제 16권 제 6 호 2011년 12월 pp. 397-406
휴대폰용 카메라 렌즈 시스템의 공차최적설계
정상진*, 최동훈**, 최병렬***, 김주호****
Tolerance Analysis and Optimization for a Lens System of a Mobile Phone Camera
Sangjin Jung*, Dong-Hoon Choi**, Byung-Lyul Choi*** and Ju Ho Kim****
ABSTRACT
Since tolerance allocation in a mobile phone camera manufacturing process greatly affects produc- tion cost and reliability of optical performance, a systematic design methodology for allocating optimal tolerances is required. In this study, we proposed the tolerance optimization procedure for determining tolerances that minimize production cost while satisfying the reliability constraints on important optical performance indices. We employed Latin hypercube sampling for evaluating the reliabilities of optical performance and a function-based sequential approximate optimization technique that can reduce com- putational burden and well handle numerical noise in the tolerance optimization process. Using the sug- gested tolerance optimization approach, the optimal production cost was decreased by 30.3 % compared to the initial cost while satisfying the two constraints on the reliabilities of optical performance.
Key words : Latin Hypercube Sampling (LHS), Lens System Design, Modulation Transfer Function (MTF), Progressive Quadratic Response Surface Modeling (PQRSM), Tolerance, Tolerance Analysis, Tolerance Optimization
1. 서 론
휴대폰용 카메라의 렌즈 시스템은 다양한 형상을 가진 여러 렌즈들의 조합으로 이루어져 있으며, 일반 적으로 변조전달함수(modulation transfer function;
MTF)[1,2]와 같은 광학 성능지수가 최대화되도록 설계
된다. 원하는 성능에 도달하도록 렌즈 시스템을 설계 하기 위해서는 체계적인 설계 프로세스의 구축과 설 계자의 수많은 설계 경험이 요구된다. 그러나 이를 통 해 렌즈 시스템이 설계되었을지라도 설계한 대로 정 확하게 제품을 제작하는 것은 매우 어렵다. 따라서 설 계된 목표 성능과 실제 제작된 제품의 성능이 정확히 일치하기란 현실적으로 불가능하다.
산업체에서는 제품 성능의 변동(variation)을 최소화 하면서 제품의 제작 비용을 줄일 수 있는 적절한 공차 를 할당하기 위하여 노력하고 있다. 이처럼 공차 할당 은 제품의 제작 비용과 성능의 신뢰도(reliability)에 큰 영향을 미치기 때문에 매우 중요하지만, 대부분의 산 업체에서는 기존의 설계 경험에 의존하여 공차를 결 정하고 있는 실정이다. 이로 인해 최적의 공차 할당량 을 결정할 수 있는 체계적인 공차설계 기법의 개발이 최근 요구되고 있다.
할당된 공차에 따른 렌즈 시스템 성능의 신뢰도를 계산하기 위해서는 공차해석(tolerance analysis)을 수행 해야 한다. 이러한 공차해석을 수행하기 위해서는 입 력변수의 변동으로 인한 시스템 성능 인자의 불확실성 을 평가하는 방법인 신뢰도 해석(reliability analysis;
RA) 기법을 이용해야 한다. 1970년대 이후부터 다양한 신뢰도 해석 기법들이 개발되어 왔으며, 최근에는 근 사적분법(approximate integration method)[3-5]과 추출법 (sampling method)[6-13]이 주로 이용되고 있다. 그러나 근사적분법의 경우 다른 신뢰도 해석 방법에 비해 효 율적이지만 변수간의 교호작용이 클 경우 정확도가
*비회원, 한양대학교 대학원 기계공학과
**교신저자, 종신회원, 한양대학교 최적설계신기술 연 구센터 (iDOT)
***비회원, (주)피도텍
****비회원, (주)삼성전기 OMS 사업부 -논문투고일: 2011. 00. 00
-논문수정일: 2011. 00. 00 -심사완료일: 2011. 00. 00
감소하는 단점이 존재한다[14]. 이에 반해, 추출법은 각 변수간의 교호작용에 적게 영향을 받으며 민감도 정 보가 필요 없기 때문에 시스템의 비선형성이 심하더 라도 정확한 신뢰도 해석이 가능한 것으로 알려져 있 다. 가장 대표적인 추출법에는 몬테카를로 시뮬레이 션(Monte Carlo simulation; MCS)[6]과 라틴방격추출 법(Latin hypercube sampling; LHS)[7]이 있다. MCS 는 정확한 결과를 얻기 위해 매우 많은 추출점이 요구 되기 때문에 한번의 신뢰도 해석을 수행하는데 엄청 난 시간과 비용이 소요된다. 이에 반해 LHS는 MCS 에 비해 훨씬 적은 추출점으로도 정확한 신뢰도 해석 결과를 얻을 수 있는 것으로 알려져 있다[8-13].
한편, 렌즈 시스템의 성능을 유지하면서 제작비가 최소화되도록 최적의 공차를 할당하기 위해서는 공차 설계기술의 도입이 필요하다. 광학(optics) 분야에서는 1970년대 이후부터 Grey[15], Grammatin[16], Adams[17], Youngworth[18,19], Cassar[20], Kehoe[21] 등에 의해 공차 설계에 관한 연구가 수행되어 왔다. Adams[17]는 비용 함수(cost function)를 이용한 공차설계 방법을 처음 제안하였다. Youngworth[18, 19]는 광학 시스템의 생산 비용과 수율에 관련된 비용을 하나의 비용함수로 모 델링하였으며, 성능지수에 대한 이차 근사화(second- order approximation) 기법을 이용하여 공차설계를 수 행하였다. 그러나 이 방법은 비용함수가 외부벌칙함 수(exterior penalty function) 형태이기 때문에, 적합 한 벌칙매개변수(penalty parameter)를 결정하기가 매 우 까다로우며 최적해를 구하기 어렵다. 또한 성능지 수에 대한 헤시안(Hessian)의 계산이 요구되기 때문에 실용적이지 못한 단점이 존재한다. Cassar[20]와 Kehoe[21]는 MCS를 공차해석 기법으로 이용하여 공차 할당을 수행하는 방법을 제안하였다. 하지만 이 방법 들은 많은 계산이 요구되는 MCS를 이용하였으며 최 적화 기법을 적용하지 않았기 때문에, 효율성이 매우 떨어지고 체계적이지 못한 한계가 있다. 이와 같이 기 존의 방법에서는 공차해석 및 설계를 위해 많은 계산 시간이 요구되며 렌즈 시스템에 적합한 공차설계 방 법이 제안되지 못한 상태이다.
본 연구에서는 시스템의 비선형성의 정도와 변수간 의 교호작용에 적게 영향을 받으면서도 정확한 신뢰 도 해석을 효율적으로 수행할 수 있는 LHS를 이용하 여 공차해석을 수행하고자 한다. 그리고 렌즈 시스템 의 공차최적설계에 적합한 최적화 기법을 적용하여 요구되는 신뢰도를 만족하면서 제작 비용을 최소화하 는 최적의 공차 할당량을 결정할 수 있는 공차최적설 계 방법을 제시하고자 한다.
2. 휴대폰용 카메라 렌즈 시스템
본 연구의 설계대상인 휴대폰용 카메라 렌즈 시스 템은 Fig. 1과 같이 4개의 렌즈와 적외선 차단 필터 (infrared(IR) blocking filter), 상이 맺히는 이미지 센 서(image sensor)로 이루어져 있다. 이미지 센서는 휴 대폰 카메라 모듈에서 상이 맺히는 부분이다. 이 렌즈 시스템은 상용 광학 해석 프로그램인 CODE V[22]를 이용하여 모델링 되었다.
이 렌즈 시스템은 카메라 모듈의 경통(barrel)과 스 페이서(spacer), 덮개(housing)와 함께 조립된다. 이때 조립되는 과정에서 조립오차가 발생하거나, 조립 전 에 렌즈를 가공하는 과정에서 가공오차가 발생한다.
바로 이러한 오차들로 인해 광학적 특성 저하가 발생 할 수 있으며, 이 오차들을 관리하는 제작 및 조립 공차 들이 광학적 특성에 영향을 미친다. 또한 이 공차들은 제작 및 조립 공정에서의 제작 단가에도 영향을 준다.
본 연구에서는 렌즈 시스템 내의 4개의 렌즈와 센 서 면을 설계 대상으로 선정하였으며, 적외선 차단 필 터는 설계 대상으로 고려하지 않았다. 본 논문에서는 각 렌즈의 위치를 쉽게 표기하기 위해 다음과 같은 표 기 방식을 이용하고자 한다. Fig. 1에서 볼 수 있듯이 L1, L2, L3, L4는 각각 첫 번째부터 네 번째까지의 렌즈를 나타낸다. 그리고 렌즈의 앞, 뒷면은 기호 a와 b를 이용하여 나타내고자 한다. 예를 들어, L2a는 두 번째 렌즈의 앞면을 말한다. 상을 인식하는 센서 면은 Fig. 1과 같이 Image라고 표기할 것이다.
3. 공차설계문제 정식화
3.1 설계변수
렌즈를 가공하거나 조립할 때 여러 가지 오차가 발 생할 수 있으며, 이러한 오차를 고려하여 공차설계를
Fig. 1. 3D configuration of the lens system.
수행해야만 렌즈 시스템이 목표로 한 광학 성능을 낼 수 있는 신뢰도를 달성할 수 있다. 즉 렌즈 시스템의 설계 시, 각 렌즈에 대한 적절한 공차를 부여하고 이 를 관리하는 것이 필수적이다.
본 연구의 설계 대상인 렌즈 시스템에서도 가공 및 조립 시 반드시 고려해야 하는 여러 공차들이 존재한 다. 렌즈 시스템 성능에 민감한 영향을 미치는 공차의 종류에는 각 렌즈의 두께(thickness), 디센터(decenter), 틸트(tilt) 공차 등이 있다. 렌즈의 가공 및 조립 시 발 생하는 두께 오차, 디센터, 틸트 등은 렌즈의 한 면에 서만 발생하거나 렌즈 전체에서 발생할 수도 있다. 렌 즈의 한 면에 대해 발생하는 오차를 고려하는 공차 (surface tolerance)의 종류에는 Fig. 2에서 볼 수 있듯 이 틸트, 디센터, 두께가 있으며, 렌즈 전체를 고려해 야 하는 공차(element tolerance)에는 Fig. 3과 같이 틸트와 디센터가 있다.
렌즈 시스템의 surface tolerances와 element tole- rances를 공차 종류와 위치에 따라 정리하면 Table 1과 같다. 총 33개의 공차가 존재하며 이 공차들은 모두 정 규분포(normal distribution) 형태를 가지는 랜덤 변수 이다. 이 정규분포의 표준편차가 바로 허용 공차량이 되며, 본 연구에서는 이 허용 공차량을 공차설계를 위 한 설계변수로 선정하였다. 각 설계변수의 단위, 하한 치 및 상한치, 초기값을 Table 2에 정리하였다. 이 값 들은 렌즈 시스템 제조업체로부터 제공받은 값이다.
3.2 목적함수
렌즈 시스템을 설계할 때 공차설계를 수행해야 하 는 이유는 광학 성능에 대한 요구치를 만족하는 신뢰 도가 목표 신뢰도(target reliability)보다 크도록 하면서 제작 비용을 최소화하기 위해서이다.
먼저 본 연구에서는 앞서 설명한 설계변수들을 이 용하여 비용함수를 식 (1)과 같이 제안하고자 한다. 이 비용함수는 공차최적설계를 수행할 때 최소화되어야 Fig. 2. Types of surface tolerances.
Fig. 3. Types of element tolerances.
Table 1. Tolerances of the lens system Tolerance
type Location Distribution type
No. of tolerances Thickness
(TH)
L1a, L1b, L2a, L2b, L3a, L3b,
L4a, L4b
Normal 8
Surface decenter (SD)
L1a, L1b, L2a, L2b, L3a, L3b,
L4a, L4b
Normal 8
Surface tilt (ST)
L1a, L1b, L2a, L2b, L3a, L3b,
L4a, L4b
Normal 8
Element decenter
(ED)
L1, L2, L3, L4 Normal 4
Element tilt
(ET) L1, L2, L3, L4 Normal 4 Image tilt
(IT) Image Normal 1
Table 2. Initial, lower bound, and upper bound values of the design variables
Tolerance
type Location Lower bound
Initial value
Upper bound Unit
TH
L1a, L1b, L2a, L2b, L3a, L3b, L4a, L4b
0.0 5.0 10.0 µm
SD
L1a, L1b, L2a, L2b, L3a, L3b,
0.0 2.5 10.0 µm
SD L4a, L4b 0.0 1.5 10.0 µm
ST
L1a, L1b, L2a, L2b, L3a, L3b, L4a, L4b
0.0 3.0 10.0 min
ED L1, L3 0.0 3.0 10.0 µm
ED L2, L4 0.0 5.0 10.0 µm
ET L1, L2,
L3, L4 0.0 4.0 10.0 min
IT Image 0.0 18.0 40.0 min
하는 목적함수(objective function)로써 이용된다. 제안 된 비용함수에서는 각 공차의 중요도에 따라 가중치 를 부여할 수 있으며, 공차의 크기 및 범위가 각기 다 르더라도 변화되는 비용의 범위가 동일하도록 정규화 되어 있다.
(1)
식 (1)에서 i는 Table 3에 나열된 공차 유형을 나타 내며, Ni는 i번째 공차 유형에 포함된 공차 변수의 개 수, ti는 각 공차 유형에 대한 가중치이다. xij는 i번째 공차 유형 중 j번째 공차 변수(설계 변수)를 나타낸다.
aij, bij, cij는 xij가 하한 값, 하한과 상한 사이의 중간 값, 그리고 상한 값일 때 비용이 각각 10, 1, 0.5가 되도록 정규화해주는 상수들이다. Ni, ti, aij, bij, cij의 값들은 Table 3에 정리되어 있다. Table 2에서 볼 수 있듯이 본 연구에서는 IT를 제외한 모든 공차 유형들 의 하한, 중간(초기 값이 아님), 상한 값들이 동일하기 때문에, IT를 제외한 나머지 공차 유형들의 aij, bij, cij 의 값은 동일하게 설정되었다. ti는 Table 3에서 볼 수 있듯이 모든 공차 유형에 대해 동일하게 설정해 주었 다. 그러나 실제로는 공차 유형에 따라 가중치가 다를 수 있기 때문에, 추후 연구에서는 공차 유형별 가중치 를 정량화하여 공차설계를 수행할 예정이다.
3.3 구속조건
변조전달함수(modulation transfer function; MTF) 는 렌즈 시스템의 광학 성능을 평가할 때 가장 대표적 으로 이용되는 응답 중에 하나이다. MTF는 Fig. 4와 같이 렌즈 시스템의 해상력에 따라 0과 1사이의 값을 가지는 함수이며, MTF의 값이 1에 가까울 경우 렌즈 시스템의 해상력이 높음을 나타낸다.
본 연구에서는 상용 광학 해석 프로그램인 CODE V를 이용하여 Fig. 1과 같이 모델링 된 렌즈 시스템 에 대한 광학 해석을 수행한 후 MTF 값을 얻는다.
일반적으로 MTF는 가로축 방향 MTF 와 세로축 방 향 MTF가 얻어지는데, 두 값을 동시에 고려하기 위 하여 두 값의 평균값인 를 대신 이용하였다.
본 연구에서는 렌즈 시스템의 광학 성능 평가를 위 해 성능지수 G1과 G2를 이용하였다. 첫 번째 성능지수 G1은 의 균일도(uniformity)이다. G1은 Fig. 5와 같이 이미지 센서의 네 군데 필드(field)의 0.75 지점 에서 측정된 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이를 나타낸다. 각 렌즈마다 존재하는 틸트나 디센터 등으로 인해 는 각 필드마다 각기 다른 값들이 얻어진다. 따라서 이 값들의 차이가 작아야만 균일한 해상력을 얻을 수 있기 때문에 G1은 상한 값 G1U보다 작아야만 한다. 두 번째 성능지수 G2는 각 필 드의 0.75 지점에서 측정된 중에서 가장 작은 값을 나타내며, G2는 하한 값 G2L보다 반드시 커야만 한다.
설계변수 벡터 x의 함수인 G1(x)와 G2(x)는 랜덤 변수이다. 왜냐하면 설계변수 x가 정규분포 형태를 가 지는 랜덤 변수이기 때문이다. G1이 G1U보다 작을 확 률 R1과 G2가 G2L보다 클 확률 R2를 수식으로 나타내 면 아래와 같다.
(2) Cost ti aij
xij ( )2+bij ---+cij
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
j 1= Ni
∑
⎝ ⋅ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
,i
i 1=
∑
6 1, ,… 6= =
MTF
MTF
MTF
MTF
MTF
R1=P G( 1( ) Gx ≤ 1U)
Table 3. Values of the parameters in the cost function Tolerance Ni ti aij bij cij
TH ( i=1) 8 1.0 18.26 1.89 0.32 SD ( i=2) 8 1.0 18.26 1.89 0.32 ST ( i=3) 8 1.0 18.26 1.89 0.32 ED ( i=4) 4 1.0 18.26 1.89 0.32 ET ( i=5) 4 1.0 18.26 1.89 0.32 IT ( i=6) 1 1.0 292.20 30.19 0.32
Fig. 4. Resolution of a lens system.
Fig. 5. 0.75 field of the lens system.
(3)
R1과 R2는 광학 성능지수의 신뢰도(reliability)를 나 타내며, 5.1절에서 설명할 공차해석 기법을 통해 계산 된다. 이때 R1, R2는 목표 신뢰도(target reliability)인 R1L, R2L보다 항상 커야만 한다. 이를 수식으로 나타내 면 다음과 같다.
(4) (5)
본 연구에서는 식 (4), (5)를 렌즈 시스템의 공차최 적설계를 위한 구속조건으로 이용하였다. 식 (4), (5) 에서 G1U와 G2L은 0.15와 0.41로 설정하였으며, R1L과 R2L은 설계 케이스에 따라 다르게 설정해 주었기 때문 에 6절에서 다시 설명하고자 한다. 이 값들은 렌즈 시 스템 제조업체로부터 제공받은 값이다.
3.4 공차설계문제 정식화
앞에서 언급한 설계변수와 설계 요구사항을 반영하 여 공차설계문제를 정식화하면 다음과 같다.
(6)
식 (6)의 설계변수 벡터 x는 Table 1에서 자세히 설명하였으며, 각 설계변수의 하한치 xiL과 상한치 xiU
는 Table 2에 정리되어 있다. 목적함수는 식 (1)과 같 이 정의된 Cost를 이용하였으며, 구속조건은 식 (4), (5)와 같다. 공차설계문제 정식화를 통해 알 수 있듯이 본 연구의 목표는 광학 성능에 대한 요구치를 만족하 는 신뢰도가 목표 신뢰도보다 크도록 하면서 제작 비 용을 최소화할 수 있는 최적의 공차 할당량 x를 얻는 것이다.
4. Process Integration
설계변수, 목적함수, 구속조건이 정의된 렌즈 시스 템에 대한 공차해석 및 최적설계를 위해 본 연구에서 는 두 가지 상용 프로그램을 이용하였다. 먼저, 렌즈 시스템의 광학 해석을 위해 상용 광학 해석 프로그램
인 CODE V[22]를 이용하였다. 그리고 CODE V를 통 해 모델링 된 렌즈 시스템의 광학 해석 과정을 자동화 하고 여러 설계 기법들을 적용하여 설계 개선을 하기 위해 상용 PIDO(process integration and design optimization) 툴인 PIAnO 3.0[23]을 이용하였다.
렌즈 시스템의 공차해석 및 최적설계를 위해서는 반복적인 광학 해석이 가능하도록 해석 과정의 자동 화가 필수적으로 이루어져야 한다. 본 연구에서는 PIAnO의 맵핑(mapping) 기능을 이용하여 렌즈 시스 템의 입력, 해석, 출력 과정을 자동화하였고, Fig. 6과 같이 광학 해석을 위해 필요한 여러 해석 컴포넌트 사 이의 데이터 플로우(data flow)를 설정하여 설계변수 의 변경에 따라 자동화된 광학 해석을 반복적으로 수 행할 수 있도록 하였다.
5. 공차해석 및 공차최적설계 기법
5.1 LHS를 이용한 공차해석
본 연구에서는 33개 공차의 확률분포에 따른 광학 성능지수의 신뢰도 R1, R2를 계산하기 위하여, 신뢰도 해석 기법 중에 하나인 LHS를 공차해석 방법으로 선 정하였다. 렌즈 시스템의 공차설계에 관한 기존의 연 구에서는 렌즈 시스템의 공차해석을 위해 주로 MCS 가 이용되었다. MCS는 충분한 수의 난수를 추출하여 이에 대한 성능함수의 값을 계산한 후, 이를 전체 추 출횟수로 나누어 평균을 구하고, 계산된 값들과 예측 된 평균값의 차이로 분산을 예측하는 방법이다. 그러 나 이 방법은 정확한 신뢰도를 계산하기 위해서 엄청 나게 많은 반복 해석이 요구되기 때문에 매우 비효율 적이다. 이에 반해 LHS는 입력변수의 분포를 고려하 여 추출 횟수에 따라 영역을 나누고, 전체 영역에 대 해 골고루 추출점을 배치하여 평균, 분산, 신뢰도 등 R2=P G( 2( ) Gx ≥ 1L)
P G( 1( ) Gx ≤ 1U) R≥ 1L P G( 2( ) Gx ≥ 2U) R≥ 2L
Find to minimize subject to
x Cost x( ) P G( 1( ) Gx ≤ 1U) R≥ 1L P G( 2( ) Gx ≤ 2U) R≥ 2L xiL≤ ≤xi xiU, i=1, ,… 33
Fig. 6. Process Integration using PIAnO 3.0.
을 예측한다. LHS는 MCS에 비해 훨씬 적은 추출점을 가지고도 정확하게 신뢰도를 예측할 수 있기 때문에 MCS에 비해 훨씬 효율적인 것으로 알려져 있다[8-13].
Table 2에 나열된 각 공차의 초기점에서 MCS와 LHS를 이용하여 공차해석을 수행한 후, G1과 G2에 대한 평균과 표준편차를 비교해 보았다. G1과 G2에 대한 정확한 평균과 표준편차를 얻기 위해 MCS는 추 출점 100000개(Intel Core2 Quad CPU @ 2.40 GHz, 4 GB RAM 기준, 약 85시간 소요)를 이용하였으며, LHS는 1000개(Intel Core2 Quad CPU @ 2.40 GHz, 4 GB RAM 기준, 약 50분 소요)를 이용하여 공차해석 을 수행하였다. 그 결과, Table 4에서 볼 수 있듯이 LHS를 이용할 경우 훨씬 적은 해석 횟수에도 불구하 고 MCS와 거의 동일한 결과를 얻을 수 있었다.
만약 5.2절에서 설명할 최적화 기법을 이용하여 공 차최적설계를 할 경우에는 변경된 설계점마다 신뢰도 R1, R2를 계산하기 위해 공차해석을 반복적으로 수행 해야 한다. 이때 LHS를 이용할 경우 기존의 연구에서 주로 이용되었던 MCS에 비해 훨씬 효율적으로 공차 최적설계 결과를 얻을 수 있다.
5.2 공차최적설계 절차
본 연구에서는 식 (6)과 같이 정식화된 공차설계문 제의 최적화를 위하여 순차적 근사 최적화(sequential approximate optimization; SAO) 기법 중에 하나인 점진적 이차 반응표면법(progressive quadratic response surface modeling; PQRSM)[24, 25]을 이용하였다. 최적화 기법을 이용한 공차최적설계 시 공차해석을 반복적으 로 수행해야 하며, 이때 얻어지는 설계 민감도는 일반 적으로 부정확하다. 따라서, 일반적인 국부 최적화 (local optimization)를 위해 자주 이용되는 구배 기반 최적화(gradient-based optimization) 기법을 사용할 경우, 부정확한 민감도로 인해 효율성이나 정확성이 떨어지거나 엉뚱한 설계 결과를 얻는 문제가 발생한 다. 이에 반해 PQRSM은 함수 기반 최적화(function- based optimization) 기법이기 때문에 민감도를 계산하 지 않고도 최적화를 수행할 수 있다. 또한 PQRSM은
다른 최적화 기법에 비해 효율적이면서 정확한 최적 해를 얻을 수 있는 장점이 있다. 설계변수의 개수가 n 개일 때 기존의 근사 최적화 기법에 비해 상당히 적은 2n + 1개의 실험점 만으로 설계변수간의 교호작용을 고려한 항까지 근사적으로 계산하여 완전이차근사모 델(full quadratic approximate model)을 만들 수 있 기 때문에 효율적이면서 정확한 근사모델 생성이 가 능하다. 또한 PQRSM은 근사모델의 정확성에 따라 설계영역의 크기를 조절하는 신뢰영역 알고리즘(trust region algorithm)[24, 25]을 이용하여 목적함수와 구속조 건에 대한 근사모델의 정확도를 관리한다. 이 신뢰영 역 알고리즘은 Cauchy 감소율 조건(fraction of Cauchy decrease condition)[26, 27]을 만족할 경우 알고 리즘의 수렴성이 보장되는 것으로 알려져 있다.
PQRSM을 이용한 공차최적설계의 자세한 진행 절 차는 Fig. 7과 같다. 먼저 초기 설계점 x0를 설정해준 다. 본 연구에서 사용한 초기 설계점의 값은 Table 2 에 나열되어 있다. 다음으로, 현재 설계점 xc를 xc = x0
로 설정해준 후, xc 주위에 2n개의 축점(axial point)들 을 추가로 선택한다. 즉, 실험점은 총 2n + 1개이며, 각각의 실험점에서 식 (6)에서 정식화된 공차설계문 제의 목적함수와 구속조건 값들을 계산할 것이다. 목 적함수는 Cost 모듈에서 식 (1)을 통해 계산되며 구속 조건은 Tolerance Analysis Using LHS 모듈에서 식 (4), (5)에 의해 계산된다. Tolerance Analysis Using LHS 모듈에서는 NLHS개의 LHS 추출점이 선택되고,
Table 4. Comparison between MCS and LHS Optical performance MCS
(100000)
LHS (1000) G1
Mean 0.100 0.101
Standard deviation 0.065 0.066 G2
Mean 0.451 0.451
Standard deviation 0.069 0.071 Fig. 7. Tolerance optimization procedure.
각 추출점에서 CODE V를 이용한 광학해석을 통해 광학성능지수 G1과 G2의 값들이 얻어진다. 이때 신뢰 도 R1과 R2는 NLHS개의 LHS 추출점 중 가용점 (feasible point)의 개수의 비율로 계산된다. 2n + 1개의 실험점에서 계산된 신뢰도와 비용 벡터 R1, R2, Cost 는 다시 최적화 루틴으로 돌아오며, 이 벡터들과 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS) 업데이트 방법[24]을 이용하여 목적함수 및 구속조건에 대한 근 사모델을 각각 생성한다. 이와 같이 근사화된 목적함 수와 구속조건을 이용하여 근사최적화(approximate optimization)를 수행함으로써 근사최적해 x*를 얻는 다. x*는 다시 Tolerance Analysis Using LHS 모듈 과 Cost 모듈로 넘어간 후 실제 신뢰도와 비용 R1*, R2*, Cost*가 계산된다. 만약 R1*, R2*, Cost*가 현재 설계점 xc에서의 R1, R2, Cost에 충분히 가까울 경우, 최적해가 얻어졌으므로 알고리즘을 종료한다. 그렇지 않으면, 신뢰영역을 업데이트하고 다음 반복회 (iteration)를 위해 xc를 xc = x*로 설정한 후 알고리 즘이 수렴할 때까지 전체 과정을 반복한다.
6. 공차최적설계 결과
본 절에서는 5.2절에서 제안된 공차최적설계 절차를 이용하여 렌즈 시스템의 공차최적설계를 수행한 결과 에 대해 살펴보고자 한다. 본 연구에서는 Table 5와 6 에서 볼 수 있듯이 크게 두 가지 케이스에 대해서 공 차최적설계를 수행해 보았다. 먼저 첫 번째 테스트에 서는 제안된 공차최적설계 절차의 유효성을 검증하기 위하여, 식 (4)와 (5)에서의 목표 신뢰도 R1L과 R2L을 각각 0.8로 선정한 후 공차최적설계를 수행하였다. 그 리고 두 번째 테스트에서는 목표 신뢰도 R1L과 R2L을 실제 렌즈 시스템 제조업체로부터 제공받은 값인 0.99, 0.98로 설정하여 공차최적설계를 수행하였다. 각 설계변수의 초기치는 Table 2에 기재된 값을 사용하 였으며, 이 값 역시 실제 렌즈 시스템 제조 과정에서 쓰이고 있는 공차 할당량이 이용되었다.
먼저 첫 번째 케이스에 대한 공차최적설계 결과는 Table 5와 같다. 설계변수의 경우 초기 공차 할당량에 비해 모두 증가하였으며, 목적함수는 61.30에서 24.51 로 약 60.0% 감소하였다. 또한 구속조건은 목표 신뢰 도를 모두 만족하였음을 알 수 있었다.
하지만, 초기점에서의 R10와 R20가 각각 0.989, 0.979였기 때문에, 목표신뢰도 R1L과 R2L을 0.8로 설정 할 경우 제작비용이 감소되는 최적해가 얻어지는 것 은 당연한 결과라 할 수 있다. 따라서 두 번째 케이스
에서는 목표 신뢰도 R1L과 R2L을 각각 0.99, 0.98로 높게 설정하여 공차최적설계를 수행해 보았다. 그 결 과, Table 6에서 볼 수 있듯이 설계변수 x5, x7, x9, x14, x25, x27, x33의 경우 초기 값에 비해 다소 감소하
Table 5. Tolerance optimization results for case 1 Design variables Initial Optimal
x1 (TH-L1a) 5.0 10.00
x2 (TH-L1b) 5.0 7.268
x3 (TH-L2a) 5.0 10.00
x4 (TH-L2b) 5.0 8.751
x5 (TH-L3a) 5.0 5.717
x6 (TH-L3b) 5.0 8.392
x7 (TH-L4a) 5.0 5.158
x8 (TH-L4b) 5.0 10.00
x9 (SD-L1a) 2.5 4.092
x10 (SD-L1b) 2.5 3.234
x11 (SD-L2a) 2.5 10.00
x12 (SD-L2b) 2.5 8.564
x13 (SD-L3a) 2.5 10.00
x14 (SD-L3b) 2.5 4.060
x15 (SD-L4a) 1.5 5.929
x16 (SD-L4b) 1.5 6.164
x17 (ST-L1a) 3.0 7.823
x18 (ST-L1b) 3.0 9.501
x19 (ST-L2a) 3.0 9.066
x20 (ST-L2b) 3.0 9.966
x21 (ST-L3a) 3.0 10.00
x22 (ST-L3b) 3.0 10.00
x23 (ST-L4a) 3.0 7.822
x24 (ST-L4b) 3.0 9.958
x25 (ED-L1) 3.0 3.816
x26 (ED-L2) 5.0 8.102
x27 (ED-L3) 3.0 3.749
x28 (ED-L4) 5.0 9.435
x29 (ET-L1) 4.0 4.768
x30 (ET-L2) 4.0 10.00
x31 (ET-L3) 4.0 9.700
x32 (ET-L4) 4.0 10.00
x33 (IT) 18.0 19.77
Constraints Lower limit Optimal
R1 0.800 0.880
R2 0.800 0.800
Objective function Initial Optimal
Cost 61.30 24.51
였으나, 나머지 26개의 설계변수는 초기치에 비해 증 가한 것을 알 수 있었다. 특히 일부 설계변수들은 상 한치까지 도달하였기 때문에, 추후 연구에서는 설계 변수의 범위를 좀 더 크게 조정하여 공차최적설계를
수행할 경우 더 좋은 결과를 얻을 수 있을 것으로 보 인다. 목적함수의 경우, 61.30에서 42.75로 약 30.3%
감소하였으며, 구속조건은 목표 신뢰도를 모두 만족 한 결과를 얻었다. 즉, 제안된 공차최적설계 절차를 통 하여 목표 신뢰도를 만족하면서 렌즈 시스템 제작비 용을 감소시키는 최적의 공차 할당량을 결정할 수 있 음을 확인할 수 있었다.
7. 결 론
본 연구에서는 휴대폰용 카메라 렌즈 시스템에 대 하여 요구되는 신뢰도를 만족하면서 제작 비용을 최 소화하는 최적의 공차 할당량을 결정할 수 있는 공차 최적설계 방법을 제안하였다. 먼저 각 렌즈의 두께, 디 센터, 틸트 등 총 33개의 공차를 공차설계를 위한 설 계변수로 선정하였으며, 제작비용을 목적함수로, 변조 전달함수의 크기와 균일도에 대한 신뢰도를 각각 구 속조건으로 선정하여 공차설계문제를 정식화 하였다.
또한 공차설계 기법을 적용하기 위하여, 렌즈 시스템 의 반복적인 광학 해석이 가능하도록 렌즈 시스템의 입력, 해석, 출력 과정을 자동화하였다. 공차해석 기법 으로는 LHS를 선정하였으며, 순차적 근사 최적화 기 법인 PQRSM을 이용하여 렌즈 시스템의 공차최적설 계를 수행하였다.
제안된 공차최적설계 절차를 적용하여 공차설계를 수행한 결과, 목표 신뢰도를 다소 낮게 설정한 첫 번 째 테스트에서는 초기 설계안에 비해 제작비용이 약 60.0% 감소하고 구속조건을 모두 만족하는 최적의 공 차 할당량을 얻을 수 있었다. 두 번째 테스트에서는 첫 번째 테스트에 비해 목표 신뢰도를 더 높게 설정하 여 설계요구조건이 훨씬 까다로워졌음에도 불구하고, 제작비용이 초기 설계안에 비해 약 30.3% 감소하였으 며, 구속조건을 모두 만족하는 최적해를 도출할 수 있 었다. 도출된 결과를 통해 제안된 공차설계 방법의 유 효성을 확인할 수 있었으며, 이러한 설계 절차는 향후 다른 시스템의 공차최적설계에도 성공적으로 적용될 수 있을 것으로 보인다.
감사의 글
본 논문은 2011년도 정부(교육과학기술부)의 재원 으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구입니다 (No. 2011-0016701). 또한 이 연구를 위하여 PIDO 툴인 PIAnO 소프트웨어를 제공한 ㈜피도텍에 감사드 립니다.
Table 6. Tolerance optimization results for case 2 Design variables Initial Optimal
x1 (TH-L1a) 5.0 10.00
x2 (TH-L1b) 5.0 6.490
x3 (TH-L2a) 5.0 9.390
x4 (TH-L2b) 5.0 5.097
x5 (TH-L3a) 5.0 3.315
x6 (TH-L3b) 5.0 9.390
x7 (TH-L4a) 5.0 4.834
x8 (TH-L4b) 5.0 10.00
x9 (SD-L1a) 2.5 2.299
x10 (SD-L1b) 2.5 3.162
x11 (SD-L2a) 2.5 10.00
x12 (SD-L2b) 2.5 10.00
x13 (SD-L3a) 2.5 10.00
x14 (SD-L3b) 2.5 0.010
x15 (SD-L4a) 1.5 3.333
x16 (SD-L4b) 1.5 6.361
x17 (ST-L1a) 3.0 6.466
x18 (ST-L1b) 3.0 6.344
x19 (ST-L2a) 3.0 9.787
x20 (ST-L2b) 3.0 8.560
x21 (ST-L3a) 3.0 10.00
x22 (ST-L3b) 3.0 10.00
x23 (ST-L4a) 3.0 10.00
x24 (ST-L4b) 3.0 10.00
x25 (ED-L1) 3.0 1.719
x26 (ED-L2) 5.0 8.245
x27 (ED-L3) 3.0 2.551
x28 (ED-L4) 5.0 9.390
x29 (ET-L1) 4.0 4.456
x30 (ET-L2) 4.0 7.138
x31 (ET-L3) 4.0 10.00
x32 (ET-L4) 4.0 8.200
x33 (IT) 18.0 10.52
Constraints Lower limit Optimal
R1 0.990 0.990
R2 0.980 0.980
Objective function Initial Optimal
Cost 61.30 42.75
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최 동 훈
1975년 서울대학교 기계공학과 학사 1977년 KAIST 기계공학과 석사 1986년 Univ. of Wisconsin-Madison 기
계공학과 박사
1986년~현재 한양대학교 기계공학부 교수 1999년~현재 한양대학교 최적설계신기
술연구센터 소장
관심분야: Optimization Techniques, Meta- model-based Design Optimization, Design under Uncertainty, Multi- disciplinary Design Optimization
김 주 호
1991년 서울대학교 조선해양공학과 학사 1994년 서울대학교 기계설계학과 석사 2001년 서울대학교 기계설계학과 박사 2003년~현재 삼성전기(주) 수석연구원 관심분야: Opto-mechanical Lens Tol-
erancing, LED Lighting
정 상 진
2005년 한양대학교 기계공학부 학사 2005년~현재 한양대학교 대학원 기계
공학과 석박사통합과정 관심분야: Optimization Techniques, Discrete
Optimization, Tolerance Optimization, Multidisciplinary Design Optimization
최 병 렬
1997년 한양대학교 기계설계학과 학사 1999년 한양대학교 기계설계학과 석사 2004년 한양대학교 기계설계학과 박사 2002년~2003년 ㈜ATT R&D 연구원 2004년~2009년 최적설계신기술연구센
터 전임연구원
2009년~현재 ㈜피도텍 책임연구원 관심분야: Optimization, Reliability-Based
Design Optimization, Tolerance Design Optimization, Robust Design Optimization
