■ 용존산소(DO) 곡선 The Oxygen Sag Curve)
하천에 BOD 물질이 유입되고 재포기(reaeration)가 일어나면 물의 흐름에 따라 DO 부족량 의 단면도를 보면 스푼모양(Spoon shaped)를 이룬다. 이 곡선을 DO 부족곡선(dissolved oxygen sag curve)이라 부른다.
산소부족량(oxygen deficit)이란 주어진 수온에서 포화산소량과 실제 용존산소량간의 차이를 말한다.
시간 t에서 대기로부터 수중으로의 산소용해율은 수온, 산소부족량, 수면교란상태, 불순물의 농도에 따라 변하므로 다음과 같이 미분방정식으로 쓸 수 있다.
= -K' D ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․① 여기서 D는 시간 t에서의 산소부족량, K'는 재포기계수이다.
위 식을 t = 0 일때, D = D 라 하여 적분하면
ln
= -K' D
D = D ․ e′ ․ ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․② 다시 자연대수를 상용대수로 표현하고 K = 0.434K'를 사용하면
D = D ․ 10′ ․ ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․③ 여기서, D = 시간 t일 때 산소부족량(mg/l)
t = 시간(일) K = 재포기계수
D = 초기 DO 부족량(mg/l)
K는 주로 수심의 함수이고 수온, 유속, 하천의 교란상태 등에 의해 영향을 받으며 20℃에서 유속이 빠른 하천의 경우 0.5까지, 유속이 낮은 큰 하천의 경우에는 0.15~0.20, 흐름이 없는 호수에서는 0.05에 이르는 것을 볼 수 있다.
한편 최종 BOD는 온도에 따라 다음과 같이 보정한다.
L = L(0.02T + 0.6) ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․④ 여기서, L = T℃ 때 최종 BOD
L = 20℃ 때 최종 BOD
어떤 하천중의 BOD량을 L, 탈산소(deoxygenation) 계수를 K, 재포기(reaeration) 계수를 K라 하여 산소부족량을 써보면
= K´ L - K´ D 위 식을 적분하면
D =
´
´
´
´ ․ ´ ․
´ ․ ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑤ K = 0.434K´ , K = 0.434K´를 사용하고 상용대수로 고치면D =
․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑥여기서, D = t 일 후의 DO 부족량(mg/l)
L = 최초(t=0)의 최종 BOD(BOD)(mg/l) D = 초기 DO 부족량(mg/l)
K = 탈산소계수(day ) K = 재포기계수(day )
위의 공식을 사용하면 하천에 오염물이 유입시 하류 여러 지점에서 다음 사항을 알 때 t일 후의 DO부족량 또는 DO량을 계산상으로 증명할 수 있다.
①수온
②상류에서의 DO량 및 BOD(D 및 L)
③하천의 탈산소계수(K) ④하천의 재포기계수(K)
여기서 ①, ②의 측정은 쉽고 K값은 하류에 따라 여러 지점의 BOD를 측정하여 L = L ․
식에 의해 구할 수 있다.
K과 K의 온도보정은
K(t) = K(20) × 1.047 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑦ K(t) = K(20) × 1.018 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑧ 여기서 t는 ℃로 표시한 수온이다.
용존산소곡선(oxygen sag curve)에서 DO가 가장 낮은 점인 임계점의 좌표계산은 대단히 중요하다. 임계시간 t는 Do 곡선식의 D를 미분한 값
를 0으로 놓아서 계산할 수 있다.
= 0에서
t = 1
log{
[1-
]} ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑨ 임계부족량 D는 t로부터 구할 수 있고 t를 ⨍라는 상수를 사용해서 표현하면 ⨍ =
․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑩
여기서 ⨍를 자정상수(self purification constant)라고 하고 임계시간 t는 다음과 같다.
t =
⨍ ⨍ ⨍
․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑪ 임계시간 t에서의 산소부족량, 즉 임계부족량 D는
D = ⨍
․ ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑫ 위 공식에서 t의 단위는 day, D의 단위는 mg/l이다.
DO 복귀율이 가장 큰 변곡점에서의 좌표는 다음 공식을 이용하여 구할 수 있다.
t =
⨍ ⨍ ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑬
log D = log ⨍
⨍
log
․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑭ 여기서 t와 D은 각각 변곡점에서의 시간과 산소부족량을 말한다.상기 공식들 중에서 t를 산출하는 공식과 t을 산출하는 공식은 ⨍=1인 경우 t값을 구할 수 없으므로 그런 경우에는 다음 공식을 이용하여 계산한다.
t = 0.434(1-
)
․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑮
t = 0.434(2-
)
․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․⑯
