Comparison between Variational Approximation and Eigenfunction Expansion Method for Wave Transformation over a Step Bottom

(1)

91 제 21 권 제 2 호, pp. 91~107, 2009년 4월

단 보

단일계단 지형에서 변분근사법과 고유함수 전개법에 의한 파랑변형 비교 Comparison between Variational Approximation and Eigenfunction Expansion

Method for Wave Transformation over a Step Bottom

서승남*

Seung-Nam Seo*

요 지: 단일 계단지형 위를 지나는 선형 파랑의 변형을 계산하기 위해 변분근사법과 고유함수 전개법을 사용 하였다. 이들 수치해를 비교에서 반사율과 투과율 그리고 해면변위는 거의 일치한다. 그러나 계단 경계에서 유속 정합조건이 부여되었음에도 불구하고 계산된 x방향 유속의 수직구조는 차이를 보인다.

핵심용어: 파랑변형, 단일 계단지형, 고유함수 전개법, 변분근사법, 수치실험

Abstract : In order to compute linear wave transformation over a single step bottom, both variational approximation and eigenfunction expansion method are used. Both numerical results are in good agreement for reflection and transmission coefficients, surface displacement respectively. However x velocity profiles at the boundary of step are seen to be different to each other even though x velocity matching condition is used.

Keywords : wave transformation, single-step topography, eigenfunction expansion method, variational approximation, numerical experiment

1. 서 론

계단지형은 실제 지형을 극히 이상화한 단순 지형으로 수심이 일정한 구간 별로 구분하면 고유함수가 존재하여 이에 대한 일차결합으로 해를 구성할 수 있고 수학적으 로 다루기 쉬운 장점이 있다. 일차결합에 포함되는 미지 상수는 정합조건을 이용하여 정하며 이로부터 지형에 의 한 파랑변형을 계산할 수 있다. 이러한 방법 가운데 고 유함수 전개법(EFEM, eigenfunction expansion method)과 변분근사법(VM, variational approximation)이 대표적인 방법이라 평가된다. 본 논문에서는 이 두 방법의 해의 특성을 해석적 방법과 수치실험을 통해 분석하고자 한다.

천해역에서 진행파만을 이용한 고유함수 전개법을 적 용하여 Lamb(1932)은 단일 계단지형에 직교 입사파랑에 의한 반사율과 투과율을 계산하였고 Mei(1989)는 천해파 에 대한 기존 연구결과를 정리하였다. Takano(1960)는 억

류파(evanescent wave)를 포함한 해로 확장하였고 Kirby and Dalrymple(1983)은 Takano의 방법을 이용하여 사각 입사파랑의 해를 구하였다. 그리고 Kirby et al.(1987)은 Kirby and Dalrymple의 방법을 이용하여 흐름이 존재하 는 trench에서의 사각 입사파랑의 해로 확장하였다.

고유함수 전개법에 관한 국내 연구로는 서·전(1992)은 Kirby et al.(1987)의 방법을 이용하여 흐름이 존재하는 trench에서의 생성되는 억류파의 영향을 분석하였다. 조·

이(1998)은 연안사주와 원호형 지형을 복합 계단지형으로 모사하는 방법으로 파랑변형의 수치해를 구하였다. 그리 고 서(2008)은 고유함수 전개법과 산란체법을 이용하여 다 중 계단지형에 대한 파랑변형을 계산하였다.

변분근사법은 Miles(1967)가 제시하였으며 억류파 성분을 진행파 성분으로 근사하여 단일 계단지형의 경우 해석해 를 얻을 수 있다. 그러나 이 해석해는 파수의 함수로 표 현되기 때문에 수치계산이 필요하다. Miles는 억류파 근 사에 도입한 미지 유속을 변분형태의 적분식으로 변형하

*한국해양연구원 연안개발·에너지연구부 책임연구원(Coastal Engineering & Ocean Energy Research Department, KORDI, Ansan PO.

Box 29, Seoul 425-600, Korea. [email protected])

(2)

여 이를 가장 간단한 하나의 진행파 성분을 사용하였다.

외형적으로는 진행파 성분 하나만이 표현되며 본 수치실 험 결과에 의하면 이 방법의 결과는 고유함수 전개법의 결과와 거의 같다. Miles가 구성한 변분형태와 근사는 Ritz 기법에 속하며 한 두 개의 근사로도 상당히 정밀한 해를 구할 수 있다(Greenberg, 1978). Miles(1982)는 trench 에 의한 파랑변형을 계산하기 위해 등각사상법과 변분근 사법을 각각 사용하였다.

한편 Devillard et al.(1988)는 Miles의 산란행렬을 변 형한 변환행렬을 도입하여 축차적으로 파랑변형의 해를 구 하는 기법을 제시하였다. 위의 변환행렬을 이용하여 O’Hare and Davies(1992)는 연안사주 지형을 복합 계단으로 구 성하여 직교 입사파랑의 수치해를 구하였으며 수리실험의 결과와 수치해는 대체적으로 일치한다.

변분근사법에 관한 국내 연구는 거의 없으며 Miles가 식 유도에 사용한 행렬식은 표현이 매우 간결하나 전개과정 에 상당한 주의가 필요함으로 본 논문에서는 직접적인 방 법을 사용하여 재유도하였다. 이 방법은 다중 계단지형에 대한 변분근사식의 유도에 보다 쉽고 확장이 용이할 것으 로 판단되기 때문에 그 유도과정을 제 2절에 자세히 기술 하였다. 또한 기존 연구 결과와 최근 연구를 종합하여 변 분근사법과 고유함수 전개법의 관계를 정리하고 변분근사 법의 해가 에너지보존식을 만족함을 해석적으로 입증하였 다. 위의 두 방법에 대한 수치해를 비교하기 위한 수치실 험 결과는 제 3절에 기술하였다.

2. 단일계단 지형의 해

단일 계단지형 위를 지나는 파랑의 변형은 속도포텐셜 φ 의 Laplace 미분식으로 나타낼 수 있다. Fig. 1과 같이 x 축은 정지해면 상에 위치하고 z축은 해면상에서 상향을 양 의 방향으로 y축은 오른손 좌표계 정의에 따른 방향을 각 각 양으로 정한다. 그리고 y방향에 대한 지형 변화율이 없 는 것으로 가정한다.

2.1 경계치 문제

본 논문에서 대상 파랑은 각주파수 ω인 단주기이고 입 사각 θ_I로 사각 입사하는 파랑의 변형으로 선형파를 대상 으로 한다. 이 가정아래서는 y방향 파수(b)가 일정하기 때 문에 시간성분과 y방향 성분 exp(iby-iωt)을 분리한 속도 포텐셜을 사용할 수 있다. 그러면 선형 경계치 문제는 식 (1)로 나타낼 수 있다.

(1a)

(1b)

(1c)

, 계단의 직벽에서 (1d)

여기서 h는 수심, g는 중력가속도이다. x₁은 지형 경계선의 좌 표이고 속도포텐셜의 크기가 한정되어야 하기 때문에 방 사조건이 부가된다.

계단지형은 수심이 일정한 구역으로 분리할 수 있고 이 후 식에 존재하는 아래첨자 i는 구간을 의미한다. 구역 i에서 는 수심이 일정하기 때문에 변수분리법을 사용할 수 있 고 이로부터 얻어지는 고유함수로 속도포텐셜을 전개할 수 있다. 고유함수를 해면조건에 대입하면 식 (2)로 표현되 는 파랑분산식을 얻는다.

(2)

식 (2)의 첫 식의 우변 첫 항은 진행파에 대한 것으로 파 수는 하나만 존재하는 반면에 경계 부근에만 존재하는 억 류파인 둘째 항으로부터 계산되는 파수는 무한개이다. 여 기서 a_i,n(n=0,1,...)는 방향의 파수이다. 선형파를 대상으로 하기 때문에 진행파와 억류파를 중첩한 속도포텐셜은 식 (3a)가 된다.

(3a) φxx+φzz–b²φ=0 h,– < <z 0

φ_z ω² ---φ 0g = – , z=0

φz=0 z, =–h φx=0

ω²=gk_{i 0}_, tanhki 0, h_i=–gk_{i j}_,tanki j,h_i a_{i 0}_, = k_{i 0}²_, –b², a_{i j}_, = k_{i j}²_, +b²

φ1 (p₁⁺eîa^1.0^x+p₁⁻e^–îa^1.0^x)χ1.0( )z s_{1 j}⁻_,eâ^{1 j}^,⁽^{x x}^–¹⁾χ1 j,( ),z

j 1=

∑∞

+

= x x≤ ₁

φ2 (p₂⁺eîa^2.0^x+p₂⁻e^–îa^2.0^x)χ2.0( )z s_{2 j}⁺_,e^–â^{2 j}^,⁽^{x x}^– ¹⁾χ2 j,( ),z

j 1=

∑∞

+

= x x≥ ₁

⎩⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎧

Fig. 1. Definition Sketches of a step bottom.

(3)

(3b) 식 (3a)에서 상수 p의 위첨자 +는 양의 방향, -는 음의 방향으로 각각 진행하는 파랑을 의미하고 미지상수 s는 경 계선 부근에 억류된 파랑을 의미한다. 본 논문에서는 좌 우 양방향에서 파랑이 입사하는 경우를 다루기 때문에 조 합 p₁⁺와 p₂⁻, p₁⁻와 p₂⁺가운데 하나는 주어지나 또 다른 조합은 미지수이다. 식 (3b)에서 기저함수 χ_i,n(n=0,1,2,...)를 제곱하여 해당 수심에서 해면까지 적분하면 1이 되므로 이들은 단위직교 기저함수(orthonormal basis function)이다.

식 (1)의 해는 식 (3a)와 같이 기저함수의 일차결합으로 표현되었기 때문에 해를 구하는 문제는 식 (3a)에 포함된 미지상수를 구하는 문제로 바뀐다. 이 미지상수는 경계선 에서의 정합조건 식 (4)로부터 얻을 수 있고 x방향 유속 U를 식 (4b)와 같이 정의한다.

(4a)

(4b) 한편 속도포텐셜을 구하게 되면 해면함수 η는 동력학 해면조건인 식 (5)로부터 구한다.

(5)

2.2 의 경우

고유함수 전개법에서는 식 (3a)를 식 (4)에 대입하고 미 지상수를 구하기 위해 수심이 낮은 지역의 기저함수들을 곱하고 해저에서 수면까지 적분하여 미지상수에 대한 연립 방정식을 구성한다. 억류파의 개수를 N개로 정하면 2(N+1) 개의 연립방정식이 만들어지고 이를 풀면 식 (3a)의 모든 미 지상수가 구해짐으로 해를 구할 수 있다. 고유함수 전개법 으로부터 해를 구하는 과정은 위에 기술한 바와 같이 간단 하며 자세한 사항은 서(2008)를 참고하기 바란다.

좌측에서 입사하는 파랑에 변분근사법을 사용하게 되 면 억류파 미지상수 s는 진행파로 표현되기 때문에 결국 미지수 p₁⁻와 p₂⁺를 구하는 문제로 귀착된다. 식 (3a)을 x에 대해 미분하고 x=x₁를 대입하면 이는 U가 된다. 그리고

결과 식에 χ_1,n(n=0,1,...)를 각각 곱한 후 구간(-h₁, 0)에 대해 적분하면 기저함수의 직교성에 의해 식 (6)을 얻는다.

(6)

마찬가지 방법으로 χ_2,n(n=0,1,...)를 각각 곱한 후 구간 (- h₂, 0)에 대해 적분하면 식 (7)을 얻는다. 이 경우에는 식 (4) U의 정의에 따라 적분하한은 -h₁으로 변경할 수 있다.

(7) 억류파에 대한 항을 소거하기 위해 식 (6)과 (7)의 둘 째 식을 식 (3a)에 대입하고 경계선에서 동역학 정합조건 (φ₁=φ₂)을 이용하면 식 (8)이 얻어진다.

(8)

식 (9)의 함수 이므로 대칭성을 갖는다.

유속 U를 진행파 성분으로 표현하기 위해 새로운 미지 함수 u₁와 u₂를 도입하여 식 (9)와 같이 가정한다.

(9)

식 (9)를 식 (8)에 대입하여 정리하고 진행파 성분은 독 립적으로 변할 수 있으므로(즉 선형독립이므로) 이로부터 식 (10)이 성립한다.

(10) 그리고 식 (10)에 미지함수 u_j를 곱해 구간(-h₁, 0)에 대 해 적분하면 식 (11)이 된다.

(11) 한걸음 더 나아가 식 (11)을 식 (12)와 같은 변분형태로 변형할 수도 있다.

χi 0, ( )z 2coshki 0, (z+h_i) h_i g

ω---sinh² ²k_{i 0}_, h_i +

--- χi j,( )z 2coshk_{i j}_,(z+h_i) h_i g

ω² ---

– sinh²k_{i j}_,h_i ---

=

φ₁(x₁,z) φ= ₂(x₁,z)

U x( ₁,z) ∂φ1

--- ∂ φ∂ x ² ---∂ x

= , –min(h₁,h₂) z 0≤ ≤

0 max, – (h₁,h₂) z≤ ≤–min(h₁,h₂)

⎩⎪

⎨⎪

⎧

≡

η x y( , ) iω

---φ x 0g ( , )e^iby

=

h₁<h₂

Uχ_{1 0}_, dz

h₁ –

∫0 ⁼îa^{1 0}^, ⁽^p¹⁺êîa^{1 0}^,^x¹^–^p¹⁻ê^–îa^{1 0}^,^x¹⁾

Uχ_{1 j}_, dz

h₁ –

∫0 ⁼^a^{1 j}^,^s^{1 j}⁻^,

Uχ_{2 0}_, dz

h₂ –

∫0 –h₁^U^χ^{2 0}^, ^d^z

∫0 ^{= a}ⁱ ^{2 0}^, ⁽^p²⁺êîa^{2 0}^,^x¹^–^p²⁻ê^–îa^{2 0}^,^x¹⁾

= Uχ_{2 j}_,dz

h₂ –

∫0 –h₁^U^χ^{2 j}^,^d^z

∫0 ^–^a^{2 j}^,^s^{2 j}⁺^,

= =

p₁⁺e^ia^{1 0}^, ^x¹+p₁⁻e^–^ia^{1 0}^, ^x¹

( )χ1 0, ( ) pz –( 2+e^ia^{2 0}^, ^x¹+p₂⁻e^–^ia^{2 0}^, ^x¹)χ2 0, ( )z U( )G ξ zξ ( , ) ξd

h₁ –

∫0

–

=

G(ξ z, ) χ1 j,( )χξ 1 j,( )z a_{1 j}_,

--- χ^{2 j}^,( )χξ 2 j,( )z a_{2 j}_, ---

j 1= +

∑∞

≡

G(ξ z, ) G z ξ= ( , )

U z( ) p≡( 1+eîa^{1 0}^, ^x¹+p₁⁻e^–îa^{1 0}^,^x¹)u1( )z p₂⁺eîa^{2 0}^, ^x¹+p₂⁻e^–îa^{2 0}^, ^x¹ ( )u1( )z +

χ_{1 0}_, ( )z u₁

h₁ –

∫0

– ( )G ξ zξ ( , )dξ

= χ_{2 0}_, ( )z u₂

h₁ –

∫0 ^{( )G ξ z}^ξ ⁽ ^, ^)dξ

=

1 –

( )ⁱ–h₁χi 0,

∫0 ^{( )u}^z ^j^{( )dz}^z –h₁^uⁱ^{( )G ξ z}^ξ ⁽ ^, ^)u^j^{( ) ξ}^z ^d ^d^z

∫0 h –

∫0

=

(4)

(12)

식 (12)는 식 (11)에 비해 u_i에 포함된 상수에 대해 무관 한 장점이 있다. 즉 을 대입하면 식 (12)에서는 상수 c_i가 상쇄되나 식 (11)에서는 상수가 존재한다.

이제 미지상수들에 대한 연립방정식을 구성하기 위해 식 (9)를 식 (6)과 (7)의 첫 식에 대입한다.

(13) 식 (13)의 연립방정식을 풀기 위해서 미지함수 u_i는 Miles (1967)과 같이 u_i를 식 (14a)로 설정하고 수식 전개의 편 의상 다음 변수를 정의한다. 변수 X₁은 식 (8)과 구간 (h₁,0)에 대한 기저함수의 직교성을 이용하여 얻는다.

(14a)

(14b)

입사구역에서 진행파의 x방향 파수 a_1,0는 실수이나 구역 2의 수심이 깊어 전반사가 일어나는 경우 a_2,0는 허수가 된다. 그러므로 변수 λ₁은 복소수이고 λ₁N₁은 항상 실수 이다. 한편 X₁에서 억류파의 x방향 파수는 식 (2)로부터 실수이므로 이 역시 실수이다. 식 (12)와 (14)를 식 (13)에 대입하면 식 (15)를 얻는다.

(15)

식 (15)를 진행파의 미지상수에 대해 다시 정리하면 식 (16)을 얻는다.

(16) 식 (16)은 진행파의 미지상수들에 대한 관계식이고 억류 파의 영향이 포함되어 있으며 우변의 행렬은 지형과 파 랑의 특성에 대한 함수임을 알 수 있다. 위 식은 선형파 의 문제이므로 임의 파고를 사용할 수 있고 좌측에서 입 사하는 파랑의 속도포텐셜( p₁⁺)를 1로 정하면 투과파의 속 도포텐셜( p₂⁺)을 직접 구할 수 있다. 또한 우측에서 입사 하는 경우( p₂⁻=1)도 관련 값을 직접 계산할 수 있다.

식 (16)로 표현된 속도포텐셜의 산란행렬은 Miles의 산 란행렬의 식 (5.8)로 변형할 수 있다. Miles 속도포텐셜의 정의인 식 (2.10)를 사각입사로 확장하고 본 논문에서 정 의된 식 (3a)과 Miles의 정의를 비교하면 식 (17)이 된다.

(17)

그리고 식 (16)에 x₁= 0를 대입하면 Miles의 산란행렬이 얻어진다.

식 (16)에서 억류파를 무시하면(X₁=0) plane-wave 근 사해가 되며 이 경우에 기존 결과와 동일함을 보이고자 한다. 서(2008)는 속도포텐셜의 기저함수를 식 (3b)와 다 른 함수 f_i,n(n=0,1,...)를 사용하였다.

(18) 식 (18)로부터 계산한 plane-wave 근사해는 식 (19)가 된 다.

× χi 0,

h₁ –

∫0 ^{( )u}^z ^j^{( )dz=}^z

1 –

( )^j _hχ_{i 0}_,

–1

∫0 ^{( )u}^z ^j^{( )dz}^z –h₁^χ^{j 0}^,

∫0 ^{( )u}^z ⁱ^{( )dz}^z

u_i( )G ξ zξ ( , )u_j( ) ξz d dz

h₁ –

∫0 h –

∫0

---

u_i( )=cz iχi( )z

p₁⁻e^–^ia^1.0^x¹ u₁

h₁ –

∫0 ^χ^{1 0}^, ^dz⁺^ia^{1 0}^,

( ) p2+e^ia^{2 0}^,^x¹ u₂

h₁ –

∫0 ^χ^{1 0}^, ^dz

+

p₁⁺e^ia^{1 0}^,^x¹ ia_{1 0}_, u₁χ_{1 0}_, dz

h₁ –

∫0

–

( ) p₂⁻e^{– a}ⁱ^{2 0}^,^x¹ u₂

h₁ –

∫0 ^χ^{1 0}^, ^dz

–

=

p₁⁻e^–^ia^1.0^x¹ u₁

h₁ –

∫0 ^χ^{2 0}^, ^dz ^p²⁺êîa^{2 0}^,^x¹ –h₁û²

∫0 ^χ^{2 0}^, ^{dz ia}^– ^{2 0}^,

( )

+

–p1+

e^ia^{1 0}^,^x¹ u₁χ2 0, dz

h₁ –

∫0 ^p²⁻^e^{– a}ⁱ^{2 0}^,^x¹ –h₁^u²

∫0 ^χ^{2 0}^, ^dz⁺^ia^{2 0}^,

( )

–

=

u_i( ) cz = iχ1 0, ( ) i 1 2z,( = , ) λ1

a_{2 0}_, a_{1 0}_, ---

=

λ1N₁ χ1 0, ( )χz 2 0, ( ) zz d

h₁ –

∫0

=

X₁ a_{1 0}_, –h₁χ1 0,

∫0 ^{( )G ξ z}^ξ ⁽ ^, ^)χ^{1 0}^, ^{( ) ξ}^z ^d ^d^z h₁

–

∫0

=

a_{1 0}_,

χ_{1 0}_, ( )χz _{2 j}_,( ) zz d

h₁ –

∫0

( )²

a_{2 j}_, ---

j 1∑=

⎩ =

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎧

1

– +iX₁ λ₁N₁ λ1N₁

– (λ1N₁)²–iλ12X₁

p₁⁻e^–^ia^{1 0}^,^x¹ p₂⁺e^ia^{2 0}^,^x¹

⎩ ⎭

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎧ ⎫

iX₁+1 – Nλ1 1

λ₁N₁ –(λ₁N₁)²–iλ₁²X₁

= p₁⁺e^ia^{1 0}^, ^x¹ p₂⁻e^{– a}ⁱ^{2 0}^, ^x¹

⎩ ⎭

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎧ ⎫

p₁⁻ p₂⁺

⎩ ⎭⎨ ⎬

⎧ ⎫ R₁⁺ T₁⁻ T₁⁺ R₁⁻

p₁⁺ p₂⁻

⎩ ⎭⎨ ⎬

= ⎧ ⎫

R₁⁺ N₁²–1–iX₁ N₁²+1 iX– 1

---e^2ia^{1 0}^,^x¹

= ,T₁⁺ 2N₁/λ₁ N₁²+1 iX– 1

---e^{i a}⁽^{1 0}^, ^–^a^{2 0}^,^)x¹

=

T₁⁻ 2N₁λ₁ N₁²+1 iX– 1

---e^{i a}⁽^{1 0}^, ^–^a^{2 0}^, ^)x¹

= ,R₁⁻ 1 N– ₁²–iX₁ N₁²+1 iX– 1

---e^–^2ia^{2 0}^,^x¹

=

p₁⁺=–A₁, p₁⁻=–B₁, p₂⁺=B₂, p₂⁻=A₂

f_{i 0}_, ( ) coshkz = i 0, (z+h_i), fi j,( ) cosz = k_{i j}_,(z+h_i)

p˜₁⁻ p˜₂⁺

⎩ ⎭⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪

⎧ ⎫ 1

a_{1 0}_, I₁₂² +a_{2 0}_, I₁₁I₂₂ ---

=

(5)

×

(19) 식 (19)의 둘째 식은 실수이며 이를 이용하면 식 (14b)의 변수 N₁는 식 (20)이 된다.

(20)

식 (20)를 식 (16)의 plane-wave 근사해에 대입하면 반사 파에 대한 값은 일치하나 투과파에 대한 값은 상이하기 때문에 물리변수인 반사율과 투과율를 비교하고자 한다.

진폭 은 동력학 해면조건인 식 (5)로부터 계산 하고 좌측 입사파에 의한 반사율(K_R⁺)과 투과율(K_T⁺)은 식 (16)의 경우 식 (21a)가 되어 동일하다.

(21a)

식 (21a)에서 구역 2의 x방향 진행파수 a_2,0가 허수이면 식 (3a)로부터 파형은 지수 감소함으로 전반사가 발생한 다. 그러므로 x→-∞에서 진폭비로 정의되는 반사율은 완 전반사로 K_R⁺= 1이 되고 x→∞에서 진폭비로 정의되는 투 과율은 K_T⁺= 0이 된다.

한편 우측 입사파의 경우에는 식 (21b)가 되며 이 경 우 a_2,0는 입사파이기 때문에 실수이다. 그리고 조건 h₁<h₂ 으로부터 a_1,0은 항상 실수이므로 식 (21b)는 이 조건에서 항상 성립한다.

(21b)

식 (16)의 plane-wave 산란행렬을 진폭비인 반사율과 투 과율로 나타낸 식 (21)은 서(2008)의 결과와 동일하다. 그러 므로 속도포텐셜로 나타낸 산란행렬은 정의에 따라 다르 나 이로부터 구한 반사율과 투과율은 정의에 따라 변하지 않고 동일하다. 따라서 평면파 근사식의 경우 plane-wave 근사 해와 변분근사식으로 구한 반사율과 투과율은 동일하다.

식 (16)으로 주어진 해와 연관된 에너지보존식을 반사 율과 투과율로 나타내면 식 (22)가 된다.

(22) 여기서 n은 군속도와 파속의 비이며 식 (19)에 정의된 I_ii는 식 (23a)로 변형할 수 있다.

(23a) 식 (23a)와 파랑분산식을 이용하면 에너지보존식에 포함 된 식 (23b)를 얻는다.

(23b)

전반사가 일어나는 경우에는 위에 기술한 바와 같이 에 너지보존식이 성립하고 a_2,0가 실수인 전반사가 일어나지 않는 경우에는 식 (20)으로부터 N₁과 λ₁은 실수이고 식 (14b)로부터 X₁도 실수이다. 좌측 입사에 대한 식 (22)에 식 (16)과 (20)를 대입하여 정리하면 식 (24a)을 얻어 에 너지보존식을 만족한다.

a_{1 0}_, I₁₂² –a_{2 0}_, I₁₁I₂₂

( )e^2ia^{1 0}^, ^x¹ (2a_{2 0}_, I₁₂I₂₂)e^{i a}⁽^{1 0}^, ^–^a^{2 0}^,^)x¹ 2a2 0, I₁₁I₂₂

( )e^{i a}⁽^{1 0}^, ^–^a^{2 0}^,^)x¹ (a_{2 0}_, I₁₁I₂₂–a_{1 0}_, I₁₂²)e^–^2ia^{1 0}^, ^x¹

p˜₁⁺ p˜₂⁻

⎩ ⎭⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪

⎧ ⎫

I_ij coshk_{i 0}_, (h_i+z)coshk_{j 0}_, (h_j+z) zd

h₁ –

∫0 ^,⁽^{i j}^, ⁼^{1 2}^, ⁾

=

λ1N₁ coshk_{1 0}_, (h₁+z) I₁₁ ---

h₁ –

∫0 ^coshk^{2 0}^,_I⁽^h²⁺^z⁾ 22

---dz I₁₂ I₁₁I₁₂ ---

= =

N₁² a_{1 0}_, I₁₂² a_{2 0}_, I₁₁I₁₂ ---

=

a_R⁺,a_T⁺

( )

K_R⁺ a_R⁺ a_I⁺

--- ω/g p−1coshk1 0, h₁/ I11

ω/g p₁⁺coshk_{1 0}_, h₁/ I₁₁ ---

= =

R₁⁺ a_{1 0}_, I₁₂² –a_{2 0}_, I₁₁I₂₂ a_{1 0}_, I₁₂² +a_{2 0}_, I₁₁I₂₂ ---

=

K_T⁺ a_T⁺ a_I⁺

--- T₁⁺ I₁₁coshk_{2 0}_, h₂ I₂₂coshk1 0, h₁ ---

= = 2a_{1 0}_, I₁₁I₁₂ a_{1 0}_, I₁₂² +a_{2 0}_, I₁₁I₂₂

---coshk2 0, h₂ coshk_{1 0}_, h₁ ---

=

K_R⁻ a_R⁻ a_I⁺

--- p₂⁺coshk_{2 0}_, h₂/ I₂₂ p₂⁻coshk2 0, h₂/ I22

---

= =

R⁻₁ a_{2 0}_, I₁₁I₂₂–a_{1 0}_, I₁₂² a_{1 0}_, I₁₂² +a_{2 0}_, I₁₁I₂₂ ---

=

K_T⁻ a_T⁻ a_I⁻

---= T₁⁻ I₂₂coshk1 0, h₁ I₁₁coshk_{2 0}_, h₂ ---

=

2a2 0, I₁₂I₂₂ a_{1 0}_, I₁₂² +a_{2 0}_, I₁₁I₂₂

--- coshk_{1 0}_, h coshk2 0, h₂ ---

=

1 K_R² K_T² k_{i 0}²_, a_{i 0}_, n_i ---a_{j 0}_, n_j

k_{j 0}²_,

--- i 1 j 2,( = , = ) or i 2 j 1( = , = ) +

=

I_ii tanhki 0, h_i

---nk icosh²k_{i 0}_, h_i

=

cosh²k_{2 0}_, h₂ cosh²k_{1 0}_, h₁ ---a_{2 0}_, n₂

k_{2 0}²_, --- k_{1 0}²_,

a_{1 0}_, n₁

--- a_{2 0}_, I₂₂ a_{1 0}_, I₁₁ ---

=

K_R⁺

( )² ( )K_T⁺² n₂k_{1 0}²_, a_{2 0}_, n₁k_{2 0}²_, a_{1 0}_, ---

+ =

a_{1 0}_, I₁₂² –a_{2 0}_, I₁₁I₂₂

( )²+(a_{2 0}_, I₁₁I₂₂X₁)² a_{1 0}_, I₁₂² +a_{2 0}_, I₁₁I₂₂

( )²+(a_{2 0}_, I₁₁I₂₂X₁)² ---