퍼지 이론 (Fuzzy Theory)
컴퓨터를 인간에 가깝게 하는 일의 어려움
컴퓨터의 수치 및 기호처리를 이용 → 모호하지 않은 작업처리
인간의 행동 → 애매한 정보를 많이 이용↓
퍼지 이론: 애매함을 처리하는 수리 이론 Zadeh의 퍼지 집합
“아름다운 여자의 집합”, “키 큰 사람의 집합”
패턴 인식, 의미 정보 전달, 추상화 등에 중요한 역할
소속 여부가 확실하지 않은 경우의 집합 - 수학적 집합과 배치
정밀 복잡한 제어 이론을 개괄적으로 해결하려는 의도 Crisp 논리 vs Fuzzy 논리
0,1의 명제값과 0과 1사이의 실수값을 명제값으로 가짐
“오늘 비가 올 확률이 70%이다” → 명제의 확신도 → 확률과 다른가?
“내일 미인을 만날 확률이 50%이다” → 내일의 만남은 확률, 미인인지 는 애매함 지지 집합(Support Set)
예) 퍼지집합 A={1.0/1, 0/2, 0.5/3, 0/4, 0.2/5}일 때, supp(A)?
해: supp(A) = { 1, 3, 5 }
정규 퍼지 집합 (Normal Fuzzy Set)
x∈X중에서 적어도 하나의 원소가 퍼지 집합 A의 소속 함수 값이 1이 될때, A는 정규 퍼지 집합이라 한다.or
볼록 퍼지 집합 (Convex Fuzzy Set)
상등(집합 X의 두개의 퍼지 집합 A, B)
예) 퍼지 집합 A={ 1/1, 0.5/2, 0/3}, B={y| y=-1/2x+3/2, for x=1,2,3}
해: 퍼지 집합 A=B
포함 (집합 X의 두개의 퍼지 집합 A, B)
예) 퍼지 집합 A={키 큰 사람}, B={키가 작지 않은 사람}일 때 포함관계?
해: 퍼지 집합 A B
퍼지 관계 (Fuzzy Relation)
정의
집합 X, Y 사이의 퍼지 관계 R의 소속 함수
예) X={1, 2}, Y={1, 3, 5}, R=“y는 x보다 훨씬 크다”
해: 두 수 x, y의 비를 보고 주관적으로 정하면,
퍼지 집합의 관계
집합 A, B는 전체 집합 X, Y상의 퍼지 집합
AB는 X Y상의 퍼지 관계 역 퍼지 관계
예) X={1, 2}, Y={1, 3, 5}, R=“y는 x보다 훨씬 크다” 의 역 퍼지 관계?
해: R-1=“x는 y보다 훨씬 작다”
퍼지 관계의 연산(X Y상의 퍼지 관계 P, R에 대해)
예) X={x1, x2}, Y={y1, y2}, X와 Y 사이의 퍼지 관계 P와 R이 다음과 같이 주어질 때, PR, PR, Rc ?
해:
퍼지 관계의 합성(Composition)
P: X Y상의 퍼지 관계R: Y Z상의 퍼지 관계 PR: X Z상의 퍼지 관계
→ 최대-최소 합성(max-min composition)
– 경우에 따라서는 최대-곱, 최소-최대, 최대-최대, 최소-최소, 최대-평균 등 을 적용할 수 있다.
퍼지 집합과 퍼지 관계 합성
X상의 퍼지 집합 A와 X Y상의 퍼지 관계 R의 합성 R을 f: X → Y로 해석하면, f(A)=A R : A의 f에 의한 상(image)
예) P(X Y)와 R(Y Z)이 주어질 때, PR(X Z)의 최대-최소 합성?
해:
퍼지 추론 (Fuzzy Inference)
퍼지 명제: 애매함이 포함된 언어적 명제(linguistic proposition)
x∈X, A가 X의 퍼지 집합일 때 퍼지 명제 P 퍼지 명제: P = “x is A”
예) P: “지하철이 있는 도시는 매우 큰 도시이다”X: “모든 도시”, A: “매우 큰 도시”
퍼지 조건 명제P → Q = if P then Q
= if “x is A” then “y is B”
= (x, y) is RP→Q
RP→Q: 조건 명제 P → Q에 대한 X Y 상의 퍼지 관계 P: 전건부(antecedent portion)
Q: 후건부(consequent portion)
퍼지 추론 (Fuzzy Reasoning)
퍼지 추론 : 몇 개의 퍼지 명제로부터 하나의 다른 근사적인 퍼지 명 제를 유도하는 근사 추론 (approximate reasoning)
긍정식(modus ponens)가 추론의 기반[ P와 PQ가 참이면, Q가 참 ] 임을 주장하는 규칙
“영희는 미인이다” 와 “미인은 박명한다”의 경우– 일반 추론: “영희는 박명한다”
– 퍼지 추론: “영희는 미인인 정도 만큼 박명한다”
일반화된 긍정식 (generalized modus ponens): 전제와 전건부가 완전 일치가 안됨 → 후건부도 결론과 완전 일치가 안됨
[전제] P+ : “저 아기는 매우 기분이 좋다”
[조건] P → Q : “만일 아기가 기분이 좋으면, 그 아기는 웃는다”
[결론] Q+ : “저 아기는 매우 웃는다”
퍼지 추론의 합성 규칙
일반화된 긍정식에 대한 구체적인 추론 방법관계 개념을 퍼지 명제에 대한 관계 개념으로 확장, 최대-최소 합성 연산에 의한 근사적 결론을 추론
일반 형식[전제] P1 : “x is A”
[조건] P2 : “(x, y) is R”
[결론] Q : “y is AR”
실제 추론에서 퍼지 조건 명제가 사용될 경우 [전제] P1 : “x is A+”[조건] P2 : if “x is A” then “y is B”
[결론] Q : “y is B+”
→ B+ = A+RA→B
퍼지 조건 명제와 퍼지 관계의 변환이 중요: 표준 해결 방법은 없음 직접법에 의한 퍼지 추론
[전제] P+ : “x is A+”[조건] PQ : if “x is A” then “y is B”
[결론] Q + : “y is A+RA→B”
RA→B ≡ RP→Q , 퍼지 조건 명제 P → Q ≡ 퍼지 집합을 이용한 관계 A → B
A → B에 대한 R
A→B의 결정 방법 (실용상 간편한 방법)
조건 명제와 동치인 논리식 사용(P → Q ≡ ~P∨Q ≡ (P∧Q)∨~P 이용) RA→B = R(A∧B)∨~A로 하여 소속함수는
Rescher의 다진 논리 A → B에 대한 R
A→B의 결정 방법(계속)
Lukasiewicz의 다진 논리 변형
Mamdani의 제안– 일반적으로 가장 많이 사용
→ 각 방법에 따른 결론은 퍼지 관계가 다르므로 반드시 같지는 않다.
[ 를 사용한 결론] : “y is A+ “
[ 를 사용한 결론] : “y is A+ “
[ 를 사용한 결론] : “y is A+ “
[ 를 사용한 결론] : “y is A+ “ 퍼지 조건 명제가 2개 이상인 일반적인 퍼지 추론
[전제] P+ : “x is A+”[조건] P1 → Q1 : if “x is A1” then “y is B1” P2 → Q2 : if “x is A2” then “y is B2”
…
Pn → Qn : if “x is An” then “y is Bn” [결론] Q+ : “y is B+”
Or 관계
And 관계조건들을Or 또는 And로 취급하는 방식에 따라 추론 방식이 달라진다.
