Wear Analysis of Journal Bearings Operating in a Shaft During Motoring Start-up and Coast-down Cycles - Part II: Wear Analysis of two Journal Bearings Supporting a Misaligned Shaft

DOI https://doi.org/10.9725/kstle.2017.33.4.168

모터링 시동 및 시동정지 사이클에서 경사진 축을 갖는 저어널베어링의 마모 해석 - Part II:

경사진 축을 지지하는 두 저어널베어링의 마모해석

전 상 명^†

호서대학교 기계공학부 자동차공학전공

Wear Analysis of Journal Bearings Operating in a Shaft During Motoring Start-up and Coast-down Cycles – Part II: Wear Analysis of two Journal Bearings Supporting a Misaligned Shaft

Sang Myung Chun

School of Mechanical Engineering, Dept. of Automotive Engineering, Hoseo University (Received June 19, 2017; Revised July 23, 2017; Accepted August 4, 2017)

Abstract - This paper presents a wear analysis procedure for calculating the wear of journal bearings during the start-up and coast-down cycles of a motoring stripped-down single cylinder engine operating with a tilted shaft.

In order to decide whether the lubrication state of a journal bearing is in the mixed-elasto-hydrodynamic lubri- cation regime, we utilize lift-off speed and MOFT (most oil film thickness) under mixed-elasto-hydrodynamic lubrication regime at the corresponding aligned shaft. We formulate an equation for the modified film thickness in a misaligned journal bearing considering the additional wear volume described in Part I of this study. For this, we use the calculation results of the degree of misalignment and tilting angle obtained after finding the eccen- tricities of the two bearings supporting the crankshaft of a single cylinder engine. In this Part II, we calculate the wear of journal bearings using the fractional film defect coefficient, the asperity load sharing factor, and the modifiedspecificwear rate for the application of mixed-elasto-hydrodynamic lubrication regime. We show that the accumulated wear volume after turning the ignition switch on and off once, increases to σ = 39 μm and then decreases from σ = 39 μm with increasing in surface roughness.

Keywords − misaligned shaft, asperity contact, lift-off speed, mixed-elasto-hydrodynamic lubrication, start-up and coast-down cycle, wear volume

Nomenclature

aχ = diameter of an area associated with an absorbed molecular (m)

Ac = cross-section of worn part or wear area of a journal bearing

(m

²

b = wear scar width (m)

BA = bearing angle (degree or radian) c = radial clearance of a bearing (m) CA = crank angle (degree or radian)

d = wear depth (m) D = Shaft diameter (m)

E' = half effective modulus of elasticity (Pa) E'' = effective modulus of elasticity R²

---2

= [2α sin2α– ] R c( + )²

--- 2λ sin2λ2 [ – ]

⎝ – ⎠

⎛ ⎞

0.5 1 v– 1

E1

--- 1 v– 2

E2

---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

⎝= ⎠

⎛ ⎞

†

Corresponding author : [email protected]

Tel: +82-41-540-5816, Fax: +82-41-540-5818

(Pa)

Ea = heat of adsorption of lubricant on a surface (kJ/mole)

E

1

E

2

= Babbitt metal) (GPa) G = material number (= αE)

h(θ) = nominal oil film thickness (compliance) (m) h^c = central film thickness in line contact

configuration (m)

H(θ) = non-dimensional form of oil film thickness

( )

H = dimensionless film thickness (or separation between mean lines) ( )

H^c = dimensionless central film thickness ( )

H^s = dimensionless oil film thickness ( ) hd = Vickers hardness of the softer material

(= hd

₂

hd

₁

2

= Babbitt metal) (MPa)

for general film thickness

for central film thickness

k = specific wear rate or wear modulus (= K/hd

or ) (m

²

k^a = modified specific wear rate for mixed lubrication regime (= Ψk/γ

2

k^b = intermediate modified specific wear rate (= Ψk)

K = dimensionless Archard wear coefficient l = contact length (m)

lc = length between bearing #1 and flywheel (m)

L = bearing length (m) L/D = bearing ratio

Lc = distance between the centerlines of two bearings supporting a shaft (m)

Lg = central oil groove width (m) L^r = bearing land (m)

mC = mass of crankshaft (kg) mF = mass of Flywheel (kg)

n = asperity density (m⁻

²

= dimensionless asperity radius ( ) N = total number of revolution or required

lifetime revolution

NT = lift-off speed or transition speed (rpm) p = total interface pressure between the bearing

and the shaft (Pa)

p^h = fluid hydraulic pressure (Pa) pa = asperity contact pressure (Pa)

pb = projected bearing load (= W

n

²

P

_elastic

elasto-plastic

p

plastic

Pa = non-dimensional asperity contact pressure

( )

P

in

Re = effective radius of curvature or equivalent contact radius (= ) (m)

Rb = bearing radius (m) R^g = gas constant (J/(mole K))

S = sliding distance (m).

= time differential of sliding distance (m/s) t = coordinate of time (s)

to = fundamental time of vibration of molecule in an absorbed state (s)

Tin = oil inlet temperature (= 23.3

^o

( ) (m/s)

1 v– 1

E1

--- 1 v– 2

E2

---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

⎝= ⎠

⎛ ⎞

h θ( ) ---c

=

h Re

---

=

hc

Re

---

= h θ( ) ---σ

=

N m² ---

⎝ ⎠⎛ ⎞

I1 H y– s

--- Iσ , 2 H y– s+w1

--- Iσ , 3 H y– s+w2

---σ

= = =

I1 Hc–ys

--- Iσ , 2 Hc–ys+w1

--- Iσ , 3 Hc–ys+w2

---σ

= = =

2α sin2α 1 ζ– –( + )²(2λ sin2λ– ) 8πpan

---

n =nRe2

2α sin2α– –(1+ζ)²(2λ sin2λ– ) ---2π

4Re

E′b---pa

=

1 R--- 1

Rb

---

⎝ ± ⎠

⎛ ⎞^–1

S·

u1+u2

( ) 2⁄

=

us = sliding velocity (= u

1

2

(m

³

= wear volume rate (m

³

. = wear volume at each crank angle in 1 revolution (= V^w/N) (m

³

w = load per contact length (N/m)

w

^*

w

1

²

= w

1

= w

1

w

2

1

= w

2

= w

2

W = dimensionless total normal load (or force)

( )

Wa = asperity contact load (N) WC = weight of crank shaft = m

_C

_F

W

1

2

= dimensionless total normal force (= ) ys = distance between the mean line of the

surface heights and the mean line of the surface summits, ( or ys= 0.92σ) (m)

=

z = coordinate of longitudinal direction Zp = pressure-viscosity index (= 0.48) αp = pressure-viscosity coefficient

= Z(5.1 × 10⁻

⁹

o

α = wear angle based on bearing center

( ) (rad)

α

1

β = asperity radius (m)

β

1

₁

= dimensionless asperity radius

( )

γ

1

( )

γ

2

( )

δ = dimensionless wear depth or relative wear depth (= d/R)

δ

1

Δ = film thickness parameter ( ) ε(z) = eccentricity ratio

ζ = relative radial clearance (= c/R) θ = coordinate of circumferential direction

(degree or radian)

λ = wear angle based on shaft center

( ) (radian)

λ

1

μ

o

^o

v

1

2

³

³

^o

³

σ = equivalent rms of surface roughness of combined surface ( ) (m) σa = rms(= R

q

(cast iron) (m)

σb = rms(= R

_q

E′Re

---

=

hd ---E′

=

V·

w

Vw1

z^*–h^* ys*

+ z^*–I1

w1

w1*

w2

w2*

w E′Re

---

=

W Wn

lE″Re

---

ys 0.0459 ---nβσ σ

=

ys ys

Re

---

α arccos2ζ 2ζδ– –δ² 2(ζ δ+ ) ---

=

β

β Re

---

= σ

0.01---

=

W Wh

---

= p

ph

=----

W Wa

---

= p

pa

=----

σh --- 3=

=

λ arccos2ζ 2ζ – ²+2ζδ δ+ ² 2 1( +ζ) ζ δ( + ) ---

=

σa2+σb2

=

(White metal) (= 1.25σ

II

summits, ( or

) (m)

σ

s1

1

s2

of a bearing (White metal) (= 0.92σ

2

1

shaft (cast iron) (=σa) (m)

σ

2

b

σ

I

_a

II

a

roughness of a bearing (White metal) (m)

= dimensionless surface roughness ( )

= dimensionless standard deviation of the surface summits ( )

Ψ = the fractional film defect coefficient due to absorbed lubricant molecules at asperity contact surfaces

1. 서 론

시동 및 시동정지 시, 축이 경사 졌을 경우, 저어널 베어링 축이 한 쪽으로 기울어져 베어링 부시와 밀착 된 상태에서 운전될 때 국부적으로 유막이 매우 얇아 져 혼합탄성유체윤활영역으로 전이되어 베어링 모서리 에 마모가 발생하여 베어링 내구에 심각한 문제를 발 생할 수 있다. 이러한 마모흔적을 수치해석적으로 미 리 예측하여 베어링이 파손을 방지 할 수 있는 방법에 대한 연구가 요구된다.

본 연구의 Part I[1]에서는 단기통 엔진에 대한 모터 링 시동 및 시동정지 시 동안에 일어나는 저어널베어 링 축이 경사진 경우에 대하여 양쪽 베어링의 편심량 계산 값, 크랭크축 경사각 그리고 마모를 고려한 유막 을 계산 하였다. 여기서 저자는 시동 시 와 시동정지 시에 측정한 저어널베어링 축에 대한 각속도[2-4]와 계 산에 의해 얻은 베어링 하중을 이용하여 모빌리티

(mobility) 방법[2-3, 5-6]에 의해서 베어링 편심율의 변 화를 계산하였다.

Patir와 Cheng[7]은 혼합탄성유체윤활 상태에서의 표 면 접촉으로 인한 유막 압력을 구하기 위하여, 흐름을 방해하는 표면거칠기의 간섭에 대한 영향을 고려하는 평균흐름모델을 고려한 평균 레이놀즈 방정식를 개발 하였다. 즉 평균흐름모델을 위해 두 거친 표면 사이의 평 균 틈새에 기초하여 압력흐름(pressure flow = Poiseuille flow) 인자와 전단흐름(shear flow = Couette flow) 인 자를 도입하였다. 일반적으로 혼합윤활영역은 유막 두 께와 등가표면거칠기의 비가 3미만, 즉 < 3 일

때 나타나나, 일 때는 평균 레이놀즈 방정식

에 사용하기 위해 유도된 흐름 인자들 (flow factors) 이 유효하지 않기 때문에, 이런 상황에서는 유막 압력 의 계산을 위해 평균 레이놀즈 방정식은 사용할 수 없 게 됨을 주의시켰다.

두 대면하는 표면이 혼합윤활영역에 있는 지를 판단 하기 위하여 저어널베어링 축에 대한 리프트-오프(lift- off) 속도[8]를 사용할 수 있다. 여기서 리프트-오프 속 도는 시동 시 혼합윤활로부터 유체윤활로의 전이되는 시점 그리고 시동정지 시는 그 반대로 전이되는 시점 을 결정하는 데 사용할 수 있다. 혼합윤활영역의 시작 은 유막 두께와 등가표면거칠기의 평균제곱근 값 (혹

은 표준편차)과의 비 로 표시되는 유막매개변수,

Δ와 관계된다. 유막 두께와 등가 표면거칠기의 비,

< 3일 때 혼합윤활영역에 도달한다고 보아, 이로 부터 리프트오프 계산시 사용되는 유막매개변수, Δ는 3으로 선택될 수 있다.

Chun 등[2]은 저어널베어링의 일반적인 유막 두께 형상[9, 10]을 기초로 하여 마모를 고려한 저어널베어 링의 수정 유막 두께 방정식을 공식화하였고, 시동 조 건과 시동정지 조건에서의 저어널베어링의 마모 해석 을 위한 절차를 개발하였다.

두 개의 표면 높이에 대한 정규 분포(Gaussian distribution)를 갖는 거친 표면 사이의 평균 틈새를 결 정하는 표현은 Majumdar 등[11]에 의해 개발되었고, Khonsari와 Booser[12]에 의하여 트라이볼로지 교과서 에 수록되었다. 이를 고려한 수정 레이놀즈 방정식의 해는 유막 내에서의 돌기 영향에 대한 고려가 포함된 압력 분포를 제공하게 되었다. 그러나 혼합 윤활 영역 의 전반적인 고려는 돌기 간섭에 대한 특별한 취급방 법이 요구된다.

표면 돌기들은 탄성 변형, 소성변형 혹은 탄-소성 변 σs 1 3.7169 10× ^–4

(nβσ)² ---

– σ

= σs=0.92σ

σ σ

Re

---

= σs

σs

Re

---

=

h σ⁄ h σ 0.5⁄ ≤

h σ⁄ ( )

h σ⁄

형을 일으킬 수 있다. 지금까지 탄-소성 압력 모델은 많은 연구의 주제가 되어 왔다[13-19]. CEB (Chang- Etsion-Bogy) 모델[13]로 알려진 탄-소성 돌기압력모델 은 탄성 변형과 완전 소성 변형과 관계된 압력을 고려 하였다. ZMC (Zhao-Maietta-Chang) 모델[14]로서 알 려진 탄-소성 돌기모델의 돌기접촉압력은 탄성 압력, 탄 -소성 압력 및 소성 압력으로 구성되어 있다. 그들의 통계적 해석 접근법에서는 유막 두께, h는 두 개의 거 친 표면의 평균선(mean lines) 사이의 거리를 말하는 분리(separation)로서 정의한다. 나아가 그들은 표면 돌 기정점들(summits)의 표준편차, σ

s

₁

1

1

₁

1

1

1

1

1

Masjedi와 Khonsari[18]는 ZMC 모델에 기초한 표 면거칠기를 고려한 선 접촉 탄성-유체 윤활에서 돌기- 하중 비(asperity load ratio)와 함께 중앙 유막 두께 및 최소 유막 두께를 예측하는 3가지 커브-피팅한 공 식을 유도하였다. 그들은 윤활유에 적합한 자유 체적 성분을 고려하여 Masjedi와 Khonsari[19]에 의해 제안 된 거친 선접촉 탄성유체윤활에서의 견인마찰 계수 (traction coefficient)를 결정하기 위해 통계적인 탄-소 성 돌기접촉모델을 사용하였다.

마모를 좀더 고찰하기 위해서는 돌기접촉표면들에서 흡수된 윤활유 분자들의 영향에 대해서 고려해야 한다.

이에 Kingsbury[20]와 Rowe[21]는 열방출이론(thermal desorption theory)으로부터 부분유막결손계수(fractional film defect coefficient), Ψ를 제안하였다.

Beheshti와 Khonsari[22]는 혼합탄성유체윤활 상태에 서 선첩촉에 의한 마모를 예측하기 위한 공학적 접근 방법을 개발하였다. 이를 위하여, 그들은 돌기들에 의 하여 지지되는 하중의 비율을 예측하기 위하여 하중분 담 개념과 두 개의 건마찰을 하는 거친 표면의 실린더 들 간의 접촉에 대한 KE(Kogut-Etsion) 모델을 기초 로 한 중심선 접촉 압력의 실험적 공식[23]과 매끈한 표면의 건마찰 선접촉에 대한 Pan과 Hamrock의 탄성 -유체윤활 중심선 유막 두께 공식[24]을 사용하였다. 또 한 그들은 선접촉 혼합탄성유체영역에서 정상상태 미 끄럼 마모를 얻기 위하여 돌기하중분담계수, γ

2

Chun 등[2]은 비마모율 k를 얻기 위해 확대 개발 한 무차원 그래프와 부분유막결손계수 Ψ와 돌기하중 분담계수 γ

2

한편 돌기하중분담계수는 ZMC(Zhao-Maietta-Chang) 돌기접촉압력 방정식 및 ZMC 돌기접촉모델로부터 유도된 중심선 유막 두께 방정식을 결합한 방정식과 Kogut and Etsion[16-17]의 통계적 미시-돌기접촉모 델에 기초하여 Beheshti and Khonsari[23]에 의해 제시된 선접촉 건마찰 영역에서의 중심선(최대값)접 촉압력 방정식으로부터 돌기하중분담계수 γ

2

아차드(Archard) 마모 방정식은 Holm[25]에 의해 먼저 제안된 재료 표면으로부터 제거되는 것이 원자 라는 이론을 바탕으로 하여 개발하였다. 따라서 이 마 모 이론은 Archard-Holm 혹은 Holm-Archard 법칙 이라 한다. Archard[26]는 1953년에 그의 모델의 근 간으로 개별의 원자 대신에 원자의 덩어리(clusters of atoms)인 돌기(asperities)를 사용하여 본 마모이론을 개선하였다. 지금까지 이 Archard-Holm 이론은 수많 은 다양한 트라이볼로지 적용에서 응착마모를 평가하 기 위하여 적용되어 왔다. 특히 엔진의 피스톤 조립 체의 마모에 대한 평가는 매우 중요한데 이는 오일소 모에 영향을 미치기 때문이다. 이에 대하여 문헌[27]

에서 피스톤-링 표면, 링 그루브 및 실린더 보어의 마모에 대한 실시간 변화를 수치해석으로 모의계산을 하여 발표하였다.

Lighterink와 de Gee[28]는 고정된 접촉조건 및 비

고정 접촉조건 하에서의 방사형(radial) 저어널베어링에 대한 마모 측정 절차를 설명하였다. 그들은 마모 시험 을 위한 시편으로 실 저어널베어링 사용하여 마모 깊 이(wear depth)를 측정하였다. 그들은 측정한 데이터를 사용하여 비마모율, k를 결정하는 기술을 확립하였다.

특별히 시험실 테스트 혹은 일정기간의 실 사용 후에 측정한 마모 깊이, d를 매개변수로 하고, Archard- Holm의 마모 법칙을 근간으로 하여 저어널베어링 재 료에 대한 비마모율을 예측하는 방정식을 유도하였다.

이 방정식의 사용을 용이하게 하기 위하여, 무차원 그 래프를 제공하였다[28].

한편, 축 경사를 고려한 베어링 유막 형성과 베어링의 성능에 대해 여러 연구자들이 연구를 하였다[3, 29-36].

그러나 경사진 상태에서 시동 시와 시동정지 시의 마 모를 규명하는 연구는 진행되지 못하였다. 특히 초기 운전 시 베어링 하중의 불균형으로 베어링 축이 한 쪽 으로 기울어져 부시와 밀착된 상태에서 시동될 때, 국 부적으로 유막이 매우 작은 상태가 잠시 동안 유지되 어 마모가 발생한다.

본 연구에서는, Chun 등이 발표한 논문[2]에서 언급 한 것과 동일한 베어링 시스템과 운전조건에서, 시동 초기에 크랭크축이 양쪽 베어링의 한쪽 끝 단이 닿은 상태에 있을 때, 엔진 시동 스위치의 일회 시동 및 시 동정지 동안에 발생할 수 있는 마모흔적에 대한 수치 해석 및 그 결과를 분석 하고자 한다. 따라서 본 연구 의 Part I[1]에서 구한 양쪽 베어링의 편심량 계산 값, 크랭크축 경사각 그리고 유막 계산 결과를 이용하여, 본 논문, Part II에서는 시동 및 시동정지 조건에서 저 어널베어링이 혼합탄성유체윤활 상태에 있을 때 발생 하는 마모에 대한 수치해석적 계산 절차 및 결과에 대 해서 설명하고, 그 마모상태를 예측하여 잦은 시동정 지 및 재 시동이 베어링 내구성에 미치는 부정적 영향 은 없는지 파악해 보고자 한다.

2. 마모 계산 이론 및 절차

2-1. 표면거칠기를 고려한 선 접촉 혼합탄성유체윤활에 대한 돌기하중 공식

돌기접촉의 탄-소성 압력 모델에 의하면, 돌기접촉압 력은 방정식 (1)과 같이 탄성 압력, 탄-소성 압력 및 소성 압력으로 구성된다.

(1)

본 논문에서는 ZMC (Zhao-Maietta-Chang)의 탄-소 성 압력모델[14, 18]을 다음과 같이 사용하였다.

(2)

여기서 이고, 윗 첨자 스타 (*)를 사

용한 변수는 σ로 무차원화한 것이다.

통계적인 접근방법에서는 유막 두께, h는 두 거친 표면의 평균 선들 사이의 거리를 말하는 분리 (separation)와 같다.

매개변수 σs는 표면 정점들의 표준편차를 나타내며, y^s는 표면 높이들의 평균선과 표면 정점들의 평균선과 의 거리이다. 이 변수들은 McCool의 계산방법[15]에 기초하여 다음과 같이 기술하였다.

(3)

(4)

본 탄-소성 모델은 원래 매끈한 평평한 표면에 대한 거친 표면의 접촉에서 전개되었다. 두 개의 거친 표면 을 다룰 때, 합성된 표면 매개변수들을 사용하여야 한 다. 이때 등가 표면거칠기는 와 같이 얻 어진다.

두 개의 동일한 표면들의 접촉에 대해서, 합성 표면

매개변수들은 , 과 이다.

세 변수의 곱 nβσ는 다른 표면 상태에서 많이 변 하지 않는다. 그리고 연구에 의하면, 일정한 값으로 가 정되었다[18]. 본 연구에서는 이 값은 0.05로 보았고, 이는 표면거칠기의 보편적인 범위에 대해서 합리적인

값이다. 이 값을 이용하여 와 을

얻었다. 나아가 로 보았고, 이는 일반적

으로 적용되는 표면거칠기에 대해 적절한 값이다.

돌기접촉압력에 대한 무차원 형태는 다음과 같다.

pa=pelastic+pelasto plastic– +pplastic

pa 2

3---E′nβ^0.5σ^1.5 σ σs

---

⎝ ⎠⎛ ⎞ 1

---2π w^*1.5e

0.5 σ⎝⎛σ---zs^*⎠⎞² –

z^*

h^*–ys* d

h^*–y_s^*+w₁^*

∫

=

+2π.hd.nβσ 1

--- σ2π⎝ ⎠⎛ ⎞σ---s w^*e

0.5 σ⎝⎛σ---zs^*⎠⎞² –

z^*

h^*–y_s^*+w₂^* d

∫

+π.hd.nβσ 1

--- σ2π⎝ ⎠⎛ ⎞σ---s w^*e

0.5 σ⎝⎛σ---zs^*⎠⎞² – h^*–ys*+w1* h^*–ys*+w2*

∫

ln –lnw^* w2*

ln w1*

ln ---–

× – 1 2 w^* w1*

– w2*

w1*

---–

⎝ ⎠

⎛ ⎞³

– 3w^* w1*

– w2*

w1*

---–

⎝ ⎠

⎛ ⎞²

+ dz^*

×

w^*=z^*–h^*+ys*

ys 0.0459 ---nβσ σ

=

σs 1 3.7169 10× ^–4 (nβσ)² ---

– σ

=

σ= σ12+σ22

σ= 2σ1 β β= 1⁄ 2 n=n1

σs=0.92σ ys=0.92σ σ

β--- σ β--- 0.01

= =

(5)

여기서 ,

그리고 이다. 그러므로,

이다.

2-2. 혼합탄성유체윤활 상태에 있는 두 표면 사이의 접촉에 의해 발생하는 장기 선형 마모의 공식

2-2-1. 부분유막결손계수

돌기접촉표면에 흡수된 윤활유 분자들을 고려한 부 분유막결손계수, Ψ는 Kingsbury[20]와 Rowe[21]의해 제 안된 열방출 이론에 의하여 다음과 같이 얻을 수 있다.

(6)

위 식 (6)에서는 미끄럼속도(us)를 제외한 다른 매개 변수들의 값은 일정하다고 보았다.

2-2-2. 선형 마모 공식

마모 방정식에 대한 가장 널리 알려진 형태는 방정 식 (7)과 같으며, 이로부터 또 다른 형태의 방정식 (8) 이 나왔다. 여기서 K는 무차원 아차드 마모계수이며, k는 K/hd로서 비마모율(specific wear rate) (혹은 마 모계수(wear modulus))이라고 하며, 단위는 m

²

(7)

(8)

이들 방정식은 마모 깊이와 시간당 마모율을 계산하 기 위하여 재 구성할 수 있다. 이동체 진행방향의 접 촉면적으로 방정식 (7)의 양변을 나누면 다음의 마모 깊이에 대한 방정식이 나온다. 여기서 P는 압력이고, d는 마모 깊이이다.

(9) 시간당 마모율을 구하기 위해서는 시간에 대한 미분 을 취한다. 이 미분은, 대부분의 경우, 시간에 대하여 하중이 일정하다고 가정하면 좀 더 간단히 표현할 수 있다. 여기서 문자 위의 점 ( . )은 시간 미분을 나타낸 다. 따라서 는 속도이다.

(10) 아차트-홀름 마모이론[25-26]에 의하면, 건 미끄럼 조건에서 정상상태 마모 체적은 식 (8)과 같고, 다음과 같이 재 기술할 수 있다.

(11) 여기서

그러므로 위의 방정식에서 비마모율 k 는 다음 과 같이 표현할 수 있다.

(12)

만약 부분유막결손계수, Ψ를 고려하며, 중간 단계의 수정 비마모율 k

b

(13) 혼합탄성유체윤활 상태에서의 저어널베어링에 작용 하는 전체 하중, Wn은 로 표현할 수 있 고, 베어링과 축 표면의 경계 영역에서의 전체 압력, p는 p = p

h

a

1

2

유체 영역의 척도인자, γ

1

2

혼합탄성유체윤활에 대한 마모 체적은 돌기접촉에 의한 하중, Wa와 관계된다. 따라서 마모 체적은 다음 Pa 4Re

E′b---pa 2

3---nβ^0.5σ^1.5W^–0.5 σ σs

---

⎝ ⎠⎛ ⎞ (z^*–I1)^1.5e

0.5 σ σs ---z^*

⎝ ⎠

⎛ ⎞² –

z^*

I₁ d

I2

∫

= =

+2πVnβσW^–0.5 σ σs

---

⎝ ⎠⎛ ⎞ (z^*–I1)e^{0.5 σσ---zs}

*

⎝ ⎠

⎛ ⎞² –

z^*

I3 d

∫

+πVnβσW^–0.5 σ σs

---

⎝ ⎠⎛ ⎞ (z^*–I1)e^–0.5

σ σs ---z^*

⎝ ⎠

⎛ ⎞² I2

I₃

∫

w2–lnw1

---ln

× –

1 2(z^*–I1)σ w– 1

w2–w1

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞

– 3 (z^*–I1)σ w– 1

w2–w1

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞²

× + dz^*

I1 H y– s

--- Iσ , 2 H y– s–w1

--- Iσ , 3 H y– s+w2

---σ

= = =

w^* z^*–h^*+ys* z^* h σ--- y^s

σ----

⎝ – ⎠

⎛ ⎞

– z^*

= = =

h R⁄ e

σ R⁄ e

--- y^s⁄Re

σ R⁄ e

---

⎝ – ⎠

⎛ ⎞

– z^* H y– s

---σ – z^*–I1

= =

nβσ=nβσ=0.05 n 0.05 ---βσ

=

Ψ 1 exp aχ

usto

---exp Ea

RgTs

---

⎝– ⎠

⎛ ⎞

⎩– ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

–

=

VW K hd--- W⋅ n⋅S

=

VW=k W⋅ n⋅S

d K hd--- P S⋅ ⋅

=

S· V·

W K

hd--- W·

n S W+ n S·

⋅ ⋅

( )

⋅ K

hd--- Wn S·

⋅ ⋅

= =

Vw=kWnS

Wn=Pb(2RL) S, =2πRN

m² ---N

⎝ ⎠⎛ ⎞

k Vw

WnS --- AcL

WnS

--- AcL P⁄( b(2RL) 2πRN×( ))

= = =

Ac⁄(4πR²PbN)

=

Vw=ΨkWnS=kbWnS

Wn=Wh+Wa

1 γ1

---- 1 γ2

+----=1 γ1 Wn

Wh

--- p ph

= =---- γ2 Wn

Wa

--- p pa

= =----

과 같이 될 수 있다.

(14)

여기서 ka= Ψk/γ

2

나아가 돌기접촉표면들에 의해 흡수된 윤활유 분 자들 때문에 고려되는 부분유막결손계수, Ψ는 방정 식 (6)에 의해 계산될 수 있다. 비마모율, k는 무차 원 값인 kP

b

R[28]로 구성된 실험적인 그래프에 의해서 얻을 수 있다. 여기서 n은 돌기가 파괴되는 데 필요한 전체 (최종) 사이클 (혹은 회전수)이다. 나아가 돌기 몫의 하중분담율, γ

2

2-2-3. 돌기 몫의 하중분담율, γ

의 계산

ZMC 돌기접촉모델을 사용하여 유도된 중심선 유막 두께는 Masjedi와 Khonsari[18]에 의해서 다음과 같이 유도되었다.

(15)

이 방정식은 다음과 같이 정의된 무차원 매개변수를 갖는다.

통계적인 접촉접근법으로 얻은 위 방정식 (15)의 유 막 두께는 평균선(mean lines) 상의 두 표면 사이의 거리이다.

표면거칠기의 영향을 무시할 수 없는 혼합윤활영역에 서는 방정식 (15)는 전체 하중 중 유체에 의해 지지 되는 부분, 1/γ

1

1

1

1

2

2

(16)

=

(17)

연구에 의하면 열적 수정 요인들로 인한 중심선 유 막 두께 변화는 많아야 2% 이내에서 줄어 들 수 있 다고 보았다[22]. 그러므로 본 연구에서는 열적 수정 요소들을 적용하지 않았다. 그러므로 본 연구에서는 방 정식 (17)를 중심선 유막 두께 방정식으로 사용하였다.

2) 돌기접촉 부분

무차원 형태의 유막 두께(film thickness or separation between mean lines), H(= h/Re)의 함수로서 ZMC 탄-소성 모델에 대한 접촉 압력은 방정식 (5)로 기술 된다.

방정식 (5)에서 무차원 분리, H를 방정식 (17)로 표현되는 무차원 중심선 유막 두께, Hc로 대체하면, 수정된 중심선 접촉압력 방정식은 방정식 (18)로 표 현될 수 있다. 이를 얻기 위하여, 단지 돌기들에 의 해 지탱되는 하중 부분만이 관계되는 혼합윤활조건에 서의 접촉 압력 방정식인 방정식 (15)를 탄성계수, E'를 E'/γ

2

2

2

(18)

여기서, . Vw kb Wn

γ2

---

⎝ ⎠⎛ ⎞S k( b⁄γ2)WnS kaWnS

= = =

Hc=2.691W^–0.135U^0.705G^0.556

1 0.2σ( + ^1.222V^0.223W^–0.229U^–0.748G^–0.842)

Hc hc

Re

--- W, w E′Re

--- U, μOur

E′Re

--- G, αpE′

= = = =

σ σR--- Ve, hd --- E′E′, 1

2--- 1 v– 1

E1

--- 1 v– 2

E2

---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

= = =

Hc=2.691W^–0.135U^0.705G^0.556γ10.149

1 0.2σ^1.222V^0.223W^–0.229U^–0.748G^–0.842γ10.317

( + )

2.691W^–0.135U^0.705G^0.556 γ2

γ2–1 ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞^0.149

1 0.2σ^1.222V^0.223W^–0.229U^–0.748G^–0.842 γ2

γ2–1 ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞^0.317

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

Pa( )Hc

( )central 4Re

E′b---pa 4Re

E′ R 8W π( ⁄ )

---pa 2π E′ W---pa

= = =

2

3---nγ2β^0.5σ^1.5W^–0.5 σ σs

---

⎝ ⎠⎛ ⎞ (z^*–I1)^1.5e

0.5 σ σs ---z^*

⎝ ⎠

⎛ ⎞^z –

z^*

I1 d

I2

∫

=

+2πVγ22

nβσW^–0.5 σ σs

---

⎝ ⎠⎛ ⎞ (z^*–I1)e^{0.5 σσ---zs}

*

⎝ ⎠

⎛ ⎞² –

z^*

I3 d

∫

+πVγ22

nβσW^–0.5 σ σ_s ---

⎝ ⎠⎛ ⎞ (z^*–I1)e^{0.5 σσ---zs}

⎝ *⎠

⎛ ⎞² – I2 I3

∫

w2

ln –lnw1

---

× – 1 2 (z^*–I1)σ w– 1

w2–w1

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞³

× –

3 (z^*–I1)σ w– 1

w2–w1

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞² dz^* +

I1 Hc–ys

--- Iσ ,2 Hc–ys+w1

--- Iσ ,3 Hc–ys+w2

---σ

= = =

그리고 Hc는 방정식 (17)을 사용한다.

한편 거친 표면에 대한 선접촉 건마찰 조건에서 최 대 접촉압력인 중심선 접촉압력은 Kogut and Etsion [16-17]의 통계적 미시-돌기접촉모델에 기초하여 Beheshti and Khonsari[23]에 의해 아래와 같이 제시 되었다. 참고로 논문[16-17]의 KE 돌기접촉모델에서는, 탄-소성영역에서 각 돌기가 접촉 시, 접촉영역 아래의 돌기의 소성 코어가 변화하는 과정을 제1 탄-소성 영 역(w

1

1

1

1

1

1

(19)

여기서 그리고

.

혼합탄성유체윤활 조건에 대해서, 전체 하중의

부분에 대한 중심선 접촉압력은 를 로

대체하고, n을 nγ2로 대체하며, 그리고 Wn를 로 대체하는 것에 의하여 수행된다. 결과적으로 수정된 중 심선 접촉 압력 방정식은 다음과 같다.

(20) 3) 수정 아차드 마모 방정식을 위한 돌기접촉에 의 한 하중 분담율 γ

2

수정 아차드 마모 방정식을 위한 돌기접촉에 의한 하중분담율, γ

2

(21) 여기서 γ

2

2-3. 기 발표된 실험적 그래프로 도시된 마모율에 의한 장기(수명 기간) 선형 마모 계산

고정된 접촉이 일어나는 운전 조건 하에서의 비마모 율, k는 저어널베어링 내 부싱의 마모자국 부위에서 생성되는 수명기간 동안의 재료 이탈양을 측정하므로 계산될 수 있다[28]. 여기서 재료 이탈양은 마모 깊이,

pcentral 1

1+(1.1188n^–0.1531β^–0.1203σ^0.6034W^–0.7161Ω^–0.1423)^1.1396 ---

=

W Wn

lE″Re

---,Ω hd E′⁄

= =

E″ 1 v– 1

E1

--- 1 v– 2

E2

---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

=

1⁄γ2 1⁄γ2 E″ γ⁄ 2

Wn⁄γ2

pa

( )central=

1

γ2 1+(1.1188n^–0.1531β^0.1203σ^0.6034W^–0.7161Ω^–0.1423γ2–0.2954)^1.1396 ---

Pa( )Hc

( )central 4Re

E′b---pa 4Re

E′ R 8W ---π

⎝ ⎠

⎛ ⎞

---pa 2π E′ W---pa

= = =

2

3---nγ2β^0.5σ^1.5W^–0.5 σ σs

⎝ ⎠----

⎛ ⎞ (z^*–I1)^1.5e

0.5 σ σs ---z^*

⎝ ⎠

⎛ ⎞² –

z^*

I1 d

I2

∫

=

+2πVγ22

nβσW^–0.5 σ σs

⎝ ⎠----

⎛ ⎞ (z^*–I1)e^{0.5 σσ---zs}

⎝ *⎠

⎛ ⎞² –

z^*

I3 d

∫

+πVγ22

nβσW^–0.5 σ σs

⎝ ⎠----

⎛ ⎞ (z^*–I1)e^{0.5 σσ---zs}

⎝ *⎠

⎛ ⎞² – I2

I3

∫

1 0.6lnw2–ln z( ^*–I1)σ w2–lnw1

---ln

× –

1 2 z

*–I1

( )σ w– 1

w2–w1

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞³

– 3 z

*–I1

( )σ w– 1

w2–w1

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞²

+ dz^*

×

pa

( )central=

=

1

γ2 1+(1.1188n^–0.1531β^–0.1203σ^0.6034W^–0.7161Ω^–0.1423γ2–0.2954)^1.1396 ---

Fig. 1. The schematic drawing indicating the removal of material by wear in a bushing of a journal bearing operating under conditions of stationalry contact [28].