ₊

- +

유도전하

- + - + - + - + - + - + - + - + - +

E0 E₀

Ei

(23)

23

5. 유전체와 전기용량

유도전하와 유전체의 유전율

가우스법칙 : 유전체가 없을 때 

유전체를 넣었을 때 

유도전하 밀도 :

유전체의 유전률 :

0



=  E







₀

0

E −

ⁱ

= E

=



 



 −

=

 



_i 1 ¹



0



 



=  E

S

 = q

 ^E ^d ^a



2

2 1 E

u = 

E

0

E

i

(24)

24

예제 18.7 평행판 축전기의 유전체 효과

평행판의 단면적이 A이며 두 평행판의 간격이 d인 평행판 축전기를 V₀의 전위차를 가진 기전력장치로 충분히 충전시킨 후, 기전력장치를 제거하고 평행판 축전기 사 이에 유전상수 인 유전체를 삽입하였다. 각 변수에 대한 값들은 A = 100 cm², d = 5 mm, V₀ = 50 V,  ^{= 2.5이다.}

풀이]

a) 유전체를 삽입하기 전, 평행판 축전기의 전기용량

F 10

77 . m 1

10 5

) m 10

100 )(

F/m 10

85 . 8

(

₁₁

3

2 4 12

0 0

−



 =



= 

= d C  A

b) 평행판 도체 하나에 대전된 전하량

C 10

85 . 8 ) V 50 )(

F 10

77 . 1

(

¹¹ ¹⁰

0 0 0

−

= 



=

= C V q

c) 유전체를 삽입하기 전 평행판 도체 사이의 전기장

V/m 10

m 1 10

5 V

50

₄

3 0

0

= 

=

₋

d

E V

(25)

25

예제 18.7 평행판 축전기의 유전체 효과

f) 유전체를 삽입한 후 유전체 내의 전기장

V/m 10

4 5 . 2 / ) V/m 10

1 (

/

⁴ ³

0

=  = 

= E  E

g) 유전체를 삽입한 후 평행판 사이의 전위차

V 20 5

. 2 / ) V 50 (

0

/ = =

=

V



V

d) 평행판 도체 표면에 형성된 표면전하밀도

2 8

12 4

0 0

0

=  = ( 1  10 V/m )( 8 . 85  10

⁻

F/m ) = 8 . 85  10

⁻

C/m

 E

e) 평행판 도체와 접한 유전체의 안쪽 표면에 대전된 표면전하밀도 (유도된 전하밀도)

2 8

0

5 . 31 10 C/m

5 . 2 1 1 ) C/m 10

85 . 8 1 (

1

⁻

 = 

⁻



 

  −



 =



 

  −

=  



_I

or ₀

=

⁰

= 8 . 85  10

⁻⁸

C/m

²

A

 q

h) 유전체를 삽입한 후 축전기의 전기용량

F 10

425 . 4 ) F 10

77 . 1 )(

5 . 2

(

¹¹ ¹¹

0

−

= 



=

= C

C 

(26)

26

충전(charging)



C q

a s

→

=



•

0

방전(discharging)

→ 0

=



•

 C q

d s

+ q

− q

C R q dt dq C

R q i

t q q

+

=



=

−

=



 0

)

( (dynamics)

충전

 

RC t RC t

R e dt

t dq i

e C

t q

/ /

) (

1 )

(

−

=

−

=



예제

6. RC 회로

 C



animation

(27)

27

시간상수  = RC

^(약 60%를 충전하는데 걸리는 시간)

C R q dt dq C

R q

i − =  = +

−

=

0 0

 0

방전

RC t RC

t

R e dt

t dq i

e C t

q

/ /

) (

−

=



t

) (t q

) (t i

 C

R

−



 

2 1 1

2 1 2

2 1 1

공급에너지 저장에너지 저장율

에너지 ^/

2

→

−

=

= e⁻^t ^RC

C q q

C q



시간상수

(28)

28

예제 18.8 RC 회로

저항이 R, 전기용량이 C인 축전기가 전압이 V인 배터리에 직렬로 연결되어 있다.

스위치를 켜고 나서 축전기에 전하량 Q가 충전되는 데 10초가 걸렸다. 축전기를 완전히 방전시킨 후, 이번에는 저항 R을 하나 더 직렬로 연결하고 스위치를 켰다. 전하량 Q가 다시 충전되는 데 걸린 시간은 얼마인가?

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