2. 이론적 배경
2.1 유체영역 수치해석
2.1.3 자유표면에 대한 처리
부정확해지고 결과적으로 수치적인 불안정성을 야기한다.
Figure 2.6은 앞서 설명한 내용을 선박의 운동 문제에 적용한
결과를 보여주고 있다. CIP 기법을 이용한 경우 물체 근처와 격자의 종횡비가 큰 영역에서 비물리적인 짧은 파가 생성되는 것을 확인 할 수 있다. 이에 반해 MC limiter를 사용한 경우 이러한 불안정한 파가 생성되지 않는 것을 확인 할 수 있다.
(a) CIP method (b) MC-limiter
Fig. 2.6 Comparison of wave contour for ship motion problem using two different discretization methods of convection terms
본 연구에서는 volume-of-fluid (VOF) 계열의 기법 중 하나인 tangent of hyperbola for interface capturing(THINC; Xiao et al., 2005) 기법을 사용하여 위 식을 계산하였다. THINC 기법의 기본적인 아이디어는 셀 벽면에서 수치 유량을 계산하기 위하여 부피 비 함수의 분포를 tangent hyperbolic 함수로 가정하는 것이다. 1차원 문제에 대해 위 식을 유한 체적법을 이용하여 이산화 하고, 시간과 공간에 대해 적분을 수행하면 다음과 같은 방정식을 얻는다.
(
1/ 2 1/ 2) (
1/ 2 1/ 2)
1
1, 1,
i i i i
n n n
i i i
i i
g g u u
x x t
f + =f + - - + +f + - - D
D D (2.19)
여기서 f1 는 각 셀에서의 평균 부피 비를 의미하며, 셀의 중심에서 정의된 값이다. 아래 첨자에 대한 정의는 앞선 대류 항에 대한 이산화에서 사용한 바와 같고, gi+1/2는 i+1/2 면에 대한 수치 유량을 의미한다. 셀에서의 부피 비 분포, Fi(x)를 다음과 같이 tangent
hyperbolic 함수로 가정하면, 평균 부피 비는 아래 식과 같이 표현
할 수 있다.
( )
1 tanh 1/ 22
i i
i
x x
F x x
a ìï g ébæ - - ö dùüï
= í + ê ç ÷- úý
ê è D ø ú
ï ë ûï
î þ
(2.20)
1/2
( )
1/2
1,
1 i
i
n x
i x i
i
F x dx
f x +
-
=D
ò
(2.21)여기서 α는 주변 평균 부피 비의 크기에 따라 내삽 함수의
최대값을 결정하고, β는 불연속점 근처에서 함수의 기울기를 결정하는 값으로 본 연구에서는 3.5를 사용하였다. γ는 기울기의 방향을 결정짓고, δ는 식 2.21을 만족하도록 결정된다.
최종적으로 각 격자의 경계에서 들어오고 나가는 수치 유량은 다음 식을 이용하여 계산된다.
1/2
( )
1/2 1/2
1/ 2
i
i i
x
i x u t i
g + F x dx
+ +
+ =
ò
- D (2.22)기존의 THINC 방법은 다차원 공간에 대한 문제를 각 차원에 대한 1차원 문제로 가정하여 풀게 된다. 이로 인하여 다차원 문제에서는 자유표면의 형태가 부드럽게 나타나지 않고 계단형식으로 나타나는 경우가 있다. 또한, 다차원 정보를 이용하지 않기 때문에 전체 부피를 보존하지 못하는 문제점도 발생한다. 이를 보완하기 위하여 Yokoi (2007)는 다차원 정보를 이용하여 수치 유량을 보정하는 weighed line interface calculation (WLIC) 방법을 제시하였다. 기존의 THINC 방법이 갖고 있는 코딩이 간단하다는 장점을 유지하면서 다차원 정보를 이용하기 위하여 다음 식과 같이 자유표면의 법선 벡터에 따른 가중치를 주어 부피 비 값을 나타내게 된다.
1/2
( )
1/2 1/2 , ,
1/ 2, , , , , , ,
, , , 1, , , 1/ 2, , , , , 1, , , 1/ 2, ,
i
i i j k
x
i j k x u t x iu j k i j k
y iu j k iu j k i j k z iu j k iu j k i j k
g F x dx
u t u t
w
w f w f
+
+ +
+ - D
+ +
=
+ D + D
ò
(2.23)여기서 iu는 유동의 방향에 따라 결정되는 풍상(upwind) 격자의 인덱스를 뜻하고, 3차원에 대한 가중치 wx는 다음 식으로 계산된다.
; , ,
x y z
n x y z
n n n
x
wx = x =
+ + (2.24)
여기서 nx는 자유표면의 ξ-방향 법선 벡터 성분을 뜻한다.
기존의 THINC 방법과 WLIC 기법을 적용한 경우에 대한 비교 및 검증을 위해 3차원 shear 유동 문제에 대한 비교 계산을 수행하였다.
이 문제에서 속도는 다음과 같이 정의된다 (LeVeque, 1996).
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2sin sin 2 sin 2 cos /
sin 2 sin sin 2 cos /
sin 2 sin 2 sin cos /
u x y z t T
v x y z t T
w x y z t T
p p p p
p p p p
p p p p
=
= -
= -
(2.25)
위 속도로 정의된 영역에서 시간이 흐름에 따라 초기 형상은 회오리 모양으로 변형하게 된다. 이 때, T/2 시간이 흐른 뒤 속도 장을 반대로 주면 T 시간 후에 변형된 형상이 초기 형상으로 돌아오게 되는데, 복원된 정도와 경계 면의 두께로 수치기법의 정확도를 판단하게 된다. 반지름 0.5인 구형의 초기 형상을
100⨉100⨉100의 격자에 정의하고 이송방정식을 계산하여 각각의
결과를 figure 2.7에 나타내었다. WLIC 기법을 사용하는 경우 기존의
THINC 기법이 보여주는 경계 면의 찌그러짐 현상을 제거 할 수 있음을 알 수 있다.
Fig. 2.7 Three-dimensional deformation field test for THINC (upper) and THINC/WLIC (lower)
본 연구에서 사용한 THINC/WLIC 방법의 장점과 단점을 파악하기 위하여 통상 VOF 계열의 기법 중 많이 사용되는 compressive interface capturing scheme for arbitrary meshes(CICSAM; Ubbink & Issa,
1999) 방법과 비교 연구를 진행하였다. 이를 위하여 2차원 shear
유동에 대한 문제를 계산 사례의 대상으로 삼았다. 이 문제에서 속도 장은 다음과 같이 정의된다.
(
u v,) (
= sin cos , cos sinx y - x y)
. (2.26)계산 영역은 [0,π]⨉[0,π] 이고 100⨉100 개의 격자로 나누었다. 초기 형상은 다음과 같은 원형을 사용하며, 스칼라 함수, q를 원의 내부에서는 1로 외부에서는 0으로 정의하였다.
( ) ( )
( )
circle center , 1 ; radius
2 5 5
p p p
æ + ö
=ç ÷ =
è ø
(2.27)
이 때, 앞선 3차원 테스트와 마찬가지로 N 번 시간 간격이 흐른 뒤 속도를 반대로 주면 2N번째 단계에서 변형된 형상이 초기 원형으로 돌아오게 된다. Figure 2.8에 CFL 값에 따른 결과를 나타내었다.
THINC/WLIC 기법은 CFL 값과 무관하게 유사한 결과를 보여주며
초기의 형상이 어느 정도 복원 되는 것을 알 수 있다. 더불어 경계면의 두께 역시 일정하게 유지되는 것을 알 수 있다. CICSAM 기법은 CFL 값에 따라 결과의 큰 차이를 보이며 CFL=0.5에서는 경계면에서 확산이 발생하고 모양 또한 많이 일그러지는 것을 확인 할 수 있고, CFL=0.125 이하로 줄였을 때, THINC/WLIC 기법 보다 정확한 결과를 보여주었다.
Fig. 2.8 Single-vortex shearing flow with reversed velocity at 2000 steps for three different CFL numbers by THINC/WLIC and CICSAM methods
정량적인 비교를 위하여 다음 식으로 정의된 오차를 계산하여 figure 2.9에 나타내었다.
( ) ( ) ( )
, 2
, ,
, 1
Error 2 0
nx ny
i j i j
i j
x y q t N q t
=
= D D
å
= - = (2.28)앞선 결과에서 확인한 것과 유사하게 THINC/WLIC는 시간 간격에 크게 영향을 받지 않는 것을 확인 할 수 있고, CICSAM의 경우 시간 간격이 작아짐에 따라 오차가 감소하는 것을 알 수 있다.
THINC/WLIC의 경우 시간에 대한 적분으로 semi-Lagrangian 방법을
사용하기 때문에 1.0 보다 작은 CFL 값에 대해서는 결과가 유사하게 유지되고, CICSAM의 경우는 Crank-Nicolson 방법을 사용하여 시간 적분을 수행하기 때문에 2차의 정확도를 보인다.
하지만, 통상 선박의 운동 문제를 계산 할 때, 0.4-0.6 정도의 CFL 값을 사용하기 때문에 0.25 이상의 CFL 값에서도 정확한 결과를 보여주는 THINC/WLIC 기법을 사용하는 것이 결과의 정확도나 계산의 효율성 측면에서 이점이 있을 것이다.
Fig. 2.9 Error plot with respect to time step for two different free-surface capturing methods
물에 대한 부피 비와 물체에 대한 부피 비를 계산한 후에 기체에 대한 부피 비는 다음 조건을 통해 계산 된다.
3
1 m 1
m
f
=
å
= (2.29)CFL
Error
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55
THINC/WLIC CICSAM
각 셀에 대한 밀도 값은 다음 식을 통해 계산 된다.
3
1 m m m
r r f
=
=
å
(2.30)여기서 ρm은 ϕm에 대응되는 물질의 밀도를 의미한다.