확률및통계 (2)
제 5 절 베타분포
.
) ,
(
on) distributi
(beta
,
) 1 0
(
0
) 1 (0
)
1 ) (
, (
1 )
(
0 ,
0 ),
, (
] [
1 1
표기한다 로
하며 따른다고
를
베타분포 는
때 가질
를
또는 확률밀도함수
다음 가지며
를
모수 가
확률변수
베타분포 정의
X
x x
x x
B x x
f
X
. function)
(beta
) 1
( )
, (
) ,
(
,
1
0
1 1
이다 베타함수
같은 와
는 여기서
x x dx
B
B
) (
) (
) ) (
, (
*
*
*
B
관계 감마함수의
베타함수와
예제 12
베타분포가 확률밀도함수임을 보이시오
) 1 ,
(
) ,
(
) 1
) ( ,
( 1
) 1
) ( ,
( 1 ,
) 1 (0
0 )
1 ) (
, ( ) 1
(
] [
1 0
1 1
1 0
1 1
1 1
B B
dx x
B x
dx x
B x
x x
B x x
f
이고 풀이
예제 13
. )
1 . 0 (
,
2
구하시오 를
때 따를
베타분포에 인
가
XP
X
) 1
) ( 2 ( )
2 (
) 4 (
) 1
) ( 2 , 2 ( ) 1
(
.
,
2 ]
[
1 2 1
2
x x
x B x
x f
같다 다음과
함수는
확률밀도 베타분포의
때 일
풀이
028 .
3 0 001 .
0 2
01 . 6 0
3 6 2
) 1
( 6 )
1 . 0 (
.
,
) 1 0
( ),
1 ( 6 )
1
! ( 1
! 1
! 3
1 . 0 0
1 . 0
0 3 2
x x dx x xX P
x x
x x
x
같다 다음과
확률은 구하는
따라서
제 6절 분포
.
on) distributi
square -
(chi
) 0 (
2)
( 2
) 1 (
2 / 1
, ) :
( 2 /
] [
2 2
2 12
2
한다 라
밀도함수 의
분포 의
자유도 함수를
정의되는 로
때 일
자연수 감마분포에서
분포 정의
n x
e n x
x f
n n
x
n
2표준정규분포와 분포의 관계
.
1 .
.
) , (
)
, (
] [
2
2
2 2
한다 분포를
인 자유도
은
따르면 를
가 정리
f
d
Y X N
X
2dz e
y Z
y P
y Y
P
Z Y
y Z
Y X N
Z
y z
y
2 2
2
2 1
) (
) 0
(
,
,
,
) 1 , 0 (
] [
이므로 대해서
에 양수
임의의 이라면
이므로
확률변수 따르는
을 가
증명
.
1
.
2 ) ( 1 2
1
2 1 2
) 2 0
(
2 1 2
2 1
0
2 1
0 2
따른다 를
분포 인
자유도가 는
따라서 이다
두면 로
Y
dy e
y y dy y
Y P
y z
z y
z
예제 14
.
1
) (
,
) ,
(
2
2
2 2
2
보이시오 따름을
분포를
인 자유도
은
때 따를
를 가
n V X
N X
.
1
,
) 1 , 0 (
] [
2
2
따른다 분포를
인 자유도가
은 따르므로
을 가
풀이
V N
n V X
제 7절 T 분포
.
,
) 1
( 2 )
( 2 ) ( 1
) (
] [
2 ) 1 2 (
한다 분포라
인 자유도
때 일
확률밀도함수가 의
분포 정의
t n
n x n n
n x
f X
t
n
예제 16
t 분포가 확률밀도함수임을 보이시오.
n dx x n n
n n dx
x n n
n
n x n n
n x
f
n n
n
2 ) 1 2 (
2 ) 1 2 (
2 ) 1 2 (
) 1
( 2 )
( 2
1
) 1
) ( (2
2 1 ,
0 )
1 ) ( (2
2 1 )
(
] [
이고
풀이
,
.
) 1
2 (
,
)
1 ( ,
) 1
( 2
) 1
(
,
2 3 2
1 1
2
0
2 ) 1 2 (
2 ) 1 2 (
따라서 이다
치환하면 로
이고
이므로
dt t
n t dx
n t x
n dx dx x
n
x n n
2) ( 1
2) (
2) ( 1
2) ( 1 2)
( 2) , 1 (2
) 1
(
) 1
2 ( 2
1 2
1 0
2 1 1 1
2
0 1
2 1 2
2 2 ) 1 (
0
2
n n n
n n n n
B n
dt t
t n
dt t
n t n dx
x
n
n n
.
1
2 ) ( 1
2 ) ( 1
2 ) ( 1
2 ) ( 1
) (
,
.
있다 수
알 임을
그러므로 이다
n
n n
n n
n dx
x f
.
,
,
)
1 , 0 (
,
,
] [
2
따른다 분포를
인 자유도
는
확률변수 때
따를 분포를
의
자유도 는
따르고 를
정규분포
표준 는
독립이고 가
확률변수 정리
t n
V n T U
n
V N
U V
U
제 8절 F 분포
.
)
, (
) 0 (
) 1
( 2 )
( 2 )
(
2 ) (
) (
] [
2 1
) 2(
1
2 1 1
2 2
2 1 2
1
2 1
2 1 1
1
한다
분포라 인
자유도 분포를
인
확률밀도함수가 의
분포 정의
F n
n x
n x x n
n n n
n
n n
x f
X
F
n n n
n
.
)
, (
,
,
,
] [
2 1
2 1
2 2
1
따른다 분포를
인 자유도
는
확률변수
때 따를
분포를 인
과 자유도가
각각 독립이고
서로 가
확률변수 정리
F n
n
V n U n F
n n
V U
.
) ,
1 (
T ,
T ]
[
2
