Design and Spline Cutting Pattern of Membrane Structures

전체 글

(1)기 술 기 사. 막 구조물의 설계와 스플라인 재단도 Design and Spline Cutting Pattern of Membrane Structures. 손 수 덕* Shon, Su-Deok. 이 승 재** Lee, Seung-Jae. 1). 1. 서론 막 구조물 최초의 시작은 1950년대 Frei Otto에 의하여 현대건축에서 구조재로 적용될 수 있는 개 념과 디자인의 가능성이 개발되었다. 대표적인 예 로 독일 퀠른의 연방정원박람회 시설물이며, 1970 년 오사카 일본 오토모바일 산업관과 1974년 EXPO 미국관도 케이블 보강과 함께 이루어진 대표적인 사례이며 가설건축물에 시도되었다. 영구구조물로 서의 최초의 예는 1973년 미국의 La Verne 대학의. (a) Tennis stadium, Hamburg Rothenbaum, German. 학생관이며, 1970년 듀폰사가 개발한 PTFE코팅 유 리섬유를 사용하여 내구성을 갖춘 막재가 건축물에 원활히 사용되기 시작하였다. 이와 같이 막 구조는 재료의 개발과 시스템 체계화로 가설구조물에서 영 구구조물로의 개념 전환이 이루어졌다.. ** 정회원 ․ 한국기술교육대학교 건축공학부, 연구교수 School of Architectural Engineering, Korea University of Technology and Education ** 정회원 ․ 한국기술교육대학교 건축공학부, 교수 School of Architectural Engineering, Korea University of Technology and Education. (b) Fortress Kufstein, Austria <Fig. 1> Retractable membrane structures 한국공간구조학회지 _ 11.

(2) 손수덕․이승재. 연성의 막 구조는 유리섬유를 이용한 막재를 제. 것은 시공된 상태에서 역으로 응력이 전혀 없는 평. 외하고 매우 잘 구부러지는 특성과 함께 구조물로. 면의 상태를 유추하는 것으로 건설과정에서 나타나. 서의 강성이 초기장력을 이용하여 매우 효과적으로. 는 순서의 역 해석이 된다. 여기서 형태를 찾는 과. 외력에 저항할 수 있는 장점으로 개폐식 구조물에. 정을 형상해석 또는 형상탐색이라고 하며, 결정된. 도 적용되어왔다. 비교적 초창기 막 구조물의 시도. 형태에 대한 구조성능의 해석은 일반 구조물과 마. 에서도 나타나고 있으며, 유럽을 시작으로 현재에. 찬가지로 응력-변형관계를 분석하여 설계한다. 최. 는 매우 신속하게 개폐가 가능하며, 스포크-휠 기. 종 결정된 형태에 대해서 재단도 생성단계를 거쳐. 반의 케이블 구조물과 잘 조합하여 전 세계에서 건. 구조물의 설계를 완성한다.. 설되고 있다<Fig. 1>. 이러한 막 구조물은 다른 강성 구조물과는 달리. 2.1 형상해석. 설계과정에서 차이가 발생하는데 형상해석과 재단. 형태를 찾기 위해서는 막 구조의 비선형 해석을. 도가 그 대표적인 예이다. 여기서 형상해석은 최소. 수행할 수 있는 계산법을 이용한다. 여러 가지 수치. 곡면원리를 만족하는 형상을 설계단계에서 찾아야. 계산법을 이용할 수 있는데 흔히 언급되는 방법으. 만 하는데 현재는 다양한 시뮬레이션을 통해서 구. 로는 비선형 FEM, 하중밀도법, 동적이완법 등이 있. 할 수 있다. 재단도 생성과정은 막 구조물로서의 시. 으며, FEM의 경우에는 케이블과 막이 기하학적으. 공과 제작을 위해서 곡면 형상을 평면의 막 재료로. 로 비선형 구조를 가지기 때문에 비선형 이론으로. 최소의 오차를 가지도록 표현하는 것이다. 곡면을. 분석해야만 하며, 강성행렬은 다음과 같다.. 형성하는 메쉬와 적절히 분할된 스트립으로 구성된 재단도의 생성 과정을 통해서 막 구조물은 제작 가.           . (1). 능해 진다. 본 기사에서는 이러한 막 구조물의 설계 에 대해서 설계단계에서 필요한 요소에 대해서 다. 여기서 기하학적 비선형항 와 불평형력 을 단. 루기로 한다. 이를 위해서 2장에서는 막 구조의 설. 계마다 계산하여 수렴해석으로 형태를 얻는다. 특. 계요소를 설명하고, 3장에서는 재단도 생성과정에. 히 형상해석은 탄성계수가 거의 0으로 맞춰야하는. 필요한 측지선 탐색 및 스플라인 함수를 이용한 재. 데 이것은 응력으로 인한 재료의 변형을 고려하지. 단도 생성에 대해 설명하도록 한다.. 않고 평형상태가 초기장력에 의해서만 보장되어야 되기 때문이다. <Fig. 2>는 Kufstain 접힘 막 구조. 2. 막 구조 설계의 프로세스. 의 펼친 상태의 형상을 해석한 결과이며, 초기장력 은 막의 경우 2kN/m, 경계케이블의 경우는 30 kN. 막의 주요 구조적 특징은 하중이 면에 수직방향. 의 장력을 가정하였다.. 으로 주어지는 경우에 변형하고 굽힘에 대해서는 저항하지 않는다는 것이다. 해석의 경우도 형태가 주어진 경우에 변형이 일어날 해석을 수행하는 것 에 앞서서 내부의 장력에 상응하는 형태를 찾아서 외력에 대한 저항성능을 판단해야 한다는 특징을 가지고 있다. 막의 시공에서도 재단도라 불리는 도 면을 작성해야 하며, 이 도면은 형태가 응력을 갖기 이전의 편평화 가능한 상태를 예측하는 것이다. 이. 12 _ 제 17권. 제1호 통권 67호, 2017. 3. <Fig. 2> Shape analysis of retractable membrane: Fortress Kufstein.

(3) 막 구조물의 설계와 스플라인 재단도. 설계를 진행한다. 여기서 ‘-’는 정압을, ‘+’는 부압을 의미한다.. (a) Initial shape. (b) Equilibrium state. (c) Result of shape analysis. <Fig. 4> Pneumatic structures. <Fig. 3> Shape analysis of catenary. 초기장력 도입으로 인한 형상의 결정에서 해석은 결정 형상이 초기장력으로 평형을 이룬다는 가정에 서 수치적 반복해석이 수행된다. 그러나 해석을 수 행하기 위한 3차원상의 형상초기정보는 경계절점을 제외하고는 알 수 없다. 이러한 까닭에 기본 형상은 2차원상의 평면에 두거나 기지의 경계절점만 3차원 공간상에 두고 요소 응력간의 불평형력을 줄여 나 가는 방법으로 평형점을 찾아낸다. 이때 사용되는. (a) Load case A. 수치해석기법은 증분이나 뉴튼-랩슨 법이 이용되 며, 해석결과는 <Fig. 3>을 통해 알 수 있다.. 2.2 구조물의 응력-변형해석 막 구조의 성능을 평가하여 설계하기 위해서 외부 의 힘으로부터 구조물의 저항능력을 분석하여야 한 다. 일반적인 막 구조의 경우 풍하중이 지배적이나 공기 막의 경우 구조물 내압의 변화와 함께 고려되어 야 한다. <Fig. 4>는 200m(L)×100m(D)×50m(H) 크기의 장방형 공기 막 구조물로 내압에 의해서 형. (b) Load case B <Fig. 5> Load cases of pneumatic structures. 상이 결정된다. 설계를 위해서 하중이 가정되며, 막 의 면적과 풍하중 및 적설하중을 이용하여 대칭 또. 하중조합 A의 경우 X방향(→)으로 작용하는 풍하. 는 비대칭의 하중분포를 결정하고 해석을 수행할. 중으로 최대 막 응력은 Warp방향 20.12kgf/cm,. 수 있다. <Fig. 5>는 이러한 하중의 분포 중 하나로. Fill방향 10.95kgf/cm로 나타났으며, <Fig. 6>과. 그래프로 나타낸 것이고, 다양한 조합을 통해서 비. 같다. 또한 하중조합 B의 경우는 Y방향(↑)으로 작. 선형 해석을 수행하여 응력-변형 분포를 살펴보고. 용하는 풍하중의 예이며, 최대 응력은 Warp방향. 한국공간구조학회지 _ 13.

(4) 손수덕․이승재. 23.16kgf/cm, Fill방향 14.5kgf/cm의 값으로 계산 되었고, 분포도는 <Fig. 7>과 같다.. 각각의 최대 응력에 대한 안전율을 고려한 구조 물의 하중수용여부를 통해서 저항능력을 판단하고 제작이 가능한 상태로 초기장력과 이에 대한 재단 도 생성작업을 수행하여야 한다.. 2.3 삼각형 메쉬와 재단선 막 구조는 3차원 공간에서 곡면을 따라 형성되는 구조물이므로 막의 제작을 위해 곡면을 평면에서 재현하는 재단도 작성과정이 필요하다. 공학적 관 (a) Warp. 점에서 볼 때, 곡면은 전개 가능한 곡면과 전개 불 가능한 곡면으로 나뉜다. 초기응력의 도입으로 평 형상태에 이르는 막 구조물의 곡면은 일반적으로 전개가 불가능한 곡면이며, 곡면을 평면으로 재단 하는 데에는 신축을 동반하는 가공이 필요하다. 형 상해석을 통한 초기형상이 결정되면 재단도 작성을 하여야 하며, 재단은 막재의 폭이나 재료의 특성을 고려하여 일정한 스트립의 형태로 분할하여 2차원. (b) Fill <Fig. 6> Stress distribution of cases A. 평면에 전개하는 것이다. 평면에 전개한다는 것은 재료특성이나 힘의 평형과 같은 역학적 특성이 고 려되지 않고 단순히 요소들의 위상에 관한 변환만 을 의미한다. 공간상에서 스트립을 결정하여 평면 에 전개하는 방법은 크게 두 가지로 연구되어 왔다.. (a) Warp (a) Concept. (b) Methods (b) Fill <Fig. 7> Stress distribution of cases B. 14 _ 제 17권. 제1호 통권 67호, 2017. 3. <Fig. 8> Concept and methods of cutting pattern generation.

(5) 막 구조물의 설계와 스플라인 재단도. 일반적으로 재단도 작성에 관한 대부분의 기법들은. 여 삼각형 요소를 Re-mesh하는 방법이 필요한데. Unfolding 방법이나 Flattening 방법이 주를 이루. 이때에는 매우 복잡한 과정을 수반하게 된다.. 며, 이를 분류하면 <Fig. 8>과 같다.. 3. 측지선과 스플라인 재단도 평면의 재단도는 형상해석상의 기하학적 정보의 전달과정에서 이미 오차를 가지게 된다. 해석 요소 수의 증가로는 한계가 있으며, 효율적인 해결법이 아니다. 실질적인 설계 측면을 고려한다면 적은 데 이터로부터 고급정보를 얻을 수 있게 하는 것이 궁 극적인 해결방법이다. 특히 평면으로 재구성 하는 과정에서 형상해석의 기하학적 또는 역학적 정보전 (a) Strip. 달의 보정은 생성될 재단도의 질적 향상을 기대할 수 있다. 재단도는 재료절감을 예상할 수 있는 측지 선을 경계로 만들어지며, 측지선을 구하는 과정에 서 유추해 낸 곡면상의 절점들은 스플라인 함수를 이용하면 보다 효과적인 재단도를 얻을 수 있다.. 3.1 수정-서브플랜을 이용한 측지선 측지선은 그 특성상 곡면 위에서는 곡선이지만 접선 면(Tangential plane)에서는 직선이 된다. (b) Re-mesh and geodesic line. <Fig. 10>과 같이 삼각형 요소들의 곡면에서 요소. <Fig. 9> Re-mesh strip patterns. 를 통과하는 측지선은 요소의 경계선과의 여각이 같다. 이 조건을 이용한 반복계산과정에 대한 수렴. 재단도는 3차원 곡면의 기하학적 데이터를 바탕. 성의 문제점이 나타났고, 2차원으로 펼쳐진 삼각형. 으로 가공하기에 알맞은 크기로 나눈 뒤, 평면 스트. 요소를 이용한 측지선 재단도의 새로운 개념이 제. 립으로 작성된다. 따라서 최소의 오차를 가진 스트. 안되었다. 즉, 측지선이 지나는 요소의 경계면에서. 립 평면을 구성하여 경계곡률의 오차를 최소화 하. 의 여각이 같고, 역도 성립한다는 것이다.. 는 것은 매우 중요하며, 곡면의 삼각형 요소를 이용 하여 평면 스트립을 형성하는 방법은 <Fig. 9>와 같 다. 우선, 형상해석에서 사용된 삼각형 요소만을 이 용하여 평면 스트립을 구성하는 방법이 있으며, 평 면화하기에 많은 제약이 따른다. 이러한 경우 평면 화가 불가능한 요소의 집합이 발생하는데 이를 위 해서 평면화가 가능한 삼각형 요소로 Re-mesh해 야 한다. 이 때 사용되는 경계면을 측지선으로 사용. <Fig. 10> Condition of geodesic line. 할 경우 매우 경제적이다. 때로는 경계면을 보정하 한국공간구조학회지 _ 15.

(6) 손수덕․이승재. 를 처음과 끝으로 하여, 평면에 투영된 나머지 요소 들의 집합을 경계조건을 이용하여 연결하면 초기의 서브플랜 조합을 할 수 있다. 서브플랜에서의 측지선에 대한 판단여부는 식 (2) 의 관계를 계산함으로서 알 수 있다. <Fig. 11>과 같이 경계절점으로만 구성된 두 점의 측지선은 두 <Fig. 11> Geodesic line in sub-plane. 점을 기준으로 경계절점이 양분되어 진다.     ≧       ≦    . (2). 따라서 식 (2)에서 나타난 바와 같이 Y축의 좌표 (a). 값의 부호를 검토함으로 측지선 포함여부를 쉽게 판단할 수 있다. 측지선을 포함한 서브플랜은 쉽게 구할 수도 있지만 그렇지 않은 경우도 있다. 그러나 <Fig. 12>와 같이 요소집합을 재구성하여 얻을 수. (b). 있다.. 3.2 스플라인 함수의 경계점 (c) <Fig. 12> Re-combination in sub-plane. 스플라인 함수의 정의는 함수  가 구간  에 서 증가 실수열을 노트(Knot)로 하는 각 하부구간      에서 m차 다항식이고,   의 1, 2, ...,. 연속된 두 개의 삼각형 요소는 하나의 요소를 기. m-1계 미분은 그 구간에서 연속임을 만족할 때, 함. 준으로 다른 요소를 2차원상의 좌표로 변환할 수 있. 수   는 스플라인 함수라 한다. 삼차 스플라인 보. 고 평면의 삼각형 집합을 구할 수 있다. 평면으로. 간의 경우 N개의 미지수를 갖는 N-2개의 선형 방. 변환된 각 요소들의 절점은 3차원 공간의 연결 정보. 정식으로 구성되므로, 유일한 해를 가지기 위해 경. 를 기준으로 서브플랜 내에서 2차 변환을 통해 평면. 계조건이 필요하게 된다. 본고에서 적용된 함수는. 가능한 스트립으로 구성할 수 있고, 경우의 수는 요. B-스플라인 함수로 다음과 같다.. 소의 수에 비례해서 결정된다. 즉 육면체의 전개도 를 살펴보면 하나의 평면에 모두 펼칠 수 있는 집합. .  . .  . 은 여러 개다.. .   .  ≤  ≤     . (3). 둘 이상의 요소로 연결된 집합을 전체 평면의 한 부분집합인 서브플랜으로 구성할 수 있고, 서브플 랜 내부의 두 점을 잇는 직선이 평면 내부에 존재 한다면 그 직선은 곡면 상의 서브플랜 요소집합 내 에서 측지선의 조건을 모두 만족한다. 그러므로 곡. 이들의 순환계산과 더불어 만약 주어진 데이터.  가 노이즈(Noise)를 갖고 있다면, 스플라인 함수의 최소좌승근사를 고려할 필요가 있으며, 다 음과 같다.. 면 위를 지나는 측지선은 평면의 조건을 검토함으 로 판단할 수 있고, 두 점을 포함하는 삼각형 요소. 16 _ 제 17권. 제1호 통권 67호, 2017. 3.   .    . (4).

(7) 막 구조물의 설계와 스플라인 재단도. 가 다르게 나타난다. 결론적으로 좋은 재단도를 얻기 위한 분할 데이 터의 수는 형상해석의 요소 수에 의존하지만, 만약 형상해석에서 사용되는 요소수가 현저히 낮다면 편 평화하는 과정에서 분할 데이터 수를 높이더라도 (a) Cubic spline. 노이즈는 높아지게 되므로 윤활 스플라인 곡선을 사용하는 것이 보다 합리적이다.. 3.3 재단도 작성 결과 카테나리 곡면은 막 구조물의 해석 모델로 가장 많이 등장하는 모델이며, 본고에서도 평활 재단도. (b) B-spline. 를 작성하기 위해서 <Fig. 14>와 같은 크기의 모델 을 채택하였다. 재단 경계면에서 편평하게 재형성 된 요소데이터를 기반으로 분할된 데이터를 추출하 였다. 기하학적인 형상 정보는 형상해석 과정에서 생성된 절점정보를 직접 이용하였으며, 외부 원의 (c) Least-square. 반지름이 5m, 내부 원의 반지름이 1m, 구조물의 높. <Fig. 13> Result of spline edges. 이가 2.2924m의 카테나리 모델이다. <Fig. 15>의 결과에서 보는 바와 같이 하나의 스트립에 대한 재. 특히 삼차 스플라인의 경우는 노이즈 데이터에 대해 C2 삼차 스플라인 근사를 만들어내는 것을 고. 단도는 최대 가로 폭 259cm와 최대 길이 492.9cm 로 구성되는 재단도 결과를 얻었다.. 려할 수가 있으며, 이러한 스플라인 근사를 평활 스 플라인이라 부르며, 다음과 같이 정의된다. . .  ″   . (5).   .    .        . .  . . . . ≤ . (a) Shape. 이상의 함수들을 이용해서 주어진 모델에 대한 추출된 노이즈가 포함된 데이터와 이들을 이용한 보간된 곡선의 경우에 대해서 살펴보았다. 채택된 예제는 3면이 고정되어 있으며, 그 중 한 면인 아치 형 곡선이다. 여기서 모델의 크기는 길이방향이 5m, 폭 4m, 그리고 높이가 3m이다. 각각의 경우에 대한 스플라인 함수를 이용한 막 재단도의 경계에 대한 보간 결과를 <Fig. 13>에 나타내었다. 각각의. (b) Strip design. 경우 데이터의 개수와 노이즈 등의 영향으로 결과. <Fig. 14> Catenary model 한국공간구조학회지 _ 17.

(8) 손수덕․이승재. 1990, 37(4), 441-450. 3. Barnes, M.R., Form Finding and Analysis of Tension Structures by Dynamic Relaxation. International Journal of Space Structures, 1999, 14(2), 89-104. 4. Ishii,. K.,. consideration. Form. finding. analysis. in. of. cutting. pattern. of. membrane structures. International Journal of Space Structures, 1999, 14(2), 105-119. 5. Tabarrok, B. and Qin, Z., Form finding and <Fig. 15> Result of catenary model. cutting pattern generation for fabric tension structures.. Computer-Aided. Civil. and. Infrastructure Engineering, 1993, 8(5),. 4. 결론. 377-384.. 막 구조물은 일반적인 설계 메커니즘과는 다르게 형상해석이나 재단도 작성과정과 같은 특수한 과정 을 수행하여야만 구조물의 시공이 가능하다. 본고 에서는 이러한 형태 저항형 구조물에서 흔히 볼 수 있는 형상해석 과정과 구조물 비선형 그리고 측지 선을 이용한 스플라인 재단도에 대해서 다루었다. 개폐식 막을 포함한 다양한 특수한 막의 설계에서. 6. Yagi, T. and Ohmori, H., A new approach for cutting pattern analysis of membrane structures. Proceedings of the IASS-LAS98 Conference, Sydney, 1998, 2, 895-910. 7. Xu, X. and Guan, F., A new method of cutting pattern. International Journal of Space Structures, 2004, 19(2), 103-107. 8. IMSL, C Numerical Library, User’S Guide:. 보다 이상적인 방법은 이러한 해석과 시공을 위한. Ch.3. 설계과정이 융합된 프로세스의 제시가 필요하다고. Visual Numerics, 163-260.. Interpolation. and. Approximation.. 9. Shon, S. and Lee, S., A study on cutting. 생각된다.. pattern generation of membrane structures. 감사의 글. using spline curves. Korean Association for Spatial Structures, 2012, 12(1), 109-119.. 본 연구는 국토교통부 도시건축연구사업의 연구. 10. Shon, S. and Lee, S., A study on geodesic. 비지원(16AUDP-B100343-02)에 의해 수행되었습. line search and smooth cutting patterning of. 니다.. membrane structures by using the modified sub-plane. Architectural Institute of Korea,. References. 2012, 28(12), 11-20. 11. Shon, S., Lee, S. and Lee, K., Smooth cutting. 1. Wakefield, D.S., Engineering analysis of. pattern generation technique for membrane. tension structures: theory and practice.. structures by using geodesic line on the. Engineering Structures. 1999, 21, 680-690.. sub-plane and spline interpolation. Journal. 2. Moncrieff, E. and Topping, B.H.V., Computer. of Central South University, 2013, 20(11),. method for the generation of membrane cutting patterns. Computer & Structures,. 18 _ 제 17권. 제1호 통권 67호, 2017. 3. 3131-3141..

(9)