1
2016학년도 4월 고3 전국연합학력평가
정답 및 해설
• 2교시 수학 영역 • [가 형]
1 ② 2 ④ 3 ④ 4 ② 5 ① 6 ③ 7 ⑤ 8 ③ 9 ⑤ 10 ④ 11 ② 12 ① 13 ③ 14 ③ 15 ① 16 ④ 17 ② 18 ③ 19 ① 20 ⑤ 21 ⑤ 22 80 23 61 24 8 25 15 26 30 27 12 28 210 29 4 30 71
1. [출제의도] 지수함수의 극한 계산하기
lim
→
lim
→
×
2. [출제의도] 순열 계산하기
P 이므로
이 자연수이므로
3. [출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기
′ cos 따라서 ′
4. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질 이해하기 log log , log log 이므로 P , Q 이다.
따라서 두 점 P , Q 사이의 거리는
5. [출제의도] 조건부확률 이해하기 P
이므로 P P
P P P∩
이므로
P∩
P
×
6. [출제의도] 자연수의 분할 이해하기
따라서 을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는
7. [출제의도] 여러 가지 적분법 이해하기
라 하면
이고
일 때 , 일 때 이므로
×
8. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기
sin
cos
sin cos cos sin
cos sin
×
9. [출제의도] 여러 가지 미분법 이해하기 함수 가 실수 전체에서 미분가능하므로
,
lim
→
′
의 양변을 미분하면
′ ′
′ ′
이므로
′
′
따라서 ′
10. [출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기 편진폭이 , 진동수가 일 때 진동가속도레벨이
이므로 log
⋯⋯ ㉠
편진폭이 , 진동수가 일 때 진동가속도레벨이
이므로 log
⋯⋯ ㉡
㉡ ㉠에서
log
log
log
log
따라서
×
11. [출제의도] 정적분의 활용 이해하기
포물선 의 준선의 방정식은 이다.
의 그래프와 직선 ,
축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
12. [출제의도] 평면곡선의 접선 이해하기
에서
∴
포물선 위의 점 에서의 접선의 기울기는
이므로
접선의 방정식은
직선
가 축과 만나는 점 를
에 대입하면 따라서 ln
13. [출제의도] 이차곡선의 성질 이해하기
PF 라 하면 점 P 에서 F 까지의 거리는 점 P 에서 준선 에 이르는 거리와 같으므로 FH
PH
삼각형 PFH의 넓이가 이므로
× ×
양변을 제곱하여 정리하면
∴
따라서 선분 PF 의 길이는
14. [출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기
이라 하자.
′
×
′ 에서
또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면
⋯
⋯ ⋯
′
↘
↗
↘
이므로 함수 의 극솟값은
이다.
함수 의 그래프의 개형을 그리면
O
이므로 함수 의 최솟값은
이다.
≥
이므로 ≤
따라서 ≥ 을 성립시키는 실수 의 최댓값은
이다.
∴ ,
따라서 ×
15. [출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결하기
번째까지 시행을 한 후 시행을 멈추려면
, , , , , , 의 숫자가 적혀 있는 개의 공에서 번째 시행까지 개의 홀수가 적혀 있는 공과 개의 짝수가 적혀 있는 공을 꺼내고 번째의 시행에 짝수가 적혀 있는 공을 꺼내야 한다.
홀수, 홀수, 짝수, 짝수를 배열하는 경우의 수는
(홀, 홀, 짝, 짝)의 순서로 공을 꺼낼 확률은
×
×
×
나머지 가지 배열의 확률도 동일하다.
번째에 짝수가 적혀 있는 공을 꺼낼 확률은
이므로
2
구하는 확률은 ×
×
×
×
×
16. [출제의도] 지수함수의 미분을 활용하여 추론하기 함수 가 실수 전체에서 미분가능하므로 함수
는 실수 전체에서 연속이다.
가 에서 연속이므로
,
lim
→
,
lim
→
∴
함수 가 에서 미분가능하므로
′
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
′
lim
→
∴ ′
′ 이므로
′ ∴
이므로
따라서
×
17. [출제의도] 이차곡선의 성질 추론하기
PM PF , PM MF′ 이고 MF′ MF 이므로 삼각형 PMF 는 정삼각형이고 ∠F′FP °
MO 이므로 PF , PF′ , FF′ 장축의 길이가 이므로
에서 따라서
18. [출제의도] 로그함수의 접선을 활용하여 문제해결하기
ln를 에 대하여 미분하면 ′
점 P ln에서의 접선의 방정식은
ln
∴ ln
점 Q ln에서의 접선의 방정식은
ln
∴ ln
ln ln
′ ln ln 에서
함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면
⋯
⋯
′
↘
↗
따라서 극솟값은
19. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 선분 PQ 를 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이 는
sin
입체도형의 부피 는
sin 라 하면
일 때 , 일 때 이므로
sin , ′ sin
′ , cos
×
cos
cos
20. [출제의도] 확률의 성질을 활용하여 문제해결하기 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내는 방법의 수는 C
ⅰ) 연속된 세 수가 인 경우
를 제외한 개 중 개를 선택하므로 C
ⅱ) 연속된 세 수가 인 경우
을 제외한 개 중 개를 선택하므로 C
ⅲ) 연속된 세 수가
( , , , , , )인 경우
과 를 제외한 개 중 개를 선택하므로 ×C
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여
따라서 P
21. [출제의도] 평면곡선의 접선의 성질 추론하기 타원
은 네 점 , , ,
을 네 꼭짓점으로 하는 타원이다.
타원
과 함수 의 그래프가 접할 때 의 값을 구하자.
위의 점
( )에서의 접선의 방정식을 구하면
이므로 접선의 기울기는
이고
접선의 방정식은
(≠ )∴
타원이 직선 에 접하므로
,
∴
,
점
은 위의 점이므로 ∴
O
타원
이 점 을 지날 때,
O
∴
≤
따라서 함수 는 , 에서 불연속이고, 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은
22. [출제의도] 이항정리의 뜻 이해하기 다항식 의 전개식의 일반항
C C
∴
따라서 의 계수는 C×
23. [출제의도] 확률의 덧셈정리 이해하기 두 사건 , 가 서로 배반사건이므로 P P∪ P
따라서 이고
24. [출제의도] 이차곡선의 성질 이해하기 두 점근선의 방정식이 , 이므로
± ∴ ⋯⋯ ㉠
점 을 지나므로
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
따라서 주축의 길이는
25. [출제의도] 여러 가지 적분법 이해하기
ln ln
ln ln ln
ln ln
따라서
26. [출제의도] 삼각함수의 그래프의 성질 추론하기
cos
의 그래프는 cos의 그래프를
축의 방향으로
만큼 평행이동한 그래프이므로 주기는 , 치역은
≤ ≤
이다.
cos
의 그래프는 cos 의 그래프에서 인 부분을 축에 대하여 대칭이동시켜 얻은 그래프이다.
cos
의 그래프는 그림과 같다.
O
cos
의 그래프와 직선 가3
서로 다른 세 점에서 만나는 의 값은
따라서
이고
27. [출제의도] 여러 가지 적분법 추론하기 (가)와 (나)에서 ,
≤ ≤ 에서 함수 는 연속이고
에서 ′≥ 이므로 따라서 함수 의 그래프는 그림과 같다.
O
sin
×
cos
따라서 , 이고
28. [출제의도] 중복조합 이해하기
(나)에서 자연수 , , , 중 으로 나눈 나머지가
인 수 개를 선택하고 으로 나눈 나머지가 인 수 개를 선택하는 경우의 수는 C×C
, 가 으로 나눈 나머지가 인 수,
, 는 으로 나눈 나머지가 인 수라 하면
′ , ′ , ′ , ′
′ , ′ , ′ , ′ 은 음이 아닌 정수
(가)에서
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ⋯⋯ ㉠
이때 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는
개의 문자 ′ , ′ , ′ , ′ 에서 개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
H CC
따라서 모든 순서쌍 의 개수는
×
29. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 선분 AB 의 중점을 O,
선분 PB 와 호 PB 에 접하는 원의 반지름의 길이를 , 삼각형 ABQ 에 내접하는 원의 중심을 C ,
반지름의 길이를 라 하자.
A B
O P
M C
Q
∠MOB 이고 OB 이므로 OM cos
∴
cos
,
cos
삼각형 CAO 는 ∠AOC °인 직각삼각형이고
∠CAO
, OA
∴ tan
, tan
lim
→
×
lim
→
cos
× tan
lim
→
cos
× tan
lim
→
× sin
×
×
tan
× cos
×
×
30. [출제의도] 여러 가지 미분법을 활용하여 문제해결하기
라 하자.
함수 의 그래프와 직선 의 교점의 좌표는 , ln
는 한 변의 길이가 인 정사각형의 꼭짓점이
의 그래프와 만날 때 정해진다.
≤ ln이면 두 점에서 만나고
ln 이면 한 점에서 만날 때이다.
ⅰ) ≤ ln일 때
O
정사각형과 의 두 교점의 좌표를 와
라 하면 두 교점의 좌표는
,
두 교점의 좌표가 같으므로
이고,
∴
ⅱ) ln일 때
O
정사각형과 의 교점의 좌표는
∴
그러므로 함수 는
≤ ln
ln
함수 의 도함수 ′는
′
ln
ln
′ln ′ln
따라서 , 이고
[나 형]
1 ④ 2 ③ 3 ① 4 ② 5 ④ 6 ③ 7 ③ 8 ① 9 ⑤ 10 ⑤ 11 ① 12 ③ 13 ② 14 ② 15 ⑤ 16 ② 17 ④ 18 ⑤ 19 ④ 20 ① 21 ② 22 8 23 121 24 3 25 15 26 80 27 27 28 210 29 725 30 56
1. [출제의도] 지수의 성질을 알고 계산하기
×
×
×
2. [출제의도] 집합의 원소의 개수 계산하기
이므로 원소의 개수는
3. [출제의도] 수열의 극한 이해하기
lim
→∞
lim
→ ∞
4. [출제의도] 로그의 성질 이해하기 log log
log
5. [출제의도] 등비수열 이해하기
등비수열
의 첫째항을 , 공비를 라 할 때,
에서
이므로 따라서
6. [출제의도] 함수의 연속 이해하기
함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
에서 연속이다.
이고
lim
→
lim
→
이므로
∴
7. [가형 6번과 동일]
8. [출제의도] 명제 추론하기
세 조건 , , 의 진리집합을 각각 , , 라 하자.
명제 → ∼ 가 참이므로 대우 → ∼ 도 참이다.
그러므로 ⊂이고 명제 → 가 참이므로 ⊂ 따라서 ⊂⊂이 성립하므로 ⊂이다.
∴
명제 → ∼ 가 항상 참이다.9. [출제의도] 거듭제곱근 이해하기
4
의 네제곱근을 라 하면
이므로
± 또는 ±
∴ 또는
의 세제곱근을 라 하면
이므로
또는
±
∴ 그러므로
또는 따라서 의 최댓값은
10. [출제의도] 순열 이해하기
홀수 번호가 적힌 개의 의자 중에서 개의 의자를 택하여 아버지, 어머니가 앉는 경우의 수는
P ×
나머지 개의 의자에 할머니, 아들, 딸이 앉는 경우의 수는 P × ×
따라서 구하는 경우의 수는 ×
11. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기
∞
이므로 →∞lim
이라 하면
lim
→∞
이므로
lim
→∞
lim
→∞
따라서
lim
→∞
12. [출제의도] 명제 추론하기
두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하면
∼ 는 이기 위한 필요조건이므로
⊂⇔⊂
│ ≤ ≤ , │ ≤ ≤
∴ ⊂을 만족시키는 정수 의 값은 , , 따라서 모든 정수 의 값의 합은
13. [출제의도] 무리함수 그래프의 평행이동 이해하기 함수 의 그래프는
함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭 이동한 후 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이다.
그러므로 , 따라서
14. [출제의도] 함수의 극한 문제해결하기
점 P 를 지나고 축에 평행한 직선 와 두 함수 , 의 그래프가 만나는 점은 각각 A , B 이다.
∴ AB
점 B 를 지나고 축에 평행한 직선 과 함수 의 그래프가 만나는 점은
C 이다.
∴ BC 따라서
lim
→ AB
BC
lim
→
lim
→
lim
→
15. [출제의도] 수열의 극한 문제해결하기
OA
점 A 을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은 이다.
이 직선이 축과 만나는 점은 B
이므로OB
∴
lim
→∞OA
OB
lim
→∞
lim
→∞
16. [출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기
, 이므로
log
log
log
log
× log log
log log
log
∴
17. [출제의도] 함수 이해하기
는 ‘를 로 나눈 나머지’이므로
, , , , 이다.
함수 →는 집합 의 모든 원소 에 대하여
∘ ∘ 를 만족시키므로
∘ ∘ 에서
∘ ∘ 에서
∘ ∘ 에서
∘ ∘ 에서
이므로 이어야 한다.
∴
18. [출제의도] 수학적 귀납법 추론하기 (1) 일 때,
(좌변)
, (우변)
이므로 (*)이 성립한다.
(2) 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
⋯
이다.
위 등식의 양변에
을 더하여 정리하면
⋯
따라서 일 때도 (*)이 성립한다.
(1), (2)에 의하여
모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.
∴
, 따라서 ×
×
19. [출제의도] 집합의 연산 이해하기 주어진 조건을 만족하는 집합 , , 를 벤 다이어그램으로 나타내면
또는
따라서 ∩∪
20. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 에서
×
× ×
× ×
다음은 그림 의 일부이다.
B
A
E
D
C F
A
B
C
D
그림에서 AB 라 하자. 두 선분 AB, BC을 각각 로 내분하는 두 점을 E, F이라 하면,
BE
, BF
EF
BE
BF
∴ AB
EF
×
AB 두 정사각형 ABCD, A B C D 은 서로 닮음이고, 닮음비는
이다.
그러므로 그림 에서 새로 얻어진 모양의 도형과 그림 에서 새로 얻어진 모양의 도형도 서로 닮음이고 닮음비가
이다.
5
따라서 은 첫째항이 이고 공비가
인 등비수열의 첫째항부터 제항까지의 합이다.
∴
lim
→∞
21. [출제의도] 수열의 극한 문제해결하기 집합 의 부분집합 중 원소의 개수가 두 개인 집합에 대하여 이 두 원소의 차가 보다 큰 임의의 두 원소를 , 라 하자.
이므로 (단, ≤ ≤ )
일 때, , , ⋯ ,
, , ⋯ , : 개
일 때, , , ⋯ ,
, ⋯ , : 개 ⦙
일 때,
: 개
≤ 일 때, 는 없으므로 개
그러므로 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가
보다 큰 집합 의 모든 부분집합의 개수 은
⋯
∴
lim
→∞
lim
→∞
×
lim
→∞
22. [가형 2번과 동일]
23. [출제의도] 수열의 합 이해하기
× ×
×
24. [출제의도] 합성함수 이해하기
∴ ∘
25. [출제의도] 함수의 극한 이해하기
lim
→
에서
lim
→
이므로
lim
→
∴
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
∴ 따라서
26. [출제의도] 등차수열 이해하기
세 실수 , , 가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 공차를 라 하면, ,
(가)에서
×
∴
(나)에서
∴ ±
그러므로 , , 또는 , , 따라서
27. [출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 점 P 의 의 좌표를 라 하자.
ⅰ 일 때,
O
P
R Q
P
, Q , R
이므로PQ
, QR
∴ PQ× QR
≥
×
등호가 성립하는 경우는
, 즉 일 때이다.
그러므로 일 때, PQ× QR 는 최솟값 을 갖는다.
ⅱ 일 때, P
, Q , R
이므로ⅰ에서와 같이
일 때, PQ× QR 는 최솟값 을 갖는다.
따라서 ⅰ, ⅱ에 의하여 PQ× QR 의 최솟값은
28. [가형 28번과 동일]
29. [출제의도] 수열의 합 문제해결하기
기울기가 이고 절편이 양수인 원
의 접선의 방정식은
∴
직선 이 축, 축과 만나는 점은 각각 A , B 이고,
점 A을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은
이므로 C
삼각형 ACB과 그 내부의 점들 중
좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수 은
일 때, 좌표가 인 점의 개수는 ,
좌표가 인 점의 개수는 이므로
일 때, 좌표가 인 점의 개수는 ,
좌표가 인 점의 개수는 ,
좌표가 인 점의 개수는 이므로
일 때, 좌표가 인 점의 개수는 ,
좌표가 인 점의 개수는 ,
좌표가 인 점의 개수는 ,
좌표가 인 점의 개수는 이므로
⋮
∴ ⋯
따라서
×
× ×
×
×
×
⋯
30. [출제의도] 함수의 연속 문제해결하기
주어진 이차함수 는 축의 방정식이 이고 (가)에서 방정식 은 열린 구간 에서 적어도 하나의 실근을 가지므로
,
∴
(나)에서
,
lim
→
lim
→
,
lim
→
lim
→
이고 함수 가 에서 연속이므로
∴ 또는 (∵ ) 따라서 모든 실수 의 값의 곱은
