Study on Stokes Flow Past Circular Cylinder in Two-Dimensional Channel

기호설명

- -

 : 원형실린더의 반지름 길이

 : 원형실린더가 받는 힘

 : 채널의 반폭

 : 복소수의 허수부분

 : 유동장 내의 압력

 : 복소수의 실수 부분

 _ : 레이놀즈 수 ( _   

 _  )

 _ : 채널 내의 평균 유속

 :  방향의 유동 속도

  : 2 차원 직교 좌표계

 : 점성계수 (coefficient of viscosity)

 : 동점성계수 (kinematic viscosity)

 : 전단응력 (shear stress)

 : 유동함수 (stream function)

1. 서 론

채널 내에 장애물이 설치된 유동은 열교환기, 와류발생기 마이크로 유체소자 등 다양한 분야 ,

< >

DOI http://dx.doi.org/10.3795/KSME-B.2013.37.10.895 ISSN 1226-4881(Print) 2288-5234(Online)

차원 채널 내의 원형실린더를 지나는 스톡스 유동에 대한 연구 2

윤 석 현

^*

^*

전남대학교 기계공학부

*

Study on Stokes Flow Past Circular Cylinder in Two-Dimensional Channel

Seok-Hyun Yoon

^*

^*

* School of Mechanical Engineering, Chonnam Nat’l Univ.

(Received February 15, 2013 ; Revised July 23, 2013 ; Accepted July 24, 2013)

Key Words : Two Dimensional Channel Flow(2 차원 채널 유동 ), Stokes Flow( 스톡스 유동 ), Poiseuille Flow

포아제 유동 원형실린더 고유함수 전개

( ), Circular Cylinder( ), Eigenfunction Expansion( ), Pressure 압력 강하

Drop( )

초록 : 2 차원 채널 내의 원형실린더를 지나는 유동에 대한 이론적 연구를 수행하였다 원형 실린더는 채 . 널의 상하 중앙부에 위치하며 원형실린더에서 멀리 떨어진 채널 내에는 포아제 유동이 존재한다 스톡 , . 스 근사를 적용하고 유동의 고유함수 전개와 오차의 최소제곱법을 사용하여 유동장을 해석하였다 해석 . 의 결과로 유동함수와 압력분포 식을 구하였으며 채널의 벽면과 원형실린더에 작용하는 압력 및 전단 , 응력 분포를 계산하였다 원형실린더로 인해 부가적으로 발생하는 압력 강하와 원형실린더가 받는 힘을 . 원형실린더의 반지름 길이의 함수로 계산하였으며 대표적인 실린더 반지름 길이에 대하여 유선과 압력 , 분포를 도시하였다.

Abstract: A two-dimensional Stokes flow past a circular cylinder in a channel is analyzed. The circular cylinder is located at the center of the channel, and a plane Poiseuille flow exists upstream and downstream far from the circular cylinder. The Stokes approximation is used, and the flow is investigated analytically by using the eigenfunction expansion and the least square methods. From the analysis, the stream function and pressure distribution are obtained, and the pressure and shear stress distributions on the circular cylinder and channel wall are calculated. The additional pressure drop induced by the circular cylinder and the force exerted on it are calculated as functions of the length of the radius of the circular cylinder. For a typical length of the radius of the circular cylinder, the streamline pattern and pressure distribution are shown

Corresponding Author, [email protected] 2013 The Korean Society of Mechanical Engineers

Ⓒ

에서 폭넓게 응용되는 유동의 형태이다 이러한 . 유동은 채널 내의 장애물의 형상과 레이놀즈 수 등의 영향에 의해 다양한 유동의 특성 변화가 있 으므로 선행하여 유동을 예측하여야 한다 그러 . 므로 최근까지도 채널 내의 다양한 장애물에 대 , 해 장애물의 형상이나 크기 그리고 레이놀즈 수 의 변화 등에 따른 유동의 특성을 파악하는 연구 가 꾸준히 진행되고 있다.

Wang

은 채널 내의 수평형 실린더 형상의 장 애물이 있는 경우에 대한 Stokes 유동장을 고유함 수 전개 (eigenfunction expansion) 와 점 배열 (point 방법으로 유선과 압력 등을 해석하였 collocation)

다. Yoon & Jeong

은 채널 중앙에 수직평판의 장애물이 있는 Stokes 유동장에 대하여 압력분포 전단응력 수직평판이 받는 힘과 그에 대한 압력 , 강하 등의 유동특성을 해석하였다. Dvinsky &

Popel

은 채널 내의 원형 실린더 주위의 Stokes 유동을 좌표변환과 수치해석적인 방법으로 고찰 하였으며, Kalita & Gupta

는 채널 내의 사각 장 애물에 대해서 수치해석 결과를 제시하였다. Park

& Kwak

은 2 차원 원형 실린더 주위의 유동을 를 이용하여 해석하였다

PIV .

본 연구에서는 , Fig. 1 과 같이 채널 내 포아제 유동의 중심부에 원형실린더가 놓여 (Poiseuille)

있는 경우에 대해서 원형실린더의 직경의 변화에 따른 유동 특성을 Stokes 의 근사를 사용하여 이론 적으로 해석하였다.

2. 연구모델

본 연구에서는 , Fig. 1 과 같이 높이 ,  인 채널 내에 반경이 임의의 길이 인 원형실린더가 채널 중앙에 놓여있고 평판으로부터 멀리 떨어진 곳에 서는 평균 속도  _ 인 포아제 (Poiseuille) 유동이 존재하는 경우의 유동에 대하여 살펴보고자 한다.

유동장에 대한 변수의 영향을 효과적으로 고찰하

Fig. 1 Geometry of the two-dimensional channel

기 위하여  ,  _ 을 각각 특성길이 특성속도로 , 취하여 유동장을 무차원화 하면 레이놀즈 수는 ,

 _ ≡  _   로 정의된다.

유동장 해석 3.

지배방정식 및 경계조건 3.1

관성의 효과가 점성의 효과에 비해 충분히 작 은 경우( _ ≪  에 관성 효과를 무시하면 유동 ) 의 지배 방정식은 다음과 같은 Stokes 방정식이 된다. 해석의 편의상 유동장의 길이와 속도를 H 와 U

으로 무차원화 하는데 이를 위하여 H=1, U

=1 로 놓으면 된다 .

▽⋅  , (1)

▽  μ▽ ^   . (2)

차원 비압축성 유동에 대한 유동함수

2    

를 정의하면 속도는 다음과 같이 표현된다.

   

 ,    

 . (3)

식 (3) 에 의해 연속방정식 (1) 은 자동으로 만족 되며 식 (2) 에서 압력 를 소거하면 유동함수  는 다음의 2 차원 biharmonic equation 을 만족한 다.

∇ ^   ∇ ^ ∇ ^     ^

 ^ 

    ^  ^

 ^ 

   ^

 ^ 

 .

(4) 유동의 상 하 및 좌 우 대칭성을 고려하

Stokes · ·

고 유동장의 좌 우 중앙면 ·   에서의 압력을 기준압력 으로 놓으면 다음과 같은 관계식이 성 립한다.

              , (5)

         . (6) 따라서 Fig. 1 에서  ≥   ≤  ≤  의 영역만 을 고려하면 충분하다 식 . (4) 를 만족하는 유동함 수  에 대한 경계 조건은 다음과 같다.

    , for     ∞ (7a)

 _    , for     ∞ (7b)

 _  cossin     cos sin  , for  ≤  ≤  (7c)

 _     ,     for  ≤  ≤  (7d)

    →     ^  , as  → ∞ (7e)

유동함수 및 압력분포 계산 3.2

과 같은 형상의 유동장 영역에서 지배방

Fig. 1 ,

정식 (4) 를 만족하는 유동함수    를 구하기 위하여   를 다음과 같은 식 (8) 의 형태로 놓을 수 있다.

      

   ^

 _{  }  ^{∞         }

^{ (8)}

여기서 우변의 첫째 항 ,    ^ 은 채널 내 의 2 차원 포아제 (Poiseuille) 유동을 나타낸다 유 . 동함수   에 관한 식 (8) 을 지배방정식 (4) 에 대입하면 고유함수 ,  _ 는

  ^

 ^  _

   _ ^   ^

 ^  _

  _ ^  _   (9)

을 만족해야 한다 . 여기에 , 유동함수    에 대한 대칭조건 식 (5) 와 경계조건 식 (7a), (7b) 를 적용하여 식 (9) 의 해를 구하면 ,

 _   cosh  sinh     sinh  cosh   (10)

를 얻는다 여기서 . ,  _    ⋯은

  sinhcosh   (11)

의 복소수 근들인데,  _ 이 근일 때,   _ ,   _ ,

   _ 도 각각 근이 된다 식 . (10) 을 식 (8) 에 대입 하고 경계조건 식 , (7e) 를 고려할 때  _ 은 1,2 상 한 내의 복소수 근들만을 취해야 하므로 결국 , 유동함수   는 다음과 같이 표현된다.

      

   ^

   _{  }  ^{∞   ×}

 cosh  sinh     sinh  cosh     ^

^ (12)

여기서,  _ 은 나중에 구하게 될 미지의 복소상 수이며,  _    ⋯은 방정식 (11) 의 1 상한 내에서 원점에 가까운 순서대로 배열한 복소수 근 중 번째 근으로서  ≫  일 때  _ 의 점근 거동은 다음과 같다.

 _ →    

      

  

유동함수    에 관한 표현식 (12) 와 식 (3) 으로부터 유동의 속도  를 구할 수 있으며 이 , 를 식 (2) 에 대입하면   _  에 의해 무차원화 된 압력분포  는 다음과 같이 표현된다.

         _{  }  ^{∞     ×}

sinh   cosh     ^{ }

^   . (13)

위 식 (13) 의 우변 첫 번째 항은 차원 채널 내 2 의 포아제 (Poiseuille) 유동에서의 선형적인 압력 강하를 나타내며 , 적분상수  는 원형실린더에 의한 부가적인 압력강하 값을 나타낸다.

미지수  _    ⋯과 상수  를 구하기 위해서는 , 식 (12) 와 (13) 에서 무한급수 항을

   항까지 절단 (truncation) 하고 경계조건식 를 적용하면 된다 수치계산을 위해 원 (7.c), (7.d) .

형실린더 표면 (   cos ,    sin ,

 ≤  ≤  과 ) 유동이 통과하는 부분 (

,

 ≤  ≤ 

) 에서 총  개의 점들을 취하여 경계조 건 (7.c) 또는 (7.d) 를 각각 적용하면 ,



^개 의 미지수[  _

 _



과 상수  ] 에 대한

 개의 선형 연립방정식이 얻어진다.

이때 충분히 큰 ,  과  에 대하여 방정식의 개수



를 미지수의 개수



^{보다 크게 취} 하여 얻은 선형 연립방정식에 대하여 오차의 최 소자승법 (method of least square) 을 사용하면 보 , 다 안정적으로 미지수  _



과

 ^{를 구할 수 있다} . MATLAB ^{을 사용한 실제 계} 산에서는 

, 

이면 충분하였다.

이와 같이 구한  _



과 상수

 값을 식 (12) 와 (13) 에 대입하면 유동함수



^{와 압력 분포}

^{를 구할 수 있으며}

따라서 본 유동의 유동특성을 모두 해석할 수 , 있다.

전단응력 분포 3.3

유동함수 식 (12) 를 이용하여 채널의 벽면 (   에서의 전단응력 )  _ 와 원형실린더 표면

   cos   sin에서의 전단 응력   를 구 하는 식은 다음과 같이 표현된다.

 _      _{  }  ^{∞     sinh     }

^{ (14)}



_



_{  }  ^{∞  }

^

^

^

^

^

(15) 여기서 전단응력 ,  _ 와  _ 는   _  으로 무차원 화 된 전단응력이다.

3.4 원형실린더가 받는 힘과 부가적인 압력강하 채널 내에서 원형실린더가 받는 힘  는 압력 분포 식 (13) 과 전단응력 식 (15) 를 이용하여 계 산할 수 있다 원형실린더의 단위길이 당 받는 . 힘을   _ 으로 무차원화한  는 다음과 같은 식 에 의하여 계산된다.

    _ ^{        cos        sin     }

 



_{  }  ^{∞   }

^

^

^

^

⁽¹⁶⁾

또한 원형실린더에 의해 부가적으로 생기는 상 , 류와 하류사이의 압력강하

 ^{는 식} (13) ^으로부터





 (17)

임을 알 수 있다. 여기서,

 는   _  으로 무 차원화 된 압력강하이다.

계산결과 및 고찰 4.

에 원형실린더의 반지름 길이

Fig. 2

^인

경우에 대해 식 (12) 로부터 유동함수를 계산하여 유선을 도시하였다 원형실린더 표면을 포함하여 . 채널 내의 전 유동장 영역에서 점성 에디(viscous 는 나타나지 않았으며 이는 원형실린더의

eddy) ,

Fig. 2 Streamlines for  0.5 with  _  (

)

Fig. 3 Dimensionless pressure contour lines for   0.5

반지름

를 변화시켜도 마찬가지이다 반지름 .

의 변화에 따른 원형실린더 주위의 유선 또한 처럼 매끈하게 실린더와 채널 벽면 사이를 Fig. 2

통과함을 알 수 있었다.

은 식 으로부터 원형실린더 반지름

Fig. 3 (13)

길이가 0.5 인 경우에 대해 무차원 압력분포를 계 산하여 등고선 (contour) 으로 도시화하였다 유동장 . 의 좌 우 중앙면 ·   에서 기준압력 인 압력 분포는   에서 음의 부호로 계속 감소하고 있 는데 그 변화는 ,    근방에서 가장 급격함을 알 수 있다.

에는 식 과 를 사용하여

Fig. 4 (13) (15)   인 원형실린더의 표면( ≤  ≤  에서 압력분포 ) 와 전단응력 분포를 도시화하였다.    일 때 즉 실린더 후단에서 압력은 최소이고 전단응력 , 은 영 (zero) 이 됨을 알 수 있으며 ,    일 때 즉 실린더 상단에서 압력은 기준압력 영 , (zero) 이 며 전단응력의 크기는 최대가 됨을 보이고 있다.

에는 과 를 사용하여 채널의 벽면

Fig. 5 (13) (14)

 ≥    에서 무차원 전단응력 분포와 압

력분포를 나타내었다 압력은 .   일 때 기준압

력 에서 급격히 감소하다가  ≳에서는 포

아제 유동에서의 압력구배에 해당하는 기울기 -3

인 선형적 감소를 나타내고 있다 전단응력의 크 .

Fig. 4 Pressure and shear stress distributions on the circular cylinder (  0.5)

Fig. 5 Pressure and shear stress distributions on the channel wall (  0.5)

Fig. 6 Force  exerted on the circular cylinder and additional pressure drop  due to the circular cylinder

기는   일 때의 최대값에서 점차적으로 그 크 기가 감소하다가  ≳에서는 그 값이 포아 제 유동에 의한 전단응력 값  으로 접근함을

Fig. 7 Forces exerted on the circular cylinder of radius  and vertical plate of width 

알 수 있다.

따라서 채널 유동장에 놓인 원형실린더의 영 , 향은 실린더 전 후로 채널높이 · ( 의 약 ) 1.5 배 이 내 임을 알 수 있다





.

에는 채널 내의 원형실린더가 받는 힘

Fig. 6 

와 원형실린더에 의해 생기는 상 하류 사이의 부 · 가적 압력 강하

 를 원형실린더의 반지름

의 함수로 나타내었다 원형실린더가 받는 힘 .  ^는 식 (16) 으로부터 계산되며 ,

 는 식 (17) 로부터



 ^{임을 알 수 있다} . 그림에서 보듯이 원형실 , 린더의 반지름 길이

의 증가에 따라



 와  는 점점 급격히 증가함을 알 수 있다.

또한 힘의 평형을 고려하면 , Fig. 6 의

 ^와



의 차이만큼 채널 벽면에 유동 방향으로 전 단력이 더 작용함을 알 수 있다 . Fig. 6 에 도시된 원형실린더가 받는 힘  에 대한 해석결과는 Dvinsky & Popel

에 의한 수치해석 결과와 잘 일치하고 있다.

에는 채널 내의 같은 높이이면서 서로 다 Fig. 7

른 모양의 장애물이 받는 힘을 비교하기 위하여, 반지름

인 원형실린더와 전체 폭이

인 수직평 판이 받는 힘

 를 비교하여 도시하였다. 채널 내의 수직 평판의 전체 폭과 원형실린더 지름의 길이가 같은 경우 즉,

가 동일한 경우에 원형실 , 린더에 작용하는 힘이 더 크며 그 비율은

가 증가할수록 더 커짐을 알 수 있었다.

5. 결 론

차원 채널 내의 원형실린더를 지나는

2 Stokes

유동에 대하여 이론적 해석 방법으로 유동 특성 을 고찰하였다.

유동의 해석결과로부터 채널 내의 원형 Stokes

실린더의 임의의 반경

에 대하여 유동함수와 압 력분포 식을 구하였으며 특별히 ,

인 경우 에 유선 압력분포 전단응력 분포 등을 계산하여 , , 그 결과를 도시하였다 또한 원형실린더가 받는 . , 힘과 원형실린더로 인해 부가적으로 생기는 채널 유동의 압력 강하를 원형실린더의 반경

의 변화 에 따라 계산하여 도시하였다 유선의 도시결과 . , 유동장 내에서 원형실린더의 반지름이 변화하여 도 점성 에디 (viscous eddy) 는 나타나지 않으며 원 형실린더가 받는 힘이나 부가적인 압력강하는

의 크기에 따라 급격히 증가함을 알 수 있었다.

본 논문에서 고찰한 2 차원 채널 내의 원형실린 더를 지나는 Stokes 유동에 대한 해석 결과는 마 , 이크로채널 유동과 같이 레이놀즈 수가 작은 채 널 내에 원형실린더와 같은 장애물이 있는 경우 에 유량에 따른 유동저항이나 압력손실 등의 유 동특성을 파악하는데 참고 자료가 될 수 있을 것 이다.

감사의 글

이 논문은 2012 학년도 전남대학교 학술연구비 지원에 의하여 연구되었음.

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