4장 경영조직 설계방법

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4장 경영조직 설계방법

1. 선형계획법 2. DEA

Technology and Management for Engineers

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 경영시스템의 최적설계와 운영

•

최적의 형태로 시스템이 설계되고 운영되어야 하는지를 정량적으로 분석하고 평가하는 문제

•

한정된 자원을 어떻게 배분하여 수익을 최대로 올리거나 비용을 최 소로 줄일 것인가 하는 문제

 선형계획법 (Linear Programming, Optimization Tool)

•

의사결정을 위한 경영과학 기법 중에서 가장 많이 알려져 있고 폭넓 게 사용되는 최적화 기법 중 하나

•

선형(linear)은 최적화 관련 수식들이 1차 함수로 이루어짐

•

계획법이란 해결할 문제를 모델링하여 수학적인 식에 의해서 풀어

최적화 개요

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 선형계획법의 기본가정

•

가법성 (additivity): 투입과 산출에서 가법성이 존재함, 총 이익은 각 제품의 이익의 합이며, 총투입 자원은 각 제품에의 투입자원의 합

•

비례성 (proportionality): 사용되는 자원과 산출량에 비례관계가 존 재함, 대량 할인 등의 효과가 없음

•

분할성 (divisibility): 해가 정수와 소수(분수)를 포함하는 실수로 표 시됨

•

확정성 (deterministic): 모든 계수와 상수, 즉, 사용가능한 자원은 확 정적인 값을 가짐

 모든 최적화 문제에 대한 공통적 구성요소

•

의사결정변수

(Decision Variables) - the variables whose values

the decision maker is allowed to choose.

•

목적함수

(Objective Function) - value that is to be optimized –

maximized or minimized

•

제약조건

(Constraints) that must be satisfied

최적화 개요

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선형계획법의 기본모형



선형계획법의 첫 단계는 결정변수 선정

•

여러 제품의 생산 문제라면 제품 하나의 생산량이 결정변수가 됨 –

x

_i



다음은 목적함수 제시

•

결정변수들의 수익이나 비용의 합을 나타내는 일차식 (선형)인 목적함수를 제시함

•

Z = c₁x₁ + c₂x₂ + …+c_nx_n



마지막으로 자원에 대한 제약조건 설정

•

원자재, 부품, 자본, 인력, 시간, 거리, 공장의 생산능력 등 실제상황에 따라 자원이 다양하게 표현됨

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선형계획 모형의 정규적인 형태



최대화 모형

Maximize Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n b₂

…a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n b_m x_i 0 (i =1, 2., …, n)

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문제 예시

공장

배치당 생산 시간 (단위: 시간)

주당 가용 생산시간 (단위: 시간) 제품1 제품2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

배치당 이익 3,000만원 5,000만원

 명품 가구 회사는 3개의 공장을 가지고 목재가구 제품을 생산한다 . 문틀은 제1공장에서 생산하고, 창문틀은

제 2공장에서 생산하고, 제3공장에서는 제품을 조립하고 마무리한다 . 판매가 유망한 두 종류의 신제품을

출하하기로 하였다 .

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문제 예시



이 문제를 수학적 (선형계획) 모형으로 모형 정립하기 위해 다음 기호 사용

• x₁ = 신제품 1의 주당 생산 배치 수

• x₂ = 신제품 2의 주당 생산 배치 수

• Z = 3x₁ + 5x₂. 이들 두 제품을 생산하여 얻어지는 주당 총 이익 (단위: 1,000만원)



목적식은 3개의 공장에 가용 생산용량에 의해 부여된 제약식 범위 안에서 Z = 3x₁ + 5x₂ 을 최대화하기 위해 x₁과 x₂의 값을 선택하는 것. 표는 제품 1의 각각의 배치 하나가 공장 1의 생산시간(현재 4시간만 가용함)을 1시간 사용한다는 것을 표현. 이 제약은 x₁ 4로 표현 가능. 비슷하게 공장 2는 2x₂ 12라는 제약식을 유도. 신제품의 주당 생산율을 x₁과 x₂만큼으로 결정할 때 공장 3의 생산시간은 3x₁ + 2x₂ 됨. 따라서 공장 3의 제약조건은 3x₁ + 2x₂ 18. 마지막으로 생산율은 음수가 될 수 없으므로 의사결정 변수가 비음이라는 제 약조건 x₁ 0, x₂ 0을 추가.



요약하면 선형계획의 수학적 용어로 문제는 다음과 같은 식에서 x₁과 x₂의 값을 결정하는 것이 된다.

Maximize Z = 3x₁ + 5x₂, x₁≦ 4

2x₂ ≦ 12

3x₁ + 2x₂ ≦ 18 x₁ ≧ 0, x2 ≧ 0.

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그래픽을 이용한 해법

목적식: X2=-3/5*x1+z/5

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엑셀을 활용한 해법

=sumproduct(B8:C8,B3:C3)

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엑셀을 활용한 해법

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엑셀을 활용한 해법

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최적화 개요

 An algorithm is basically a “plan of attack”. It is a

prescription for carrying out the steps required to achieve some goal.

 The simplex method is an algorithm that is suitable for linear models.

 Excel’s Solver tool finds the best feasible solution with the most suitable algorithm.

 There is really a third step in the optimization process:

sensitivity analysis. This step allows us to ask a number

of what-if questions about the completed model.

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연습문제

 문제1. 최대화

• ㈜세명은 제품y1과 제품y2를 생산하고 있다. 이 두제품을 생산하기위해 기계1과 기계2를 사용해 야 한다. 제품y1을 생산하기 위해서는 기계1을 4시간, 기계2를 4시간씩 사용해야 한다. y2제품을 생산하기 위해서는 기계1과 기계2를 각각 5시간과 3시간씩 사용하여야 한다. 기계 1과 기계2의 주 당 사용가능한 시간은 28시간, 20시간이고 제품 y1과 y2의 단위당 이익은 500원과 600원일때, 총 이익을 최대화하는 y1과 y2의 생산량을 결정하라

 문제2. 최소화

• 영양사는 영양소 비타민과 단백질의 최소필요량을 결정하는 문제로 고민하고 있다. 달걀과 베이컨 의 1단위당 각 영양소 함유량이 아래표와 같을때, 총 비용을 최소화하는 달걀과 베이컨의 양을 선 형계획모형을 통해 해결하려고 한다. 이에 대한 정보를 표로 나타내면 다음과 같다.

영양소 단위당영양소 최소필요량

달걀 베이컨

단백질 4 5 28

비타민 4 3 20

단위당 원가 40원 60원