<ø m ǔ X ¢ 8 0ù m Ç ’ Ò ×; c" e ~ ¿Ž Ò ÞV À W ¥ ß O Ë4 ì Å; c 6 ” X ¢ ÷ m Ç] M ö

¿ Q

<ø m ǔ X ¢ 8 0ù m Ç ’ Ò ×; c" e ~ ¿Ž Ò ÞV À W ¥ ß O Ë4 ì Å; c 6 ” X ¢ ÷ m Ç] M ö

+ ä


P  ·  ™ »g ` @® £

ô

 Dz D G “ §" é ¶ @ /† < Ɠ § Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ õ , ' õ A" é ¶ 363-791

L |a : @ª £

"

î t @ /† < Ɠ § ~ ½ Ó3 l q l œ í“ §¹ ¢ ¤ @ /† < Æ, 6   x“   449-728

(2010¸   8 Z 4 6{ 9  ~ à Î6 £ §, 2010¸   10 Z 4 21{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2010¸   11 Z 4 15{ 9  > F  S X ‰& ñ )

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H  l   “   á ÔÏ þ ˜» 1 Ï (self-affine fractal)½ ¨› ¸\  ¦ ° ú   H ³ ð€  _  » ¡ ¤' ‘   1 l x`  ¦ ç ß –é ß –ô  Ç Ä » o

ó ø Í`  ¦ s 6   x ô  Ç z  ´+ « >`  ¦ : Ÿ x K  · ú ˜ ˜ Ѐ Œ ¤ . ¿ º  © œ_    5 g”   Ä »o ó ø Í_  ô  Ç A á ¤ — ¸" fo \  ¦ e ç ß ¼Ó ü t \  { Œ ™½ ¨# Q

—

¸[ j › ' a ‰ & ³ © œÜ ¼– Ð À 1 Ï 9 `  ¦  š ¸  H e ç ß ¼Ó ü t s  ë ß –× ¼  H  â > €  _  — ¸_ þ v`  ¦ CCD B j \  ¦ s 6   x # Œ › ' a ¹ 1 Ï 

%

i  .  â > €  _  ³ ð€  ¿ ºa (surface width) W \  ¦ r ç ß –õ  l ó ø Í_  ; Ÿ ¤ \  @ /K  8 £ ¤& ñ ô  Ç   õ  ³ ð€  ¿ ºa   H r  ç

ß –\  @ /K  W (t) ∼ t

^β

– Ð  1 l x   H  כ `  ¦ S X ‰ “   % i “ ¦ s  M : $ í  © œt à º β ≈ 0.37_  ° ú כ`  ¦ % 3 % 3  . ¢ ¸ô  Ç l  ó

ø Í_  ; Ÿ ¤ L \  @ /K " f• ¸ " 4  Z O g Ë : W (L) ∼ L

^α

`  ¦ ë ß –7 á ¤ % i “ ¦  } 9 l  t à º α ≈ 0.48_  ° ú כ`  ¦ % 3 % 3  . % 3 

“ É

r t à º ° ú כ[ þ t`  ¦ ³ ð€  $ í  © œ_  s  : r& h “   ° ú כ[ þ t õ  q “ §K  ^  ¦ M : ‘ : r z  ´+ « >\  _ ô  Ç ³ ð€  $ í  © œ“ É r KPZ ˜ м # $ í ç

 H \  5 Å q † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s ü < ° ú  s  z  ´+ « >`  ¦ : Ÿ x K  } Œ • ¸ ú š6 £ §(random noise) s  e ”   H B | 9 \ " f_  ³ ð€  $ í  © œ

\

 @ /ô  Ç s  : r& h “     õ [ þ t`  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” % 3   Ù þ

˜d ” # Q:  â > €   כ ¹1 l x z  ´+ « >, ³ ð€  $ í  © œ, " 4 Z O g Ë :, ˜ м # $ í ç  H

Experiment Involving a Fluctuating Interface in Homogeneous Media

Na Ri Jung · Hyun-Joo Kim ^∗

Department of Physics Education, Korea National University of Education, Cheongwon 363-791

Yeon-Mu Choi

Bangmok College of Basic Studies, Myongji University, Yongin 449-728 (Received 6 August, 2010 : revised 21 October, 2010 : accepted 15 November, 2010)

The dynamic scaling behavior of a growing self-affine fractal interface is examined by using a simple experiment with two glass plates. We put one glass plate on the other and immerse the edge of the two up plates in a black-ink dye solution; then, the evolution of the interface formed between the ink solution and the air by capillary action is photographed with a CCD camera as a function of time. We found that the interface width scaled with system size L as W (L) ∼ L

^α

with α ≈ 0.48 and scale with time as W (t) ∼ t

^β

with β ≈ 0.37. These results of this experiment demonstrate that interface roughening belongs to the Kardar-Parisi-Zhang universality class. Thus, the theoretical results for surface growth in random noise are confirmed by the experiment.

PACS numbers: 68.35.Ct, 68.35.Bs, 05.40.-a

Keywords: Experiment of fluctuating interface, Surface growth, Power law, Universality class

∗

E-mail: [email protected] -1224-

"

f_  — ¸[ j › ' a ‰ & ³ © œ\  _ ô  Ç ‰ & ³„ à ÌÓ  o(suspension)_  f  ¨ à º, Ä »

^

‰-Ä »^ ‰_  ™ D ¥ ½ + Ë(fluid-fluid displacement) 1 p x \ " f_   â > 

€

  + þ A$ í , type-a œ í„  • ¸^ ‰ ? /\ " f_   µ 1 ς  (flux line) î  r 1

l x, ~ à Ì_ …o   ç  H _  $ í  © œ, 7 á x € ª œ 1 p x \  s Ø Ô  H  € ª œô  Ç ‰ & ³ © œ

`

 ¦ Ÿ í† < Êô  Ç  [4].

s

 Qô  Ç ³ ð€  $ í  © œ_  : £ ¤f ç `  ¦ ½ ©& ñ f ±   H Ó ü t o | ¾ ÓÜ ¼– Ð" f ³ ð

€

  ¿ ºa  W (L, t)  H ³ ð€   Z  } s  כ ¹1 l x _  ] jY  L ¨ î ç  H ] jY  L  H Ü

¼– Ð  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _   ) a  .

W

²

(L, t) = 1 L

L

X

i=1

[h(i, t) − h(t)]

²

(1)

#

Œl " f L“ É r l ó ø Í_  ß ¼l , t  H $ í  © œr ç ß –`  ¦
 ? /“ ¦, h(i, t)  H 0 Au  i, r ç ß – t\ " f_  Z  } s , h(t)  H r ç ß – t\ " f_ 

¨ î

ç  HZ  } s \  ¦
  · p . ³ ð€   ¿ ºa   H œ íl \  r ç ß –\     7

£

x    { 9 & ñ r ç ß –s  t è ß – Ê ê Ÿ í o÷ &  H  1 l x`  ¦ ˜ Г  



. s ü < ° ú  s  ³ ð€  ¿ ºa _  œ íl  ' Ÿ 1 l x“ É r W (L, t) ∼ L

^β

– Ð r

ç ß –\  @ /ô  Ç " 4  Z O g Ë :`  ¦   É r  . # Œl " f ⍠ H $ í  © œt à º\  ¦

  · p . Ÿ í o  ) a s Ê ê  H l ó ø Í_  ß ¼l \     7 £ x    H

—

¸_ þ v`  ¦ ˜ Ð# Œ W (L, t) ∼ t

^α

– Ð ß ¼l \  @ /ô  Ç " 4  Z O g Ë :`  ¦   Ø

Ô 9   H  } 9 l  t à º\  ¦
  · p .

z 

´] j  € ª œô  Ç ³ ð€  $ í  © œ[ þ t“ É r y Œ •y Œ • $ í  © œ½ ©g Ë :\     " f

–

Ð   É r t à º° ú כ[ þ t`  ¦ ° ú   H X < s  M :   ˜ Ðl  ½ ©g Ë :_   s

\  Á º › ' a >  $ í  © œ_  : £ ¤$ í `  ¦ ì ø Í% ò   H : £ ¤f ç & h “   כ ¹

™

è[ þ t \  _ K  Y >  t  ˜ м # $ í ç  H Ü ¼– Ð
* '# Qt   H  כ s 

· ú

˜ 94 R e ”  . @ /³ ð& h Ü ¼– Ð } Œ • ¸ ú š6 £ §(random noise) s  e ” 



 H ³ ð€  $ í  © œ“ É r Edwards-Wilkinson(EW) ˜ м # $ í ç  H [5] õ  Kardar-Parisi-Zhang(KPZ) ˜ м # $ í ç  H [6] Ü ¼– Ð ì  r À Ó | ¨ c à º e ”

“ ¦, 0 Au \     “ ¦& ñ  ) a ß ¼l \  ¦ ° ú   H { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § (quenched noise) s  e ”   H ³ ð€  $ í  © œ_   â Ä º @ /³ ð& h Ü ¼– Ð QKPZ(Quenched KPZ) ˜ м # $ í ç  H`  ¦ [ þ t à º e ”   [1–4].

s

 Qô  Ç ˜ м # $ í ç  H \  5 Å q   H ³ ð€  $ í  © œ_   â Ä º K { © œ | ½ Ó ]

j~ ½ Ó ~ ½ Ó& ñ d ” [ þ t(Langevin-type equations) s  ] jr ÷ &% 3  .

}

Œ

• ¸ ú š6 £ § s  e ”   H $ í  © œ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r  6 £ § õ  ° ú  “ É r | ½ Ó] j~ ½ Ó+ þ A ~ ½ Ó

&

ñ d ” Ü ¼– Ð
 è ­ q à º e ”  .

d ”

 (2)\ " f λ = 0“    â Ä º ‚  + þ A~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð EW ~ ½ Ó& ñ d ”  s

 ÷ &“ ¦ λ 6= 0 “   q ‚  + þ A ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r KPZ ~ ½ Ó& ñ d ” s   ) a  .

KPZ ~ ½ Ó& ñ d ” _  K   H d = 1 + 1 " é ¶ \ " f α = 1/2, β = 1/3 _  t à º° ú כ`  ¦ % 3   H  .

}

Œ

•¸ ú š6 £ §“ É r $ í  © œs  { 9 # Q
  H B | 9 s  ç  H{ 9 ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ç ß – Å

Ò # Œ 0 Au \    É r ¸ ú š6 £ § s  \ O   H  â Ä ºs  . Õ ª Q
   /

B N$ í B | 9  ? /\ " f_  ‰ & ³ò ø ÍÓ  o_  f  ¨ à º, type-a œ í„  • ¸^ ‰\ 

"

f  µ 1 Ï5 Å q _  î  r1 l x, ~ à Ì_ …o  ç  H _  $ í  © œ, 7 á x s _  † 9 # Qf ” s 

 ] X 6 £ § 1 p x _  ‰ & ³ © œ\ " f ˜ Ѐ   Ô  ¦ç  H{ 9 ô  Ç B | 9 – Ð “  K   â

>

€  s  $ í  © œ ½ + É M :\  0 Au    Ó ü t| 9 _  $ í  © œ`  ¦ ~ ½ ÓK    H

^

 ¦2 Ÿ ¤ s  ” > r F ô  Ç . s  Qô  Ç B | 9 \  _ ô  Ç ¸ ú š6 £ § _  ´ òõ   H ~ ½ Ó

&

ñ d ”  (2)\ " f } Œ •¸ ú š6 £ §`  ¦ { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § η(x, h) – Ð @ /^ ‰† < Ê Ü

¼– Ð" f [ O " î ½ + É Ã º e ”  . s   â Ä º QKPZ ~ ½ Ó& ñ d ” s  ÷ &“ ¦ d = 1 + 1 " é ¶ \ " f K { © œ÷ &  H  } 9 l  t à ºü < $ í  © œ t à º

° ú

כ“ É r α ≈ 0.63, β ≈ 0.67 s  ÷ &# Q } Œ •¸ ú š6 £ § s  e ”   H EW ˜ м # 

$ í

ç  H s 
 KPZ ˜ м # $ í ç  H õ   H   É r ç  H`  ¦ ï  r  .

s

ü < ° ú  s  | ½ Ó] j~ ½ Ó ~ ½ Ó& ñ d ” \  @ /ô  Ç F ½ ©   o > í ß – x 9  Ã

ºu  > í ß –`  ¦ : Ÿ x K  t à º° ú כ[ þ t õ  ˜ м # $ í ç  H`  ¦   & ñ ½ + É Ã º e ” 

“

¦ ¢ ¸ô  Ç Ô  ¦ƒ  5 Å q& h “   Æ Ò>  $ í  © œ — ¸+ þ A(stochastic growth model)[ þ t \  @ /ô  Ç „  í ß –r Ð 3 x`  ¦ : Ÿ x K  S X ‰ “  ÷ &% 3   [1–4,7–

10]. s  Qô  Ç ³ ð€  $ í  © œ_  1 l x§ 4 † < Æ& h   } 9 l \  @ /K  z  ´] j z 

´+ « >`  ¦ : Ÿ x ô  Ç ƒ  ½ ¨[ þ t – Ð { 9 Â Ò Ã º' Ÿ s  ÷ &% 3  . Õ ª Q
 @ /Â Ò ì

 r _  z  ´+ « >s  Ô  ¦ç  H{ 9 ô  Ç B | 9  ? /\ " f_   â > €  _  $ í  © œ`  ¦



À Ò# Q QKPZ ˜ м # $ í ç  H \  5 Å q   H z  ´+ « >s  ŠҖ Ð s À Ò# Q& ’ 



 [11–17].

%

ƒ6 £ § r • ¸  ) a z  ´+ « >“ É r  / B N B | 9 \ " f_  Ä »^ ‰â ì2 £ § z  ´+ « >

Ü

¼– Ð È Ò" î ó ø Í  s \  Ä »o ½ ¨_ þ t[ þ t`  ¦ V , “ É r Ê ê ô  Ç A á ¤ = å Q \ " f Â

Ò'  Ä »^ ‰\  ¦ Å Ò{ 9  # Œ  â > €  s    
  H  כ `  ¦ › ' a ¹ 1 Ï % i 



. s  Qô  Ç z  ´+ « >_    õ – Ð  } 9 l  t à º α 0.73 [11], 0.81 [12], 0.65∼0.91 [13] s  ÷ &  H  כ `  ¦ S X ‰ “   % i  . s    õ [ þ t

“

É r KPZ ˜ м # $ í ç  H \  K { © œ÷ &  H  } 9 l  t à º ° ú כ 0.5ü <  H  s

 ´ ú §s 
  H  כ Ü ¼– Ð } Œ •¸ ú š6 £ § s  e ”   H $ í  © œ ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð [ O

" î ½ + É Ã º \ O   H   É r $ í  © œ ˜ м # $ í ç  H s  e ” 6 £ §`  ¦ _ p   9 {

Œ

™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § ” > r F \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨ s À Ò# Qt >  ÷ &% 3  .

{

Œ

™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § s  e ”   H @ /³ ð& h “   ˜ м # $ í ç  H“   QKPZ ˜ м # 

Fig. 1. Schematic of the experiment setup.

$ í

ç  H \  5 Å q   H t à º° ú כõ  ¸ ú ˜ ´ ú   H z  ´+ « >Ü ¼– Ѝ  H 7 á x s  & h r  l

 z  ´+ « >s  e ”  . Šҁ  \ " f• ¸ ™  ¥ y  ^  ¦ à º e ”   H ‰ & ³ © œÜ ¼– Ð 7

á

x s  Ó ü t \  ] X # Q Ó ü t s  7 á x s \  ¦  “ ¦ `  ¦  ° ú ˜ M : ] X “ É r €   õ

   É r €  _   â > €   $ í  © œ“ É r  } 9 l  t à º° ú כs  0.63 [14], 0.62∼0.78 [1] Ü ¼– Ð DPD — ¸+ þ A [9,14,15]\  _ ô  Ç ° ú כ 0.63õ 

¸ ú

˜ { 9 u ô  Ç .

s

ü < ° ú  s  ³ ð€   $ í  © œs  { 9 # Q
  H z  ´] j B | 9 [ þ t“ É r @ /Â Ò ì

 r ç  H{ 9  t  · ú §l  M :ë  H \  { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § _  ´ òõ  e ” # Q

³

ð€   $ í  © œ_  1 l x§ 4 † < Æ& h   1 l x“ É r QKPZ ˜ м # $ í ç  H \  5 Å q 



 H — ¸_ þ v Ü ¼– Ð
 è ß – . ì ø ̀   } Œ • ¸ ú š6 £ § ë ß –s  e ”   H  â Ä º_ 

³

ð€  $ í  © œ“ É r { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § s  e ”   H  â Ä º ˜ Ð  s  : r& h Ü ¼

–

Ð  8 ç ß –é ß –† < Ê\ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ z  ´] j  © œ S ! \ " f { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š 6

£

§ s  \ O   H  â Ä º  H  _  × ¼Ó ü t l  M :ë  H \  z  ´] j z  ´+ « >`  ¦ à º' Ÿ 

l  # Q 90 > z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð } Œ • ¸ ú š6 £ § ë ß – e ”   H ³ ð€  $ í  © œ\  @ / ô

 Ç ƒ  ½ ¨  H ¸ ú ˜ s À Ò# Qt t  · ú §€ Œ ¤ . s \  ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H    5

g”   ¿ º  © œ_  Ä »o ó ø Í`  ¦ e ç ß ¼Ó ü t \  { Œ ™½ ¨% 3 `  ¦ M : — ¸[ j › ' a ‰ & ³



© œ\  _ K  Ó ü t s  f  ¨ à º÷ &  H  כ `  ¦ s 6   x # Œ, { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § _

 ´ òõ  Á ºr  | ¨ c à º e ”   H ³ ð€  $ í  © œ z  ´+ « >`  ¦ à º' Ÿ  “ ¦   } 9

l  t à º αü < $ í  © œt à º β\  ¦ 8 £ ¤& ñ # Œ s  : r& h Ü ¼– Ð · ú ˜ 9 4

R e ”   H ³ ð€  $ í  © œ ˜ м # $ í ç  H õ  q “ § ì  r$ 3  % i  .

II. ÷ m Ç] M ö

Õ

ª1 l x î ß – z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð ³ ð€  $ í  © œ\  › ' a ô  Ç ƒ  ½ ¨ ´ ú §s  ”   '

Ÿ ÷ &# Q M ® o~   { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § s  e ”   H QKPZ ˜ м # $ í ç  H õ   

 É

r ˜ м # $ í ç  H \  K { © œ   H ³ ð€  $ í  © œ z  ´+ « >_  “ ¦î ß –\  e ” # Q

"

f,  © œ ×  æ כ ¹ô  Ç כ ¹“  s  ÷ &  H  כ “ É r  â > €  s  $ í  © œ   H B 

| 9

s  ç  H{ 9  # Œ { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § s  \ O • ¸2 Ÿ ¤ ë ß –[ þ t # Q Šҍ  H  כ s

 . s  כ `  ¦ l  0 A # Œ Ä »o ó ø Í ¿ º  © œ`  ¦   5 g Ó  o^ ‰\  ¦ f

 ¨ à ºr v   H z  ´+ « >`  ¦ “ ¦î ß – % i  . Fig. 1 \ " f ˜ Ð# Œ t   H



ü < ° ú  s  _ …s ^  ¦ 0 A\  à º› ¸\  ¦ ¿ º“ ¦ à º› ¸î ß –\    5 g”   Ä » o

ó ø Í ¿ º  © œ`  ¦ { Œ ™y Œ ¤ . à º› ¸î ß –\   H 0 >' ë ß –(Waterman)  Ž 

Fig. 2. The size of substrate and the height of site i at time t.

“

É rÒ  o e ç ß ¼\  ¦ Ó ü t õ  1 : 2 _  q Ö  ¦ – Ð [ O “ É r Ó  o^ ‰\  ¦ ¿ º% 3  .

Ó ü

t ë ß –`  ¦  6   x €    â > €  s  ‚  " î > 
 
t  · ú §Ü ¼Ù ¼– Ð e ç

ß ¼\  Ó ü t`  ¦ [ O # Q" f  6   x % i  . — ¸[ j › ' a ‰ & ³ © œ\  _ K     5

g”   Ä »o ó ø Í  s – Ð e ç ß ¼Ó ü t s  À 1 Ï 9 `  ¦  ü <  â > €  `  ¦ + þ A

$ í

>   ) a  . s  M : Ä »o ó ø Í \ P €  _   â > \ " f  H { 9 Â Ò e ç ß ¼ Ó

ü

t s  Õ ª@ /– Ð b  # Q| 9  à º e ” “ ¦ ó ø Í_   â > › ¸| “ É r s ü < ° ú  s 

\ P

 2 ;  â > › ¸| (open boundary condition) \ " f z  ´+ « >`  ¦ Ã

º' Ÿ  % i  .

s

  â > €  `  ¦ CCD B j \  ¦ s 6   x # Œ z  ´r ç ß –Ü ¼– Ð  ”  

`

 ¦ O É Œ% ò % i “ ¦ O É Œ% ò ô  Ç  ”    « Ñ\  ¦ ( Ž É Ó' \  $  © œ # Œ z 

´+ « > Ê ê s   ”  `  ¦ ™ èá Ôà ÔJ ?# Q\  ¦ s 6   x # Œ ì  r$ 3  % i  .

z 

´+ « >\   6   x ) a CCD B j   H Scion 1394 Camera s “ ¦, E $

™Ý ¼  H Computar TV zoom lens M6Z 1212-3S 12.5-7.5 mm F1.2 – Ð O É Œ% ò ÷ &% 3 “ ¦ ™ èá Ôà ÔJ ?# Q  H Image-Pro Plus\  ¦



6   x % i  .

Fig. 3. Snapshots of the evolving interface at different times.

III. ÷ m Ç] M ö + s ÇÊ Ý

Figure 2  H Ä »o €    s – Ð `  ¦  “ : r e ç ß ¼Ó ü t s   â > €  `  ¦ + þ

A$ í ô  Ç  ”  s  . (a)\ " f ˜ Ð# Œt 1 p w Ä »o ó ø Í_  ; Ÿ ¤ s  l  ó

ø Í_  ß ¼l  L`  ¦
  · p . r ç ß – t{ 9  M : 0 Au  i _  Z  } s  h(i, t)  H (b) \ " f ˜ Ð# Œt   H  כ % ƒ! 3  Ä »o ó ø Í_   { Œ •\ " fÂ Ò '

  â > €   t _  à ºf ”  o – Ð   & ñ  ) a  . Z  } s  8 £ ¤& ñ  ) a 0

Au _  > hà º  H n = 678 – Ð U  ´s  L`  ¦ n1 p xì  r # Œ 8 £ ¤& ñ 

“

¦ á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›\ " f  ^ ‰& h Ü ¼– Ð > í ß –  ) a Z  } s \  @ /ô  Ç ³ ðï  r

¼

#   ° ú כÜ ¼– Ð W (t)_  ° ú כ`  ¦ ½ ¨ % i  . n = 678“ É r Image- Pro Plus ™ èá Ôà ÔJ ?# Q\ " f  Ò  ¦ à º e ”   H þ j@ /u – Ð  8 [ j ì

 r  o  ) a Z  } s ° ú כ[ þ t`  ¦ % 3 `  ¦ à º \ O % 3  .

Figure 3“ É r z  ´] j z  ´+ « >s  s À Ò# Q”    ”  Ü ¼– Ð y Œ • r ç ß –\ 



  e ç ß ¼Ó ü t õ  / B N l _   â > €  s  # Qb  G>  $ í  © œ “ ¦ e ”   H t

\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . % ƒ6 £ § Ä »o ó ø Í\  e ç ß ¼\  ¦ f  ¨ à º r †   + ' r  ç

ß –s  â ì É r + ' œ íl _   â > €  _   } 9 l   Œ •Ü ¼
 r ç ß –s  â

ì\  ¦ à º2 Ÿ ¤  â > €  s  & h & h   } 9 # Qt   H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  . Ä » o

ó ø Í`  ¦ [ j0 > z  ´+ « >`  ¦ % i l  M :ë  H \  ×  æ§ 4 \  _ ô  Ç ´ òõ 

e ”

Ü ¼
 ×  æ§ 4 “ É r  â > €  s  $ í  © œ   H 5 Å q • ¸\  ¦ 0 p y Æ Ò  H % i ½ + É

`

 ¦ 
  â > €  _   } 9 l \  % ò † ¾ Ó`  ¦ p u t   H · ú §  H  .

Figure 4  H r ç ß – t\  @ /ô  Ç ³ ð€   ¿ ºa  W (t)\  ¦
  · p



. Ä »o ó ø Í_  ; Ÿ ¤“ É r L = 80 cm s  . Ÿ í o÷ &  H r ç ß –“ É r Ä » o

 ; Ÿ ¤ s  & f ” \     0 p y # Q4 R r ç ß –\  @ /ô  Ç ³ ð€  ¿ ºa _ 



  o\  ¦ ˜ Ðl  0 AK " f  H Ä »o _  ; Ÿ ¤ s  9 þ t à º2 Ÿ ¤ a % ~  . Õ ª Q

 ; Ÿ ¤ s   H  â Ä º Ä »o _  | 9 | ¾ Ós  & 4 R z  ´+ « >s  # Q 90 >t  9



”  `  ¦ n ”   H X <• ¸ ë  H ] j e ” # Q z  ´+ « > 0 p x ô  Ç þ j@ / U  ´s – Ð

Fig. 4. The surface width W (t) versus time t for L = 80cm. The straight guide line represents that the growth exponent β ≈ 0.37.

L = 80 cm\  ¦  6   x % i  . CCD B j – Ð  ”  `  ¦ O É Œ% ò ½ + É M

:_  r ç ß – ç ß –  “ É r œ íl  O É Œ% ò r  t = 30 s_  ç ß –  Ü ¼– Ð 



 t = 3000 ss  © œ { 9  M :\   H 120 œ í ç ß –  Ü ¼– Ð 6000 s

∼ 7000 s  t  O É Œ% ò % i  . z  ´+ « >“ É r 20   ì ø Í4 Ÿ ¤ % i “ ¦, y Œ •y Œ • _

 W (t)\  @ /ô  Ç € © œ © œ^  ¦ ¨ î ç  H ° ú כ`  ¦ ½ ¨ % i  . f ” ‚   ˜ Л ¸‚   _

 l Ö  ¦ l   H 0.37 – Ð s  כ “ É r $ í  © œt à º β ≈ 0.37e ” `  ¦ _ p  ô

 Ç . s  ° ú כ“ É r KPZ ˜ м # $ í ç  H \ " f_  s  : r ° ú כ β =

¹₃

õ  q 

“

§ # Œ ^  ¦ M :, z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð 8 £ ¤& ñ ô  Ç $ í  © œt à º β° ú כs  KPZ s

 : r ° ú כõ    H  ô  Ç ° ú כ`  ¦ º ¡ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .



} 9 l  t à º α\  ¦ 8 £ ¤& ñ l  0 AK  Ä »o _  ; Ÿ ¤`  ¦ L = 20, 30, 40, 60, 80 Ü ¼– Ð    or &  ³ ð€   ¿ ºa  W (L, t)\  ¦ 8 £ ¤

&

ñ % i  . y Œ • ; Ÿ ¤ \  @ /K " f z  ´+ « >“ É r 20   m ”  ì ø Í4 Ÿ ¤ à º' Ÿ ÷ &

%

3 “ ¦ þ j7 á x& h “   W (L, t)_  ° ú כ“ É r € © œ © œ^  ¦ ¨ î ç  H Ü ¼– Ð ½ ¨ % i 



. r ç ß – ç ß –  `  ¦ y Œ • l ó ø Í_  ; Ÿ ¤ L \     ² ú ˜o  # Œ z  ´+ « >

% i   H X <, Õ ª s Ä »  H Ä »o  l ó ø Í_  ; Ÿ ¤ L s  9 þ t à º2 Ÿ ¤ Ÿ í o

÷

&  H X <   o   H r ç ß –s  U  ´# Qt l  M :ë  H s  . Ä »o _  ; Ÿ ¤ \ 



  { 9 & ñ r ç ß – ç ß –  “ É r  6 £ § õ  ° ú  s  % i  . Ä »o _  ; Ÿ ¤ s

 L = 20 cm\ " f  H œ íl  O É Œ% ò `  ¦ t = 30 s ç ß –  Ü ¼– Ð 



 t = 1500 ss  © œ{ 9  M :\   H 120 œ í ç ß –  Ü ¼– Ð 1800 s  t

 O É Œ% ò % i  . Ä »o _  ; Ÿ ¤ s  L = 30 cm\ " f  H œ íl  O É Œ

% ò

`  ¦ t = 20 s ç ß –  Ü ¼– Ð   t = 500 ss  © œ{ 9  M :\   H 40 œ í ç ß –  Ü ¼– Ð t = 1500 s s  © œ{ 9  M :\   H 120 œ í ç ß –  Ü ¼

–

Ð 2000 s ∼ 2500 s t  O É Œ% ò % i  . Ä »o _  ; Ÿ ¤ s  L = 40 cm \ " f  H œ íl  O É Œ% ò `  ¦ t = 20 s ç ß –  Ü ¼– Ð   t = 500 s s  © œ{ 9  M :\   H 40 œ í ç ß –  Ü ¼– Ð t = 1500 ss  © œ{ 9  M :\   H 120 œ í ç ß –  Ü ¼– Ð 3000 s ∼ 3500 s t  O É Œ% ò % i  . Ä »o  _

 ; Ÿ ¤ s  L = 60 cm\ " f  H œ íl  O É Œ% ò `  ¦ t = 20 cm ç ß –   Ü

¼– Ð   t = 500 cms  © œ { 9  M :\   H 40 œ í ç ß –  Ü ¼– Ð

t = 1500 s s  © œ{ 9  M :\   H 120 œ í ç ß –  Ü ¼– Ð 4500 s ∼ 5000

s  t  O É Œ% ò % i  . Ä »o _  ; Ÿ ¤ s  L = 80 cm\ " f  H œ íl 

Fig. 5. Snapshots of the evolving interface for different system size L.

O É

Œ% ò `  ¦ t = 30 s ç ß –  Ü ¼– Ð   t = 3000 ss  © œ{ 9  M :\ 



 H 120 œ í ç ß –  Ü ¼– Ð 6000 s ∼ 7000 s t  O É Œ% ò % i  .

Figure 5  H " f– Ð   É r Ä »o ó ø Í_  ß ¼l  L\  @ /ô  Ç ‘ : r z  ´ +

« >\  _ ô  Ç  â > €   $ í  © œs  Ÿ í o  ) a s Ê ê_  — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Ð# Œï  r



. l ó ø Í_  ß ¼l  & f ” \     ³ ð€  _   } 9 l   8 &  t

  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

l

ó ø Í_  ß ¼l \    É r & ñ | ¾ Ó& h “    } 9 6 £ § & ñ • ¸\  ¦ S X ‰ “   l  0

AK   } 9 l  t à º α\  ¦ ½ ¨Ù þ ¡ . Fig. 6  H l ó ø Í_  ß ¼l  L\ 

@

/ô  Ç Ÿ í o  ) a ³ ð€  ¿ ºa  W (L)_  Õ ªA á Ô\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . f ” ‚  

˜

Л ¸‚  _  l Ö  ¦ l   H 0.48 – Ð  } 9 l  t à º α ≈ 0.48e ” `  ¦
 

 · p . s  ° ú כ“ É r KPZ ˜ м # $ í ç  H \ " f_  s  : r ° ú כ α =

¹2

õ  q

“ § # Œ ^  ¦ M :, z  ´+ « >Ü ¼– Ð 8 £ ¤& ñ ô  Ç  } 9 l  t à º α° ú כs  s 



: r ° ú כõ    H  ô  Ç ° ú כ`  ¦
 Í Ç r`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

³

ð€    } 9 l  Ÿ í o÷ &  H r ç ß – t

^c

“ É r l ó ø Í_  ß ¼l  9 þ t Ã

º– Ð & t   H X < Õ ª › ' a >   H t

c

∼ L

²

– Ð Å Ò# Q”   . ¢ ¸ô  Ç 1 l x% i 

†

< Æ t à º z$ í  © œt à º βü <  } 9 l  t à º ፠ H ü < z = α/β_ 

› '

a > – Ð Å Ò# Qt   H  כ s  · ú ˜ 94 R e ”  . s  z  ´+ « >\ " f % 3 “ É r α ü < β° ú כ`  ¦ s 6   x # Œ z° ú כ`  ¦ ½ ¨ €   1.3_  ° ú כ`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”

 . Fig. 7“ É r y Œ • l ó ø Í\  @ /ô  Ç Ÿ í or ç ß –`  ¦
  · p Õ ªA  á

Ôs  . ˜ Л ¸ f ” ‚  _  l Ö  ¦ l   H 1.31 – Ð αü <β° ú כ`  ¦ s 6   x 

#

Œ ½ ¨ô  Ç z° ú כõ  ¸ ú ˜ ´ ú   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

s

ü < ° ú  s  8 £ ¤& ñ  ) a $ í  © œ t à º,  } 9 l  t à ºü < 1 l x% i † < Æ t  Ã

º ° ú כ`  ¦ s  : r ° ú כõ  q “ §K  ˜ Ѐ Œ ¤`  ¦ M : ‘ : r z  ´+ « >\  _ ô  Ç ³ ð

Fig. 6. The surface width W (L) versus system size L.

The straight guide line represents that the roughness ex- ponent α ∼ 0.48.

Fig. 7. The plot of the saturation time t

c

versus the systme size L.

€

  $ í  © œ“ É r KPZ ˜ м # $ í ç  H \  5 Å q   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . 7 £ ¤, Ä

»o ó ø Í  s _  ‘   / B N ç ß –\ " f ³ ð€   $ í  © œs  s À Ò# Q | 9  à º e ” 

>

 ô  Ç  כ “ É r z  ´| 9 & h Ü ¼– Ð { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § _  ´ òõ \  ¦ ] j ½ + É Ã

º e ” % 3    H  כ `  ¦ _ p ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç ç  H{ 9 ô  Ç B | 9 \ " f_  } Œ •

¸ ú

š6 £ § \  _ ô  Ç ´ òõ ü < ³ ð€   © œ§ 4 \  _ ô  Ç ´ òõ  ÷  r ë ß –  m   Ä

»o ó ø Í ? /– Ð e ç ß ¼Ó ü t s  À 1 Ï 9 `  ¦  š ¸  H õ & ñ \  8 £ ¤€   $ í  © œ s

 s À Ò# Q & ’ 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H  } 9 # Qt   H  â > €  _  1 l x§ 4 † < Æ& h  » ¡ ¤& h \ 

@

/K  z  ´+ « >`  ¦ : Ÿ x K  · ú ˜ ˜ Ѐ Œ ¤ .   5 g”   ¿ º Ä »o ó ø Í  s _  /

B

N l  ×  æ Ü ¼– Ð e ç ß ¼Ó ü t s  À 1 Ï 9 `  ¦  š ¸  H 1 l x î ß – e ç ß ¼Ó ü t õ  / B N l

  s _   â > €  _   } 9 l \  ¦ › ' a ¹ 1 Ï % i  .  â > €  _    } 9

l   H ´ ú §“ É r ³ ð€  $ í  © œ › ' aº   Æ Ò> — ¸+ þ A[ þ t _  „  í ß –r Ð 3 x \ " f

˜

Ð# Œ t   H  כ õ  ° ú  “ É r $ í  © œ — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Ð# ŒÅ Ò# Q r ç ß –s  t  z

Œ

™\      } 9 “ É r & ñ • ¸ & t   { 9 & ñ r ç ß –s  t è ß – Ê ê

Ÿ

í o÷ &  H — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Ð% i  . ¢ ¸ô  Ç Ä »o ó ø Í_  ; Ÿ ¤ s  & | 9 à º2 Ÿ ¤

\

 5 Å q † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s  כ “ É r l ” > r _  } Œ • B | 9  (random media) \ " f_  ³ ð€  $ í  © œ › ' aº   z  ´+ « >[ þ t õ  ² ú ˜o  / B N l \  ¦ B | 9 

–

Ð † < ÊÜ ¼– Ð" f { Œ ™F K| 9 ô  Ç ¸ ú š6 £ § _  ´ òõ  Á ºr  | ¨ c à º e ” % 3 6 £ §

`

 ¦ _ p ô  Ç . 7 £ ¤ ‘ : r z  ´+ « >õ  ° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   x # Œ } Œ • ¸ ú š 6

£

§ \  _ ô  Ç ³ ð€  $ í  © œ_  1 l x§ 4 † < Æ& h   1 l x`  ¦ z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð S X ‰

“

 ½ + É Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç ´ ú §“ É r } Œ • B | 9 \ " f_  ³ ð€  $ í  © œ z  ´+ « >[ þ t s

 QKPZ ˜ м # $ í ç  H \  5 Å q “ ¦ ‘ : r z  ´+ « >\ " f_   â > €   $ í



© œs  KPZ ˜ м # $ í ç  H \  5 Å q   H  כ `  ¦ ^  ¦ M : z  ´] j  ƒ  & h “  

³

ð€  $ í  © œ_  — ¸_ þ v \   H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 8 £ ¤€  $ í  © œ_  ´ òõ  e ” 



  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2007¸  • ¸ & ñ  Ò(õ † < Æl Õ ü t  Ò)_  F " é ¶ Ü ¼

–

Ð ô  Dz D G õ † < ÆF é ß –_  t " é ¶ (No.R01-2007-000-20619-0) õ  2010¸  • ¸ ô  Dz D G “ §" é ¶ @ /† < Ɠ § “ §? / ƒ  ½ ¨q  t " é ¶`  ¦ ~ à Î  à º '

Ÿ  ) a ƒ  ½ ¨{ 9 m  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] A. L. Barbasi and H. E. Stanley, Fractal Concepts in Surface growth (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995).

[2] F. Family and T.Vicsek, eds. Dynamics of Fractal Surfaces (World Scientific, Singapore, 1991).

mook Kim, Phys. Rev. E 65, 017104 (2002); Y.-M.

Choi, H.-J. Kim and In-mook Kim, Phys. Rev. E 66, 047102 (2002).

[8] J. M. Kim and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett.

62, 3539 (1989).

[9] K. Sneppen, Phys. Rev. Lett. 69, 3539 (1992).

[10] H. Jeong, B. Kahng and D. Kim, Phys. Rev. Lett 77, 5094 (1996).

[11] M. A. Rubio, C. A. Edwards, A. Dougherty and J.

P. Gollub, Phys. Rev. Lett 63, 1685 (1989).

[12] V. K. Horvath, F. Family and T. Vicsek, Phys. Rev.

Lett 67, 3207 (1991).

[13] S. He, G. L. M. K. S. Kahanda and P.-Z. Wong, Phys. Rev. Lett 69, 3731 (1992).

[14] S. V. Buldyrev, A. L. Bar´ abasi, F. Caserta, S.

Havlin, H. E. Stanley and T. Vicsek, Phys. Rev.

A 45, R8313 (1992).

[15] S. V. Buldyrev, A-L. Barabasi, S. Havlin, J. Kertesz, H. E. Stanley and H. S. Xenias, Physica A 191, 220 (1992).

[16] V. K. Horvath and H. E. Stanley, Phys. Rev. E 52, 5166 (1995).

[17] T. H. Kwon, A. E. Hopkins and S. E. O’Donnell,

Phys. Rev. E 54, 685 (1996).