Analysis of Students’ Difficulty Factors in Solving Physics Problems

Analysis of Students’ Difficulty Factors in Solving Physics Problems

Junhong Lim · Bongwoo Lee ^∗

Department of Science Education, Dankook University, Yongin 448-701, Korea (Received 29 May 2013 : revised 26 July 2013 : accepted 11 September 2013)

The purpose of this study was to analyze the difficulty factors that high-school students expe- rienced in solving physics problem. For that purpose, 180 high-school students participated in an open-ended survey and interviews. The results of this study were as follows; Firstly, we classified difficulty factors in solving physics problems as content knowledge and procedural knowledge. We found lack of content knowledge, confusion about content knowledge and incorrect prior knowledge in the content knowledge. Secondly, Procedural knowledge was divided into understanding, plan- ning and solving processes. In the understanding process, we found five difficulty factors related to problem understanding and three factors related to recognition of evaluation elements. We found three difficulty factors related to reconstructing a problem and three factors related to relationships among concepts in the planning process. Lastly, we found three difficulty factors related to uses of formulae and three factors related to computational ability in the solving process.

PACS numbers: 01.40.Ej

Keywords: Solving physics problem, Difficulty factor

] K

¡t  ô p §T  ö n ÚP  à U Ø< g þ s ÚT  Ê ÝX N Ë; c" e + s Ò À W ¥ # a \“ Ô Û ~ ¿ß Ã Å Ä Z ØV Ä



™ »+ Ö < ý — ¡ · T  õ i u­ £ ^∗

é

ß –² D G @ /† < Ɠ § õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ õ , 6   x“   448-701

(2013¸   5 Z 4 29{ 9  ~ à Î6 £ §, 2013¸   7 Z 4 26{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2013¸   9 Z 4 11{ 9  > F  S X ‰& ñ )

s

 ƒ  ½ ¨_  3 l q& h “ É r “ ¦1 p x † < Ɠ § † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ § s  Á º% Á “  t  Õ ª כ ¹“  

`

 ¦ ì  r$ 3    H  כ s  . s \  ¦ 0 A # Œ “ ¦1 p x † < Ɠ § 2† < Ƹ  \ " f  ƒ  õ † < Æõ & ñ `  ¦ s à º×  æ“   † < ÆÒ q t 180" î `  ¦ @ / © œ Ü

¼– Ð Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ " f # Q* ‹ô  Ç Ä »+ þ A_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H t \  ¦ | 9 ë  H   H > h~ ½ Ó+ þ A [ O ë  H`  ¦ z  ´ r

 % i “ ¦, Õ ªÊ ê [ O ë  H ? /6   x`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð €  { Œ ™`  ¦ ”  ' Ÿ  % i  . Å Òכ ¹ ƒ  ½ ¨   õ   H  6 £ § õ  ° ú   . ' Í P :, ë  H ]

j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ § _  כ ¹“  `  ¦ > h¥ Æ  t d ” õ  õ & ñ t d ” Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i  . > h¥ Æ t d ” \ " f  H ? / 6

x t d ”  Ò7 á ¤, ? /6   x t d ” ™ D ¥1 l x, ¸ ú ˜3 l w ) a ‚  ' Ÿ t d ”  1 p x _  כ ¹“  s  µ 1 Ï| ÷ &% 3  . Ñ ü t P :, õ & ñ t d ” “ É r s K , >  S \ ‰, Û 

¦ s  1 p x _  õ & ñ Ü ¼– Ð ½ ¨ì  r % i   H X <, s K  õ & ñ \ " f  H ë  H ] js K # 3 Å Ò\ " f 5t , ¨ î  כ ¹™ è “  d ”  # 3 Å Ò

\

" f 3t  כ ¹™ è µ 1 Ï| ÷ &% 3  . >  S \ ‰ õ & ñ \ " f  H ë  H ] j F ½ ¨$ í 0 p x§ 4  # 3 Å Ò\ " f 3t , > h¥ Æ  s _  › ' a > 

#

3 Å Ò\ " f 3t  כ ¹™ è µ 1 Ï| ÷ &% 3 Ü ¼ 9, Û  ¦ s õ & ñ \ " f  H › ' a > d ”   Ö ¸6   x0 p x§ 4  # 3 Å Ò\ " f 3t , > í ß – 0 p x§ 4 

#

3 Å Ò\ " f 3t  # Q 9¹ ¡ § כ ¹™ è µ 1 Ï| ÷ &% 3  .

PACS numbers: 01.40.Ej

Keywords: Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s , # Q 9¹ ¡ § כ ¹“  

∗

E-mail: [email protected] 963

I. " e  ] Ø

/

å L     H r @ /\  ¶ ú ˜“ ¦ e ”   H Ä ºo   H B { 9  D h– Ðî  r ë  H ] j

\

 ¦ ] X  >  ÷ & 9 Õ ª ë  H ] j\  ¦ K     9 ¶ ú ˜ “ ¦ e ”  . { 9  © œ Ò q

t Ö ¸`  ¦ ¶ ú ˜  9 Šҁ  \ " f µ 1 ÏÒ q t   H # Œ Q ë  H ] j\  ¦ K   

  H 0 p x§ 4 “ É r ° ú š l  Ò q tl   H  כ s   m   Ä » r ] X  Ò' 

†

< Ƃ ½ Ór ] X `  ¦  5 g $ í “  s  ÷ &  H õ & ñ \ " f † < Ɠ §_  “ §¹ ¢ ¤ s 

 & ñ “ §¹ ¢ ¤, Å Ò0 A  | à Ð[ þ t õ _  › ' a > \ " f › ¸F Km ”  C 0 >

€

 " f ë  H ] jK   § 4 s  ’   © œ÷ &  H  כ s  . Õ ª ×  æ \ " f † < Ɠ § “ §

¹

¢

¤“ É r ^ ‰> & h “   ë  H ] j K    ~ ½ ÓZ O `  ¦ Ø Ôu   H X <  © œ  H % i 

½

+ É`  ¦ ô  Ç . † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  õ 3 l q`  ¦ C Ö  ¦ M :, Õ ª[ þ t“ É r ë  H ] j

\

 ¦ K    l  0 AK  ë  H ] j\  ¦ “  d ”  “ ¦ ë  H ] j\  ¦ s K  “ ¦ # Q b 

G>  Õ ª ë  H ] j\  ¦ K   ½ + Ét  “ ¦     H õ & ñ 5 Å q \ " f ë  H ] j\  ¦ K

     H ~ ½ ÓZ O `  ¦ C Ä º>   ) a  . s X O 1 p w Ó ü t o  õ 3 l q“ É r ë  H ] j K

   ~ ½ ÓZ O `  ¦ C Ä º  H X < ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ ô  Ç . t ë ß – ¾ º½ ¨

 Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ ~ 1 >  Û  ¦ # Q? /  H  כ “ É r  m  . { 9 Â Ò † < ÆÒ q t [

þ

t“ É r Ó ü t o  õ 3 l q s  # Q§ > “ ¦ F p \ O    H s Ä »– Ð Ó ü t o  õ 3 l q

\

 @ /ô  Ç Â Ò& ñ & h “   Ò q ty Œ •`  ¦ t “ ¦ e ”  . ×  æ· “ ¦1 p x † < ÆÒ q t[ þ t \ 

>

 Ó ü t o  F p \ O  “ ¦ Ö ¼z   H s Ä »\  ¦ [ O ë  H ô  Ç   õ , ‘Ó ü t o

 # Q 90 >" f’, ‘Ó ü t o  à º† < Æõ  › ' aº  s  e ” # Q" f’, ‘> í ß –õ  /

B Nd ” s  Ÿ í† < Ê÷ &# Q e ” l  M :ë  H’ s    H 6 £ x ² ú šs   © œ ´ ú §s 
 M

®

o   [1]. s   H † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o   H / B Nd ” õ  à ºd ” s  ´ ú §   

 É

r õ 3 l q \  q K  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f  © œ@ /& h Ü ¼– Ð # Q§ >  



 H Ò q ty Œ •`  ¦ “ ¦ e ” l  M :ë  H s  . s  Qô  Ç ë  H ] j& h `  ¦ ˜ Ð ¢ - a 



 H " é ¶ \ " f ë  H ] j K    0 p x§ 4 _  ’   © œ`  ¦ 0 AK  † < ÆÒ q t_  ë  H ] j Û

 ¦ s  õ & ñ \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨ ´ ú §s  s À Ò# Q& ’ t ë ß – [2–10], ë  H ]

j Û  ¦ s _  # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç " î S X ‰ ô  Ç & ñ _  \ O “ ¦ ŠҖ Ð † < ÆÒ q t s

 ”   > h¥ Æ _  s K • ¸\  u ×  æ ÷ &  H  â Ä º ´ ú §€ Œ ¤  [11].

ë

 H ] j K   s ê ø Í ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M : µ 1 ÏÒ q t   H 
_   

“

¦ õ & ñ s    H { 9  © œ\ " f ´ ú §“ É r ƒ  ½ ¨ [ þ t s  s  Qô  Ç  “ ¦ õ

& ñ `  ¦ 7 á §  8 [ jì  r # Œ # Œ Q é ß –> – Ð ½ ¨ì  r “ ¦ y Œ • é ß –>  _

 [ j Ò& h “    “ ¦ ? /6   x[ þ t`  ¦ \ P  † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ { 9 ì ø Í& h “   ë  H ]

j K    õ & ñ _  — ¸+ þ A`  ¦ ] jî ß – % i   [12].  © œ @ /³ ð& h 

“

  — ¸+ þ A“ É r Polya [10] _  4é ß –>  — ¸+ þ AÜ ¼– Ð ë  H ] j_  s K  (understanding the problem), >  S \ ‰ _  “ ¦î ß – (devising a plan), >  S \ ‰ _  z  ´…  ; (carrying out the plan), ì ø Í$ í (looking back) Ü ¼– Ð ] jî ß – % i  . ¢ ¸ô  Ç ~ à Ìî  r C  [3]  H ë  H ] j K   _  l 

‘

: r — ¸+ þ A`  ¦ ] jî ß – €  " f ë  H ] j K   \  % ò † ¾ Ó`  ¦ p u   H † < Æ_ þ v



_    “  Ü ¼– Ð " î ] j& h  t d ” , ] X  & h  t d ” , „  | Ä Ì& h  t d ” ,

’

 ¥ Æ ^ ‰>  (q “  t & h כ ¹“  ) 1 p x Ü ¼– Ð ½ ¨ì  r l • ¸ % i  . s 

 â

  ñ [13]  H Ó ü t o \  ¦ # Q 90 >   H " é ¶ “  `  ¦ ì  r$ 3  l  0 AK  t  d ”

’  ¥ Æ d  ¦`  ¦ > hµ 1 Ï “ ¦ t d ” `  ¦ > h¥ Æ & h  t d ” , õ & ñ & h  t d ” , Ð 

o| à Ì& h  t d ”  1 p x Ü ¼– Ð
¾ º% 3  . > h¥ Æ & h  t d ” “ É r > h¥ Æ õ  › ' a º

  ) a t d ” `  ¦ ´ ú ˜ “ ¦, õ & ñ & h  t d ” “ É r  ’  s  t “ ¦ e ” 



 H t d ” õ  l 0 p x`  ¦ # Qb  G>   Ö ¸6   x   H \  @ /ô  Ç t d ” s  9, Ð 

o| à Ì& h  t d ” “ É r : £ ¤& ñ ô  Ç  © œ S !  5 Å q \ " f : £ ¤& ñ ô  Ç t d ” `  ¦  6   x

  H  כ õ  › ' aº   ) a t d ” `  ¦ ´ ú ˜ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç t d ” õ  ’  ¥ Æ , à º '

Ÿ \  s Ø Ôl  t  F  g# 3 0 A >  ×  æ כ ¹ô  Ç % ò † ¾ Ó`  ¦ p u “ ¦ e ” 



 H B j “  t   H ì  r À Ó © œ õ & ñ & h  t d ” \  Ÿ í† < Ê # Œ ì  r$ 3  

%

i  . ~ à Ìî  r C  [3]ü < <  ª p % ò 1 p x [6]“ É r Ó ü t o  ë  H ] j K   \ " f

 
  H š ¸À Ó\  ¦ ‚  ' Ÿ  € 9 à º l 0 p x s  e ”   H  â Ä ºü < Õ ªX O t  3

l

w ô  Ç  â Ä º– Ð
¾ º# Q ì  r$ 3  % i   H X < ‚  ' Ÿ  € 9 à º l 0 p x s  \ O 



 H  â Ä º\   H † ½ Ó © œ Å Ò# Q”   ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ t  3 l w  
 > í ß – © œ _

 z  ´Ã º
 ë  H ] j_  — ¸Ž  H › ¸| `  ¦ “ ¦ 9 t  3 l w K " f ë  H ] j K 

 

\  z  ´J    H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . s    õ \  _  €   ‚  ' Ÿ 

€ 9

à º l 0 p x“ É r ë  H ] j K   `  ¦ 0 Aô  Ç ×  æ כ ¹ô  Ç „  ] j H † d`  ¦ · ú ˜ Ã

º e ”  . ¢ ¸ô  Ç Kramers-Palsü < Wolff [14]  H † < ÆÒ q t[ þ t s  ë  H ]

j K   \ " f     H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ é ß –> Z > – Ð
¾ º# Q ì  r$ 3  % i 



. s \  ¦ é ß –> Z > – Ð ˜ Ѐ   ë  H ] j s K  é ß –> \ " f     H # Q 9¹ ¡ § Ü

¼– Ѝ  H ‘ë  H ] j\  ¦ Ø  æì  r y  { 9 t  3 l w K " f’, ‘3 l q ³ ðü < p t à º\  ¦

&

ñ S X ‰ y  · ú ˜t  3 l w K " f’, ‘K ² ú š_  \ V © œ # 3 0 A\  ¦ “ ¦ 9 t  · ú §



" f’– Ð ì  r À Ó % i “ ¦, >  S \ ‰ é ß –> \ " f     H # Q 9¹ ¡ §“ É r ‘ >  S \ ‰ é

ß –> \  ¦  u t  · ú § " f ^ ‰> & h “   ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ] X   H t  3 l w K

" f’, ‘? /6   x t d ” `  ¦ Ø  æì  r y  ° ú Æ Òt  3 l w K " f’, ‘? /6   x t d ” `  ¦ ë

 H ] jü < ƒ  › ' a r v t  3 l w K " f’, ‘ Ò& h ] X ô  Ç / B Nd ” `  ¦  6   x > 

÷

&# Q" f’– Ð ì  r À Ó % i Ü ¼ 9, z  ´' Ÿ  é ß –> \ " f     H # Q 9¹ ¡ §“ É r

‘ é ß –0 A ¨ 8 Š í ß –\ " f_  z  ´Ã º’, ‘ë  H ] j  © œ S ! \  @ /ô  Ç „  ì ø Í& h “   “ ¦

¹

1 Ï \ O s  $ í / å L >  / B Nd ” `  ¦  6   x K " f’ “ ¦ ì  r À Ó % i Ü ¼ 9,

“

¦¹ 1 Ï ¢ ¸  H & h  Ž \ " f     H # Q 9¹ ¡ § Ü ¼– Ð ‘K ² ú š`  ¦ & h  Ž  “ ¦

 

õ \  ¦ K $ 3  # Œ  7 H o & h Ü ¼– Ð  { © œô  Ç\  ¦ · ú ˜ ˜ Ѝ  H X < # Q

9¹ ¡ §`  ¦     H  כ ’Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i  .

@

/ Òì  r _  ‚  ' Ÿ ƒ  ½ ¨  H à ºo & h  ë  H ] j\  ¦ t “ ¦ ™ èà º(„   ë

 H ü < œ í˜ Ð  ¢ ¸  H † < ÆÒ q t)\  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð ë  H ] j K    õ & ñ

`

 ¦ ì  r$ 3  “ ¦ e ”  . Õ ª   õ  † < ÆÒ q t[ þ t _  ë  H ] j K    é ß –>   H

‚

 ' Ÿ  ƒ  ½ ¨ [ þ t    › ¸F Km ”   Ø Ôt ë ß – / B N: Ÿ x& h Ü ¼– Ð s K  õ

& ñ , >  S \ ‰ õ & ñ , à º' Ÿ õ & ñ ,  Ž ž Ðõ & ñ _  4é ß –>  õ & ñ `  ¦ ì ø Í 4

Ÿ

¤ €  " f ë  H ] j\  ¦ K   ô  Ç   H ƒ  ½ ¨ @ / Òì  r s  . t  ë

ß – # Q‹ "  ë  H ] j(\ V: & ñ $ í & h “   K $ 3 `  ¦ כ ¹½ ¨   H ë  H ] j)  H 0 A ü

< ° ú  “ É r 4 é ß –>  õ & ñ `  ¦  } 9  € 9 כ ¹ \ O s  ë  H ] j K     Õ ª ë

 H ] j\ " f ¶ n s “ ¦ e ”   H > h¥ Æ  ¢ ¸  H > h¥ Æ õ  > h¥ Æ  s _  › ' a > 

\

 ¦ · ú ˜“ ¦ e ” Ö ¼
 \ O Ö ¼
\     ë  H ] j_  K    Ä »Á º   & ñ

÷

&l • ¸ ô  Ç . s % ƒ! 3  ë  H ] j K   õ & ñ \  @ /ô  Ç ‚  ' Ÿ  ƒ  ½ ¨[ þ t

“ É

r & ñ | ¾ Ó& h “   ë  H ] j\  ¦ K      H õ & ñ \ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ì  r$ 3 

% i  . Õ ªo “ ¦ & ñ $ í & h “   ë  H ] jü < › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ §“ É r ŠҖ Ð

†

< ÆÒ q t[ þ t _  š ¸> h¥ Æ s    H s 2 £ § Ü ¼– Ð ì  r$ 3 ÷ &# Q M ® o  . t  ë

ß – š ¸> h¥ Æ \  @ /ô  Ç ì  r$ 3 • ¸ Y >  t   © œ S ! `  ¦ † < ÆÒ q t[ þ t \ >  Å Ò

“

¦ Õ ª  © œ S ! `  ¦ [ O " î   H õ & ñ \ " f † < ÆÒ q t[ þ t _  > h¥ Æ `  ¦  € Œ •

  H  כ s  @ / Òì  r s  . s % ƒ! 3  Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ K      H õ 

&

ñ \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s      H # Q 9¹ ¡ § _  כ ¹“  \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨ ´ ú §

s

 ”  ' Ÿ ÷ &% 3 t ë ß – Õ ª # Q 9¹ ¡ § _  כ ¹“  `  ¦ ½ ¨^ ‰& h  כ ¹™ è– Ð ì  r À

Ó # Œ ì  r$ 3 ô  Ç ƒ  ½ ¨  H ¹ 1 Ô ˜ Ðl  j Ë µ[ þ t  .

s

\  ‘ : r ƒ  ½ ¨  H # Œ Q ‚  ' Ÿ  ƒ  ½ ¨\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ÷ & † < ÆÒ q t [

þ

t s  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H s Ä »\  ¦ [ O  ë

 H › ¸ ü < † < ÆÒ q t €  { Œ ™`  ¦ : Ÿ x K  f ” ] X  à º| 9  # Œ s \  ¦ > h¥ Æ & h  כ

¹“  õ  õ & ñ & h  כ ¹“  Ü ¼– Ð ì  r À Ó “ ¦ y Œ • כ ¹“  `  ¦  8 [ j Ò& h  Ü

¼– Ð ì  r$ 3  # Œ ] jr  “ ¦  ô  Ç . s \  ¦ : Ÿ x K  ë  H ] j Û  ¦ s  õ 

&

ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ § _  כ ¹“  [ þ t`  ¦ ¹ 1 Ô  ì  r$ 3  “ ¦ “ § _ 

“

§Ã º † < Æ_ þ v ~ ½ ÓZ O s 
 † < ÆÒ q t[ þ t _  “ §õ t • ¸  © œ{ Œ ™\  r  & h 

`

 ¦ Šғ ¦  ô  Ç .

II. Ž ì ŏ Œ U ê s0 n É õ m Í ± n Ç 

1. Ž ì ŏ Œ 6 V ê s Ó

ü

t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ § _  כ ¹“  `  ¦ ì  r$ 3 

l  0 A # Œ  â l • ¸ t % i \  ™ èF ô  Ç “ ¦1 p x † < Ɠ § 2† < Ƹ    ƒ   õ

† < Æõ & ñ `  ¦ s à ºô  Ç 216" î _  † < ÆÒ q t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð [ O ë  H`  ¦ z  ´ r

 % i “ ¦, [ O ë  H \  6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q t ×  æ \  $ í z  ´ >  6 £ x ² ú šô  Ç † < Æ Ò q

t 180" î `  ¦ ƒ  ½ ¨ @ / © œÜ ¼– Ð ‚  & ñ % i  . [ O ë  H s  ”  ' Ÿ ÷ &  H r

l \  s  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Ó ü t o I é ß –" é ¶`  ¦ — ¸¿ º C î  r  © œI s  .

2. כ r Ç Ã U Ø

‘

: r ƒ  ½ ¨  H † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f # Q 9¹ ¡ §

`

 ¦     H כ ¹“  `  ¦ ì  r$ 3  l  0 AK  † < ÆÒ q t[ þ t \ >   6 £ § õ  ° ú  “ É r

>

h~ ½ Ó+ þ A [ O ë  H`  ¦ z  ´r  % i  .

Ó ü

t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H s  Ä

» (" é ¶ “  )  H Á º% Á { 9 m  ?

( s Ä » # Œ Q t  “ ¦ Ò q ty Œ • €   — ¸¿ º l Õ ü t K

 Å Ò[ jכ ¹.)

2 † < Ƹ   † < ÆÒ q t 216" î ×  æ [ O ë  H \  & h F G& h Ü ¼– Ð 6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q t 180" î _  [ O ë  H ? /6   x`  ¦ ì  r$ 3  # Œ 8 ú x 305 > h_  6 £ x ² ú š`  ¦ % 3 % 3 



. 6 £ x ² ú šÃ º 6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q t_  à º ˜ Ð  ´ ú §“ É r s Ä »  H # Q 9

¹

¡

§ _  " é ¶ “  `  ¦ # Œ Q > h l Õ ü t ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t s  ´ ú §€ Œ ¤l  M :ë  H s  .

[ O

ë  H \  ‚ à Ð# Œô  Ç † < ÆÒ q tõ  6 £ x ² ú š † < ÆÒ q t, 6 £ x ² ú š à º\  ¦ & ñ o  €   Table 1 õ  ° ú   .

[ O

ë  H › ¸   H ƒ  ½ ¨  6> h † < Æ/ å L`  ¦ à º\ O r ç ß –\  [ þ t # Q

[ O

ë  H`  ¦   H s Ä »ü < ~ ½ ÓZ O \  @ /K  [ O " î “ ¦ 20ì  r 1 l x î ß – [ O  ë

 H \   Ä »\  v >  6 £ x ² ú š • ¸2 Ÿ ¤ % i  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f Ó ü t o I, Ó

ü

t o II\  ¦ — ¸¿ º C î  r “ ¦1 p x † < Ɠ § 3† < Ƹ   † < ÆÒ q t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð [ O  ë

 H`  ¦ z  ´r  t  · ú §“ ¦ “ ¦1 p x † < Ɠ § 2† < Ƹ   † < ÆÒ q t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð [ O  ë

 H`  ¦ z  ´r ô  Ç s Ä »  H “ ¦1 p x † < Ɠ § 3† < Ƹ   † < ÆÒ q t“ É r { 9 r ü < › ' aº  

 )

a : £ ¤ à º$ í M :ë  H \  [ O ë  H \  @ /ô  Ç $ í z  ´• ¸ ± ú `  ¦  כ Ü ¼– Ð ó ø Í é

ß – % i l  M :ë  H s  .

Table 1. The number of survey participants and their responses.

Participation in Survey responses of Number of surveys of students students survey responses

216 180 305

3. ] K ¡t   ì ÅR c p õ m Í ä ì ȗ ¤8 ý : gÄ Z Ø× D [ O

ë  H t \  ¦ ì  r$ 3  # Œ † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ 

"

f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H כ ¹“  `  ¦ Æ ÒØ  ¦ “ ¦ s  כ ¹“  \  @ / # Œ † < Æ Ò q

t[ þ t õ  €  { Œ ™`  ¦ z  ´r  % i  . €  { Œ ™“ É r [ O ë  H \  $ í z  ´ >  ² ú š

# Œ ì  r$ 3 d  ¦ # 3 Å Ò o\  • ¸¹ ¡ § s   H † < ÆÒ q t[ þ t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð z  ´ r

 % i “ ¦, €  { Œ ™`  ¦ ”  ' Ÿ ½ + É M : €  { Œ ™ @ / © œ † < ÆÒ q t_  [ O ë  H t \  ¦

˜

Ð# ŒÅ ғ ¦ [ O ë  H { © œr _  l % 3 `  ¦ * ‹`  ¦ o >  ô  Ç Ê ê [ jÂ Ò  † ½ Ó

`

 ¦ €  { Œ ™ % i  . €  { Œ ™`  ¦ : Ÿ x K  # Q 9¹ ¡ § כ ¹“  _  # 3 Å Ò\  ¦  8¹ ¡ ¤

8 ½ ¨^ ‰ o % i  .   & ñ  ) a ì  r$ 3  # 3 Å Ò\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð † < ÆÒ q t[ þ t _

 _ | `  ¦ # 3 Å Ò\  ´ ú >  ì  r$ 3    H õ & ñ “ É r ¿ º " î _  ƒ  ½ ¨ 

 y Œ •y Œ • ì  r$ 3 ô  Ç + '   õ  { 9 u ½ + É M : t  ì ø Í4 Ÿ ¤& h Ü ¼– Ð ì  r

$ 3  % i  .

III. Ž ì ŏ Œ + s ÇÊ Ý

†

< ÆÒ q t[ þ t s  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ § _  כ ¹“  `  ¦ ì

 r À Ó l  0 AK  # Œ Q t  ‚  ' Ÿ ƒ  ½ ¨ü < Larkin [9]_  ë  H ] j K

   õ & ñ — ¸+ þ A`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ë  H‰  ³ › ¸ ü <  „   ƒ  ½ ¨\  ¦ :

Ÿ

x K  ~ à Ìî  r C  [3]_  " î ] j& h  t d ” , ] X  & h  t d ” õ  s  â   ñ [13] _  > h¥ Æ & h  t d ” , õ & ñ & h  t d ” `  ¦ ‚ à Г ¦ % i  . ë  H ] j K 

 

 õ & ñ  ï` ç r Û ¼% 7 ›“ É r ë  H ] j s K , >  S \ ‰, à º' Ÿ ,  Ž 7 £ x 1 p x _

 4é ß –> – Ð ½ ¨$ í ÷ &# Q e ” Ü ¼ 9 y Œ • é ß –> \ " f ³ ðØ  ¦| ¨ c à º e ” 



 H ½ ¨^ ‰& h  ' Ÿ 1 l x Ü ¼– Ð ”  Õ ü t “ ¦ e ”  . s  Qô  Ç ‚  ' Ÿ  ƒ  ½ ¨

\

 ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ É Ò  H õ & ñ \ " f     H

#

Q 9¹ ¡ § _  כ ¹“  `  ¦ t d ” Ä »+ þ AZ > – Ð ì  r À Ó   H  â Ä º\   H Ó ü t o 

†

< Æ& h  > h¥ Æ õ  › ' aº   ) a t d ” `  ¦ > h¥ Æ  t d ” Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i “ ¦, ë

 H ] j K    õ & ñ s 
 ] X  ü < › ' aº   ) a t d ” `  ¦ õ & ñ t d ” Ü ¼

–

Ð ì  r À Ó % i  . s \  ¦  r  [ j Ò& h Ü ¼– Ð
¾ º€   > h¥ Æ  t d ” 

“ É

r ? /6   x t d ” Ü ¼– Ð õ & ñ t d ” “ É r s K  õ & ñ , >  S \ ‰ õ & ñ , Û  ¦ s

 õ & ñ 1 p x Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i  . ~ à ̆ < ƽ ©ü <  Ý ¶ F Õ ü t [5]“ É r ë  H ] j K

   $ í / B N  ü < z  ´J  [ þ t _   “ ¦õ & ñ `  ¦ ì  r$ 3  # Œ ë  H ] j_  s

K , >  S \ ‰, >  S \ ‰ _  à º' Ÿ ,  Ž 7 £ x é ß –> \  ¦  5 g" f ë  H ] j\  ¦ K 

 

   H 1 l x î ß –  Ž 7 £ x é ß –> \  ¦ Ò q t| Ä Ìô  Ç q Ö  ¦ s  $ í / B N   ˜ Ð  z  ´ J

  ´ ú §€ Œ ¤ “ ¦ Ù þ ¡ .  Ž 7 £ x é ß –> \  ¦  ' ¬ I “ ¦  8 • ¸ ë

 H ] j K    õ & ñ „  ì ø Í\    • 2 ;  Ž ž Ð\  ¦ t  · ú §“ ¦ é ß –í  H y  >  í

ß – õ & ñ  © œ_  ¸ ú ˜3 l w`  ¦ S X ‰ “     H & ñ • ¸_   Ž ž Ð @ / Òì  r s 



“ ¦ % i  . Õ ªA " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H  Ž 7 £ x õ & ñ `  ¦ Û  ¦ s  õ 

Table 2. Number of response.

Types of

Conceptual knowledge Procedural knowledge

knowledge

Process Content

Etc Under

Planning Solution Etc

Knowledge standing

Response 99 3 57 34 101 11

102 203

&

ñ \  Ÿ í† < Êr (   . Table 2“ É r t d ” Ä »+ þ A x 9  õ & ñ Z >  ì  r À Ó\  ¦ :

Ÿ

x K  † < ÆÒ q t[ þ t _  [ O ë  H ? /6   x`  ¦ ì  r À Ó # Œ õ & ñ Z >  6 £ x ² ú š à º x 9  t

d ”  Ä »+ þ AZ >  6 £ x ² ú šÃ º\  ¦ & ñ o ô  Ç  כ s  .

†

< ÆÒ q t[ þ t s  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H s Ä »\  ¦ t

d ”  Ä »+ þ A Z > – Ð ì  r À Óô  Ç   õ  > h¥ Æ  t d ” s   Ò7 á ¤ # Œ # Q 9

¹

¡

§`  ¦     H  â Ä º 102> h (33.4%)– Ð
 z Œ ¤“ ¦, õ & ñ t d ”  s

  Ò7 á ¤ # Œ # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º 203> h (66.6%)– Ð ] j r

÷ &% 3  .

1. à U Ø< g þ s ÚT  Ê ÝX N Ë; c" e 4 G › È U Å k ÄÊ Ý å ¾ ËV Ó Åc Ü R # a \

“ Ô

Û ~ ¿ß Ã Å Ä Z ØV Ä

†

< ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f # Q 90 >   H כ ¹“  

`

 ¦ > h¥ Æ  t d ” õ  › ' aº  t # Q Ò q ty Œ •K ˜ Ѐ   † < ÆÒ q t[ þ t s  t “ ¦ e ”

  H t d ” _  Ø  æz  ´• ¸  Ò7 á ¤ l  M :ë  H s  . : £ ¤ y  Å Ò# Q”   ë

 H ] jü < › ' aº  ô  Ç ? /6   x t d ” s  \ O  
 ¸ ú ˜3 l w ) a t d ” `  ¦ t 

“

¦ e ” # Q ë  H ] j K   `  ¦ 3 l w   H  â Ä º ´ ú §€ Œ ¤ . s ü < › ' aº   ô

 Ç ô  Ç † < ÆÒ q tAü <_  €  { Œ ™ ? /6   x`  ¦ ] jr  €    6 £ § õ  ° ú   .

¬

¨  : ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M : # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H s Ä »\  ¦ ‘ — ¸Ž  H ë  H ]

j\ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  כ “ É r ë  H ] j # Qb  G>  ÷ &# Qe ” 

|

  © œ › ' a\ O s  ? / t “ ¦ e ”   H t d ” s   Ò7 á ¤ K " fs 



’ “ ¦ Ù þ ¡  H X <  = Õ ªX O >  Ò q ty Œ • t ?

Á þ

š “ » jA : ë  H ] jt \  ¦ ˜ Ѐ   €  $  > h¥ Æ s 
š ¸“ ¦ Õ ª  6 £ § l 

œ

íë  H ] j
š ¸  H X < Õ ª   ë  H ] j  H › ¸F K ë ß – ” ¸§ 4  €   Û

 ¦ o   H X <  6 £ § é ß –" é ¶`  ¦
“ ¦ r ç ß –s  t 
€   Õ ª „  

\

 C  ° ?~   > h¥ Æ s 
 ? /6   x s  Ò q ty Œ •
t  · ú § כ ¹. : £ ¤ y  Õ

ªM : s K  t  3 l w ô  Ç ? /6   x s  e ” Ü ¼€    8 8¹ ¡ ¤ Õ ªA כ ¹.

¬

¨  : Õ ª    â Ä º ' p # Qb  G>  ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ t ?

Á þ

š “ » jA : 6 £ §. Õ ªz ª œ ×  æ ç ß –“ ¦ 
 l ´ ú ˜“ ¦  ï  r q ½ + É M : % ƒ6 £ § Â

Ò'   r  4 Ÿ ¤_ þ v l – Ð “ ¦ · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ 0 AŠҖ Ð Û

 ¦ # Qכ ¹.

¬

¨  : Õ ª! 3  r ç ß –s  â ìØ Ô€   — ¸Ø ԍ  H ? /6   x • ¸  8 ´ ú § | 9  J $ ™ X

<.

Á þ

š “ » jA : W 1. Õ ªA " f  r  4 Ÿ ¤_ þ v ½ + É M :  H > h¥ Æ `  ¦ ú <• ¸ Á º’  H

´ ú

˜“  t  — ¸\  ¦ M : ´ ú § כ ¹. r + « >@ /q – Ð / B N Â Ò   ˜ Ð m

  r ç ß –s   Ò7 á ¤ K " f Õ ªz ª œ @ /Ø  æ s K Ù þ ¡ “ ¦ $  Û ¼ Û

¼– Ð Ò q ty Œ • “ ¦  Å # Qכ ¹.

¬

¨  : Õ ª! 3  { © œƒ  y  > h¥ Æ s K  î ß –÷ &# Q e ”   H  © œI – Ð r  +

«

>`  ¦ ˜ Ð ’ xW 1.

Á þ

š “ » jA : W 1. Õ ªA " f $   H ë  H ] j\  ¦ É Ò  H |  ~ ½ ÓZ O • ¸ ×  æ כ ¹  t

ë ß – > h¥ Æ s 
 Z O g Ë : ° ú  “ É r ? /6   x`  ¦ ¸ ú ˜ — ¸Ø Ôm   ë  H ] j ] X

  H s  j Ë µ[ þ t “ ¦ # Q‹ "  / B Nd ” Ü ¼– Ð Û  ¦ # Q  ½ + Ét • ¸ ]  t  

"

f & h & h  / B N Â Ò   H € ª œs  ×  ¦ “ ¦   É r õ 3 l q \ " f & h à º\  ¦

`

 ¦ o  9“ ¦ m   Ó ü t o & h à º  H  8 b  # Qt “ ¦ € Œ •í  H¨ 8 Š s

\ כ ¹.

¬

¨  : Õ ª Qm   ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ M : > h¥ Æ s 
 ? /6   x`  ¦ S X ‰ z  ´ 

>

 · ú ˜“ ¦ e ” t  3 l w K " f ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ M : # Q§ > >  Ö ¼z   H

½ ¨
!

Á þ

š “ » jA : \ V. Ó ü t o   H > h¥ Æ • ¸ ´ ú §“ ¦, / B Nd ” • ¸ ´ ú §“ ¦, ü @Ö  ¦ > 

-Á º ´ ú § " f   · ú ˜   ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ à º e ” # Q" f † ½ Ó © œ

#

Q§ > > ë ß – Ö ¼ 4 Rכ ¹.

†

< ÆÒ q tA  H ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ M : Ó ü t o † < Æ& h  > h¥ Æ s 
 ? /6   x s  ë  H ]

j\  ¦ K    l  0 AK " f =  G € 9 כ ¹ô  Ç › ¸| s  “ ¦ Ò q ty Œ • “ ¦ e ”

% 3  . Õ ª s Ä »  H ë  H ] j\  ¦ K    l  0 AK " f  H Õ ª ë  H ] j

\


š ¸  H > h¥ Æ s 
 Z O g Ë :õ  › ' aº   ) a ? /6   x`  ¦ · ú ˜  ë ß – Õ ª ë

 H ] j\  @ /K " f s K  “ ¦ ó ø Íé ß –ô  Ç Ê ê ë  H ] j\  € 9 כ ¹ô  Ç / B Nd ” 

`

 ¦ @ /{ 9  # Œ ë  H ] jK   `  ¦ ½ + É Ã º e ”  “ ¦ Ò q ty Œ • “ ¦ e ” l  M : ë

 H s  . s ü @\  q 5 p w ô  Ç ? /6   x Ü ¼– Ð ‘Ó ü t o    H  כ “ É r ‰ & ³z  ´\ 

"

f { 9 # Q
  H { 9 [ þ t`  ¦ à º† < Æ& h Ü ¼– Ð & ñ o  # Œ Z O g Ë :Ü ¼– Ð ë ß –

Ž

 H † < Æë  H s  “ ¦ Ò q ty Œ •½ + Ëm  . Õ ª  X < s M :\   6   x   H " é ¶ o

, " é ¶ g Ë :[ þ t`  ¦ ] j@ /– Ð s K \  ¦ t  3 l w ô  Ç  © œI \ " f / B Nd ” Ü ¼

–

Ðë ß – Õ ª ë  H ] j\  ¦  l  M :ë  H \  ô  Ç ë  H ] j  H Û  ¦ à º e ” # Q

•

¸ Õ ª כ s  6 £ x6   x ) a ë  H ] j\   H ~ 1 >   t  3 l w K " f # Q 9



° ? ’  H ? /6   x • ¸ e ” % 3  . s   H † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H # Q 9¹ ¡ §

“ É

r @ / Òì  r s   „  \  † < Æ_ þ v ÷ &# Q    H ‚  ' Ÿ  † < Æ_ þ v s  Ø  æì  r y

 s K  ÷ &t  · ú §“ É r   õ – Ð “  ô  Ç  כ s    H ƒ  ½ ¨ [15]ü <

° ú

 “ É r Ð  o| à Ìs  “ ¦ ^  ¦ à º e ”  .

Table 3. Difficulty Factors related to contents knowledge.

Lack of contents knowledge Confusion of Incorrect prior

Difficulty Content Knowledge knowledge

Factors Lack of Lack of Lack of

prerequisite symbol formula - -

skills recognition understanding

Number of 39 13 31

10 6

responses 83

†

< ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ " f     H # Q 9

¹

¡

§`  ¦ > h¥ Æ  t d ” õ  › ' aº   # Œ 6 £ x ² ú šô  Ç [ O ë  H ? /6   x`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼

–

Ð [ j Ò& h Ü ¼– Ð ì  r À Ó # Œ Ä » ô  Ç ? /6   x[ þ t`  ¦  r  # 3 Å Ò o r

~  ´ à º e ” % 3  . ë  H ] j K   \  € 9 כ ¹ô  Ç C  â t d ” s  \ O  
 Ã

º\ O  r ç ß –\  C  ° ?t ë ß – l % 3 `  ¦ t  3 l w   H  â Ä º ¢ ¸  H è ß – s

• ¸ Z  }“ É r ë  H ] j\ " f “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \  Ÿ í† < Ê÷ &t  · ú §“ É r  © œ0 A t

d ” `  ¦ ¶ n s  H ë  H ] j\  ¦ K      H õ & ñ \ " f ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q

9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º\  ¦ ‘‚  ' Ÿ € 9 à ºl 0 p x  Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i 

“

¦, ë  H ] j\ " f Å Ò# Q”   Õ ªa Ë >, Õ ªA á Ô, ³ ð 1 p x \ " f l   ñ\  @ / ô

 Ç & ñ _ 
 ? /6   x t d ” s   Ò7 á ¤ # Œ ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦

 

  H  â Ä º\  ¦ ‘ l   ñ “  d ”   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i  . s   H é ß – 0

Aü < l   ñ\  ¦ ™ D ¥1 l x # Œ # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H    H  Ý ¶í  H E ü < ^ ” 

‰

&

³Å Ò_  ƒ  ½ ¨   õ  [16]ü < ° ú  “ É r Ð  o| à Ìs  . ë  H ] j K   \  € 9  כ

¹ô  Ç / B Nd ” `  ¦ — ¸Ø Ô 
 / B Nd ” \  @ /ô  Ç ? /6   x t d ” s   Ò7 á ¤ 

#

Œ ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º\  ¦ ‘/ B Nd ”  s K   Ò7 á ¤’

Ü

¼– Ð [ j Ò& h Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i  . s   H ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M : / B N d ”

s  Qa Å @5 Å q \ " f * ‹[  t ÷  r & ñ S X ‰ >  l % 3 
t  · ú § " f ë  H ]

j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H    H ƒ  ½ ¨ [11]ü < ° ú  “ É r   õ  

“

¦ ½ + É Ã º e ”  . s \  ¦ # Q 9¹ ¡ § _  Ä »+ þ AZ > – Ð # 3 Å Ò o r v €  

‘ ? /6   x t d ”   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð # 3 Å Ò o % i  .

Õ

ªo “ ¦ Ó ü t o & h  ? /6   x t d ” _  s K   Ò7 á ¤ # Œ ë  H ] j K 

 

\  € 9 כ ¹ô  Ç > h¥ Æ `  ¦   É r > h¥ Æ õ  ™ D ¥1 l x # Œ ë  H ] j K   \ 

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º\  @ / # Œ 6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t s  e ” % 3  .

s

  H · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ (| “ ¦ t  · ú §“ É r > h¥ Æ , Û  æ Â Ò t  · ú §  H t

d ”  ½ ¨› ¸)õ  D h– Ð C î  r  כ õ _  ƒ     0 p x§ 4   Ò7 á ¤ Ü ¼– Ð # Q

9¹ ¡ §`  ¦     H    H ƒ  ½ ¨   õ  [15]ü < ° ú  “ É r Ð  o| à Ìs  “ ¦ ½ + É Ã

º e ”  . s \  ¦ ‘ ? /6   x t d ”  ™ D ¥1 l x’ Ü ¼– Ð # 3 Å Ò o % i Ü ¼ 9 > h¥ Æ  õ  > h¥ Æ  s \ " f ™ D ¥1 l x “ ¦ e ”   H  â Ä º “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

´ ú

§“ É r † < ÆÒ q t[ þ t“ É r õ † < Æà º\ O `  ¦ ~ à Îl  s „   Ò'  { 9  © œÒ q t Ö ¸ _ 

 â

+ « >`  ¦ : Ÿ x # Œ  ƒ  ‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç
2 £ § @ /– Ð_  > h¥ Æ `  ¦  t

“ ¦ e ”  .   " f s p  + þ A$ í  ) a > h¥ Æ ^ ‰> – Ð õ † < Æ& h  > h¥ Æ 

`

 ¦ S \ ‰1 p q >  | ¨ c M : † < ÆÒ q t Û ¼Û ¼– Ð õ † < Æ& h  > h¥ Æ `  ¦  ’  _  > h

¥ Æ

^ ‰> – Ð f  ¨ à º €  " f õ † < Æ& h  > h¥ Æ õ   H   É r > h¥ Æ `  ¦ ° ú 

>

 ÷ &  H  â Ä º e ”   H X <, s  M :ë  H \  ë  H ] j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦

 

  H  â Ä º  à º µ 1 Ï| ÷ &% 3  . s \  ¦ ‘ ¸ ú ˜3 l w ) a ‚  ' Ÿ t d ” ’Ü ¼

–

Ð # 3 Å Ò o % i  . † < ÆÒ q t[ þ t _  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s \ " f     H # Q

9¹ ¡ §`  ¦ > h¥ Æ & h  t d ” õ  › ' aº   # Œ & ñ o  €   Table 3õ  ° ú  



.

2. Ã U Ø< g þ s ÚT  Ê ÝX N Ë; c" e Ê ÝX N Ë U Å k ÄÊ Ý å ¾ ËV Ó Åc Ü R # a \

“ Ô

Û ~ ¿ß Ã Å Ä Z ØV Ä

†

< ÆÒ q t[ þ t _  [ O ë  H ? /6   x õ  €  { Œ ™`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð õ & ñ t d ” _  s  K

õ & ñ , >  S \ ‰ õ & ñ , Û  ¦ s õ & ñ `  ¦  r  ì  r À Ó # Œ s K õ & ñ

“

É r ‘ë  H ] js K ’ü < ‘¨ î כ ¹™ è “  d ” ’Ü ¼– Ð, >  S \ ‰ õ & ñ “ É r ‘ë  H ] j F

½ ¨$ í 0 p x§ 4 ’õ  ‘> h¥ Æ   s  › ' a >  x 9  6 £ x6   x’ Ü ¼– Ð, Û  ¦ s õ & ñ

“

É r ‘ › ' a > d ”   Ö ¸6   x’ õ  ‘> í ß –0 p x§ 4  x 9  K $ 3 ’ 1 p x Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i 



.

1) s K  õ & ñ \ " f
 è ß – # Q 9¹ ¡ § כ ¹“   ì  r$ 3 

s

K õ & ñ `  ¦ ‘ë  H ] js K ’ü < ‘¨ î כ ¹™ è “  d ” ’Ü ¼– Ð ì  r À Óô  Ç s

Ä »  H † < ÆÒ q t[ þ t s  ë  H ] jÛ  ¦ s  õ & ñ \ " f ë  H ] j\ " f Å Ò# Q”   › ¸

|

s 
 Õ ªa Ë > ¢ ¸  H Õ ªA á Ô\  @ /ô  Ç s K \  ¦ t  3 l w  
 ë

 H ] j Á º% Á `  ¦ Ó ü t # Q˜ Ѝ  H t  · ú ˜t  3 l w K " f 7 £ ¤, ¨ î כ ¹™ è\ 

@

/ô  Ç S X ‰ “   x 9  “  d ” `  ¦ ] j@ /– Ð t  3 l w K  ë  H ] j Û  ¦ s \  ¦  t

 3 l w   H  כ Ü ¼– Ð ½ ¨ì  r ½ + É Ã º e ” % 3 l  M :ë  H s  .  6 £ §“ É r ë  H ]

js K  0 p x§ 4 s   Ò7 á ¤ K " f ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H † < Æ Ò q

tBü <_  €  { Œ ™? /6   x _  { 9  Ò\  ¦ `  …|    כ s  .

¬

¨  : ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M : # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H s Ä »\  ¦ ‘ë  H ] j\  ¦ À

1 Ïo  Û  ¦  9“ ¦   ×  æ כ ¹ô  Ç › ¸|  ° ú  “ É r  כ `  ¦ î ß – { 9 

“

¦ Õ ªz ª œ N S" 3 “ ¦ Û  ¦    8 s  © œ Û  ¦ o t  · ú § " f ë  H ]

j\  ¦  r  ˜ Ѐ   ×  æ כ ¹ô  Ç ? /6   x`  ¦ N S" 3 # Q" f ë  H ] j\  ¦ d  ¦ o

  H  â Ä º ´ ú § ’ “ ¦ / ú   H X <  = Õ ª    כ ° ú   ?

Á þ

š “ » jB : $   H ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ M : 7 á § ü # í  o   H  כ ° ú   כ ¹.

¬

¨  : - $?

Table 4. Difficulty Factors related to problem understanding.

Lack of visual Lack of conditions

Unfamiliarity interpretation skills interpretation skills

Difficulty Lack of graph Lack of Lack of Lack of

Factors interpretation picture ability to conditions - skills interpretation verify the interpretation

skills condition skills

Number of 15 7 17 5

responses 22 22 7

Á þ

š “ » jB : ë  H ] j\  ¦ ì  r >  { 9 “ ¦ ë  H ] j\ " f
“ : r ×  æ כ ¹ô  Ç ? / 6

x`  ¦ ¸ ú ˜ l % 3  “ ¦ Õ ª   s 6   x K " f ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ # Q  ÷ &



 H X < ë  H ] j\  ¦ Û  ¦  ˜ Ѐ   =  G ô  Ç ¿ º> hm ”  ÿ .  Z  ~ u “ ¦


×

 æ \  K ² ú š`  ¦ ˜ Ѐ  " f Õ ª   S X ‰ “   €    ! Û  ¦ à º e ”   H ë

 HH $ ™X < d  ¦§ 4 ½ ¨
! “ ¦ $  Û ¼Û ¼– Ð ² ú š² ú šK K כ ¹.

¬

¨  : Õ ª! 3  ë  H ] j\  ¦ { 9 `  ¦ M : Á º% Á s  ×  æ כ ¹ô  Ç › ¸| “  t \  ¦

· ú

˜ à º e ” # Q?

Á þ

š “ » jB : 6 £ §. _ " tf ” y  ¸ ú ˜ — ¸Ø Ô ’ x# Qכ ¹. Õ ªz ª œ ë  H ] j\  ¦ { 9 Ü ¼€   Õ

ª ´ ú ˜ ×  æ \  # Q‹ "  >  ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ M : • ¸¹ ¡ §`  ¦ Šҍ  H | t 

· ú

˜t  3 l w m    8 Õ ª    כ ° ú   כ ¹.

¬

¨  : ë  H ] j\  ¦ ´ ú §s  Û  ¦  ˜ Ѐ   µ 1 Ïë  H \ " f Å Ò# Q”   › ¸| s  s

X O >  s 6   x ÷ &  H ½ ¨
!  “ ¦ s K ½ + É Ã º e ”   H X < # QÖ ¼

&

ñ • ¸ ” ¸§ 4 s  € 9 כ ¹½ + É  כ ° ú   .

Á þ

š “ » jB : _ " tf ” y  Ó ü t o  / B N  ҍ  H ¸ ú ˜ t  · ú § " f  f ” “ É r ¸ ú ˜

—

¸Ø Ô ’ x# Qכ ¹.

¬

¨  : Õ ªA .  Á º— É r ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ M : ì  r y  { 9 “ ¦ ×  æ כ ¹ô  Ç

?

/6   x`  ¦ ^ ‰ß ¼ €  " f É Ò  H _ þ v› ' a`  ¦ U  ´ Q˜ Ð .

Á þ

š “ » jB :    H X < ë  H ] j\  ¦ Û  ¦  ± p Õ ª   >  Ò q ty Œ •
t  · ú §“ ¦ Û  ¦

#

Q! Qo m  ...

( Ê ê| Ä Ì)

†

< ÆÒ q tB  H ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M :, µ 1 Ïë  H \  Å Ò# Q”   ? /6   x`  ¦ { 9  Ü

¼€  " f Å Ò# Q”   › ¸| `  ¦ S X ‰ “   “ ¦ Õ ª › ¸| `  ¦ s 6   x K " f ë  H ]

j\  ¦ Û  ¦ # Q    H X < µ 1 Ïë  H`  ¦ { 9 `  ¦ M : @ /Ø  æ { 9 “ ¦ ¢ ¸ô  Ç # Q

‹

"

 ? /6   x s  ×  æ כ ¹ô  Ç › ¸| “  \  ¦ ¹ 1 Ô ? /t  3 l w K  ë  H ] j\  ¦ K 

 

   H X < # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  . s   H ë  H ] j\  ¦ s

K    H é ß –> \ " f z  ´] j ½ ¨K     H Ó ü t o | ¾ Ós 
 Å Ò# Q

”

  & ñ ˜ Ð\  @ /ô  Ç š ¸K  ¢ ¸  H ë  H ] j_  ½ ¨› ¸\  ¦ s K  t  3 l w K 

"

f s K  é ß –> \ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ”    H ƒ  ½ ¨ [5]ü < ° ú  “ É r Ð 

o| à ÌÜ ¼– Ð s K ½ + É Ã º e ”  .

ë

 H ] j s K ü < › ' aº   ) a [ O ë  H ? /6   x`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð [ j Ò& h Ü ¼

–

Ð ì  r À Ó # Œ Ä » ô  Ç ? /6   x[ þ t`  ¦  r  # 3 Å Ò or (   . ë  H ] j

\

 Å Ò# Q”   Õ ªA á Ô\  ¦ @ /Ø  æ ¿ ± # Q˜ Г ¦ ë  H ] j\  ¦ K     9“ ¦

# Œ ×  æ כ ¹ô  Ç & ñ ˜ Ð\  ¦ “  t  t  3 l w  
,   à º ° ú כ`  ¦ S X ‰ “  

t  · ú §  l Ö  ¦ l _  _ p \  ¦ K $ 3  t  3 l w # Œ ë  H ] j K   

\

 # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º\  ¦ ‘ Õ ªA á Ô K $ 3 0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð ì  r À

Ó½ + É Ã º e ”  . s   H † < ÆÒ q t[ þ t s  Õ ªA á Ô_  f ” ‚  s 
 ? /  H

&

ñ ˜ Ð 5 Å q • ¸“  t  5 Å q • ¸“  t  ¸ ú ˜ ½ ¨Z >  t  3 l w  9, : £ ¤ y  l

Ö  ¦ l _  s  > p w   H  \  ¦ ¸ ú ˜ s K  t  3 l w # Œ ë  H ] j Û

 ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ”    H ƒ  ½ ¨ [17]ü < Õ ªA á Ô\ 
 

è ß – † < ÆÒ q t[ þ t _  š ¸À Ó Ä »+ þ A“ É r   à º_  ¸ ú ˜3 l w ) a K $ 3 , Õ ªA á Ô l

‘ : r כ ¹™ è_  ¸ ú ˜3 l w ) a ³ ðl ,  « Ñ_  ¸ ú ˜3 l w ) a  6   x 1 p x Ü ¼– Ð # Q

9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ”    H ƒ  ½ ¨ [18]ü < ° ú  “ É r Ð  o| à Ìs  “ ¦ ^  ¦ à º e ”

 .

Õ

ªo “ ¦ ë  H ] j\  Å Ò# Q”   Õ ªa Ë >`  ¦ @ /Ø  æ ¿ ± # Q˜ Г ¦ ë  H ] j\  ¦ K

    9“ ¦ # Œ ×  æ כ ¹ô  Ç & ñ ˜ Ð\  ¦ “  t  t  3 l w  
 Õ ª a Ë

>_   © œ S ! `  ¦ s K  t  3 l w K " f ë  H ] j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   



 H  â Ä º\  ¦ ‘ Õ ªa Ë > K $ 3 0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð ì  r À Ó % i  . s   H Ó

ü

t o  ‰ & ³ © œ`  ¦ Õ ªa Ë >s 
 ¶ ú š o 5 Å q \  ˜ Л ¸& h Ü ¼– Ð  o¶ ú ˜³ ð\  ¦ Õ

ª 9 V , # Q 1 l x  Œ •_  õ & ñ s  † < ÆÒ q t[ þ t _   © œ © œ`  ¦ : Ÿ x K " f s K 

÷

&# Q    H ? /6   x s  ´ ú §  Õ ªa Ë >\  @ /ô  Ç s K  # Q§ > >  Ö ¼



”     H ƒ  ½ ¨  õ  [19]ü < ° ú  “ É r Ð  o| à Ìs  “ ¦ ^  ¦ à º e ”  .

‘ Õ ªA á Ô K $ 3 0 p x§ 4  Â Ò7 á ¤’ õ  ‘Õ ªa Ë > K $ 3 0 p x§ 4  Â Ò7 á ¤’`  ¦ ½ + Ë 

#

Œ ‘r y Œ •& h  K $ 3 0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð # 3 Å Ò o½ + É Ã º e ”  .

ë

 H ] j\  Å Ò# Q”   µ 1 Ïë  H s 
 › ¸| `  ¦ S X ‰ “   t  · ú § 
 @ / Ø

 æ ¿ ± # Q˜ Г ¦ ë  H ] j\  ¦ K     9“ ¦ # Œ ×  æ כ ¹ô  Ç & ñ ˜ Ð\  ¦ “   t

 t  3 l w >  ÷ &# Q ë  H ] j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º\  ¦

‘ › ¸|  S X ‰ “  0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð, ë  H ] j\  Å Ò# Q”   › ¸| `  ¦ S X ‰ “  

“ ¦ “  t Ù þ ¡t ë ß – Õ ª _ p \  ¦ ¸ ú ˜3 l w K $ 3  # Œ ë  H ] j K   \ 

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º\  ¦ ‘ › ¸|  K $ 3 0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð ì  r À Ó 

%

i “ ¦ s  ¿ º t \  ¦ ½ + Ë # Œ ‘› ¸|  “  t 0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð # 3  Å

Ò o % i  . s   H ë  H ] j_  s K  é ß –> \ " f z  ´] j ½ ¨K  ½ + É Ó

ü

t o | ¾ Ó`  ¦  € Œ • t  3 l w  
 Å Ò# Q”   & ñ ˜ Ð\  @ /ô  Ç š ¸K 

–

Ð ´ ú ˜p € Œ ™  ë  H ] j Û  ¦ s \  z  ´J    H  â Ä ºü < ë  H ] j_  ½ ¨› ¸

\

 ¦ s K  t  3 l w # Œ ë  H ] jK   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H    H ƒ  

½

¨  õ  [5]ü < Ð  o| à Ì`  ¦ ° ú  s ô  Ç .

Table 5. Difficulty Factors related to recognition of evaluation elements.

Difficulty Lack of ability to check Lack of ability to analyze Confusion of Factors evaluation elements evaluation elements evaluation elements

Number of responses 1 3 2

Õ

ªo “ ¦  „  \   â + « > t  3 l wÙ þ ¡~   Ò q t™ èô  Ç Ä »+ þ A_  ë  H ] j



" f ë  H ] j ] X   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ¹ 1 Ôt  3 l w K  ë  H ] j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦

 

  H  â Ä º\  ¦ ‘ë  H ] j_  • 2 ;¸ n q$ í  Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð # 3 Å Ò o % i  .

s

 © œ_  ë  H ] j s K ü < › ' aº   # Œ † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ

& ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ § כ ¹“  `  ¦ # 3 Å Ò o €   Table 4ü < ° ú  



.

†

< ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f ¨ î כ ¹™ è\  @ /ô  Ç

“

 d ” õ  › ' aº  ô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ] jr  l • ¸ Ù þ ¡ . — ¸¿ º 6> h_  6

£

x ² ú šs  ] jr ÷ &% 3   H X <, 6 £ x ² ú š`  ¦ ] jr ô  Ç ô  Ç † < ÆÒ q t († < ÆÒ q t C) õ _  €  { Œ ™ ? /6   x`  ¦ ] jr  €    6 £ § õ  ° ú   .

¬

¨  : ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M : # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H s Ä »\  ¦ ‘/ B N  Ò\  ¦

 

½ + ãl d ” Ü ¼– Ðë ß – K " f ë  H ] j\  ¦ ^  ¦ M : <˜ Ðl >×  æ \ " f

| 

   ô  Ç  כ s  ´ ú § " f ? / Ò q ty Œ •@ /– Ð Û  ¦% 3   d  ¦ o

  H  â Ä º ´ ú § ’ “ ¦ / ú   H X <  = Õ ªX O >  / ú   H t 

´ ú

˜K ^  ¦ A ?

Á þ

š “ » jC : ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ M : ë  H ] j\ " f Á º\ O  ½ ¨  “ ¦ ~  t ,



m €   # Q‹ "     > í ß –K " f ² ú š`  ¦ ½ ¨   H ë  H ] j\ " f ë  H ]

j\  ¦ @ /Ø  æ { 9 # Q" f Õ ª  t    F K   É r  כ `  ¦ ½ ¨K " f Û

 ¦ M : e ” # Qכ ¹.

¬

¨  :  = Õ ªX O >    H  כ ° ú   ?

Á þ

š “ » jC : / å J d כ ¹. $ • ¸ ¸ ú ˜ — ¸Ø Ô ’ x# Qכ ¹. ì  r" î y  ÿ .  ½ ¨ r 

š

¸.  “ ¦ { 9 % 3   H X < Û  ¦   ˜ Ѐ     É r  כ `  ¦ ½ ¨ “ ¦ e ” 

`

 ¦ M : e ” # Qכ ¹.

¬

¨  : Õ ª! 3  ë  H ] j
 <˜ Ðl >_  ? /6   x`  ¦  [ jy  { 9 “ ¦ # Q‹ " 

 כ

`  ¦ ½ ¨K     H t  · ú ˜“ ¦ ë  H ] j\  ¦ É Ò  H  m   m €  

@

/Ø  æ { 9 “ ¦ ë  H ] j\  ¦ É Òm ?

Á þ

š “ » jC : 6 £ §. _ " tf ” y  Ñ ü t   Õ ªA כ ¹.

¬

¨  : Õ ª! 3  ë  H ] j\ " f כ ¹½ ¨   H ¨ î כ ¹™ è\  ¦ S X ‰ “  K Z  ~ “ ¦



 É r    Û  ¦ M :• ¸ e ” “ ¦,  m €   @ /Ø  æ { 9   H  | à Ð\  A

\

 ¦ ½ ¨  “ ¦ Ù þ ¡  H X < B\  ¦ ½ ¨  “ ¦ ‚ à Ìy Œ •K " f B\  ¦

½

¨   H  â Ä º e ”    H  ½ ¨
!

Á þ

š “ » jC : W 1. Õ ª    כ ° ú   כ ¹.

¬

¨  : ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ M : Ó ü t o ÷  r ë ß –  m   — ¸Ž  H õ 3 l q \ " f ¨ î

כ ¹™ è\  ¦ S X ‰ “     H >   © œ ×  æ כ ¹ô  Ç õ & ñ ×  æ \  




. Õ ª Qm    6 £ §  Ò'   H ¨ î כ ¹™ è Á º% Á “  t   ì

 r >  S X ‰ “   “ ¦ è ß – Ê ê\  ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ à º e ” • ¸2 Ÿ ¤ K  ú

<.

Á þ

š “ » jC : W 1. Õ ªX O >  K ^  ¦ > כ ¹.

†

< ÆÒ q tC  H ë  H ] j\  ¦ K      H õ & ñ \ " f ë  H ] j\  Å Ò# Q”   ¨ î

כ ¹™ è\  ¦ @ /Ø  æ { 9 # Q ¨ î כ ¹™ è\  ¦ ‚ à Ìy Œ •K " f   É r ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼

–

Ð Û  ¦ # Q" f ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ Ö ¼,  “ ¦, ¢ ¸ô  Ç ¨ î כ ¹™ è

\

 ¦ % ƒ6 £ §  Ò'  ¸ ú ˜3 l w s K K " f   É r ° ú כ`  ¦ ½ ¨K  ë  H ] j Û  ¦ s \ 

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ .

¨ î

כ ¹™ è “  d ” õ  › ' aº   ) a [ O ë  H ? /6   x`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð [ j Ò

&

h Ü ¼– Ð ì  r À Ó # Œ Ä » ô  Ç ? /6   x[ þ t`  ¦  r  # 3 Å Ò o r v €   ë

 H ] j\  Å Ò# Q”   ¨ î  כ ¹™ è\  ¦ ] j@ /– Ð S X ‰ “   t  · ú § " f ¨ î

 כ ¹™ è Á º% Á “  t  · ú ˜t  3 l w K  ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   



 H ‘¨ î  כ ¹™ è S X ‰ “   0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ _   â Ä º e ” % 3  . ¢ ¸ô  Ç, ë

 H ] j\  Å Ò# Q”   ¨ î  כ ¹™ è\  ¦  Ø Ô>  ¹ 1 Ԁ Œ ¤t ë ß – Õ ª _ p \  ¦



Ø Ô>  K $ 3  # Œ ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º“   ‘¨ î

 כ ¹™ è K $ 3  0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ _   â Ä º µ 1 Ï| ÷ &% 3  .

Õ

ªo “ ¦ ë  H ] j\  Å Ò# Q”   ¨ î  כ ¹™ è\  ¦ ¸ ú ˜3 l w ¹ 1 Ô    É r ¨ î

 כ ¹™ è\  ¦ K    >  ÷ &# Q ë  H ] j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä

º“   ‘¨ î  כ ¹™ è “  d ”  0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ _  כ ¹“  s  e ” % 3  . [ O ë  H

`

 ¦ : Ÿ x K " f µ 1 Ï|  ) a ¨ î  כ ¹™ èü < › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ § כ ¹“  `  ¦ & ñ o

 €   Table 5ü < ° ú   .

2) >  S \ ‰ õ & ñ \ " f
 è ß – # Q 9¹ ¡ § כ ¹“   ì  r$ 3 

†

< ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ " f     H # Q 9

¹

¡

§ ×  æ >  S \ ‰ õ & ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ‘ë  H ] j F ½ ¨$ í 0 p x§ 4 ’

õ

 ‘> h¥ Æ   s  › ' a >  x 9  6 £ x6   x’ Ü ¼– Ð ½ ¨ì  r # Œ K $ 3  % i  .

s

X O >  ½ ¨ì  r ô  Ç s Ä »  H † < ÆÒ q t[ þ t s  ë  H ] jÛ  ¦ s  õ & ñ \ " f # Q b 

G>  Û  ¦ s \  ¦ ½ + É  כ “  t \  ¦ >  S \ ‰   H é ß –> \ " f Å Ò# Q”   › ¸

|

s 
 ë  H ] j Û  ¦ s \  ¦ 0 Aô  Ç   ¨ 8 Š`  ¦ t  3 l w  
 (F ½ ¨$ í 0

p x§ 4   Ò7 á ¤), Ó ü t o & h  > h¥ Æ [ þ t  s \  › ' a >  “  d ” s 
 & h 6   x

`

 ¦ t  3 l w K  (> h¥ Æ   s _  › ' a >  x 9  6 £ x6   x  Ò7 á ¤) ë  H ] j Û  ¦ s

\  ¦ t  3 l w   H  כ Ü ¼– Ð K $ 3 ½ + É Ã º e ” l  M :ë  H s  .   6

£

§“ É r ë  H ] j F ½ ¨$ í 0 p x§ 4 s   Ò7 á ¤ K " f ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §

`

 ¦     H † < ÆÒ q t († < ÆÒ q tD)õ _  €  { Œ ™? /6   x s  .

Table 6. Difficulty Factors related to ability of reconstructing a problem.

Difficulty Lack of ability to Lack of ability to reconstruct Lack of ability to reconstruct

Factors consider context problem temporally problem visually

Number of responses 4 2 3

¬

¨  : ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M : # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H s Ä »\  ¦ ‘ Õ ªA á Ô ü

< Õ ªa Ë >s  ° ú  s 
š ¸  H ë  H ] j\ " f r ç ß –s  ² ú ˜ t €   î

 r1 l x s  ² ú ˜ t   H X < Õ ªA á Ôü < Õ ªa Ë >`  ¦ ƒ  › ' a f ±   H > 

#

Q§ >  ’ “ ¦ / ú   H X <  = Õ ªX O >  / ú   H t  ´ ú ˜K ^  ¦ A ?

Á þ

š “ » j D : z  ´] j– Ð $   H Ó ü t o \ " f ] j{ 9  # Q 9î  r >  Õ ªa Ë >s 

|

½ Ó Õ ªA á Ô| ½ Ó
ü <" f ¿ º > h\  ¦ ° ú  s  É Ò  H >  # Q 90 >

כ

¹.

¬

¨  :  =? ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð [ O " î K ×  ¦ A ?

Á þ

š “ » jD : Õ ªA á Ô\ " f x» ¡ ¤ s  r ç ß –s “ ¦, y» ¡ ¤ s  5 Å q • ¸


š

¸“ ¦, Õ ªa Ë >\ " f  H - $ • ¸Ø ÔA 
 # Q‹ "  Ó ü t ^ ‰ î  r1 l x ½ + É M

: Y >  œ í Ê ê\  Ó ü t ^ ‰ # Qn \  e ” 
?  m €   Y >  œ í

 t 
" f Ø  ¦ µ 1 ÏÙ þ ¡   H d ” Ü ¼– Ð
š ¸€   ¸ ú ˜ s K \  ¦ 3 l w

 ’ x# Qכ ¹.

¬

¨  : Õ ª Qm   Õ ªA á Ôü < Õ ªa Ë >\ " f Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x s  † < Êa  Å

Ò# Qt   H  â Ä º Õ ªA á Ô\  ¦ ˜ Г ¦ Õ ª Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x  © œI 

 0 Au  ° ú  “ É r  כ `  ¦ Æ ÒØ  ¦ K " f ë  H ] j\  ¦ K   K     H X

< Õ ª    כ [ þ t s  ¸ ú ˜ î ß –  ) a é ß – ´ ú ˜s t ?

Á þ

š “ » jD : W 1. Ó ü t ^ ‰ # Qb  G>  ¹ ¡ §f ” s “ ¦ Õ ª  6 £ § \  ¢ ¸ # Qb  G

>

 ¹ ¡ §f ” % i  “ ¦   H X < Õ ª      ¸ ú ˜ Ò q ty Œ •K ? /l  # Q 9 0

>כ ¹.

¬

¨  : ‚  Ò q t_ ” s  Ò q ty Œ •½ + É M : ë  H ] j\  ¦ r ç ß –s 
 › ¸| \  ´ ú 

>

  r  ½ ¨$ í `  ¦ t  3 l w K " f Õ ª    כ ° ú  “ É r X < ë  H ] j



© œ S ! `  ¦ ì  r >    ˜ Г ¦ ë  H ] j\  ¦ …  ;…  ;y  { 9 Ü ¼€  

"

f Õ ª  Ÿ ÷ ¶  © œ S ! `  ¦ Ò q ty Œ •K ˜ Ѝ  H  כ • ¸ a % ~“ É r ~ ½ ÓZ O  ×  æ

\

 
 “ ¦ Ò q ty Œ •ô  Ç .

†

< ÆÒ q tD  H Õ ªA á Ôü < Õ ªa Ë >s  ° ú  s  Å Ò# Qt   H ë  H ] j\  ¦   É r ë

 H ] j\  q K   © œ@ /& h Ü ¼– Ð # Q 90 >ô  Ç “ ¦ 6 £ x ² ú š % i  . Õ ª s

Ä »  H Õ ªA á ԍ  H ŠҖ Ð r ç ß –\    É r # Q‹ "  ° ú כ_     o– Ð Å Ò

#

Qt   H X <, r ç ß –_     o\     Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x s  # Qb  G>    

“ ¦ 0 Au _     o  H # Qb  G>  ÷ &  H t  Qa Å @5 Å q s 
 Õ ªa Ë >Ü ¼

–

Ð Õ ª 9? /t  3 l w K  ë  H ] j\  ¦ K      H X < # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  כ Ü

¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  .

ë

 H ] j F ½ ¨$ í 0 p x§ 4 õ  › ' aº   ) a [ O ë  H ? /6   x`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð [ j Â

Ò& h Ü ¼– Ð ì  r À Ó # Œ Ä » ô  Ç ? /6   x[ þ t`  ¦  r  # 3 Å Ò o # Œ 3 t – Ð ½ ¨ì  r % i  . ' Í   P :  H ë  H ] j\  ¦ Å Ò# Q”   › ¸| \ 



  ë  H ] j  © œ S ! \  ´ ú >  F ½ ¨$ í t  3 l w K  ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q

9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º– Ð ‘ © œ S !    ¨ 8 Š 0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð " î " î 

%

i  . ¢ ¸ô  Ç, r ç ß –& h  â ì2 £ § \     ë  H ] j  © œ S ! `  ¦ F ½ ¨$ í  t

 3 l w K  ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º\  ¦ ‘ r ç ß –& h    

¨ 8

Š 0 p x§ 4   Ò7 á ¤’, ë  H ] j  © œ S ! `  ¦   ¨ 8 Š r v   H › ¸| s  Å Ò# Qt t 

· ú

§€ Œ ¤t ë ß – ë  H ] j  © œ S ! s  4 Ÿ ¤ ¸ ú š “ ¦ è ß –K ô  Ç  â Ä º ë  H ] j K   



 ë  H ] j K   \  6   x s  • ¸2 Ÿ ¤ e ” _ @ /– Ð Õ ªA á Ô
 Õ ªa Ë >

1 p

x`  ¦ Õ ª 9 ë  H ] j  © œ S ! `  ¦ F ½ ¨$ í # Œ ë  H ] j\  ¦ K     9“ ¦

½

+ É M : ë  H ] j  © œ S ! `  ¦ F ½ ¨$ í t  3 l w K  ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §

`

 ¦     H  â Ä º\  ¦ ‘ r y Œ •& h    ¨ 8 Š 0 p x§ 4   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð " î " î % i 



. s   H ë  H ] j K    õ & ñ \ " f ë  H ] j\  f ” ] X  ] jr ÷ &# Q e ” 


 ë  H ] j_  › ¸| Ü ¼– РÒ'  Æ ÒØ  ¦ ô  Ç & ñ ˜ Ð[ þ t`  ¦ Õ ªa Ë >\  ³ ð r

   H € ª œs  ´ ú §`  ¦ à º2 Ÿ ¤ ë  H ] j Û  ¦ s \  • ¸¹ ¡ § s   ) a    H ƒ  ½ ¨ [16] ü < ° ú  “ É r Ð  o| à Ìs  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . [ O ë  H \ " f  H  © œ S !    

¨ 8

Š 0 p x§ 4   Ò7 á ¤ \  4" î , r ç ß –& h    ¨ 8 Š0 p x§ 4   Ò7 á ¤ \  2" î , r y Œ •

&

h

   ¨ 8 Š0 p x§ 4   Ò7 á ¤ \  @ /K " f 3" î s  6 £ x ² ú š % i  . s \  ¦ & ñ o

 €   Table 6õ  ° ú   .



6 £ §“ É r > h¥ Æ   s _  › ' a > ü < › ' aº   # Œ ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q

9¹ ¡ §`  ¦     H † < ÆÒ q t († < ÆÒ q tE)ü <_  €  { Œ ™? /6   x s  .

¬

¨  : ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M : # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H s Ä »\  ¦ ‘5 Å q • ¸ë ß –

½

¨   H ë  H ] jü < ° ú  s  ô  Ç t  > h¥ Æ ë ß – כ ¹½ ¨   H ë  H ]

j  H Û  ¦ s  à º Z 4 t ë ß – # Œ Q t  > h¥ Æ `  ¦ • ¸{ 9 K 



 “ ¦ ë  H ] j_  ? /6   x s  4 Ÿ ¤ ¸ ú š½ + É M :  H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ Ö ¼Š  



.’ “ ¦ / ú   H X <  = Õ ªX O >  Ò q ty Œ •   H t  ´ ú ˜K ^  ¦ A ?

Á þ

š “ » jE : W 1. Õ ª> כ ¹. é ß –í  H ô  Ç > h¥ Æ `  ¦ Ó ü t # Q˜ Ѝ  H ë  H ] j  H › ¸ F

K ë ß – / B N Â Ò €   Û  ¦ o   H X < > h¥ Æ [ þ t s  # Œ Q > h [ O # Œ

"

f
š ¸€   Õ ª > h¥ Æ [ þ t z o  # Qb  G>  & h 6   x K  ½ + Ét  — ¸ Ø

Ô ’ x# Qכ ¹.

¬

¨  : # Q‹ "   כ [ þ t s  Õ ªX O t ? \ V\  ¦ ô  ǁ   [ þ t # Q^  ¦ à º e ” `  ¦



?

Á þ

š “ » jE : Õ ª Qm   6 £ §. \ V\  ¦ [ þ t€   Ø  æ  | ¾ Ó`  ¦ E l K Z  ~ “ ¦

° ú

š l  î  r1 l x \  -t  # Qb  G>  ÷ &  H
? s    d ” Ü ¼– Ð Ó

ü

t # Q˜ Ѝ  H ë  H ] j ´ ú §¸ ú § כ ¹.

¬

¨  : Õ ªX O t  @ / Òì  r _  6 £ x6   xë  H ] j Õ ª   d ” s t ! Õ ª  

>

 # Q 9î  r   ?