확률및통계 (2)

확률및통계 (2)

제 5 절 베타분포

.

) ,

(

on) distributi

(beta

,

) 1 0

(

0

) 1 (0

)

1 ) (

, (

1 )

(

0 ,

0 ),

, (

] [

1 1

표기한다 로

하며 따른다고

를

베타분포 는

때 가질

를

또는 확률밀도함수

다음 가지며

를

모수 가

확률변수

베타분포 정의























X

x x

x x

B x x

f

X















 









. function)

(beta

) 1

( )

, (

) ,

(

,

1

0

1 1

이다 베타함수

같은 와

는 여기서



^

 x x dx

B

B











) (

) (

) ) (

, (

*

*

*







 

  



  B

관계 감마함수의

베타함수와

예제 12

베타분포가 확률밀도함수임을 보이시오

) 1 ,

(

) ,

(

) 1

) ( ,

( 1

) 1

) ( ,

( 1 ,

) 1 (0

0 )

1 ) (

, ( ) 1

(

] [

1 0

1 1

1 0

1 1

1 1





































































B B

dx x

B x

dx x

B x

x x

B x x

f

이고 풀이

예제 13

. )

1 . 0 (

,

2

구하시오 를

때 따를

베타분포에 인

가







P

X

 

) 1

) ( 2 ( )

2 (

) 4 (

) 1

) ( 2 , 2 ( ) 1

(

.

,

2 ]

[

1 2 1

2

x x

x B x

x f

 



 













같다 다음과

함수는

확률밀도 베타분포의

때 일

풀이





028 .

3 0 001 .

0 2

01 . 6 0

3 6 2

) 1

( 6 )

1 . 0 (

.

,

) 1 0

( ),

1 ( 6 )

1

! ( 1

! 1

! 3

1 . 0 0

1 . 0

0 3 2

 



 



 





 



 























X P

x x

x x

x

같다 다음과

확률은 구하는

따라서

제 6절 분포

.

on) distributi

square -

(chi

) 0 (

2)

( 2

) 1 (

2 / 1

, ) :

( 2 /

] [

2 2

2 12

2

한다 라

밀도함수 의

분포 의

자유도 함수를

정의되는 로

때 일

자연수 감마분포에서

분포 정의









n x

e n x

x f

n n

x

n 

 









표준정규분포와 분포의 관계

.

1 .

.

) , (

)

, (

] [

2

2

2 2

한다 분포를

인 자유도

은

따르면 를

가 정리





 





  f

d

Y X N

X



dz e

y Z

y P

y Y

P

Z Y

y Z

Y X N

Z

y z

y

2 2

2

2 1

) (

) 0

(

,

,

,

) 1 , 0 (

] [























 







이므로 대해서

에 양수

임의의 이라면

이므로

확률변수 따르는

을 가

증명

.

1

.

2 ) ( 1 2

1

2 1 2

) 2 0

(

2 1 2

2 1

0

2 1

0 2

따른다 를

분포 인

자유도가 는

따라서 이다

두면 로





Y

dy e

y y dy y

Y P

y z

z y

z



















예제 14

.

1

) (

,

) ,

(

2

2

2 2

2

보이시오 따름을

분포를

인 자유도

은

때 따를

를 가











n V X

N X

 

.

1

,

) 1 , 0 (

] [

2

2

따른다 분포를

인 자유도가

은 따르므로

을 가

풀이



 

V N

n V  X 

제 7절 ^T 분포

.

,

) 1

( 2 )

( 2 ) ( 1

) (

] [

2 ) 1 2 (

한다 분포라

인 자유도

때 일

확률밀도함수가 의

분포 정의

t n

n x n n

n x

f X

t

 n

 

 

 

예제 16

t  분포가 확률밀도함수임을 보이시오.











 







 

 

 



 



 



 



 



 



 



 



 



n dx x n n

n n dx

x n n

n

n x n n

n x

f

n n

n

2 ) 1 2 (

2 ) 1 2 (

2 ) 1 2 (

) 1

( 2 )

( 2

1

) 1

) ( (2

2 1 ,

0 )

1 ) ( (2

2 1 )

(

] [





 이고

풀이

,

.

) 1

2 (

,

)

1 ( ,

) 1

( 2

) 1

(

,

2 3 2

1 1

2

0

2 ) 1 2 (

2 ) 1 2 (

따라서 이다

치환하면 로

이고

이므로

dt t

n t dx

n t x

n dx dx x

n

x ^{n n}







  







 

 

























2) ( 1

2) (

2) ( 1

2) ( 1 2)

( 2) , 1 (2

) 1

(

) 1

2 ( 2

1 2

1 0

2 1 1 1

2

0 1

2 1 2

2 2 ) 1 (

0

2

 

 

 



 







 







 

 



 



 











 

 



n n n

n n n n

B n

dt t

t n

dt t

n t n dx

x

n

n n



.

1

2 ) ( 1

2 ) ( 1

2 ) ( 1

2 ) ( 1

) (

,

.

있다 수

알 임을

그러므로 이다



 

 

 



 



 n

n n

n n

n dx

x f





.

,

,

)

1 , 0 (

,

,

] [

2

따른다 분포를

인 자유도

는

확률변수 때

따를 분포를

의

자유도 는

따르고 를

정규분포

표준 는

독립이고 가

확률변수 정리

t n

V n T U

n

V N

U V

U





제 8절 F 분포

.

)

, (

) 0 (

) 1

( 2 )

( 2 )

(

2 ) (

) (

] [

2 1

) 2(

1

2 1 1

2 2

2 1 2

1

2 1

2 1 1

1

한다

분포라 인

자유도 분포를

인

확률밀도함수가 의

분포 정의

F n

n x

n x x n

n n n

n

n n

x f

X

F

n n n

n



 



 









 

 ^{  }

.

)

, (

,

,

,

] [

2 1

2 1

2 2

1

따른다 분포를

인 자유도

는

확률변수

때 따를

분포를 인

과 자유도가

각각 독립이고

서로 가

확률변수 정리

F n

n

V n U n F

n n

V U





.

) ,

1 (

T ,

T ]

[

2

한다 분포를

인 자유도가

은 때

따를

분포를 인

자유도 가

확률변수 정리

F

n

t

n