Chapter 8 다양한 적분법의 응용
이문배
건국대학교 수학과
Contents
8.1 호의 길이
8.2 회전곡면의 넓이
한 곡선 C가 y = f (x), 단 f 는 연속이고 a ≤ x ≤ b로 정의 된다고 하자.
폐구간 [a, b]를 끝점이 x0, x1, · · · xn이고 동일한 폭 ∆x를 갖는 n개의 소구간으로 분할함으로써 C에 근접하는 다각형을 얻는다. yi= f (xi)라 하면 점 Pi(xi, yi)는 C 위에 있고 P0, P1, · · · , Pn을 꼭지점으로 하는 다각형은 C에 근접하게 된다.
곡선 C : y = f (x), a ≤ x ≤ b의 길이 L을 이런 내접하는 다각형의 길이의 극한 (만약 극한이 존재한다면)으로 정의한다. 즉
L = lim
n→∞
n
X
i=1
|Pi−1Pi|
만약 ∆yi= yi–yi–1이라 하면
|Pi−1Pi| = q
(xi− xi−1)2+ (yi− yi−1)2= q
(∆x)2+ (∆yi)2 폐구간 [xi–1, xi] 위에서 f 에 평균값 정리를 적용하면
∆yi
∆x =f (xi) − f (xi−1) xi− xi−1
= f′(xi∗
) 인 x∗i가 개구간 (xi–1, xi) 에 존재한다. 그러므로
|Pi−1Pi| = r
1 +
∆yi
∆x
2
∆x = q
1 + [f′(xi∗)]2∆x 따라서,
L = lim
n→∞
n
X
i=1
|Pi−1Pi| = lim
n→∞
n
X
i=1
q
1 + [f′(xi∗)]2∆x 이 식은 정적분의 정의에 의해
Zb a
q
1 + [f′(x)]2dx 로 표시됨을 알 수 있다.
Theorem
함수 f 가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 곡선 y = f (x), a ≤ x ≤ b의길이는 Zb
a
q
1 + [f′(x)]2dx
Example
두점 (1, 1) , (4, 8) 사이의 반 삼차 포물선 (semicubical parabola ) y2= x3의 호의 길이를 구하여라.
풀이.
Example
(0, 0)에서 (1, 1)까지 포물선 y2= x의 호의 길이를 구하여라.
풀이.
곡선 C : y = f (x), a ≤ x ≤ b에서 시점 P0(a, f (a))로 부터 점 Q(x, f (x))까지 C를 따라 잰 거리를 s(x)라 하자. 그러면 s는호의 길이 함수(arc length function)라 부르는 x의 함수가 되고
s(x) = Z x
a
q
1 + [f′(t)]2dt
▶ 피적분 함수가 연속이므로 미적분학의 기본정리 1 을 사용하여 위 식을 미분하면
ds dx =
q
1 + [f′(x)]2= s
1 + dy dx
2
▶ 호의 길이의 미분(differential)은
ds = s
1 + dy dx
2
dx
▶ 위식은 흔히 대칭형인
(ds)2= (dx)2+ (dy)2 으로 쓴다.
Example
곡선 y = x2–ln x8 에서 시점 P0(1, 1)로 부터 호의 길이 함수를 구하여라.
풀이.
함수 f 가 양수 함수이고 연속인 도함수를 가질 때, 곡선 y = f (x), a ≤ x ≤ b 을 x축 주위로 회전시킴으로써 얻어지는 곡면을 생각하자.
폐구간 [a, b]를 끝점이 x0, x1, · · · xn이고 동일한 폭 ∆x를 갖는 n개의 소구간으로 분할하면, 곡면의 넓이의 근사값은 다음과 같다.
n
X
i=1
2πf (xi∗
) q
1 + [f′(xi∗)]2∆x,
여기서 x∗i는 구간 xi–1과 xi사이의 적당한 점이다.
그러므로 함수 f 가 양수함수이고 연속인 도함수를 가지는 경우에 곡선 y = f (x), a ≤ x ≤ b 를 x축 주위로 회전시킴으로써 얻어지는 곡면의 곡면적을
S = Z b
a
2πf (x) q
1 + [f′(x)]2dx 로 정의한다.
Remark
▶ 호의 길이의 미분 ds =
s 1 + dy
dx
2
dx
을 이용하면 위 식은 다음과 같이 요약할 수 있다.
S = Z
2πy ds
▶ x축 주위로 곡선을 회전시켰을 때 그 곡선 위의 점 (x, y)에 의해 그려지는 원주로서 2y를 생각함으로써 기억할 수 있다.
Example 곡선 y =√
4 − x2, (–1 ≤ x ≤ 1)은 원 x2+ y2= 4의 호이다. 이 호를 x축 주의로 회전시켰을 때 생기는 곡면적을 구하여라.
풀이.
Example
(1, 1)에서 (2, 4)까지의 포물선 y = x2의 호를 y축 주위로 회전시켰을 때 생기는 곡면의 넓이를 구하여라.
풀이.
