Impact of Drag-Related Weighting Coefficients in Vegetated Open-Channel Flows

水 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第26卷 第5B 號·2006年 9月 pp. 529 ~ 537

식생된 개수로에서 항력가중계수가 흐름에 미치는 영향 분석

Impact of Drag-Related Weighting Coefficients in Vegetated Open-Channel Flows

강형식*·최성욱**

Kang, Hyeongsik·Choi, Sung-Uk

···

Abstract

This paper investigates the impacts of the drag-related weighting coefficients on mean velocity and turbulence structures. The transport equations for the Reynolds stress of vegetated open-channel flows are derived by using the temporal- and horizontal- averaging scheme. It is found that the total Reynolds stress of vegetated open channel flows consists of the Reynolds stress due to temporally fluctuating velocities and the Reynolds stress due to spatially fluctuating velocities. The drag-related weighting coefficient C

fk

for the total Reynolds stress component is found to be unit, while the coefficient for the Reynolds stress due to temporally fluctuating velocities can be negligible. This is the reason why very small weighting coefficients in previous studies yield very good agreements with measured data. In other words, the Reynolds stress due to spatially fluctuating velocities remains still unknown, especially due to the large number of measuring locations. Through a developed Reynolds stress model, vegetated open-channel flows are simulated and compared with measured data from the literature. Comparisons reveal that the computed mean flow and Reynolds stress structures are hardly affected by the drag-related weighting coefficients. However, the computed turbulence intensity profiles are significant different with the drag-related weighting coefficients. A budget anal- ysis of the transport equations for the Reynolds stress component is carried to investigate why turbulence intensity is affected by the drag-related weighting coefficients.

Keywords : vegetated open-channel flow, drag-related weighting coefficient, mean velocity, reynolds stress, turbulence inten- sity

···

요 지

본 논문에서는 식생된 개수로 흐름의 수치모의에 필요한 항력가중계수의 영향을 분석하였다. 이를 위해 시간 및 공간 평 균기법을 이용하여 식생된 개수로 흐름에서 레이놀즈응력의 수송방정식을 유도하였다. 그 결과 총 레이놀즈응력은 시간의 변 동 성분에 의한 레이놀즈응력과 공간상의 변동 성분에 의한 레이놀즈응력의 합이며, 총 레이놀즈응력의 수송방정식을 수치모 의하기 위한 항력가중계수의 값은 C

fk

= 1.0인 것으로 나타났다. 그러나 시간의 변동 성분에 의한 레이놀즈응력을 수치모의 하기 위해서는 거의 영에 가까운 항력가중계수를 갖는 것으로 나타났다. 이는 과거의 수치모의 연구에서 항력가중계수의 값 이 거의 영에 가까울 때 실험결과와 잘 일치했는지에 대한 중요한 이유이다. 즉, 공간상의 변동성분에 의한 레이놀즈응력의 값은 실험을 통해 측정하기 매우 어렵기 때문에 식생된 개수로 흐름에서 측정된 레이놀즈응력은 대부분 시간상의 변동성분 에 의한 레이놀즈응력이기 때문이다. 또한 레이놀즈응력모형을 이용하여 항력가중계수에 따른 식생된 개수로 흐름을 수치모 의하고 기존의 실험 결과와 비교하였다. 그 결과 평균유속과 레이놀즈응력의 경우 항력가중계수의 영향은 작은 것으로 나타 났으나, 난류강도 분포에서는 항력가중계수의 영향이 매우 크게 발생하였다. 또한 총 레이놀즈응력과 시간의 변동성분에 의 한 레이놀즈응력의 수송방정식에서 각 항의 수지분석을 통하여 항력가중계수가 난류강도에 미치는 영향을 분석하였다.

핵심용어 : 식생된 개수로 흐름, 항력가중계수, 평균유속, 레이놀즈응력, 난류강도

···

1. 서 론

개수로에 식재된 식생은 이에 의한 항력의 영향으로 인해 평균유속을 감소시켜 수위를 상승시키는 역할을 하며, 바닥 전단력을 감소시켜 유사의 퇴적을 유발하다. 또한 식생 및 비식생 영역의 경계면 근처에서는 유속 차이가 크게 발생되

어 전단(shear)에 의한 난류 생성이 증가되고, 식생높이 부근 에서는 난류의 비등방성이 강하게 발생된다. 또한 식생영역 내부에서는 와류(wake)에 의한 난류 생성이 추가로 발생된 다. 이와 같이 식생된 개수로 흐름은 난류의 생성 및 비등 방성에 큰 영향을 받기 때문에 일반 개수로 흐름 보다 더 복잡한 흐름 구조를 갖는다. 따라서 이와 같은 식생된 개수

*

정회원·교신저자·연세대학교사회환경시스템공학부연구교수

(E-mail : [email protected])

**

정회원·연세대학교사회환경시스템공학부교수

(E-mail : [email protected])

로 흐름을 수치모의 하기 위해서는 난류의 비등방성을 고려 할 수 있는 정교한 난류모형이 필요하다 .

식생된 개수로 흐름의 수치모의에는 다음과 같은 k와 ε 의 수송방정식을 해석하는 k - ε 모형이 주로 사용되어 왔다 (Burke 와

Stolzenbach, 1983; Shimizu 와 Tsujimoto, 1994; Fischer-Antze

등 , 2001, Lopez 와 Garcia, 2001 등 ).

(1a) (1b)

여기서 k는 난류운동에너지 , ^{ε은 k의 소산률} , ν

t

는 난류 동 점성계수 , 는 주흐름방향으로의 평균유속 , f

x

는 식생에 의 한 항력항 , σ

k

, σ

ε

, C

1ε

, C

2ε

는 난류상수 , 그리고 C

fk

와 C

fε

는 식생에 대한 항력가중계수이다 . 식 (1) 에서 항력가중계수를 포함하고 있는 우변의 세 번째 항은 식생에 의해 발생되는 와류에 의한 난류 생성항을 의미한다 . 따라서 이 항이 없을 경우 식 (1) 은 식생이 없는 일반 개수로 흐름에서 유도된 수 송방정식과 동일하게 된다 .

기존의 연구동향을 살펴보면 와류에 의한 난류 생성항에서 항력가중계수 C

fk

와 C

fε

에 대해 크게 두 가지의 값을 사용하 는 것으로 나타났다 . Burke 와 Stolzenbach(1983) 는 처음으로 식생된 개수로 흐름에 대해 k - ε 모형을 적용하였다 . 이를 위

해 Raupach 와 Shaw(1982) 의 평균기법을 이용하여 난류운동

에너지 k의 수송방정식을 유도한 결과 C

fk

=1.0 와 C

fε

= 1.33 을 제시하였다 . 또한 Shimizu 와 Tsujimoto(1993) 역시

Burke ^와 Stolzenbach(1983) ^{가 제시한 것과 동일한 항력가중}

계수를 사용하였을 경우 실험결과와 잘 일치하는 결과를 보 였다 . 그러나 Shimizu 와 Tsujimoto(1994) 는 식생된 개수로 흐름에 대한 실내 실험을 수행하고 k - ε 모형을 이용하여 수치 모의한 결과 , ^{항력가중계수의 값이} C

fk

= 0.07, C

fε

=0.16 ^일

때 실험결과와 매우 잘 일치하는 것을 확인하였다 . 여기서

주목할 만한 사항은 Burke 와 Stolzenbach(1983) 가 제시한

항력가중계수 C

fk

=1.0 의 값에 비해 Shimizu 와 Tsujimoto

(1994) ^{가 실험을 통해 제시한 값은} C

fε

=0.07 ^{로서 거의 영에}

가까운 매우 작은 값이라는 것이다 . 또한 Fischer-Antze 등

(2001) 은 k와 ε의 수송방정식에서 와류에 의한 생성항을 무

시하고 ( 즉 , C

fk

= C

fε

= 0), 식생된 개수로 흐름에 대한 3 차원 수치모의를 수행하였다 . Fischer-Antze 등은 식생된 수로에서 주흐름방향으로의 평균유속 만을 계산하고 기존의 실험결과 와 비교하였는데 수치모의와 실험결과가 매우 잘 일치하는 것을 확인하였다 . 또한 Lopez 와 Garcia(2001) 는 식생된 개 수로에서 k의 수송방정식을 유도한 결과 항력가중계수의 값 은 Burke 와 Stolzenbach(1983) 와 동일하게 C

fk

=1.0 이라고 주장하였다 . 그러나 C

fk

=1.0, C

fε

=1.33 의 값을 이용하여 난류 강도를 계산한 결과 실험 결과에 비해 과대 산정하는 반면 에 C

fk

= C

fε

= 0 의 값을 이용할 경우 계산된 난류강도가 실

험 결과와 잘 일치하는 것으로 나타났다 . Neary(2003) 역시

Lopez 와 Garcia(2001) 와 유사하게 k-w모형을 이용하여 1 차 원 수치모의를 수행한 결과 항력가중계수의 값이 거의 영에 가까운 작은 값을 사용하였을 때 실험결과와 잘 일치한다고 보고하였다 . 이상의 연구동향을 살펴보면 항력가중계수 C

fk

의 값은 이론적으로 C

fk

= 1.0 이어야 함에도 불구하고 항력 가중계수의 값이 거의 영에 가까운 작은 값을 사용하였을 경우에 계산된 평균흐름 및 난류량 값이 실험결과와 잘 일 치하는 것을 알 수 있다 . 항력가중계수 ( C

fk

와 C

fε

) 는 식 (1) 과 같은 난류운동에너지와 소산률의 수송방정식에서 와류에 의 한 생성항의 크기를 조절해주는 역할을 한다 . 따라서 항력가 중계수의 처리에 따라 식생된 개수로 흐름에서의 계산 결과 가 다르게 나타날 수 있기 때문에 항력가중계수가 평균유속 및 난류량에 미치는 영향을 살펴볼 필요가 있다 .

본 연구의 목적은 식생된 개수로 흐름을 모의하기 위한 수학적 모형에서 식생에 의한 항력가중계수의 영향을 분석 하는 것이다 . 이를 위해 시간 및 공간평균 기법을 이용하여 식생된 개수로 흐름에서 레이놀즈응력의 수송방정식을 유도 하였다 . 또한 레이놀즈응력모형 (Reynolds Stress Model:

RSM) 을 이용하여 식생된 개수로 흐름을 수치모의하고 계산 된 결과를 기존의 실험결과와 비교하여 항력가중계수의 영 향을 분석하였다 . 또한 레이놀즈응력의 수송방정식에서 각 항의 수지분석을 통하여 항력가중계수가 평균유속 및 난류 구조에 미치는 영향을 분석하였다 .

2. 평균기법

그림 1 은 규칙적으로 배열된 식생된 개수로의 평면도이다 .

임의의 시간에서 그림 1 을 살펴보면 공간상의 식생 분포에 의하여 u

1

, u

2

, u

3

의 속도가 다르며 , 공간상에서 비슷한 위 치에서도 난류 특성에 의하여 u

1

, u

4

, u

5

의 유속이 다르게 나타난다 . ^{이와 같이 공간상의 식생분포와 난류의 변동 성분}

에 의한 영향을 제거하기 위해서 Raupach 와 Shaw(1982) 가

제시한 시간 및 공간 평균기법을 이용한다 . 임의의 순간속도 에 대한 시간 및 공간평균은 각각 다음과 같다 .

(2a,b)

여기서 u

i

는 i - 방향으로의 순간속도 , 는 시간평균된 유속 ,

는 공간평균된 유속 , 그리고 과 는 각각 시간 및

공간상의 변동속도 성분이다 . Raupach ^와 Shaw(1982) ^{의 평}

균기법 중 평균기법 -1 은 식생분포에 의해 발생되는 공간상의 변동성분을 제거하기 위하여 Navier-Stokes 식을 공간평균하

∂k ∂t --- ∂

∂z --- ν

_t

σ

_k

---∂k

∂z ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞ + ν

_t

_⎝ ^{⎛ ∂ u ---} _∂z ^{〈 〉} _⎠ ^⎞

²

+ C

_fk

f

_x

〈 〉 u – ε

=

∂ ε --- ∂ ∂t

∂z --- ν

_t

σ

_ε

---∂ ε

--- ∂z

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

C

_1ε

ε

k -- ν

_t

⎝ ⎛ ^{∂ u} --- _∂z ^{〈 〉} ⎠ ⎞

²

ε

k --C

_fε

f

_x

〈 〉 C u

_2ε

ε

²

--- k –

+ +

=

u

〈 〉

u

_i

= u

_i

+ ; u

_i^′

u

_i

= 〈 〉 u u

_i

+

_i^″

u

_i

u

_i

〈 〉 u

_i^′

u

_i^″

그림 1. 식생된 개수로의 평면도

여 지배방정식을 유도한다 . 한편 , 평균기법 -2 는 시간에 따른 변동 성분을 먼저 제거한 후 공간상의 변동성분을 제거한다 .

즉 , 평균기법 -2 는 Navier-Stokes 식을 먼저 레이놀즈 분할하 여 시간평균한 후 공간평균을 이용하여 지배방정식을 유도한 다 . 평균기법 -1 과 평균기법 -2 를 이용하여 유도된 연속방정식 은 각각 다음과 같다 .

: 평균기법 -1 (3a)

: 평균기법 -2 (3b)

2.1 운동량방정식

평균기법 -1 을 이용하여 Navier-Stokes 식을 평균하면 다음

과 같다 (Raupach 와 Shaw, 1982).

(4)

여기서 는 총 레이놀즈응력 , g

i

는 i - 방향으로의 중력가

속도이다 . ^또한 Navier-Stokes ^{식을 시간평균한 후} ,

와 을 대입하고 공간평균을 행하는

평균기법 -2 에 의해 유도된 식은 다음과 같다 (Raupach 와

Shaw, 1982).

(5)

여기서 는 dispersive flux 로서 공간상의 변동속도에

의한 레이놀즈응력 , 는 시간상의 변동속도에 의한 레 이놀즈응력이다 . 평균기법 -1 을 위한 평균영역의 면적이 평균 기법 -2 ^{를 위한 평균영역에 비하여 충분히 크다고 가정할 경}

우 와 이 성립한다 (Lopez 와 Garcia,

1997). 따라서 식 (4) 와 식 (5) 에서 총 레이놀즈응력은 다음과

같다 .

(6)

여기서 의 값을 산정하기 위해서는 시간평균된 유속 성분에 대한 공간상의 변동 성분 유속을 측정해야 한다 . 이 를 위해서는 세밀한 공간상에서 많은 측정을 요하므로 , 현재 까지 그 값이 제시된 바 없다 (Lopez 와 Garcia, 1997). 또한 과거의 실험 연구에서는 식생된 개수로 흐름에서 발생되는 의 값이 총 레이놀즈응력에 비해 매우 작을 것이라고 가정하였기 때문에 지금까지 측정된 레이놀즈응력은 거의 모 두 이다 .

식 (5) 와 (6) 에서 식생에 의한 항력항을 다음과 같이 나타 낼 수 있다 (Burke 와 Stolzenbach, 1983).

(7)

여기서 C

D

는 항력계수 , a (= D/A

h

) 는 식생밀도 , D는 식생직경 ,

그리고 A

h

는 식생간격에 의한 하상의 단위면적이다 . 식 (7) 에 서 항력계수 C

D

는 상류단 식생에 의해 발생된 와류에 영향

을 받으며 , 식생 간격이 작을수록 하류단 식생의 항력계수는 더 작아진다 (Nepf, 1999). 본 연구에서는 Dunn(1996) 에 의 해 제시된 항력계수에 대한 다음의 식을 사용하였다 .

(8)

여기서 는 수심평균된 항력계수의 값이고 h

p

는 식생 높

이이다 . Dunn(1996) 은 휘어지지 않고 곧은 실린더를 이용한

수리실험을 통해 항력계수는 깊이 방향에 따라 변하며 식생 높이의 1/3 지점에서 최대값을 보이고 , 항력계수의 평균값을

=1.13 으로 제시하였다 . =1.13 은 Li 와 Shen(1973)

이 와류 중첩 모형 (wake superposition model) 을 이용하여

수심적분된 항력 계수를 제시한 것과 동일한 값이며 ,

Nepf(1999) 가 제시한 항력계수의 범위에 포함되는 값이다 .

식 (4) 와 식 (5) 에서 점성항을 무시할 경우 식생된 개수로 흐름에서의 운동량 방정식은 다음과 같이 유도된다 .

(9)

여기서 f

xi

는 식생에 의한 항력항을 나타내며 , 식 (7) 에 의해 f

xi

=1/2 ·C

D

a < u

i

>

²

^이다 .

2.2 레이놀즈응력 수송방정식

본 연구에서는 운동량방정식에 포함된 총레이놀즈응력 과 시간상의 변동성분에 의한 레이놀즈응력 을

Raupach 와 Shaw(1982) 의 시간 및 공간평균기법을 이용하여

유도하였다 . 먼저 , 식생된 개수로 흐름에 대한 총 레이놀즈 응력 을 유도하기 위해 i와 j - 방향으로의 Navier-

Stokes 방정식에 각각 과 를 곱한 뒤 , 평균기법 -1 을

적용하면 쉽게 유도된다 .

(10)

여기서 우변의 첫 번째 항은 점성에 의한 확산항 , 두 번째 항은 난류 확산항 ( D

ij

), 세 번째 항은 전단에 의한 생성항

( P

ij

), 네 번째 항은 와류에 의한 생성항 ( Pw

ij

), 다섯 번째 항 은 압력 - 변형률 상관항 ( Π

ij

), 마지막 일곱 번째 항은 소산률 항 ( ε

ij

) 이다 . 또한 레이놀즈응력 의 수송방정식은 i와 j - 방향으

로의 Navier-Stokes ^{방정식에 각각 과 을 곱한 뒤} , ^평

균기법 -2 를 적용하면 다음과 같이 유도된다 .

∂ u 〈 〉

_i

--- ∂t ∂ u 〈 〉

_i

∂x

_i

--- 0 = +

∂ u 〈 〉

_i

--- ∂t ∂ u 〈 〉

_i

∂x

_i

---

+ = 0

∂〈 〉u_i

--- u∂t 〈 〉_j∂〈 〉u_i

∂x_j

--- ∂〈u_i^″u_j^″〉

∂x_j ---

+ + 1

ρ

--- – ∂〈 〉p

∂x_i ---

– 1

ρ

--- ∂p″( )

∂x_i ---( )

– +ν∇²〈 〉u_i+ν〈∇²u_i^″〉 g+ _i

=

u

_i^″

u

_j^″

u

_i

= 〈 〉 u u

_i

+

_i^″

p = 〈 〉 p″ p +

∂ u 〈 〉

_i

--- u ∂t 〈 〉

_j

∂ u 〈 〉

_i

∂x

_j

--- ∂

∂x

_j

--- u ⎝ ⎛

_i^″

u

_j^″

+ u

_i^′

u

_j^′

⎠ ⎞

+ +

1 ρ ---∂ p 〈 〉

∂x

_i

---

– 1

ρ --- ∂p″ --- ∂x

_i

– + ν∇

²

〈 〉 ν ∇ u

_i

+

²

u

_i^″

+ g

_i

=

u

_i^″

u

_j^″

u

_i^′

u

_j^′

u

_i

〈 〉 = 〈 〉 u

_i

〈 〉 p = 〈 〉 p

u

_i^″

u

_j^″

= u

_i^″

u

_j^″

+ u

_i^′

u

_j^′

u

_i^″

u

_j^″

u

_i^″

u

_j^″

u

_i^′

u

_j^′

ρ 1 --- ∂p″

∂x

_i

--- 1

2 ---C

_D

a u 〈 〉

_i²

=

C

_D

C

_DA

--- 0.74 3.51 z ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 6.41 z h ---

_p

h

_p

---

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

²

– 2.72 z ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ h ---

_p ²

+ +

=

C

_DA

C

_DA

C

_DA

∂ u 〈 〉

_i

--- u ∂t 〈 〉

_j

∂ u 〈 〉

_i

∂x

_j

---

+ 1

ρ ---∂ p 〈 〉

∂x

_i

--- ∂

∂x

_j

--- u

_i^″

u

_j^″

– – f

_xi

+ g

_i

–

=

u

_i^″

u

_j^″

u

_i^′

u

_j^′

u

_i^″

u

_j^″

u

_j^″

u

_i^″

∂ u 〈

_i^″

u

_j^″

〉

--- u ∂t 〈 〉

_l

∂ u 〈

_i^″

u

_j^″

〉

∂x

_l

--- ∂

∂x

_l

--- ν ^{∂ u}

ⁱ

″

u

_j^″

〈 〉

∂x

_l

---

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= +

∂x ∂

_l

--- u 〈

_i^″

u

_j^″

u

_l^″

〉 1 – ρ ^{--- ∂} ⎝ ⎛ ∂x --- u

_i

〈

_j^″

p

^″

〉 ∂ + ∂x --- u

_j

〈

_i^″

p

^″

〉 ⎠ ⎞ –

D

=

_ij

( )

---

u

_j^″

u

_l^″

〈 〉 ∂ u 〈 〉

_i

∂x

_l

--- u 〈

_i^″

u

_l^″

〉 ∂ u 〈 〉

_j

∂x

_l

---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

–

P

=

_ij

( )

---

1 + ρ ^{--- u} ⎝ ⎛ ^{〈 〉 ∂P″}

^j

--- ∂x

_i

+ 〈 〉 ∂P″ u

_i

--- ∂x

_j

⎠ ⎞ Pw

=

_ij

( )

---

p″ ∂u

_j^″

∂x

_i

--- p″ ∂u

_i^″

∂x

_j

--- + +

Π

_ij

=

( )

--- 2 ν ^∂u _∂x

^i″

---

l

∂u

_j^″

∂x

_l

--- –

ε

=

_ij

( )

---

u

_j^′

u

_i^′

(11)

식 (11) 을 살펴보면 와류에 의한 난류 생성항 ( Pw

ij

) 을 제외 하고는 식 (10) 의 각 항과 동일한 형태를 갖는 것을 볼 수 있다 . 일반적으로 와류에 의한 난류 생성항에 의해 발생되는 난류의 특성길이는 전단에 의해 발생되는 특성길이 보다 매

우 작은 것으로 알려져 있다 (Raupach 와 Shaw, 1982). 따

라서 와류에 의한 난류 에너지는 에너지 폭포 (energy

cascade) 과정에 의해 곧 열에너지로 소멸된다 . 식 (10) 과 식

(11) 에서 각각의 와류의 생성항 ( Pw

ij

) 을 살펴보면 서로 다른

것을 볼 수 있다 . 즉 , 총 레이놀즈응력의 수송방정식 식 (10)

에 포함된 와류의 생성항 ( Pw

ij

) 은 전체 공간평균된 평균유속 과 압력변동 성분 기울기의 공간평균 값의 곱으로 나타나는 반면에 , 식 (11) 에서의 와류에 의한 생성항은 시간평균된 평 균유속의 공간상의 변동 성분 기울기와 공간상의 레이놀즈 응력 변동 성분의 곱으로 표현된다 . 즉 , 식 (11) 에서 와류에 의한 생성항은 각각의 식생 요소에 의해 발생되는 레이놀즈 응력의 변동성분과 변동속도의 기울기에 의해 발생되므로 식

(10) 에서의 와류에 의한 생성항 보다 더 작은 특성 길이를

갖는다 . ^{만약 식생밀도가 비교적 작은 개수로 흐름에서 식생}

에 의해 발생되는 와류의 길이 스케일이 Kolmogorov 스케

일과 유사한 크기일 경우 , 식 (11) 에서 와류에 의해 발생된 난류운동에너지는 곧 열에너지로 바뀌어 소멸된다 (Lopez 와

Garcia, 2001). 따라서 식 (11) 에서 와류에 의한 생성항 ( Pw

ij

)

은 무시될 수 있다 . 즉 ,

(12)

이는 식생된 개수로 흐름을 수치모의 하는 과정에 있어 매우 중요한 의미를 갖는다 . 운동량방정식 식 (9) 에서 총 레이놀즈응력을 수치모의 할 경우 식 (10) 에서 와류에 의 한 생성항을 포함시켜야 한다 . ^{그러나 운동량 방정식에서}

를 무시하고 시간상의 변동 성분에 의한 레이놀즈 응력 을 수치모의 할 경우 레이놀즈응력의 수송방정식 식 (11) 에서 와류에 의한 생성항은 무시될 수 있다는 것이다 .

마찬가지로 k - ε 모형을 사용하여 식생된 개수로 흐름을 수치 모의 할 경우 난류운동에너지 k에 대한 정의에 따라 항력가 중계수의 값이 변할 수 있다 . 즉 , k의 정의가 k =1/2 ·

= 일 경우에는 식 (1) 에서 와류에 의

한 생성항은 무시될 수 없지만 , 1/2 · 일 경우에는 와류

에 의한 생성항은 무시될 수 있을 만큼 작게 되기 때문에

식 (1) 에서 항력가중계수는 거의 영이 된다 . 3. 레이놀즈응력모형

운동량방정식 식 (9) 에서 레이놀즈응력을 구하기 위해 6 개 의 편미분 방정식으로 구성된 레이놀즈응력의 수송방정식을 해석하였다 . 레이놀즈응력의 수송방정식 식 (10) 과 식 (11) 에 포함되어 있는 난류의 확산항 ( D

_ij

), 소산률항 ( ε

ij

), 그리고 압 력 - 변형률 상관항 ( Π

ij

) 은 모두 모델링이 필요한 항이다 . 본 연구에서는 강형식과 최성욱 (2002) 의 연구결과에 따라 난류 의 확산항을 위해 Mellor 와 Herring(1973) 모형 , 소산률 항 에는 Hanjalic 과 Launder(1972) 모형 , 압력 - 변형률 상관항에

는 Speziale 등 (1991) 의 모형을 사용하였다 . 각 항에 대한

모형을 포함하는 레이놀즈응력의 수송방정식은 다음과 같다 .

(13)

여기서 R

ij

는 레이놀즈응력 ( 혹은 ), 식 (13) 에서 우변의 첫 번째 항은 전단에 의한 난류 생성항 ( P

ij

), 두 번 째 항은 와류에 의한 난류 생성항 ( Pw

_ij

), 세 번째 항은 소산 률 항 ( ε

ij

), 네 번째 항은 난류 확산항 ( D

ij

), 그리고 나머지 항은 압력 - 변형률 상관항 ( Π

ij

) 이다 . 식 (13) 에서 C

s

(= 0.22/3)

는 모형상수 , α

0

- α

5

는 모형상수로서 α = -3.4, α

1

= 4.2, α

2

= 0.8-1.3( b

mn

b

nm

)

^1/2

, α

3

= -1.8, α

4

= 1.25, α

5

= 0.4 의 값이 사 용되었다 . 또한 b

ij

는 난류의 비등방 텐서 (anisotropy tensor),

S

ij

는 변형률텐서 (rate of the strain tensor), W

ij

는 회전텐서

(rotation tensor) ^이다 .

현재까지 개발된 대부분의 레이놀즈응력 모형은 주로 자유

수면이 없는 내부흐름 (internal flow) 에 대해 개발되었다 . 따

라서 개수로 흐름을 수치모의 하기 위해서는 자유수면에서 발생되는 난류의 비등방성 효과를 고려해야 한다 . ^{본 연구에}

서는 다음과 같이 Gibson 과 Launder(1978) 및 Shir(1973)

가 제시한 모형을 결합하여 압력 - 변형률 상관항 모형에 포함 시켜 수치모의 하였다 .

식 (13) ^{에서 난류운동에너지의 소산률은 다음의 수송방정식}

을 해석하여 산정한다 .

(14)

여기서 C

ε

(=0.18), C

ε1

(=1.45), C

ε2

(=1.90) 는 경험상수이고 ,

P

k

는 난류운동에너지 생성항이다 .

식 (13) 에서 레이놀즈응력 R

ij

가 총레이놀즈응력 인 경우 , 총 레이놀즈응력의 수송방정식 식 (10) 에서 항력항은 다 음과 같다 .

∂ u

_i^′

u

_j^′

--- u ∂t 〈 〉

_l

∂ u

_i^′

u

_j^′

∂x

_l

---

+ ∂

∂x

_l

--- ν ^{∂ u} _∂x

^i′

^u

^j′

---

l

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

∂x ∂

_i

--- u

_i^′

u

_j^′

u

_l^′

– 1

ρ --- ∂

∂x

_j

--- u

_i^′

p

^′

∂

∂x

_i

--- u

_j^′

p

^′

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

– D

=

_ij

( )

---

u

_i^′

u

_l^′

∂ u 〈 〉

_j

∂x

_l

--- u

_j^′

u

_l^′

∂ u 〈 〉

_i

∂x

_l

---

⎝ + ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

–

P

=

_ij

( )

---

u

_i^′

u

_l^′″

∂u

_j^″

∂x

_l

--- u

_j^′

u

_l^′

∂u

_i^″

∂x

_l

--- + –

Pw

=

_ij

( )

---

1 ρ ^{--- p}

^′

∂u

_j^′

∂x

_i

--- p

^′

∂u

_i^′

∂x

_j

--- + +

Π

_ij

=

( )

--- 2ν ∂u

_i^′

∂x

_l

--- ∂u

_j^′

∂x

_l

--- –

ε

_ij

=

( )

---

u

_i^′

u

_j^′

∂u

_j^″

∂x

_l

--- u

_j^′

u

_l^′″

∂u

_i^″

∂x

_l

---

+ ≈ 0

u

_i^″

u

_j^″

u

_i^′

u

_j^′

u

_i^″

u

_i^″

( u

_i^′

u

_i^′

+ u

_i^″

u

_i^″

)

u

_i^′

u

_i^′

u

_k

〈 〉 ∂R

_ij

∂x

_k

--- R

_ik

∂ u 〈 〉

_j

∂x

_k

--- R

_jk

∂ u 〈 〉

_i

∂x

_k

---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞ C

_fk

( 〈 〉f u

_{j xi}

+ 〈 〉f u

_{i xj}

) ε k --R

_ij

– +

–

=

+C

_s

∂

∂x

_k

--- k ^--- ε

²

∂R

_ij

∂x

_k

--- ∂R

_ik

∂x

_j

--- ∂R

_jk

∂x

_i

---

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞

+ α

_o

εb

_ij

+ α

₁

ε ( b

_ik

b

_jk

– 1 3 b ⁄ ⋅

_mn

b

_nm

δ

_ij

) + α

₂

kS

_ij

+ α

₃

P

_k

b

_ij

α

₄

k b (

_ik

S

_jk

+ b

_jk

S

_ik

– 2 3 b ⁄ ⋅

_kl

S

_kl

δ

_ij

) α

₅

k b (

_ik

W

_jk

+ b

_jk

W

_ik

)

+ +

u

_i^′

u

_j^′

u

_i^″

u

_j^″

u

_j

∂ ε

∂x

_j

--- ∂

∂x

_k

--- C

_ε

k

ε --R

_kl

∂ ε

∂x

_l

---

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ε

k --C

_ε1

P

_k

ε

k --C

_fε

f

_xl

〈 〉 C u

_{l ε2}

ε

²

--- k –

+ +

=

u

_i^″

u

_j^″

(15)

따라서 식 (13) 에서 항력가중계수는 C

fk

=1.0 이다 . 또한 항력 가중계수 C

fε

은 ε 의 수송방정식으로부터 ·

이다 (Burke, 1982). 그러나 R

ij

= 인 경우에는

와류에 의한 생성항이 무시될 수 있을 만큼 작기 때문에 항 력가중계수는 영에 가까운 매우 작은 값을 갖는다 .

4. 항력가중계수의 영향

개발된 레이놀즈응력모형을 이용하여 침수 ( 沈水 : submerged)

조건의 식생을 갖는 개수로 흐름을 수치모의 하였다 . 식생된 개수로 흐름에서 평균유속 및 난류구조를 수치모의 하고 , 계 산 결과를 Shimizu 와 Tsujimoto(1994), Lopez 와 Garcia

(1997) 의 실험결과와 비교하였다 . Shimizu 와 Tsujimoto

(1994) 는 수심 H =0.0631 m, 바닥 경사 S

o

=0.00164, 수심과

폭의 비 (aspect ratio: AR) AR=6.3 을 갖는 개수로에서 열

선 유속계 (hot film) 를 이용하여 실험하였으며 , 실험에 사용

된 식생밀도 a는 10 m

⁻¹

, 식생높이 h

p

는 0.041 m 로서 식생 의 침수비 ( h

p

/ H ) 는 0.65 이다 . 또한 Lopez 와 Garcia(1997) 는 수로길이 19.5 m, 수로 폭 B =0.91 m, 수심 H =0.335 m

(AR=2.7), 바닥 경사 S

o

=0.0036 을 갖는 개수로 흐름에 대해

음파도플러유속계 (ADV) 를 이용하여 실험하였으며 , 실험에 사용된 식생조건으로는 식생밀도 a =1.09 m

⁻¹

, 식생높이 h

p

= 0.1175 m ^{로서 식생의 침수비} ( ^h

p

/ ^H ) ^는 0.35 ^이다 .

운동량방정식에 포함된 레이놀즈응력이 시간상의 변동속도 에 의한 레이놀즈응력 과 공간상의 변동성분에 의한 레이놀즈응력 를 포함하는 총 레이놀즈응력 일 경우 평균유속과 난류구조에 미치는 영향을 분석하였다 . 이 를 위해 레이놀즈응력의 수송방정식 식 (13) 에서 레이놀즈응 력이 인 경우에는 C

fk

= C

fε

=0 ^{을 사용하였으며} , 총 레이

놀즈응력 인 경우에는 C

fk

=1.0 , C

fε

=1.33 ^{을 적용하였}

다 . ^{여기서 레이놀즈응력 에 대한 항력가중계수의 값}

은 정확히 영이 아니라 영에 가까운 작은 값을 갖는다 . 그

러나 시간상의 변동성분에 의한 레이놀즈응력에 대한 항력 가중계수의 값이 알려진 바 없으며 , 이를 구하기 위해서는 매우 많은 측정 데이터가 필요하다 . 따라서 이와 같은 이유 로 인해 본 연구에서는 레이놀즈응력이 인 경우에 항 력가중계수 C

fk

= C

fε

=0 ^{을 사용하였다} .

4.1 평균유속

그림 2 는 C

fk

= C

fε

=0 ^과 , C

fk

=1.0 , C

fε

=1.33 ^{인 경우 계산된}

평균유속 분포도이다 . 그림 2(a) 는 계산된 평균유속 분포를

Lopez 와 Garcia(1997) 의 실험결과와 비교한 것이다 . 그림

2(a) 를 살펴보면 식생높이 보다 낮은 구간에서는 두 모형에 의한 결과가 거의 동일한 결과를 보이고 있는 것을 볼 수 있다 . 또한 식생높이 보다 높은 구간에서는 주흐름방향 최대

유속이 자유수면 아래에서 발생되는 현상 (velocity dip) 이 발

생되는 것을 볼 수 있으며 , C

fk

=1.0 ^{, C}

fε

=1.33 ^{을 사용하였을}

경우의 평균유속이 C

fk

= C

fε

=0 ^{일 때 보다 좀더 작게 산정되}

었다 . 그러나 항력가중계수에 의한 평균유속 차이는 매우 작 은 것으로 나타났다 . 또한 Shimizu 와 Tsujimoto(1994) 의 실

험결과와 비교한 그림 2(b) 를 살펴보면 , 그림 2(a) 와 유사하

게 식생높이 아래에서는 항력가중계수에 의한 영향이 거의 없으나 , 식생높이 보다 높은 구간에서는 C

fk

= C

fε

=0 ^{일 경우}

실험 결과와 좀더 잘 일치하고 , C

fk

=1.0 , C

fε

=1.33 ^{을 사용하}

였을 때는 평균유속을 과소 산정하는 것을 볼 수 있다 . 그

러나 자유수면 근처를 제외한 영역인 z/H <0.8 에서는 항력가

중계수에 의한 영향은 매우 작은 것으로 나타났다 . 그림 3

은 그림 2 ^{의 평균유속 분포를 로그 스케일로 표시한 그림이}

다 . 그림을 살펴보면 식생높이 보다 높은 구간에서는 일반적 인 대수식 분포의 형태를 보이며 , 대수식 분포가 시작되는 높이는 그림 3(a) 의 경우 식생높이 ( z/H =0.35) 보다 높은 z/

H =0.4 ^{부터인 것으로 나타났다} .

4.2 레이놀즈응력

그림 4 는 레이놀즈응력 분포도이다 . 식생된 개수로 흐름에 서의 레이놀즈응력은 식생높이에서 최대값을 갖는 것을 볼 수 있다 . 그림 4 에서 계산된 레이놀즈응력 과 총 레 Pw

_ij

1

ρ --- u ⎝ ⎛ 〈 〉 ∂p″

_j

--- ∂x

_i

+ 〈 〉 ∂p″ u

_i

--- ∂x

_j

⎠ ⎞ 〈 〉f u

_{j xi}

+ 〈 〉f u

_{i xj}

= =

C

_fε

= C

_ε2

⁄ C

_ε1

C

_fk

≈ 1.33 u

_i^′

u

_j^′

u

_i^′

u

_j^′

u

_i^″

u

_j^″

u

_i^″

u

_j^″

u

_i^′

u

_j^′

u

_i^″

u

_j^″

u

_i^′

u

_j^′

u

_i^′

u

_j^′

u

^′

w

^′

그림 2. 평균유속 분포

이놀즈응력 는 각각 C

fk

= C

fε

=0 ^와 C

fk

=1.0 , C

fε

=1.33

를 사용한 것이다 . ^그림 4 ^{를 살펴보면 식생높이 보다 높은}

구간에서는 레이놀즈응력 과 총 레이놀즈응력 이 실험 결과와 서로 잘 일치하는 것을 볼 수 있다 .

또한 식생 높이 보다 낮은 구간에서는 총 레이놀즈응력 의 값이 레이놀즈응력 보다 큰 것으로 나타났 으나 , 그 차이는 크지 않은 것을 볼 수 있다 . 계산된 두 레 이놀즈응력 과 의 크기를 비교해 보면 ,

이 의 약 92%-94.7% 인 것으로 나타났다 . 이

는 dispersive flux 이 총 레이놀즈응력의 약 5.3%-

8.0% 정도임을 의미한다 . 이와 같은 결과는 기존의 연구

(Mulhearn, 1978; Raupach 등 , 1980 & 1985; Lopez 와

Garcia, 1997) 에서 의 값이 총 레이놀즈응력에 비해

매우 작을 것 이라고 가정한 사실을 뒷받침한다 . 또한 그림

4 는 또 다른 중요한 사실을 포함하고 있다 . 즉 , 레이놀즈응 력 성분 R

ij

에서 인 레이놀즈응력은 식생에 의해 발생되 는 와류에 의한 생성항에 의한 영향이 매우 작다는 것을 의 미한다 .

4.3 난류강도

그림 5 ^{는 난류강도 분포도이다} . ^그림 5 ^{에서 레이놀즈응력}

모형에 의해 계산된 시간상의 변동성분에 의한 난류강도 와 총 난류강도 를 살펴보면 난류강도 이 실험 결과와 매우 잘 일치하는 것을 볼 수 있다 .

반면에 총 난류강도 는 실험결과 보다 매우 큰 값

을 갖는 것으로 나타났다 . 따라서 과거 Tsujimoto 등 (1991)

과 Shimizu 와 Tsujimoto(1994) 의 연구에서 k - ε 모형을 이용 하여 식생된 개수로 흐름을 수치모의 할 경우 매우 작은 값 의 항력가중계수를 사용한 이유를 분명히 알 수 있다 . 이는 앞에서 언급한 바와 같이 난류운동에너지 k를 어떻게 정의

하느냐에 따른다 . 즉 , C

fk

=0.07 과 같이 항력가중계수의 값이

매우 작을 경우에는 식 (1) 과 같은 난류운동에너지의 수송방 정식에서 항력항의 영향을 거의 무시하는 것과 같다 . 이는 난류운동에너지에서 dispersive flux 를 제외하는 것 과 같으므로 이 된다 . 또한 기존의 실내 실험 에서 측정한 레이놀즈응력은 이므로 항력가중계수의 값이 작을 경우 실험 결과와 잘 일치하게 된다 .

u

^″

w

^″

u

^′

w

^′

u

^″

w

^″

u

^″

w

^″

u

^′

w

^′

u

^″

w

^″

u

^′

w

^′

u

^′

w

^′

u

^″

w

^″

u

^″

w

^″

u

^″

w

^″

i j ≠

u

^{′2 0.5}

u

^{″2 0.5}

u

^{′2 0.5}

u

^{″2 0.5}

u

_i^″

u

_j^″

k 1 2 ≈ ⁄ ⋅ u

_i^′

u

_j^′

u

_i^′

u

_j^′

그림 3. 평균유속 분포 (semi-log scale)

그림 4. 레이놀즈응력 분포

그림 5 에서 계산된 총 난류강도 과 난류강도

의 수심 적분된 값을 비교하면 , Lopez 와 Garcia

(1997) 와 Shimizu 와 Tsujimoto(1994) 의 실험 조건에 대해 각각 난류강도 가 총 난류강도의 약 77% 와 55% 인 것으로 나타났다 . 다시 말해서 , 실내 실험을 통해 측정하지

못하는 dispersive flux ^{에 의한 난류강도 의 크기는}

총 난류강도 의 약 23% 및 45% 정도인 것으로

나타났다 . 또한 Shimizu 와 Tsujimoto(1994) 의 실험 조건에

서 계산된 dispersive flux 에 의한 난류강도 가 총

난류강도에 대해 차지하는 비율이 더 큰 이유는 식생밀도가 더 크기 때문인 것으로 판단된다 . 즉 , 식생밀도가 더 큰 경 우 식생에 의한 항력의 크기가 더 크고 , 공간상의 변동성분 이 더 크게 발생하기 때문이다 .

4.4 渦의 크기 비교

그림 6 은 Kolmogorov 스케일과 Taylor 스케일에 의한 渦의 크기를 보여준다 . 그림에서 계산 결과와의 비교를 위해

Lopez 와 Garcia(1997) 의 실험결과를 이용하였다 . Kolmogorov

와 Taylor 스케일에 의한 渦는 각각 Kolomogorov 와 Taylor 가 제시한 가장 작은 渦의 크기를 나타내며 다음의 식으로부터 구할 수 있다 .

: Kolmogorov scale (16a)

: Taylor scale (16b)

그림 6 을 살펴보면 C

fk

= C

fε

=0 ^{인 경우 계산된 渦의 길이}

스케일이 C

fk

=1.0 , C

fε

=1.33 ^{인 경우 보다 실험 결과와 더}

잘 일치하는 것을 볼 수 있다 . 또한 C

fk

=1.0 ^{, C}

fε

=1.33 ^인

경우의 길이 스케일은 전반적으로 더 작은 것으로 나타났다 .

식 (16a) 에서 유체 동점성계수 ν 가 동일한 경우에 대해 수치

모의 한 것이기 때문에 길이 스케일이 작다는 것은 난류운 동에너지의 소산률 ε 이 더 크다는 것을 의미한다 . ^난류운동

에너지의 소산률은 난류의 에너지 폭포와 밀접한 관련이 있

다 . 에너지 폭포는 큰 스케일의 渦에서 점점 작은 스케일의 渦로 에너지가 전달되는 현상을 의미하며 , 난류운동에너지의 소산률은 큰 스케일에서 작은 스케일의 渦로 에너지가 전달 되는 양을 결정한다 . ^{이와 같은 난류운동에너지의 소산률 크}

기에 대한 비교는 그림 7 에서 언급하였다 .

4.5 레이놀즈응력 수송방정식의 수지분석

그림 7 은 레이놀즈응력 및 에 대한 레이놀 즈응력의 수송방정식 식 (13) 에서 전단에 의한 난류생성항 P

11

, 소산률 항 ε

11

, 압력 - 변형률 상관항 Π

11

을 비교한 그림 이다 . 수치모의 조건은 Lopez 와 Garcia(1997) 의 실험 조건 을 이용하였다 . 그림 7(a) 를 살펴보면 전단에 의한 난류 생 성항 P

11

은 식생 높이 근처에서 최대값을 갖는 것을 볼 수 있다 . 이는 식생높이 근처에서 유속 경사가 크게 발생하기 때문이다 . 또한 두 수송방정식에서 전단에 의한 생성항은 거 의 동일한 것을 볼 수 있으며 , 이는 전단에 의한 난류 생성 에 대한 항력가중계수의 영향은 거의 없는 것을 의미한다 .

또한 총 레이놀즈응력 인 경우에는 식생높이 보다 낮은 영역에서 와류에 의한 항력항 Pw

11

이 발생하는 것을

볼 수 있는데 , 이에 대한 설명은 그림 7(b) 에서 언급하였다 .

u

^{″2 0.5}

u

^{′2 0.5}

u

^{′2 0.5}

u

_i^{″2 0.5}

u

^{″2 0.5}

u

_i^{″2 0.5}

η ν

³

--- ε

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

^{1 4⁄}

=

λ 15 ν ^u

^rms

2

--- ε

=

u″u″

〈 〉 u

^′

u

^′

u″u″

〈 〉

그림 5. 난류강도 분포

그림 6. Taylor 스케일과 Kolmogrov 스케일에 의한 渦의 크기

비교

그림 7(b)는 소산률 항을 비교한 그림이다. 그림 7(b)를 살 펴보면 항력가중계수의 값이 C

fk

=1.0, C

fε

=1.33일 때, 즉 레 이놀즈응력이 총레이놀즈응력 인 경우, 소산률 항의 절대값이 더 큰 것으로 나타났다. 이는 그림 7(a)에서와 같 이 C

fk

=C

fε

=0인 경우에는 전단에 의해서만 난류의 생성이 가능한 반면에, C

fk

=1.0, C

fε

=1.33인 경우에는 전단 및 와류 에 의해 난류의 생성이 발생한다. 다시 말해서 전단에 의한 난류 생성은 항력가중계수와 상관없이 거의 동일하기 때문 에 와류를 포함한 전체적인 난류의 생성은 C

fk

=1.0, C

fε

=1.33인 경우가 더 크게 된다. 따라서 식생이 없는 일반 개수로 흐름에서와 같이 난류의 생성과 소멸이 균형을 이룬 다고 가정할 경우 난류의 생성이 클 경우 소산률 역시 그 만큼 더 크게 발생하게 되므로, C

fk

=1.0, C

fε

=1.33인 경우의 소산률 값이 더 크게 나타난다. 특히, 식생높이 보다 낮은 영역에서 소산률의 차이가 더 크게 발생하는 것을 볼 수 있 다. 그림 7(c)는 압력-변형률 상관항에 대한 비교 결과이다.

일반적으로 압력-변형률 상관항은 전체 난류운동에너지의 양 을 일정하게 유지하면서 각각의 레이놀즈응력의 에너지를 재 분배하는 역할을 한다. 즉, 압력-변형률 상관항은 난류의 비 등방성을 결정 하는 중요한 항이다. 그림 7(c)를 살펴보면 C

fk

=1.0, C

fε

=1.33인 경우에 압력-변형률 상관항의 절대값이 더 큰 것을 볼 수 있다. 이는 총 레이놀즈응력 인 경우에 발생되는 전체적인 난류운동에너지가 더 크기 때문 에 세 방향으로 재분배되는 에너지의 양이 그 만큼 더 크기 때문이다. 따라서 의 난류강도가 에 비해 더 크게 발생하게 된다.

그림 8은 레이놀즈응력 과 수송방정식에서 의 난류 생성항을 비교한 그림이다. 그림을 살펴보면 전단에 의한 난류의 생성항 P

13

은 항력가중계수의 영향과 상관없이 거의 영에 가까운 값을 갖는 것을 볼 수 있으며, 수직방향 으로 거의 균일한 것으로 나타났다. 또한 와류에 의한 난류 생성항 Pw

13

역시 매우 작은 값을 갖는 것으로 나타났다. 따 라서 와류에 의한 난류 생성항이 매우 작기 때문에 그림 4 와 같이 항력가중계수가 인 레이놀즈응력 분포에 큰 영 향을 미치지 못하게 된다. 이는 앞에서 언급한 바와 같이 dispersive flux 의 크기가 총레이놀즈응력에 비해

매우 작다는 것을 의미한다. 또한 일차원 흐름의 경우 운동 량 방정식 식(9)에서 나타나는 레이놀즈응력은 R

13

뿐이며, 이 때 발생되는 dispersive flux 의 크기가 작기 때문에 그림 2와 같이 항력가중계수에 따른 평균유속의 차이가 작 게 발생하게 된다.

5. 결 론

본 연구에서는 식생된 개수로 흐름을 수치모의 할 때 영 에 가까운 항력가중계수의 값을 사용해야 실험결과와 잘 일 치하는지에 대한 이유를 규명하였다. 이를 위해 시간 및 공 간평균 기법을 이용하여 식생된 개수로 흐름에서 레이놀즈 응력의 수송방정식을 유도하였다. 그 결과 총 레이놀즈응력 은 시간의 변동 성분에 의한 레이놀즈응력과 공간상의 변동 성분에 의한 레이놀즈응력의 합이며, 총 레이놀즈응력을 수 치모의 하기 위한 항력가중계수의 값은 C

fk

=1.0인 것으로 나 u″u″

〈 〉

u

^″

u

^″

u

^{″2 0.5}

u

^{′2 0.5}

u

^″

w

^″

u

^′

w

^′

i j ≠

u

_i^″

u

_j^″

u

^″

w

^″

그림 7. 레이놀즈응력( u

^″

u

^″

, u

^′

u

^′

) 수송방정식의 각 항 비교

그림 8. 레이놀즈응력( , ) 수송방정식에서의 생성항

비교 u

^″

w

^″

u

^′

w

^′

타났다. 또한 시간의 변동성분에 의한 레이놀즈응력의 수송 방정식에서는 식생에 의한 항력항이 무시될 수 있기 때문에 이를 수치모의 하기 위한 항력가중계수의 값은 거의 영에 가까운 작은 값을 갖는 것으로 나타났다.

총 레이놀즈응력과 시간의 변동성분에 의한 레이놀즈응력 의 수송방정식을 모델링하여 식생된 개수로 흐름을 수치모 의 하고 기존의 실험 결과와 비교하였다. 그 결과 평균유속 과 레이놀즈응력은 항력가중계수의 영향이 크지 않은 것으 로 나타났으나, 난류강도는 C

fk

=1.0, C

fε

=1.33의 값을 이용하 였을 경우 과대 산정하고 C

fk

=C

fε

=0을 이용하였을 경우 실 험결과와 매우 잘 일치하는 것으로 나타났다. 이는 과거 수 치모의 연구와 동일한 결과로서 실험에서 측정 가능한 레이 놀즈응력은 이지만, C

fk

=1.0, C

fε

=1.33을 사용하여 계 산된 레이놀즈응력은 총 레이놀즈응력 이기 때문이다.

따라서 식생된 개수로 흐름을 수치모의 할 경우 난류운동에 너지 및 레이놀즈응력의 정의에 따라 항력가중계수의 값이 변하게 된다. 또한 R

11

의 레이놀즈응력 수송방정식에서 각 항의 수지분석을 수행한 결과 C

fk

=1.0, C

fε

=1.33인 경우에는 와류에 의한 난류 생성항의 영향으로 dispersive flux 의 값이 커지게 되고, 이로 인해 발생되는 난류운동에 너지가 더 커지는 것으로 나타났다. 따라서 난류운동에너지 의 재분배되는 양이 보다 이 더 많기 때문에 C

fk

=1.0, C

fε

=1.33인 경우 계산된 난류강도 값이 기존의 실 험 결과 보다 더 큰 값을 갖게 된다. 그러나 레이놀즈응력 R

13

인 경우에는 총레이놀즈응력에 비해 dispersive flux의 크 기가 상대적으로 매우 작은 것으로 나타났으며, 이로 인해 평균유속 및 레이놀즈응력 분포에 대한 항력가중계수의 영 향이 매우 작은 것을 확인 하였다.

감사의 글

본 연구는 건설교통부가 출연하고 한국건설교통기술평가원 에서 위탁시행 한 2003년도 건설핵심기술연구개발사업(03산 학연C01-01)에 의한 도시홍수재해관리기술연구사업단의 연 구성과입니다.

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( 접수일 : 2006.5.12/ 심사일 : 2006.8.7/ 심사완료일 : 2006.8.7) u

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