제 25 장 전기용량과 유전체 (capacitance and dielectrics)
25-1 전기용량의 정의
① 축전기(capacitor)
: 두 도체 사이의 전기용량에 의해 전하를 축적하도록 한 장치. 즉 전기 에 너지를 충전하는 에너지 저장 장치.
: 축전기에 저장된 에너지는 축전기 극판(도체)사이의 전기장과 관계한다.
② 전기용량(capacitance) 참고 : Heat capacity
△Q ∽ △T , △Q = C△T C = △Q
△T , C = lim
△T→0
△Q
△T = dQ
dT [J/K]
* 전기용량(capacitance)
: 두 도체 사이의 전위차(Vab)는 전하(Q ) 에 비례한다. 이 때 비례상수를 전기용량(C)이라 정의 한다.
: 전기용량은 극판도체들의 모양과 크기에 의존하며 도체사이에 있는 절연 물질(유전체)에 따라 달라진다.
Q ∽Vab, Q = CVab, C = Q
Vab
* 전기용량의 단위(unit) : farad = [F] 1 F = 1Coulomb/Volt
1 μF = 10- 6F, 1 pF = 10- 12F
25-2 전기용량의 계산
평행판 축전기(진공)의 전기용량 * 전기장의 크기
대전도체판사이의 전기장과 같다. Gauss 법칙과 전위로부터 E = σ
ε o , σ = Q
A 또는 E = V a - Vb
d = V ab
d 로 구했으므로
E = σ
ε o = Q
ε oA = Vab d
* 평행판 축전기의 전기용량 C C = Q
V =
ε 0A
d
: 전기용량은 도체 판의 면적 A 에 비례하고, 판사이의 간격 d 에 반비례한다.
+ 구형 축전기
C = Q
V = 4πε 0 r ar b r b-r a
+ 원통형 축전기 C = Q
V = 2πε 0 L ln (r b/r a)
25-3 축전기의 연결
① 직렬연결
: 축전기의 결합 양끝에 걸려있는 퍼텐셜 차가 각 축전기에 걸려있는 퍼텐 셜 차의 합과 같을 때의 축전기의 연결.
: 각 축전기 도체(극)판은 같은 크기의 전하를 갖는다.
: 각 축전기의 극판간의 전위차 V ac=V 1= Q
C 1 , V cb= V 2= Q C 2 : 직렬연결의 퍼텐셜 차는
V ab= V 1 +V2 = Q( 1C 1 + C12 ) : 등가 전기용량은
C eq= Q
Vab = 1/C 1 + 1/1 C 2 1
Ceq = C11 + C12 + C13 +⋅ ⋅ ∴ 1
C eq =
∑
nj = 1
C1j
: 직렬연결에서 등가전기용량의 역수는 각 축전기 전기용량의 역수의 합과 같다.
② 병열연결
: 연결된 각 축전기 양끝에 걸려있는 퍼텐셜 차가 같을 때의 축전기의 연결.
: 연결된 모든 축전기의 전위차 V ab = V로서 같지만 전기용량에 따라 극판에 대전된 전하량은 다르다.
: 각 극판에 대전된 전하량 Q = CV 에서
Q 1= C 1V, Q 2= C 2V
: 병렬연결 총 전하량
Q = Q 1+ Q 2 = (C 1 +C 2)V = CeqV : 등가전기용량은
Ceq= Q
V = C1 + C2+ C3+ ⋅⋅⋅
∴ C eq=
∑
nj = 1C j : 병렬연결에서 등가전기용량은 각 축전기의 전기용량의 합과 같다.
24-4 충전된 축전기에 저장된 에너지
① 축전기에 저장된 에너지
: 축전기에 저장된 에너지는 충전시키는데 필요한 일이 전기적 위치에너지
로 저장된 것이다.
: 충전은 축전기의 대전되어 있는 도체(극판)에 전하를 운반하는 것(과정) : 축전기의 전하 Q 를 0에서 최종 값 Q 까지 증가시키는데 필요한 일.
dq의 전하를 (-)극 판에서 (+)극 판으로 운반하는데 필요한 일은 dW= Vdq, V = q
C , dW= Vdq = ( q C )dq 총 전하 Q 를 운반하는데 행해진 일
W= ⌠⌡dW= ⌠⌡
Q 0
C dqq = 12 Q2
C ∴ U = 12 Q 2
C = 12 CV2 = 12 QV ( ∵ Q = CV, C = Q
V , V = Q
C )
where V : 극판간의 전위차. C : 전기용량(electrostatic capacity)
② 에너지 밀도 (energy density)
: 축전기의 에너지는 전기장에 저장되므로 에너지 밀도는 전기장 크기에 대 한 에너지의 비이다.
: 축전기 극판사이 전기장의 단위체적 당 저장된 에너지
* 평행판 축전기의 에너지 밀도
u= U
V = 12 CV2 Ad1 = 12 ε0A
d V2 Ad1 = ε0 2 ( V
d )2 ( ∵ C = ε o A
d V= Ed, E = V/d.)
∴ u = 12 ε 0E2
24-5 유전체(dielectrics)가 있는 축전기
① 유전체
: 축전기 극판사이에 끼워 넣은 부도체(절연)물질.
“예” paper, oil, mica, ceramic.
: 전하를 유도하여 축전기의 전기용량을 증가시킨다.
: Michael Faraday 처음 연구
② 유전상수(dielectric constant)
: 진공축전기의 전기용량 C o에 대한 유전체가 있을 때 전기용량 C 의 비
K = C
C o * 유전상수 K 의 값
③ 유도전하 (induced charge)와 분극(polarization)
: 전하가 일정할 때 Q = C oVo= CV 이므로 V = V o
K
→ 유전체가 있을 때 어떤 주어진 전하 Q 에 대한 전위차는 유전상수 1/K
배만큼 감소한다.
: 유전체가 있을 때 어떤 주어진 전하 Q 에 대한 전위차는 유전상수 1/K
배만큼 감소하므로 전기장의 크기도 감소하며 전기장을 발생시키는 표면전
하밀도는 감소한다.
E = E o
K
④ 유도전하
: 유전체가 있을 경우 유전체 표면에 도체판과 반대부호의 전하가 표면에 생긴다. 이 전하를 유도전하라 한다.
⑤ 유전율(permittivity) : 유전상수와 진공중의 유전율의 곱
ε = Kε0
⑥ 유전체가 있는 평행판 축전기 전기용량 K = C
C o 에서 C = KC o C0 = Q V =
ε0A
d 이므로
C = KC 0 =Kε0 A
d = ε A
d
→ 유전체가 없을 경우보다 전기용량은 K 배만큼 증가 한다.
⑦ 유전체가 있을 경우 전기 에너지 밀도 u = 1
Ad ( 12 CV2) = 1Ad 12 (Kε0 A
d )V2 = 12 Kε0 V2 d2
u = 12 Kε 0E 2 = 12 εE 2 → 유전체가 없을 경우보다 K 배만큼 증가 한다.
⑧ 유전성 파괴
: 유전체가 있는 축전기의 전위차를 점점 증가시키면 어떤 순간 유전물질의
절연성이 파괴된다. 이를 유전성 파괴라 한다.
: 유전물질의 유전성 파괴를 일으키지 않고 견딜 수 있는 최대 전기장을 유 전강도(dielectric strength)라 한다.
25-6 전기장 내에서의 전기 쌍극자 (electric dipole)
* 전기 쌍극자 (electric dipole)
: 크기가 같고 반대 부호를 가진 거리 d 만큼 떨어져 있는 점전하 쌍
* 전기 쌍극자에 작용하는 힘과 돌림 힘(torque)
① 전기 쌍극자가 전기장 속에서 받는 힘 : 쌍극자 각 전하(q , -q)는 각각
F
=qE
와F
= -qE
② 돌림 힘(torque)
: 각 전하가 받는 힘은 쌍극자를 같은 방향으로 회전시키는 효과로 작용.
돌림 힘은 τ= r × F = rFsinφ= Frsinφ이므로 τ= (qE)( 12 d sin φ) + (qE)( 12 d sin φ)
* 전기쌍극자 모멘트 : 전하 q 와 분리된 거리 d 의 곱
p = qd
: 돌림 힘을 전기쌍극자 모멘트로 나타내면
τ= p E sin φ
: 벡터 곱으로 나타내면
τ = p × E
③ 전기장 내에서 전기쌍극자의 퍼텐셜 에너지
: 전기 쌍극자가 전기장 안에서 돌림 힘의 작용으로 방향이 변할 때 돌림
힘은 쌍극자에 일을 하게 되고 그 일은 위치에너지의 변화로 발생하는데 이 위치에너지를 전기쌍극자의 퍼텐셜 에너지라 한다.
: 돌림 힘이 작용하여 일을 하면 각 변위를 감소시키므로 dW = τdφ= - pEsinφdφ
W = ⌠⌡
φ2
φ1 (-pEsin φ)dφ = pEcosφ 2- pEcosφ 1 = U1- U2 U(φ) = -pEcosφ
: 보존력(보존 돌림 힘)방향의 일은 위치에너지를 감소시킨다.
: 일은 위치에너지 변화의 음의 값과 같다.
: 벡터로 표시하면
U = - p ⋅ E
