보간법

(1)

한빛미디어 Engineering Numerical Analysis Learning by MATLAB 1^/73

CHAPTER 06

보간법

Interpolation

방성완

중앙대학교 전자전기공학부

2012. 12. 31

(2)

분할차 보간법

6.2

다항식 보간법

6.1

뉴턴의 분할차 보간법

6.3

다항식 보간 오차

6.4

스플라인 보간법

6.5

(3)

학습목표

보간법을 사용하여 함수를 근사시키는 다항식을 찾을 수 있다.

분할차 보간법으로 다항식 내에 있는 계수들을 계산할 수 있다.

뉴턴 분할차 보간법으로 다항식의 계수를 찾을 수 있다.

다양한 보간법을 이용하여 구한 함수와 실제 함수 사이의 오차를 측정하여 정확도를 비교할 수 있다.

3차 스플라인 보간법을 익혀 상대적으로 작은 오차를 측정할 수

있다.

(4)

6.1.1 선형 보간법

6.1 다항식 보간법

보간법(interpolation)

: 그래프에 나와 있는 부분 외에 그 사이에 있는 값을 추정하는 방법

 주어진 함수 f(x)를 표준화시켜 더 간단한 형태인 다항식 p(x)로 근사

 반드시 원본 자료를 포함하는 범위 내에서만 가능

 자료점들을 이용하여 복잡한 함수를 쉽게 해석할 수 있는 다항식 함수로 대체

 원본 자료 범위 밖의 내용을 추정할 때는 외삽법(extrapolation) 사용

 의미없는 결과들을 생성할 위험이 높고 불확실성이 큼

 n차 다항식

 계수를 찾으면 다항식 그래프를 생성

 그래프는 함수 f(x)에 근사적으로 일치한 형태

(5)

6.1.1 선형 보간법

 같은 간격으로 형성된 입력값 세 개와 이에 상응하는 함수

 주어진 입력값을 함수에 대입

 식 (6.1)에서 자료점 세 개를 이용하여 구한 2차 다항식

 5장에 의해서 다음 관계가 형성

(6)

6.1.1 선형 보간법

 원본 자료점을 2차 다항식에 대입하여 계산된 세 개의 변수

 계산된 계수값

 정리된 2차 다항식

(7)

6.1.1 선형 보간법

[그림 6-1] 설명

 함수 cos(x)의 2차 다항식 p₂(x)를 구하여 그린 그래프

 두 함수의 형태는 거의 일치

 자료점 세 개는 함수 cos(x)와 다항식 p₂(x)의 곡선을 통과

 작은 동그라미로 표시

 자료점 수를 n개로 확장한 다항식은 p_n-1(x)로 표시

 계수를 n – 1개까지 구함

 자료점이 증가하면 더 매끄럽고, 주어진 함수에 근사되는 곡선을 얻음

(8)

6.1.1 선형 보간법

[그림 6-1] 실행 결과 : 보간법을 사용하여 근사시킨 코사인 함수

(9)

6.1.1 선형 보간법

[그림 6-2] 설명

 [그림 6-1]의 그래프를 실행하기 위해서 사용한 매트랩의 스크립트 파일

 x축의 간격을 로 설정

 간격이 커진다면 곡선은 똑같이 동그라미 자료점 3개를 통과

 상대적으로 덜 매끈한 그림 생성

(10)

6.1.1 선형 보간법

[그림 6-2] [그림 6-1]을 실행하기 위한 매트랩 스크립트 파일

(11)

6.1.1 선형 보간법

선형 보간법

 자료점 두 개를 연결하여 직선을 생성하는 가장 단순한 보간법

 자료점 (x₀, y₀)와 (x₁, y₁) 두 개를 모두 통과하는 선형 다항식

 a₀와 a₁은 각각 직선의 절편과 기울기를 표시

두 자료점 (x₀, y₀)와 (x₁, y₁)을 지나는 다양한 선형 방정식의 형태

(12)

6.1.1 선형 보간법

예제

6-1

선형 보간법

다음 표에 함수 f(x) = tan x의 x 값 네 개가 주어져 있다. 이때 선형 보간법을 이용하여 tan(1.15)의 값을 추정하고, 절대 오차를 구하라.

Tip !

 선형 보간법을 이용하려면 자료점이 두 개 필요

 추정하려는 x 값 1.15는 1.1과 1.2 사이에 위치

(13)

6.1.1 선형 보간법

MATLAB

6-1

[예제 6-1]의 검증

매트랩을 이용하여 앞의 [예제 6-1]에서 선형 보간법으로 구한 직선을 그려라.

Tip !

 매트랩 그림창에서 Insert 모드의 Line 메뉴를 설정하여 마우스로 수직선 그림

(14)

6.1.2 2차 보간법

2차 보간법

 주어진 자료점 3개 (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 이용하기 위해서 필요한 조건

 식 (6.4)의 조건을 만족하는 다항식

 다항식 보간법의 라그랑주(Lagrange) 형

 자료점 세 개를 통과하는 다항식의 공식

 식 (6.5)의 계수값 세 개를 계산

(15)

6.1.2 2차 보간법

 2차 보간법에 대한 라그랑주 기저(basis)함수

 라그랑주 기저함수의 특징

 i와 j값은 0, 1, 2의 조합으로 구성

(16)

6.1.2 2차 보간법

예제

6-2

라그랑주 보간법

라그랑주 보간법을 이용하여 tan(1.15)의 값을 추정하고, 절대 오차를 구하라.

자료점은 [예제 6-1]에서 주어졌던 다음 표를 사용하라.

Tip !

 도표에서 다음 자료점 세 개를 이용

(17)

6.1.3 n차 보간법

n차 보간법

 다항식 P_n(x)를 구하기 위해서 필요한 조건

 n + 1 개의 계수값들을 풀기 위해서 n + 1 개의 자료점이 필요

 차수 n에 대한 다항식을 풀기 위한 라그랑주 공식

 에 대한 라그랑주 기저함수들

(18)

6.1.3 n차 보간법

 식 (6.11)의 다른 표현

 n 차 라그랑주 기저함수의 특징

(19)

6.1.3 n차 보간법

예제

6-3

3차 보간법

3차 보간법을 이용하여 tan(1.15)의 값을 추정하고, 절대 오차를 구하라. 자료점은 [예제 6-1]에서 주어졌던 다음 표를 사용하라.

Tip !

 도표의 주어진 자료점을 이용하여, 계수 네 개를 계산

(20)

6.1.3 n차 보간법

예제

6-4

라그랑주 공식

다음과 같은 자료가 주어졌을 때, 라그랑주 공식을 이용하여 f(3)을 근사시켜라.

Tip !

 네 개의 자료점

(21)

6.2.1 1차 분할차

6.2 분할차 보간법

분할차(divided differences) 보간법

 재귀 분할(recursive division) 과정

 재귀는 과정을 ‘반복한다’는 의미

 미분과 반복 실행으로 다항식 보간법 내에 있는 계수를 계산

1차 분할차

 함수 f(x)의 1차 분할차의 수식

 두 자료점 x₀와 x₁의 순서는 상관 없음

 x₀와 x₁사이에 놓여 있는 임의의 상수 c에 대한 중간값 정리

(22)

6.2.1 1차 분할차

 식 (6.16)과 식 (6.17)을 비교하여 다시 쓴 식 (6.16)

 x₀와 x₁의 간격이 매우 가깝다면, 1차 분할차는 미분의 근사치로 표시

 식 (6.19)의 계산

 (x₀, f(x₀))와 (x₁, f(x₁))에 대한 직선방정식 f(x) = ax + b에서 a와 b를 구함

 a와 b를 다시 직선방정식에 대입

 1차 미분식을 구함

 를 대입

(23)

6.2.2 2차 분할차

2차 분할차

 함수 f(x)와 세 자료점 x₀, x₁,

x

₂에 대한 2차 분할차의 수식

 식 (6.20)의 확장

 자료점의 순서는 최종값 계산과 무관

 간략한 2차 미분 형태로 정의된 식 (6.20)

 상수 c는 세 자료점 x₀, x₁,

x

₂사이의 중간 위치

(24)

6.2.2 2차 분할차

 균일한 간격을 유지하는 세 자료점

 식 (6.22)의 다른 표현

(25)

6.2.2 2차 분할차

예제

6-5

분할차 보간법

다음과 같은 도표가 주어져 있다. 2차 분할차 보간법을 이용하여 를 구하라.

Tip !

 필요한 자료점 세 개

 세 개 자료점에 상응하는 함수

(26)

6.2.3 일반적인 분할차

뚜렷한 자료점을 가진 일반형

 함수 f(x)와 n + 1개의 뚜렷한 자료점 에 대한 일반적인 분할차의 수식

 함수 f(x)의 n번째 분할차의 재귀적 정의

 미분의 관계로 표현한 식 (6.24)

 상수 c는 주어진 자료점들의 집합 의 사이에 위치

 k차수 미분 형태로 사용한 식 (6.25)

 k는 n 보다 작은 범위에 있는 3차 혹은 좀 더 고차를 표시

(27)

6.2.3 일반적인 분할차

[표 6-1] 미분 형태를 이용한 4차 분할차 보간법

 식 (6.26)을 이용하여 확장시킨 [예제 6-5]의 자료

 i = 0인 경우는 [예제 6-5]의 결과와 일치

 Df(x₀)와 D²

f(x

₀)는 1차 분할차와 2차 분할차 결과와 같음

(28)

6.2.3 일반적인 분할차

i = 1인 경우 Df(x

₁

), D

²

f(x

₁

), D

³

f(x

₁

)의 계산 과정

 주어진 다음의 자료점 다섯 개를 함수 에 대입

 다음 함수값 세 개만 계산에 필요

 1차 분할차와 2차 분할차에 필요한 자료점은 x₁, x₂ , x₃



(29)

6.2.3 일반적인 분할차

 식 (6.24)를 이용하여 1차 분할차 계산

 2차 분할차 계산

(30)

6.2.3 일반적인 분할차

 3차 분할차 계산

(31)

6.2.3 일반적인 분할차

중복되는 자료점을 가진 일반형

 자료점들이 서로 구별되지 않고 한 개의 자료점으로 표시되는 분할차 수식 함수

 x₁과 x₀이 같은 값으로 지정되는 1차 분할차의 식

 서로 일치하는 두 자료점에 대한 f[x₀, x₁]의 정의

 세 개의 자료점 x₀, x₁, x₂가 x₀와 같은 값으로 지정되는 식 (6.22) 변형

(32)

6.2.3 일반적인 분할차

 서로 일치하는 세 자료점에 대한 f[x₀, x₁ , x₂]의 정의

 n + 1 개의 자료점 도 x₀와 같은 값으로 지정되는 일반적인 수식

 서로 일치하는 n + 1개의 자료점에 대한 의 정의

 자료점이 x₀, x₁, x₂로 주어지는 2차 분할차 수식의 변형

(33)

6.2.3 일반적인 분할차

예제

6-6

중복 자료점에 대한 분할차 보간법

식 (6.32)를 이용하여 에 대해 계산한 뒤, 식 (6.33)의 형태로 나타내라.

Tip !

 제시한 식 직접 이용

(34)

6.3 뉴턴의 분할차 보간법

6.3 뉴턴의 분할차 보간법

뉴턴의 분할차 보간법

: 보간 다항식을 계산하는 라그랑주 방식의 불편한 단점을 보완

 식 (6.9)의 조건을 이용하여 함수 f(x)로부터 다항식을 구함

 분할차 f[x₀, x₁], f[x₀, x₁, x₂], ···, f[x₀, ···, x_n] 이용한 보간 다항식 P₁(x), P₂(x), ···,

P

_n(x)

 식 (6.34)를 식 (6.35)에 대입

 n차수로 확대한 보간 다항식에 대한 뉴턴(Newton) 분할차 공식

(35)

6.3 뉴턴의 분할차 보간법

 라그랑주 식 (6.10)

 같은 자료점들을 반복적으로 사용하는 경우에 편리

 자료값들을 저장하여 연산의 실행 횟수를 감소시키는 장점

 순서대로 다항식의 차수를 증가시키는 실제 계산에서는 매우 불편

 재귀 관계 형태로 다시 표현된 식 (6.37)

 P_n-1(x)는 자료점 x₀, x₁, ···, x_n-1에서 함수 f(x)를 보간

(36)

6.3 뉴턴의 분할차 보간법

 뉴턴 분할차 공식을 이용한 [표 6-1]에 대한 다항식 표시

 [표 6-2] 설명

 x = 1.05에 대한 1~4차까지의 뉴턴 분할차 보간법의 계산을 보여줌

 실제값은 cos(1.05) = 0.49757

 차수가 증가할수록 오차는 점점 감소

(37)

6.3 뉴턴의 분할차 보간법

[표 6-2] 4차 뉴턴 분할차 보간법

 만일 다음의 관계가 있는 경우

 식 (6.37)은 중첩된 형으로 표시 가능

(38)

6.3 뉴턴의 분할차 보간법

예제

6-7

뉴턴 분할차 보간법의 형태

뉴턴 분할차 보간법의 일반형을 구하고, 다음에 주어진 값들을 이용하여 ln1.4를 근사시켜라.

Tip !

 도식화를 이용한 전개 과정

(39)

6.4.1 선형 보간 오차

6.4 다항식 보간 오차

다항식 보간 오차

: 자료점들을 보간시켜서 구한 보간 다항식과 계산하려는 함수 f(x) 사이의 오차

선형 보간 오차

 선형 보간 다항식 P₁(x)와 함수 f(x)의 차이, f(x) – P₁(x)

 함수 f(x)는 x₀과 x₁을 포함하는 [a, b] 구간에서 연속적으로 두 번 미분 가능

임의의 c_x에 대한 a ≤ x ≤ b 의 범위에서 선형 보간 오차

 상수 c_x는 x₀, x₁과 구하려는 값 x의 최소 및 최대 사이에 위치

 상수 c_x의 정확한 값은 알 수 없음

(40)

6.4.1 선형 보간 오차

 x₀ ≤ x ≤ x₁

범위에서 f ‘’(c

_x)는 x에 대한 함수 f ‘’(x)의 최댓값으로 대치

 x₁과 x가 x₀에 매우 가까운 경우에 대한 식 (6.43)의 변형

 시작점 x₀에 x₁과 구하려는 값 x가 가까이 접근하면 의 관계

 점 세 개의 최대와 최소 사이에 있는 c_x도

(41)

6.4.1 선형 보간 오차

예제

6-8

선형 보간 오차

자료점 x₀는 x₁보다 작은 값이고, h = x₁ – x₀의 조건을 만족한다. 함수 f(x) = ln(x)에 대한 선형 보간 오차를 구하라. 그리고 최종 결과에 h도 포함해서 나타내라.

Tip !

 풀이에 필요한 항

(42)

6.4.2 2차 보간 오차

 2차 보간 오차 공식

 상수 c_x는 x₀, x₁, x₂ 과 구하려는 값 x의 최소 및 최대 사이에 위치

 x₀ ≤ x ≤ x₂

범위에서 f

⁽³⁾(c_x)는 x에 대한 함수 f ⁽³⁾(x)의 최댓값으로 대치

 는 근이 x₀, x₁, x₂인 3차 다항식을 표시

 x₀ ≤ x ≤ x₂의 조건에서 균일 경계에 대한 오차

(43)

6.4.2 2차 보간 오차

예제

6-9

2차 보간의 절대 오차

범위 x₀ ≤ x ≤ x₂에서 세 자료점 x₀, x₁ , x₂ 의 간격이 같고, x₁ – x₀ = h와 x₂ – x₁ = h 조건을 만족한다. 함수 f(x) = ln(x)에 대한 2차 보간의 절대 오차를 구하라. 결과에 h도 포함해서 나타내라.

Tip !

 풀이에 필요한 과정

(44)

6.4.3 n차 보간 오차

 차수 n에 대한 일반적 다항식의 보간 오차

 구간 a ≤ x ≤ b에서 n + 1개의 자료점 x₀, ···, x_n을 포함

 함수 f(x)가 연속적으로 n + 1번 미분 가능

 상수 c_x는 x₀, x₁, ···, x_n과 구하려는 값 x의 최소 및 최대 사이에 위치

 식 (6.50)의 분자항을 근 x₀, x₁, ···, x_n으로 갖는 n + 1 차수의 다항식 표시

 식 (6.51)을 식 (6.50)에 대입

(45)

6.4.3 n차 보간 오차

 n차 다항식 보간 오차의 경계

 (n + 1) 차수로 확장한 식 (6.38)

 식 (6.54)에 x = x_{n + 1}대입

 x_{n + 1}에서 함수 f(x)를 근사시키려는 다항식은 P_{n + 1}(x)

 x_{n + 1}의 값을 전부 x로 대체시킨 식 (6.55)

식 (6.50)의 분자항을 근 x₀, x₁, ···, x_n으로 갖는 n + 1 차수의 다항식 표시

(46)

6.4.3 n차 보간 오차

 식 (6.51)을 식 (6.56)에 대입

 구하려는 자료점 x는 주어진 자료점들 x₀, ···, x_n과 같은 값이 아님

(47)

6.4.3 n차 보간 오차

예제

6-10

경계 오차

[예제 6-7]에서 얻은 결과를 이용하여 경계 오차를 구하라. (245p 참조)

Tip !

 식 (6.47) 이용

(48)

6.5.1 보간법의 단점

6.5 스플라인 보간법

구간적(piecewise) 선형 보간법, l(x)

: 주어진 자료점들을 직선으로 연결하는 가장 간단한 보간법 [표 6-3] 구간적 선형 보간법

[그림 6-5] 설명

 [표 6-3]을 이용한 그래프

 1차 다항식을 이용하여 여섯 개 구간마다 각각 자료점 두 개를 직선으로 연결

 자료점을 모두 통과하는 그래프는 매끄럽지 못함

(49)

6.5.1 보간법의 단점

[그림 6-5] 실행 결과 : [표 6-3]을 구간적 선형 보간법으로 그린 그래프

(50)

6.5.1 보간법의 단점

[그림 6-6] 설명

 자료점 일곱 개로 나타낼 수 있는 6차 보간 다항식 P₆(x)를 이용

 구간적 선형 보간법 단점 보완

 [그림 6-5]보다 매끄러운 곡선을 보여줌

 여전히 구간 0 ≤ x ≤ 1에서 원하지 않은 결과 생성

구간적 2차 보간법, q(x)

 구간적 선형 그래프보다는 매끄러움

 6차 다항식의 그래프보다는 자료점들 사이가 가까운 장점

(51)

6.5.1 보간법의 단점

[그림 6-6] 실행 결과 : 차수가 6인 보간 다항식 그래프

(52)

6.5.1 보간법의 단점

[그림 6-7] 설명

 각각의 점을 세 개씩 묶음

 0 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ x ≤ 3, 3 ≤ x ≤ 4에서 얻은 2차 보간 다항식을 연속시켜 그린 그래프

구간적 2차 보간법의 문제점

 세 구간이 겹치는 자료점 x = 2와 x = 3에서 곡선의 모퉁이가 불연속 연결

 연속 곡선의 형태를 유지하려면 매끄럽게 계속 증가 혹은 감소하는 모양

 자료점 x = 2와 x = 3에서 부자연스러운 형태

 4차 이상의 다항식을 이용하여 자료점들 사이의 동작을 그림

 원하지 않은 결과 생성

 보간법을 사용하여 고차 다항식을 얻는 것이 항상 적합하지는 않음

(53)

6.5.1 보간법의 단점

[그림 6-7] 실행 결과 : 구간적 2차 보간법의 그래프

(54)

6.5.2 스플라인 보간법의 정의와 특성

스플라인(spline) 보간법

: 인접한 자료점들의 각 쌍 사이에 저차 다항식을 사용하여 자료점들을 맞춤

 주어진 자료점들을 통과하는 매끄러운 곡선을 그리는데 사용

 일반적으로 3차(cubic) 다항식을 사용하므로 3차 스플라인 보간법이라고 부름

 임의의 숫자 a와 b에 대하여 다음을 만족하는 자료점들의 집합 {x_i}가 존재

 a = x₁과 b = x_n으로 사용

 함수 s(x)는 중단점(breakpoints) {x_i}를 포함하는 구간 [a, b] 위에 존재

 3차 스플라인 보간법 사용

(55)

6.5.2 스플라인 보간법의 정의와 특성

함수 s(x)의 속성

 간격 각각에서 s(x)는 3차 이하의 다항식

 는 구간 [a, b]에서 연속이고

 다음 조건을 만족하면 3차 스플라인 보간함수

 혹은 자연(natural) 3차 스플라인 보간함수라고 부름

 자료점 이 주어진 경우

(56)

6.5.3 3차 스플라인 보간함수

자료점 네 개 를 고려

 x₁ < x₂ < x₃ < x₄의 조건을 만족

 간격 [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄]에서 s(x)는 3차 다항식

 s’’(x)는 다음과 같은 수식의 선형 다항식

 s(x)를 두 번 연속 미분

 간격 [x₁, x₂]에 대해 다시 쓴 식 (6.3b)

 식 (6.60)을 두 번 연속 적분

(57)

6.5.3 3차 스플라인 보간함수

 식 (6.58)에 i = 1과 i = 2를 대입하여 상수 c₁과 c₂ 를 구하기

 식 (6.62)를 이용하여 구간 x₁ ≤ x ≤ x₂에서 식 (6.61)의 계산

 간격 [x₂, x₃]에서 같은 방법으로 계산된 결과

 구간은 x₂ ≤ x ≤ x₃

(58)

6.5.3 3차 스플라인 보간함수

 간격 [x₃, x₄]에서 같은 방법으로 계산된 결과

 구간은 x₃ ≤ x ≤ x₄

2차 미분값을 찾기 위해서 더 필요한 조건

 식 (6.63)은 구간 x₁ ≤ x ≤ x₄에서 s(x)와 s’’(x)가 연속함을 보여줌

 2차 미분값 M₁, M₂, M₃, M₄의 값들은 알 수 없음

 식 (6.58)과 식 (6.59) 이용

 간격 [x₁, x₂]에 대해서 s(x₂) = y₂와 s’’(x) = M₂

 간격 [x₂, x₃]에 대해서 s(x₂) = y₂와 s’’(x) = M₂

(59)

6.5.3 3차 스플라인 보간함수

 다른 두 간격에서 같은 결과 얻음

 s’(x)가 x₂와 x₃에서 연속성을 가진다는 것을 설명하기는 부족

 더 필요한 조건

 식 (6.64a)의 왼쪽 항은 간격 [x₁, x₂]에서 끝점 x₂가 통과함을 의미

 식 (6.64a)의 오른쪽 항은 간격 [x₂, x₃]에서 끝점 x₂가 통과함을 의미

 식 (6.64b)의 왼쪽 항은 간격 [x₂, x₃]에서 끝점 x₃가 통과함을 의미

 식 (6.64b)의 오른쪽 항은 간격 [x₃, x₄]에서 끝점 x₃가 통과함을 의미

(60)

6.5.3 3차 스플라인 보간함수

더욱 간단한 문제 해석

 x₂ = x₁ + h, x₃ = x₁ + 2h, x₄ = x₁ + 3h와 같이 간격이 균일하다고 가정

 구간 x₁ ≤ x ≤ x₂에서 다시 쓴 식 (6.63)

 구간 x₂ ≤ x ≤ x₃에서 다시 쓴 식 (6.63)

(61)

6.5.3 3차 스플라인 보간함수

 구간 x₃ ≤ x ≤ x₄에서 다시 쓴 식 (6.63)

 식 (6.65a)와 식 (6.65b)에서 x에 대한 미분 실행하고, x = x₂의 값 대입

 식 (6.66a)와 식 (6.66b)에 식 (6.64a)를 적용

(62)

6.5.3 3차 스플라인 보간함수

 같은 방법으로 구간 [x₂, x₃]와 [x₃, x₄]에 식 (6.64b)를 적용

 식 (6.67)로 미지수 네 개를 포함하는 방정식 두 개를 구함

 M₂와 M₃를 풀 수 있고 식 (6.65)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있음

 경계 조건 s’’(x₁) = s’’(x₄) = 0에 의해 M₁ = M₄= 0

(63)

6.5.3 3차 스플라인 보간함수

자료 n 개 를 고려

 자료점들이 균일한 간격 유지

 x_j ≤ x ≤ x_j+1 범위에서 s(x)는 다음과 같이 쓸 수 있음

 여기서

(64)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

[표 6-3]의 자료를 이용하여 s(x)를 구하고 그래프를 그리기

 2차 미분값 을 구하기

 각각의 구간에서 함수 s(x)를 찾는 것은 매우 어려운 과정

 간단하게 문제를 해결하기 위해서 간격이 h = 1로 균일한 자료점 4개를 이용

 식 (6.66)을 이용하여 얻은 관계식

 M₁ = M₄ = 0

(65)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

 2차 미분값

 구간 0 ≤ x ≤ 1에서 계산된 함수 s(x)

 실제 자료점 x = 2.5를 통과하지 않는 구간이므로 제외

(66)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

 구간 2 ≤ x ≤ 4에 대해서는 간격이 h = 0.5로 균일한 자료점 5개를 이용

 식 (6.66)을 이용하여 얻은 관계식

 M₁ = M₅ = 0

(67)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

 구한 2차 미분값

 구간 2 ≤ x ≤ 2.5에서 계산된 함수 s(x)

 구간 2.5 ≤ x ≤ 3에서 계산된 함수 s(x)

 구간 3 ≤ x ≤ 3.5에서 계산된 함수 s(x)

(68)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

 구간 3.5 ≤ x ≤ 4에서 계산된 함수 s(x)

[그림 6-8] 설명

 앞의 결과를 이용한 3차 스플라인 보간 그래프

 구간적 선형 보간 그래프와 3차 스플라인 보간 그래프의 명확한 차이점 제시

(69)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

[그림 6-8] 실행 결과 : 3차 스플라인 보간과 구간적 선형 보간의 비교 그래프

(70)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

MATLAB

6-2

매트랩을 이용한 스플라인 함수

[표 6-3]의 자료점을 아래에 다시 제시하였다. 이를 이용하여 매트랩의 스플라인 함수 명령어(spline)를 실행하라.

Tip !

 매트랩의 spline 함수 이용

(71)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

예제

6-11

3차 스플라인 함수

다음 표는 함수 에 대한 보간 자료점이다. 표를 이용하여 3차 스플라인 함수를 구하라.

Tip !

 식 (6.68)과 식 (6.65) 이용

(72)

6.5.4 3차 스플라인 함수의 예

MATLAB

6-3

매트랩 이용한 스플라인 보간 그래프

매트랩을 이용하여 [예제 6-11]의 함수 와 3차 스플라인 보간 그래프를 그려라.

Tip !

 그래프를 그리기 위한 매트랩 스크립트 파일은 부록을 참고

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