Analysis of degradation data using double hierarchical generalized linear model^†

2018, 29

1)

217–228

이중 다단계 일반화 선형 모형의 변량효과를 이용한 열화자료의 분석

^†

ᄂ

ᅩ맹석

¹

²

3

⁴

1부경대학교 통계학과 ·²³⁴전남대학교 통계학과

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 12ᄋ ᅯ ᆯ 26ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 1ᄋ ᅯ ᆯ 10ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 1ᄋ ᅯ ᆯ 11ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄋ

ᅧᄅ ᅥ ᄃ ᅢᄋ ᅴ ᄎ ᅡᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅴ ᄌ ᅮᄒ ᅢ ᆼᄀ ᅥᄅ ᅵᄋ ᅦ ᄄ ᅡᄅ ᅳ ᆫ ᄐ ᅡᄋ ᅵᄋ ᅥᄋ ᅴ ᄆ ᅡᄆ ᅩᄃ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄇ ᅡ ᆫᄇ ᅩ ᆨ ᄎ ᅳ ᆨᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡ ᆫ ᄑ ᅵ ᆯᄃ ᅳ ᄋ ᅧ ᆯᄒ ᅪᄉ ᅵᄒ ᅥ ᆷ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᄋ

ᅧ ᄌ ᅡᄃ ᅩ ᆼ ᄎ ᅡ ᄐ ᅡᄋ ᅵᄋ ᅥᄋ ᅴ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄉ ᅮᄆ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅨᄎ ᅳ ᆨ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄀ ᅵᄌ ᅩ ᆫ ᄋ ᅦ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ ᄉ ᅥ ᆫᄒ ᅧ ᆼ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆫ ᄀ ᅡ ᆨ ᄎ ᅡᄅ ᅣ ᆼᄇ ᅧ ᆯᄅ ᅩ ᄇ ᅡ ᆫᄇ ᅩ ᆨᄎ ᅳ ᆨᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄀ ᅪ

ᆫᄎ ᅳ ᆨ ᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅴ ᄉ ᅡ ᆼ ᄀ ᅪ ᆫᄉ ᅥ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅩᄅ ᅧᄒ ᅡᄌ ᅵ ᄆ ᅩ ᆺ ᄒ ᅡᄆ ᅧ, ᄐ ᅳ ᆨ ᄒ ᅵ ᄋ ᅵᄉ ᅡ ᆼᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅦ ᄆ ᅵ ᆫᄀ ᅡ ᆷᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄎ ᅵᄅ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄀ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫᄎ ᅳ ᆨ ᄀ

ᅡ

ᆹᄋ ᅴ ᄉ ᅡ ᆼ ᄀ ᅪ ᆫᄉ ᅥ ᆼ ᄈ ᅮ ᆫ ᄆ ᅡ ᆫ ᄋ ᅡᄂ ᅵᄅ ᅡ ᄋ ᅵᄉ ᅡ ᆼᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅦ ᄆ ᅵ ᆫᄀ ᅡ ᆷᄒ ᅡᄌ ᅵ ᄋ ᅡ ᆭᄂ ᅳ ᆫ ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄀ ᅪ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄉ ᅮᄋ ᅦ ᄀ ᅡ ᆨᄀ ᅡ ᆨ ᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄒ ᅭᄀ ᅪᄅ ᅳ ᆯ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄒ ᅪᄒ ᅡ ᄂ

ᅳ ᆫ ᄋ ᅵᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅡᄃ ᅡ ᆫᄀ ᅨ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄉ ᅥ ᆫᄒ ᅧ ᆼ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ (DHGLM)ᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅩᄅ ᅧᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅱᄒ ᅢ ᄆ ᅩᄉ ᅮ ᄆ ᅵ ᆾ ᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄒ ᅭᄀ ᅪᄋ ᅦ ᄃ ᅢ ᄒ

ᅡ ᆫ ᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅪ ᆨ ᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄅ ᅩ ᆫ ᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪᄅ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄀ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅡᄃ ᅡ ᆫᄀ ᅨ ᄋ ᅮᄃ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄄ ᅩᄒ ᅡ ᆫ, ᄃ ᅡᄋ ᅣ ᆼᄒ ᅡ ᆫ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ ᄉ ᅥ ᆫᄐ ᅢ ᆨ ᄆ ᅵ ᆾ ᄉ ᅵ ᆯ ᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ

ᅥ ᆨᄉ ᅵ ᄌ ᅡ ᆫᄎ ᅡ ᄃ ᅩᄑ ᅭᄅ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄅ ᅩ ᆫ ᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪᄋ ᅪ ᄒ ᅡ ᆷᄁ ᅦ ᄌ ᅦᄉ ᅵᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅵ ᆯᄌ ᅦ ᄋ ᅧ ᆯᄒ ᅪᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄋ ᅦ ᄌ ᅥ ᆨ ᄋ

ᅭ

ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪ ᄇ ᅡ ᆫᄇ ᅩ ᆨᄎ ᅳ ᆨᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬᄀ ᅩ ᄋ ᅵᄉ ᅡ ᆼᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅵ ᄋ ᅵ ᆻᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄋ ᅦ ᄆ ᅢᄋ ᅮ ᄋ ᅲᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨ ᄃ ᅩᄀ ᅮᄋ ᅵ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅡ ᆰᄒ ᅵ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ ᆻᄋ ᅥ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄃ ᅡᄃ ᅡ ᆫᄀ ᅨ ᄋ ᅮᄃ ᅩ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄇ ᅥ ᆸ, ᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄒ ᅭᄀ ᅪ, ᄋ ᅧ ᆯᄒ ᅪᄌ ᅡᄅ ᅭ, ᄋ ᅵᄉ ᅡ ᆼᄎ ᅵ, ᄋ ᅵᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅡᄃ ᅡ ᆫᄀ ᅨ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄉ ᅥ ᆫᄒ ᅧ ᆼ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ.

1. 서론 이

ᆯ반적인 타이어의 열화시험 데이터 (degradation data)에서는주행거리가 커짐에 따라 타이어의 마 ᄆ

ᅩ정도가 커지는선형관계를 볼수 있다. 선형 모형 (linear model; LM)을사용함으로써 기울기를추정 ᄒ

ᅡ여 타이어의 기대 수명시간 (predicted life time)을예측할 수 있다. 타이어의 기대 수명시간이란 타 ᄋ

ᅵ어를 사용할 수 없을 때까지 주행할 수 있는 총거리를 말한다. 열화시험 데이터는 일정기간을두고 ᄇ

ᅡᆫ복 측정된 데이터 (repeated measures data)로서 반응변수 간 상관 (correlation)이 있다 (Hong과 Huh, 2017). 또한 여러 대의 차량에 대하여 측정되었으므로 각 차량별로 집락된 데이터 (clustered data)로 볼수 있다 (Verbeke와 Molenberghs, 2003).

ᄇ

ᅩᆫ 연구에서는 이중 다단계 일반화 선형 모형 (double hierarchical generalized linear model;

DHGLM)을 사용하여 기대 수명시간을 예측하는 새로운 과정을 논의하고자 한다. 만일 차량에 따른 ᄐ

ᅡ이어의 마모정도에 차이가 크다면 예측되는수명시간의 편차도 커지게될 것이다. 타이어의 주행거리 ᄋ

ᅦ 따른마모도를 기울기로 추정하고, 차량별 기울기의 변동을기울기의 변량효과 (random effects)로 ᄀ

ᅡᆫ주한다. 혼합선형 모형 (linear mixed model; LMM)을 사용하여 변량효과를 추정할 수 있고 더 정

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ ᄇ ᅮᄀ ᅧ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄌ ᅡᄋ ᅲ ᆯ ᄎ ᅡ ᆼᄋ ᅴᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅮ ᆯᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄇ ᅵ (2016ᄂ ᅧ ᆫ)ᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄋ ᅳ ᆷ.

1

(48513) ᄇ ᅮᄉ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄂ ᅡ ᆷᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼ ᄉ ᅩᄅ ᅩ 45, ᄇ ᅮᄀ ᅧ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

2

(61186) ᄀ ᅪ ᆼ ᄌ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼᄇ ᅩ ᆼ ᄅ ᅩ 77, ᄌ ᅥ ᆫᄂ ᅡ ᆷᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ ᄉ ᅥ ᆨᄉ ᅡ.

3

(61186) ᄀ ᅪ ᆼ ᄌ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼᄇ ᅩ ᆼ ᄅ ᅩ 77, ᄌ ᅥ ᆫᄂ ᅡ ᆷᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

4

ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ: (61186) ᄀ ᅪ ᆼ ᄌ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼᄇ ᅩ ᆼ ᄅ ᅩ 77, ᄌ ᅥ ᆫᄂ ᅡ ᆷᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: [email protected]

화

ᆨ한 수명시간이 예측가능하다. Lee와 Nelder (1996)에 의해 소개된 다단계 일반화 선형 모형 (hier- archical generalized linear model; HGLM)은변량효과에 정규분포 이외의 분포를가정할 수 있다. 또 ᄒ

ᅡᆫ HGLM을 확장하여 서로 상관되어 있는다변량 생존자료 (multivariate survival data)에도 적용할 ᄉ

ᅮ 있다 (Ha, 2016). 모형의 적합 결과에서 잔차가 두터운꼬리 분포를하는경우라면 가설검정의 결과 느

ᆫ이상치에큰영향을받기 때문에 신뢰할 수 없다. 이러한 문제를해결하기 위해 Lange 등 (1989)은 ᄃ

ᅡ변량 t-분포의 사용을, Lee와 Nelder (2006)는 DHGLM에서 반응변수의 두터운꼬리 분포를모델링 ᄒ

ᅡ는체계적인 방법을소개하였다. 다변량 t-분포는연속형 자료에만 적용이 가능하며 DHGLM은이산 혀

ᆼ, 개수형 자료와 같은비연속자료에도 적용이 가능하며, 이상값에 민감하지 않은 통계량과 추론을제 ᄀ

ᅩ

ᆼ하고 있다 (Noh와 Lee, 2007; Lee와 Noh, 2012).

ᄇ

ᅮᆫ석을위한 자료는 2장에서 설명하며, 그 모형 및 적합 결과는 3장에서 제시하고자 한다. 분석모형 ᄋ

ᅳ로 선형 모형 (linear model; LM), HGLM 및 DHGLM을 통해 모수 추정 및 신뢰구간, 변량효과를 ᄎ

ᅮ정하고 잔차을 통한 모형진단 결과를제시하였다. 마지막으로 DHGLM의 이상값에 강건성 (robust- ness)를살펴보았다. HGLM과 DHGLM의 모형적합을위하여 R 패키지 dhglm을 사용하였다 (Lee와 Noh, 2017).

2. 분석 자료

2.1. 데이터 설명 ᄌ

ᅦ품의 수명을예측하기 위한 수명시험이 실시되는데 타이어의 경우와 같은제품을수명이 다할 때까 ᄌ

ᅵ 시험을하는것은시간, 경제적으로 많은부담이된다. 이를위하여 가속수명시험 또는열화시험 등 ᄋ

ᅵ 시행되기도 한다. 수명이 다하지 않은타이어의 데이터, 즉열화시험 데이터를이용하여 타이어의 수 며

ᆼ시간을예측하였다. 노면의 상태, 화물 적재량 등의 외부 요인에 따라 타이어의 마모도는 큰차이를 ᄇ

ᅩ인다. 따라서 본 논문에서는 실제에 가까운수명시간을예측하기 위하여 현장에서 수집된필드열화시 ᄒ

ᅥᆷ 데이터를사용하였다.

ᄃ

ᅦ이터는다음과 같이 수집되었다. 임의로 선택된다섯 대의 차량의 앞바퀴 양쪽에 같은 종류의 타이 ᄋ

ᅥ를장착한 후 차량들은각각 승객과 화물을 실고 정해진 같은구간을반복주행하였다. 일정기간이 지 ᄂ

ᅡᆫ 후 차량들의 주행거리와 타이어의 홈의 깊이를각각 측정하였다. 주행거리는주행 후 계기판의 값에 ᄉ

ᅥ 주행 전 계기판의 값을 뺀 값이고 타이어의 홈의 깊이는타이어의 서로 다른 4군데에서 측정한 홈의 ᄀ

ᅵᇁ이의 평균값이다. 총 4회의 주행시험이 시행되었다.

ᄃ

ᅦ이터는 Table 2.1과 같이 총 4개의 변수로 구성된다. 반응변수인 는 타이어의 마모도 (wear de- gree)로서 처음타이어의 홈의 깊이에서 측정된 홈의 깊이를 뺀 값을나타낸다 (Figure 2.1 참조).

Table 2.1 Ariable of tire data

Variable Explanation Value Measure

y Wear degree 0 ≤ y ≤ 15 mm

id No. of car 1, 2, 3, 4, 5

x

left mileage 0 ≤ x

≤ 10 10, 000km x

right mileage 0 ≤ x

≤ 10 10, 000km

이

ᆯ반적으로 타이어의 홈의 깊이가 2mm가 되면 수명이 다하여 타이어를교체한다고 하므로 y의 값은 0에서 15 사이의 연속형 값이다. 타이어의 마모도 y가 15mm일 때의 주행거리가 수명시간으로 예측될 거

ᆺ이다. 데이터는 실제 5개의 실험 차량에 대해관측된마모도를나타내었다. 5번째 차량의 4번째관측 ᄉ

ᅵ왼쪽바퀴의 마모도는결측이 되어 있다. 우리나라의 경우 운전석이왼쪽이 있기 때문에 각 차량별관

Figure 2.1 Definition of tire degradation

ᄎ ᅳ

ᆨ시점에 따라왼쪽타이어의 마모도가 오른쪽타이어의 마모도보다큰것을알 수 있다. 만약 운전석이 ᄋ

ᅩ른쪽에 있다면, 오른쪽타이어의 마모도가왼쪽타이어의 마모도보다 크게된다.

Table 2.2에서 각 차량들의 관측시점에 따른 측정 주행거리를 나타내고 있으며, 기본 주행 단위는 10,000km로 표기한다. 관측시점별 각 차량의 왼쪽 타이어 주행거리 (x¹), 오른쪽타이어의 주행거리 (x2)는 동일하다. 모형 (3.1)에서 설명하는바와 같이왼쪽타이어 마모도가 반응변수일 때는 x1는주행 ᄀ

ᅥ리를 x2는 0이 된다. 반대로 오른쪽 타이어 마모도가 반응변수일 때는 x1는 0, x2는주행거리가 된 ᄃ

ᅡ.

Table 2.2 Distances driven for car distances driven (×10

km)

XXXX

XXXX

id

t 1 2 3 4

1 1.593 4.11 5.705 8.445

2 1.4671 3.7036 5.2727 7.8957

3 0.8416 2.4764 3.4922 5.9791

4 1.539 3.8919 5.4875 8.2089

5 1.5133 3.8075 5.3462 8.033

ᄆ

ᅡ모도의 총관측수는 40 = 542 (=차량수 × 반복측정횟수 × 바퀴수)회에서 결측치 1회 제외하면 39회가된다.

2.2. 주행거리에 따른 마모도

Figure 2.2에서는차량별 주행거리에 따른 마모도를 볼수 있는데 주행거리가 0일 때 마모도 0을 가 ᄌ

ᅵ는절편이 없는선형 모형을우선적으로 고려할 수 있다. 각 차량별로 단순선형 회귀분석을이용하여 ᄎ

ᅡ량별 기울기를추정하여 Table 2.3에 제시하였다. 2번 차량의 기울기가 다른차량의 기울기와 차이가 이

ᆻ으며왼쪽타이어의 기울기가 오른쪽타이어의 기울기보다큼을알 수 있다. 이는주행거리에 따라왼 ᄍ

ᅩ

ᆨ타이어의 마모도가 오른쪽타이어보다 크다는것을의미한다.

Table 2.3 Slope estimates from linear regression model slope estimates

id left right

1 1.05 0.76

2 1.32 1.03

3 0.72 0.65

4 1.10 0.82

5 0.84 0.73

Figure 2.2 Tire degradation with respect to distances driven

3. 분석 모형 및 적합 결과

3.1. 선형 모형 저

ᆯ편이 없는선형 모형 (3.1)과 같이 나타낼 수 있다.

yikt= β1∗ x1ikt+ β2∗ x2ikt+ ϵikt, (3.1) ᄃ

ᅡᆫ, i = 1, 2, 3, 4, 5, k = 1, 2, t = 1, 2, 3, 4, ϵikt∼ N (0, σ²).

k = 1일 때는 왼쪽 타이어의 마모도, k = 2일 때는 오른쪽 타이어의 마모도를 나타낸다. 따라서, 외

ᆫ쪽 타이어에 대한 주행거리를 나타내는 x1ikt는 k = 1인 x1i1t는 Table 2.3에서 나타낸 i번째 차량 ᄋ

ᅴ t번째 주행거리이며, k = 2인 x1i2t = 0이된다. 반대로 오른쪽타이어에 대한 주행거리를나타내 느

ᆫ x2ikt는 k = 1인 x2i1t = 0이 되며, k = 2인 x2i2t는 Table 2.3에서 나타낸 i번째 차량의 t번째 주 ᄒ

ᅢᆼ거리가 된다. Table 3.1의 추정결과에 의하면, 왼쪽 바퀴의 기울기 추정치 ˆβ1은 1.06으로 주행거리 10,000km당 평균 1.06mm의 타이어의 마모도가 발생함을알 수 있다. 오른쪽 바퀴의 기울기 추정치 βˆ2는 0.81로 주행거리 10,000km당 평균 0.81mm의 타이어의 마모도가 발생함을알 수 있다. 본 논문 ᄋ

ᅦ서는모형 선택을위해, 다음 (3.2)와 같이 AIC (Akaike information criteria)를사용하였다. 잔차의 부

ᆫ산 ˆσ²은 0.81이며, 모형의 AIC (Akaike information criteria)는 106.4로 나타났다 (log-likelihood 값 ᄋ

ᅳᆫ -50.2이며, 모수의 개수는 3개이다).

AIC = −2 × l + 2 × p, (3.2) ᄃ

ᅡᆫ, l : log-likelihood, p : number of parameters.

Figure 3.1의왼쪽그림은왼쪽바퀴의 기울기를나타낸 것으로 ˆβ1은 붉은색의 직선으로 표시되어 있 ᄀ

ᅩ 95% 신뢰구간은 하한값이 0.98, 상한값이 1.15로 파란색 점선으로 표시되어 있다. 예측된 타이어 ᄋ

ᅴ 수명시간이 붉은색으로 두껍게 표시되어 있는데 타이어의 마모도 y가 15mm일 때 주행거리의 구간