Development and Application of Action Based Mathematics Digital Textbook

Ⅰ. 서 론

공학 도구의 사용은 학생들이 공학 도구를 직 접 조작함으로써 수학적 이해를 신장시킬 수 있 고 수학적 탐구 및 사고에 대한 반성의 기회를 제공하며, 학생들의 흥미를 유발시켜 학습에 대 한 태도에 긍정적 영향을 미칠 수 있다(송해덕, 박주호, 2009; 우정호, 2009; 조완영, 김남균, 2006). 실제로 우리나라를 비롯한 국내외 수학과 교육과정에서 단순한 계산 능력 배양이 목표가 아닌 경우 공학적 교구와 다양한 교구의 사용을 권장하고 있으며(교육과학기술부, 2012a; NCTM, 1989, 2000), 수학 교육에서 GSP, GeoGebra, Cabri 등 공학 도구를 활용에 관한 연구가 다방 면에 걸쳐 지속적으로 이루어지고 있다(류희찬, 강경민, 2013; 손홍찬, 2011; 양성현, 2014; 이헌

수, 이광호, 2012).

그럼에도 실제 수학 교실에서 공학 도구의 활 용은 기대보다 훨씬 저조하다(김부미, 2012; 김 선희, 2012; 조은애, 권혁진, 2008; Drijvers, 2012;

Laborde, 2014a).

여기에 대한 원인은 교육 시설과 지필 교과서 의 측면에서 찾아볼 수 있다. 현재 일반 교실 환 경에서는 컴퓨터가 시범용으로 한 대 배치되어 있어 학생들이 공학 도구를 직접 조작할 수 없 고 교사에 의한 시범에 그칠 수 밖에 없다. 수업 이 컴퓨터실에서 이루어진다고 해도 그 수업은 컴퓨터실 담당 교사와의 기기 관리 문제, 다른 교사와의 컴퓨터실 사용 시간 조정, 이동에 따른 시간 낭비와 불편 등의 문제가 야기될 수 있다.

또한 컴퓨터의 활용을 권장하는 교육과정에 맞추어 공학 도구의 활용이 포함된 지필 교과서 가 개발되었으나 대부분 대단원이나 중단원 말

* 대전송촌고등학교, [email protected] (제1 저자)

** 한국교원대학교, [email protected] (교신저자)

1) 본 연구는 2014년 한국교원대학교 기성회비 연구비 지원으로 이루어졌음.

대한수학교육학회지 수학교육학연구 제 25 권 제 2 호 Journal of Educational Research in Mathematics Vol. 25, No. 2, 241 ~ 261. May 2015

활동 중심 수학과 디지털교과서의 개발 및 적용¹⁾

허 남 구^*․류 희 찬^**

디지털교과서는 정부에서 제시하는 새로운 교육 시스템을 지칭하는 스마트교육을 실현시키기 위한 주요 전략 중 하나이다. 우리나라는 과학, 수학, 사회, 영어 교과의 디지털교과서를 2013년까지 개발하여 2014년에 적용하려고 하였다. 하지만 수학 과목 의 경우, 디지털교과서의 초안이 기능적인 측면에서 서책형 교과서와 크게 다르지 않 아 무기한 연기되었다. 이러한 상황은 수학 교과에 부적합한 저작도구의 사용으로 인 해 수학교육에서 가장 중요한 측면 중의 하나인 학생의 탐구 활동이 매우 제한적으 로 구현될 수밖에 없었기 때문이다.

본 논문은 디지털교과서가 보다 잘 사용되어지기 위한 개발 방향과 저작도구로서 Cabri LM을 사용하여 고등학교 3학년의 수학과 디지털교과서를 개발하고 적용하면서 나타난 결과를 소개한다.

미에 보여주기식의 형태로 제시되어 있어 수학 적 탐구나 반성의 기회를 제공하기 어렵게 되어 있다(조은애, 권혁진, 2008). 그 결과 우리나라 교사의 3/4 이상이 공학 도구 활용과 관련된 내 용의 일부만 실행하거나 그냥 넘어가고 있는 실 정이다(조은애, 권혁진, 2008). 이는 지필 매체의 정적인 특성상 공학 도구의 역동적 조작 과정을 제대로 구현하지 못하기 때문에 일어나는 현상 이다.

최근 태블릿 PC에 장착된 활동 중심의 디지털 교과서의 필요성이 부각되는 것도 이러한 시설 과 지필교과서가 가지는 매체상의 문제점을 해 결하기 위한 방안으로 볼 수 있다(교육과학기술 부, 2011a, 2011b; 교육과학기술부, 2012b; 교육인 적자원부, 2007; 노정민 외, 2013; 류지헌, 2008;

정광훈 2012; 주형미 외, 2012).

교육인적자원부는 ‘디지털교과서 상용화 추진 방안’(2007)에서 “디지털교과서는 서책형 교과서 를 디지털화하여, 서책이 가지는 장점과 아울러 검색․내비게이션 등의 부가 편의 기능, 그리고 애니메이션․3D 등 멀티미디어, 학습지원 기능 을 구비하여 편의성과 학습 효과성을 극대화한 디지털 학습교재를 의미한다.”라고 정의하였고, 2008년 초등학교 5-6학년의 수학과 디지털교과서 가 개발되어 디지털교과서 효과성 연구, 수업 모 형 연구를 수행하였다. 그 후 ‘스마트교육 추진 전략’(2011a, 2011b)에서 디지털교과서의 개발을 수학, 과학, 사회, 영어 등으로 확대하고 2015년 까지 그 적용을 위한 준비를 마치겠다는 방침을 발표하였으나 ‘스마트교육 추진전략에 따른 교 과서 개선 계획(안)’(2012b)에서 그동안의 디지털 교과서 효과성 연구 결과에서 높은 효과를 보인 사회과, 과학과, 영어과 디지털교과서를 우선 개 발 적용하고, 수학과 디지털교과서를 제외시켰 다.(교육부, 2013; 김혜숙, 이미미, 안성훈, 2014;

서지영, 주형미, 김혜숙, 2012; 주형미 외, 2012)

기존에 개발되어 온 수학과 디지털교과서의 효과가 낮았던 원인은 저작 환경에서 찾아볼 수 있다. 수학 수업에서는 학생이 기하학적 도형을 직접 조작하고, 관찰함으로써 성질을 유추하고 정당화하는 과정이 포함되어야 하며, 수학적 상 황을 표, 그래프, 식, 언어 등 다양하게 표현할 수 있으며 표현된 수학적 언어를 바탕으로 학생 간의 의사소통이 원활하게 이루어지는 것이 중 요하다. 기존의 디지털교과서는 서책형 교과서를 기본 형태로 하여 사진과 동영상 자료를 링크시 켜놓고 플래시를 이용한 활동 자료를 제시하고 있다. 그러나 사진이나 동영상을 클릭하여 보는 것은 학생들의 조작 활동을 촉진시키기에는 역 부족이며 플래시를 이용한 활동 자료는 플래시 로 만든 결과 파일로 제공되기 때문에 교사는 교실 환경에 맞추어 자료를 수정할 수 없다. 뿐 만 아니라 플래시로 만든 결과 파일은 원본 파 일의 소스 코드(source code)에 맞추어 실행되므 로 학생이 주어진 형태를 변화시키면서 자유롭 게 활동할 수 없다. 그 결과 기존의 디지털교과 서는 학생 스스로 변인을 가능한 여러 가지로 변화시키면서 학습할 수 있는 환경을 제공하기 어려운 실정이다.

본 연구에서는 새로운 저작도구로서 Cabrilog 사에서 개발된 Cabri LM을 사용하여 고등학교 기하와 벡터의 이차곡선 단원의 디지털교과서를 개발하고 적용한 결과를 소개하고자 한다. 특히, 개발상의 주안점을 논의하고 학생 스스로 조작 하고 탐구할 수 있도록 역동적 조작 환경이 포 함된 활동 중심 디지털교과서를 적용한 효과를 탐구활동, 문제해결력, 의사소통 측면에서 분석 해보고자 한다.

Ⅱ. 국내외 수학과 디지털교과서 현황

1. 국내 수학과 디지털교과서

2011년에 개발된 디지털교과서는 서책형 교과 서의 기본 이미지를 그대로 재현하여 개발되었 다. [그림 Ⅱ-1]은 두산동아에서 발행한 디지털교 과서의 ‘2. 원기둥과 원뿔’ 단원의 화면이다. 화 면에 나오는 차시학습목표와 개념 버튼을 클릭 하면 차시학습목표가 나타나며 학생 스스로 학 습할 수 있도록 강의 동영상이 재생된다. 화면에 나오는 페이지 이동 버튼을 클릭하면 관련된 수 학익힘책의 페이지로 이동한다. 이 기능은 수학 교과서와 수학익힘책을 연결시켜줌으로써 학습 에 편의를 제공한다. 화면의 플래시 버튼을 클릭 하면 플래시로 제작된 콘텐츠([그림 Ⅱ-2])가 나 타난다. 각 문항의 체크박스를 클릭하면 정답이 나타난다. 이를 통해 학생은 과제에 대한 즉각적 인 피드백을 받을 수 있다.

[그림 Ⅱ-2] 플래시로 제작된 콘텐츠

2011년 개발된 디지털교과서는 학생들이 강의 동영상을 통해 자기주도적인 학습을 할 수 있게 도와주고 플래시 자료를 통해 간접적인 활동을 제공하는 등 다양한 이점을 제공하지만 기능적 인 면에서 다음과 같은 문제점이 드러난다.

첫째, 서책형 교과서를 기본 이미지로 제작하 여 기존과 동일한 내용 전개 방식을 보이고 있 [그림 Ⅱ-1] 디지털교과서의 화면 (2. 원기둥과 원뿔)

다. 서책형 교과서는 글, 사진, 그림과 같이 시각 적인 자료를 통하여 학습할 수 있도록 제작되어 있는 반면, 디지털교과서에서는 시각, 청각, 촉각 등 다양한 감각을 통해 지식을 전달할 수 있다. 이는 서책형 교과서와 디지털교과서의 내용 전 개 방법이 서로 다를 수 있음을 의미한다. 시각 적 자료만을 통해 효율적인 학습을 할 수 있도 록 내용을 전개하는 방법은 다양한 감각을 이용 한 활동을 통해 학습하기에 비효율적일 수 있다. 따라서 서책형 교과서의 전체 내용을 디지털화 면에 옮겨 놓고 약간의 멀티미디어 자료와 참고 자료를 추가하는 수준을 넘어서서 디지털교과서 를 효율적으로 활용할 수 있는 새로운 내용 전 개 방법이 필요하다(양미경, 2013).

둘째, 플래시를 이용하여 콘텐츠를 제작함에 따라 교사는 수업 환경에 맞도록 콘텐츠를 수정 할 수 없으며, 학생은 가능한 변인을 여러 가지 로 변화시키는 자유로운 조작 활동을 할 수 없 다. 예를 들어, [그림 Ⅱ-2]는 학생이 칼을 클릭 하면 정해진 순서에 따라 칼이 저절로 움직여 원기둥의 옆면과 밑면을 잘라 전개도가 나타나 는 과정을 보여준다. 이 때 학생의 실제 활동은 메시지를 클릭한 것에 불과하다. 이와 같은 활동

은 학생이 변인을 다양하게 변화시키면서 불변 하는 성질을 관찰할 기회를 제공하지 못한다. 학 생 스스로 조작을 통하여 수학적 지식을 구성할 수 있는 활동이 개발될 필요가 있다.

셋째, 즉각적으로 정답을 확인하는 기능으로 인해 오히려 오개념을 부추길 수도 있다(허혜자, 최정임, 2009). 학생의 문제 해결 과정에 대한 평 가 없이 정답만을 화면에 보여줌으로써 잘못된 문제 해결 과정을 사용하였지만 정답이 맞은 학 생들에게 자신의 문제 해결 방법이 옳다는 잘못 된 확신을 줄 수 있다. 뿐만 아니라 다양한 답이 나올 수 있는 문제의 경우에 특수한 몇 개의 답 만을 제시하기 때문에 학생에게 적절한 피드백 이 제공되지 않을 수 있다. 따라서 교사가 학생 의 반응을 관찰하고 그에 대한 피드백을 제공할 수 있는 교과서가 개발되어야 한다.

2. 이스라엘 수학과 디지털교과서

Visual Math : Function & Algebra(이하 Visual Math)는 일차함수와 이차함수를 지도하기 위해 이스라엘 Haifa대학의 Yerushalmy와 Shternberg에 의해 개발된 디지털교과서이다. Visual Math는

[그림 Ⅱ-3] Visual Math의 화면 구성

일차함수와 이차함수의 대단원으로 구성되어 있 다. 일차함수는 6개의 소단원으로 구성되어 있으 며 이차함수는 10개의 소단원으로 구성되어 있 다. 학생은 16개의 소단원 중 하나를 선택하여 학습할 수 있다. Visual Math의 학습 화면은 학 습내용, 과제, 연습문제, 확장된 과제, 도구, 도구 상자의 프레임으로 구성되어 있다([그림 Ⅱ-3] 참 조). 소단원과 관련된 학습 내용이 화면의 왼쪽 프레임에 제시된다. 오른쪽 프레임에는 소단원별 로 10개 내외의 실생활과 관련된 학습 과제가 제공되며, 10개 내외의 연습문제가 제공된다. 또 한 확장된 과제, 도구, 도구상자가 제공된다. 도 구 프레임에는 소단원에 따라 필요한 수학 학습 도구가 제공되며, 도구 상자 프레임에는 일차함 수와 이차함수의 학습에 있어 공통으로 사용되 는 9개의 도구가 제공된다.

Visual Math를 활용한 수학 학습에서 기대되는 효과는 다음과 같다.

첫째, Visual Math는 다이어그램과 시각적 언 어를 기반으로 제작되어 있다. 다이어그램과 시 각적 언어의 사용을 통하여 학생은 아이디어를 스스로 확인할 수 있으며 새로운 아이디어를 촉 진하는 활동을 제공받을 수 있다(Pratt, D., 2005;

Yerushalmy, M., 2005).

둘째, Visual Math를 활용하여 학생은 수학의 유용성을 인식할 수 있다. Visual Math는 소단원 별로 10개 내외의 실생활과 관련된 학습 과제를 제시하고 있다. 학생은 실생활에서 나타나는 다 양한 현상을 일차함수 또는 이차함수로 모델링 함으로써 사회 현상과 수학과의 연결성을 이해 하고 예측할 수 있다. 학생은 실생활과 관련된 학습 과제를 수학 도구를 사용하여 해결함으로 써 수학의 유용성을 인식할 수 있다.

셋째, Visual Math를 활용하여 학생은 변수를 인식하고, 대응표, 그래프, 함수식 등 다양한 방 법으로 함수를 표현함으로써 다양한 대수적 표현

방법을 연결시킬 수 있다. Visual Math의 도구를 통하여 대응표에 직접 와 의 값을 입력함으로 써 함수의 그래프를 시각적으로 확인하고 함수를 확인할 수 있다. 또한 식을 직접 입력함으로써 함수의 그래프를 시각적으로 확인하고, 주어진 함수식의 값에 대한 식의 값 를 구할 수 있다.

넷째, Visual Math를 통해 일차함수와 이차함 수의 관계를 이해할 수 있다. [그림 Ⅱ-4]와 같은 활동을 통해 학생은 초기 함숫값의 변화량과 함 숫값 변화량의 차이를 입력함으로써 그래프의 모양을 살펴볼 수 있다.

예를 들어 값의 차이를 10, 처음 함숫값의 변화량을 1, 일정한 함숫값의 변화량의 차이를 2 로 입력한다면 의 값은 0, 10, 20, 30, ⋯이 되 고, 함숫값의 변화량은 1, 1+2=3, 3+2=5, 5+2=7, 7+2=9, ⋯가 된다. 따라서   ,

      ,       ,

      , ⋯가 되어 [그림 Ⅱ-4]의 화면과 같이 그래프가 나타난다. 학생들은 이러 한 활동을 통하여 함숫값의 변화량이 일정하게 증가하거나 감소할 때 이차함수가 되는 것을 알 수 있다. 이러한 과정은 등차수열의 합 또는 계 차수열의 학습에 도움을 줄 수 있다. 또한 학생 은 이차적 성장과 관련되어 실생활에서 살펴볼 수 있는 학습 과제를 해결하는 과정을 통해 수 학의 유용성을 인식할 수 있다.

[그림 Ⅱ-4] 일차함수와 이차함수의 연결

그럼에도 Visual Math는 다음과 같은 문제점도 드러난다.

첫째, 인터넷이 가능한 환경에서만 사용할 수 있다. 학생은 인터넷이 가능하지 않은 공간에서 는 학습할 수 없다.

둘째, Visual Math의 수학 도구는 java를 기반 으로 제작되어 있어 로딩 속도가 느리다.

셋째, Visual Math에서 사용되는 수학적 도구 는 기존의 수학 공학 소프트웨어에서의 도구와 사용법이 달라 이해하는데 많은 시간이 걸린다. Pratt(2005)의 연구에서 예비수학교사 Aparna Sabunani는 Visual Math에 사용된 도구가 생소하 여 교사들이 사용법을 이해하고 활용하는 데 어 려움을 느낄 수 있다고 지적하였다.

3. 폴란드 수학과 디지털교과서

Epodreczniki.pl은 유치원부터 고등학교 3학년까 지 여러 과목이 개발되어 있는 폴란드의 대표적 인 디지털교과서이다.

Epodreczniki.pl의 수학과 디지털교과서는 단원 별로 기본적인 학습 내용과 동영상, 조작활동으

로 구성되어 있다.

폴란드 디지털교과서를 활용한 수학 학습에서 기대되는 효과는 다음과 같다.

첫째, GeoGebra Web으로 설계된 기하 활동을 통해 학생들의 수학적 이해를 도울 수 있고 수 학적으로 탐구하고 반성할 수 있는 기회를 제공 한다. 각 활동에는 학생이 쉽게 도구를 사용할 수 있도록 안내되어 있다.

둘째, 중단원별로 객관식 문항과 단답형 문항 으로 구성된 평가 문항을 제공한다. 평가 문항을 통해 학생에게 적절한 피드백을 제공해준다. [그림 Ⅱ-5]은 중단원 평가 문항을 나타낸 화면 이다. Zadanie 1은 단답형 문항으로 Pokaz odpowiedź를 누르면 화면에 정답이 나타나고, Pokaz rozwiązanie를 누르면 해설이 화면에 나타 난다. Zadanie 2는 객관식 문항으로 각 보기 앞 의 단추를 클릭하면 정답과 풀이 과정이 화면에 나타난다.

그러나, 폴란드의 디지털교과서는 다음과 같은 문제점이 드러난다.

첫째, Visual Math와 유사하게 인터넷이 가능 한 환경에서만 사용할 수 있다. 디지털교과서는

[그림 Ⅱ-5] 평가문항

인터넷을 통해 접속할 수 있어 인터넷이 가능하 지 않은 공간에서 사용할 수 없다.

둘째, GeoGebra Web으로 설계된 활동은 인터 넷을 통해 제공되기 때문에 인터넷 환경에 따라 콘텐츠를 불러오는 시간이 오래 걸릴 수 있으며 심지어 제공되지 않을 수 있다. 그 결과 교사의 수업 계획에 영향을 주어 새로운 문제를 야기할 수 있다.

셋째, GeoGebra Web를 이용하여 콘텐츠가 제 작되어 교사는 교실 환경에 적합하도록 콘텐츠 를 수정할 수 없다. 또한 학생이 콘텐츠에 나타 난 변인을 다양하게 변화시키면서 불변하는 성 질을 관찰할 기회를 제공하지 못한다. 예를 들 어, [그림 Ⅱ-6]은 학생이 화면 왼쪽의 설명에 따 라 노란색 점을 빗변 c를 따라 이동시키는 활동 이다. 하지만 주어진 콘텐츠에서 학생은 세 변의 길이를 변화시킬 수 없고, 오직 저자에 의해 설 계된 삼각형에서만 활동할 수 있다.

[그림 Ⅱ-6] 피타고라스 정리의 활동

Ⅲ. 활동 중심 수학 교육과 Cabri LM

1. 활동 중심의 수학 교육

활동 중심의 수학 교육이란 전통적인 교사 중 심의 수학 교육과 달리 자연스러운 경험, 놀이, 게임, 구체적 조작, 언어적 상호작용 등 다양한

활동을 통하여 수학을 학습할 수 있도록 하는 교육 방식을 의미한다(김창복, 1998). 구성주의적 관점에서 모든 지식은 주체에 의해 자주적으로 구성되며 사회적 합의를 통해 공적인 지식이 된 다. 따라서 학생이 경험과 다양한 활동을 통해 자발적이고 능동적인 사고를 하고, 이를 사회 구 성원과 토론과 의사소통을 통하여 공적인 지식 을 형성해야 한다(우정호, 2009).

Dewey는 학습은 경험과 능동적인 활동을 통해 이루어진다고 주장하였다. Dewey에 따르면 수는 사물에 대한 인간 행동의 결과물이다. 따라서 수 를 지도함에 있어 사물을 사용하지 않는 것과 사물만을 사용하는 것은 모두 잘못된 방법이다. 수는 사물에 대한 인간 행동으로부터 나오는 사 고의 산물이라는 관점에서 수지도에 있어 활동 은 필연적이다(우정호, 2003).

Piaget는 학생이 능동적으로 자신의 지식을 구 성한다고 주장하였다. 교사는 학생에게 구체적 자료를 다루는 실제 활동을 제공함으로써 조작 을 통해 지식을 구성할 수 있도록 해야 한다. Piaget는 조작적 구성주의 수학인식론에 근거하 여 다음과 같은 일반적인 수학 교수학적 원리를 제시하고 있다(우정호, 2009, p251 재인용). 첫째, 수학적 개념의 발달은 아동의 실제적인 행동의 조정을 바탕으로 한 반영적 추상화에 의한 연속 적인 구성과정이므로, 조작기의 문턱에 와 있는 유치원과 초등학교 입학 초기의 아동의 수학교 육에서는 구체물을 다루는 아동 자신의 행동과 그 조정의 결과를 경험하는 ‘논리-수학적 경험’

을 강조함으로써 그 기초를 다져야 한다. 둘째, 모든 지적 조작의 본질은 조작이며, 조작은 행동 의 조정과 내면화의 산물이므로 구체적 조작단 계에 있는 초등학교 아동에 대한 수학교육은 활 동적 교수법에 의한 것이 아니면 안 된다. 셋째, 아동이 발달의 초기부터 현대수학적인 자연스런 조작적 schemes을 갖고 사고할 수 있도록 수학

교육의 본질적인 체질 개선이 요망된다. 그렇게 하려면 아동의 자발적이면서 무의식적인 행동과 조작의 구조를 반성의 대상으로 하는 교수학적 문제가 제기된다. 그러한 문제의 해결을 위해서 는 발견적 교수법, 소집단 활동 및 적절한 대화 를 통한 의식화 방법, 직관 교수법 등의 교수원 리를 고려해야 한다.

Dienes는 수학적 개념형성 과정을 놀이를 통한 구성적 활동이라고 주장하였다. 학생에게 자유롭 게 활동할 수 있는 놀이를 제공한 후 어느 정도 구조화된 활동을 제공함으로써 개념 형성을 위 한 많은 경험을 제공해야 한다. 학생의 구성적 학습을 위하여 많은 구체적 활동이 필요하며 구 조화된 활동을 통해 개념 형성을 도와주고, 실제 적이고 의미 있는 연습문제를 통해 개념이 조작 적이 되도록 해야 한다(우정호, 2009).

2. Cabri LM

Cabri LM은 수학 공학 도구로서 Cabri Ⅱ Plus, Cabri 3D를 개발한 프랑스의 Cabrilog사에서 개 발한 새로운 동적 기하 소프트웨어이다. Cabri LM을 활용한 수학 교육에는 다음과 같은 효과 가 있을 것으로 기대된다.

첫째, Cabri LM은 전자책을 출판할 수 있는 저작도구로 사용 가능하다. 교사들은 Cabri LM 을 활용하여 저자로서 기존의 수학과 디지털교 과서와 달리 동적 기하 환경이 제공되며 학생이 기하 환경에서 개체를 조작함으로써 기하학적 성질을 탐구할 수 있는 디지털교과서를 제작할 수 있다.

둘째, Cabri LM으로 제작된 교과서는 온라인 과 오프라인에서 모두 사용 가능하다. Cabri LM 으로 제작된 디지털교과서는 인터넷 환경에서의 웹북으로 활용할 수 있을 뿐만 아니라 학생의 스마트기기 상에서 오프라인으로 활용될 수 있

다. 따라서 인터넷의 가능 여부와 상관없이 학생 은 언제 어디서나 스마트기기를 이용하여 학습 할 수 있다.

셋째, Cabri LM으로 제작된 교과서는 기존의 디지털교과서와 달리 교사가 자신의 의도대로 수정할 수 있다(Laborde. C., 2014b). 기존의 디지 털교과서는 교사가 내용을 추가하거나 수정할 수 없었으며, 플래시 등을 이용하여 제작된 동적 활동 자료를 수정할 수 없었다. 그 결과 교사는 동적 활동 자료를 GSP 등과 같은 소프트웨어를 이용하여 별도로 제작하여 수업에 활용하였다. 하지만 이러한 소프트웨어를 이용하여 제작된 동적 기하 활동 자료는 학생이 직접 활동하는 수업에 한계가 있다. 학생이 사소한 실수로 특정 한 개체를 지운 후 학습 자료를 저장할 경우, 그 개체에 종속된 개체는 모두 지워지게 되어 학습 에 어려움을 줄 수 있다.

Cabri LM에는 저자 모드, 교사 모드, 학생 모 드의 3가지 모드가 포함되어 있다. [그림 Ⅲ-1]은 저자 모드의 화면을 나타낸 것이다. 여기서는 화 면에 나타난 도구 상자를 통하여 활동이 가능한 디지털교과서를 개발한다. 문자 도구를 사용하여 교과서의 내용을 기록할 수 있으며, 사진과 동영 상을 삽입할 수 있다. 또한 학생들이 역동적으로 기하를 탐구하고 함수의 그래프를 화면에 나타 낼 수 있도록 학습에 필요한 작도 도구 및 컴퍼 스, 계산기를 제공한다. [그림 Ⅲ-2]는 교사 모드 의 화면을 나타낸 것이다. 여기서는 디지털교과 서의 큰 틀은 유지한 채 ‘문자’, ‘편집 제한’, ‘이 동 제한’의 도구를 사용하여 학생들의 수준에 맞도록 내용을 삽입할 수 있고, 콘텐츠의 편집과 이동을 제한할 수 있다. [그림 Ⅲ-3]은 학생 모드 의 화면을 나타낸 것이다. 여기서는 저자와 교사 가 제공한 도구를 통해 메모를 남길 수 있으며, 작도를 포함한 다양한 탐구 활동을 할 수 있다.

넷째, 교과서와 교사용지도서를 하나의 파일로

제공할 수 있다. 저자 모드에서는 [그림 Ⅲ-1]의 화면과 같이 교과서의 여백에 글을 쓰거나 그림 을 삽입할 수 있다. 이 내용은 교사 모드의 화면 에 나타나지만 학생 모드의 화면에 나타나지 않 는다. 저자는 교과서의 여백을 활용하여 교사에 게 ‘지도상의 유의점’, ‘수준별 지도 방안’ 등을 제공할 수 있다.

도구상자 교과서 여백

저자모드 편집버튼

작도도구

[그림 Ⅲ-1] 저자 모드 화면

도구상자 교과서 여백

교사모드

[그림 Ⅲ-2] 교사 모드 화면

도구상자

교과서 여백

학생모드

[그림 Ⅲ-3] 학생 모드 화면

Ⅳ. 연구 방법

1. 디지털교과서 개발

디지털교과서의 개발에 있어서 적합한 저작도 구를 선택하는 것은 중요하다. 수학과 디지털교 과서는 학생이 기하학적인 도형을 직접 조작하 고 관찰함으로써 도형의 성질을 추론하고 정당 화할 수 있는 과정이 포함되어야 한다. 수학적 상황을 표, 그래프, 식, 언어 등을 통해 다양한 방법으로 표현할 수 있어야하며, 표현된 수학적 언어를 바탕으로 학습자간의 의사소통이 이루어 져야 한다. 본 연구에서는 저작도구로 Cabri LM 을 사용하여 활동 중심 디지털교과서를 개발하 고 적용하는 가운데 나타나는 교육적 효과를 알 아보았다.

2014년 5월 1일부터 8월 20일까지 Cabri LM을 기반으로 이차곡선 단원의 디지털교과서를 초안 을 개발하였다. 주기적으로 연구진 협의회를 개 최하였으며, 스마트교육, 디지털교과서, 디지털교 육과정, 이차곡선에 관한 선행 연구와 문헌 연구 를 통하여 디지털교과서에 사용할 소재를 개발 하고 디지털교과서를 제작하였다. 2014년 8월 30 일 D광역시에 소재한 D고등학교에서 수학교사 30명을 대상으로 시연회를 개최하였으며, 의견을 반영하여 디지털교과서에 메모 기능을 추가하였 으며 탐구 활동의 일부를 수정하였다.

일시 내용

2014.5.1.-8.20. 디지털교과서 초안 개발 2014.8.30. 디지털교과서 시연 2014.9.1.-9.19. 디지털교과서 수정

<표 Ⅳ-1> 디지털교과서 개발 일정

2. 연구일정 및 내용

2014년 9월 20일부터 10월 18일까지 한 차례 의 도입수업과 두 차례의 본 수업을 실시하였다. 태블릿 PC와 디지털교과서에 포함된 동적 기하 활동에 쉽게 적응할 수 있도록 연구자가 한 차 례의 도입 수업을 진행하였으며 이를 통해 학생 들은 태블릿 PC의 활용 방법과 Cabri LM의 기 능을 사용하여 작도하는 방법을 익히게 되었다. 수업 일정 및 내용은 <표 Ⅳ-2>에 수록되어 있다.

일시 수업 주제 차시

2014.9.20 도입수업 – 태블릿 PC 및

Cabri LM 사용법 3

2014.9.27 본 수업 – 포물선 4 2014.10.18 본 수업 – 포물선과 직선

과의 관계 3

<표 Ⅳ-2> 수업 일정 및 내용

3. 연구대상

이차곡선은 고등학교 3학년의 기하와 벡터 과 목에서 학습하는 내용으로서 본 연구의 대상은 고등학교 3학년 학생이 가장 적절하다. 그러나 고등학교 3학년 학생들은 학교 수업에 대한 부 담으로 인해 자발적으로 연구에 참여하고자 하 는 학생들을 찾기 어려운 실정이다. 이에 본 연 구에서는 D광역시에 소재한 S고등학교 자연계열 2학년 학생 중에서 연구에 자발적으로 참여하기 를 희망한 4명을 연구 대상으로 선정하였다.

4명의 연구 대상자 P, M, H, J는 다음과 같은 특징을 지니고 있다. P학생은 소극적인 성격으로 자신의 의견을 적극적으로 표현하지는 않지만, 교사의 발문에 대해서는 자신의 의견을 이야기 하는 학생이다. M학생은 태블릿 PC와 Cabri LM 에 쉽게 적응하였다. 새로운 수학 문제를 탐구하 는 것을 좋아하며, 높은 과제 집착력을 보였다.

H학생은 수업에 적극적으로 참여하고 자신의 의 견을 적극적으로 발표하였다. J학생은 다른 학생 들에 비해 이차곡선을 학습하기 위한 사전 지식 이 부족하였으며, Cabri LM을 이용하여 작도하 는데 어려움을 느꼈다.

4. 자료 수집 및 분석 방법

각 차시별로 수업 장면은 동영상으로 녹화하 였다. 수업 화면 동영상은 모두 전사되었으며, 비디오 녹화자료, 화면 녹화 동영상, 전사자료, 소감문을 바탕으로 분석하였다.

Ⅴ. 연구 결과

1. 활동 중심의 디지털교과서 개발

2009 개정 교육과정에서는 수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고, 수학적으로 사고하며 의사소통 하는 능력을 길러 여러 가지 현상과 문제를 수 학적으로 고찰하고 합리적이고 창의적으로 해결 하는 능력을 기르며, 학습자로서 바람직한 인성 과 태도를 기르는 것을 목표로 한다(김원경 외, 2014). 이러한 목표를 달성하기 위하여 디지털교 과서를 다음과 같은 방향으로 개발하였다.

첫째, 수학의 개념의 유용성을 강조한다. 특히 실생활과 타학문과의 연계성을 강조하여 학생들이 수학적 유용성을 인식할 수 있도록 다양한 자연 현상이나 사회 현상의 소재를 제시하였다. 예를 들어, [그림 Ⅴ-1]은 중단원 ‘포물선’의 교과서 일 부를 나타낸 것이다. 포물선과 관련된 중단원 학 습목표를 제시하였으며, 포물선이 실생활에서 활 용되는 사회 현상이나 자연 현상의 사진과 동영상 을 제공하였다. 학생이 아래 제공된 사진을 선택 하면 오른쪽의 파란 상자에 확대되어 나타난다.

중단원 학습목표

실생활 관련 사진 실생활 관련 영상

[그림 Ⅴ-1] 멀티미디어 자료

둘째, 학생들이 조작을 통하여 수학적 개념을 이해할 수 있도록 동적 기하 소프트웨어가 내재 된 교과서를 개발하였다. 예를 들어, [그림 Ⅴ-2]

는 초점과 준선이 주어졌을 때 포물선 위의 한 점을 작도하는 활동이다. 학생이 주어진 8개의 작도 도구를 활용하여 동적 기하 활동 공간에 선분, 수직이등분선, 중점 등 다양한 조작 활동 을 할 수 있도록 하였다.

동적 기하 활동 공간

작도 도구

[그림 Ⅴ-2] 동적 기하 활동 공간

셋째, 학생들이 수학적 개념을 자기 주도적으 로 학습할 수 있도록 중단원과 소단원을 체계적 으로 구조화하였다. 특히, 학생이 실생활로부터 탐구하고, 유클리드 공간에서 귀납적으로 관찰한 후 연역적으로 사고할 수 있도록 활동을 단계적 으로 제공하였다. 예를 들어, 학생들이 포물선을 초점과 준선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취로서 이해할 수 있도록 3단계 활동 중심 탐 구 활동을 제공하였다.

[그림 Ⅴ-3]는 ‘수학탐험’에 제시된 탐구활동 문제로 샘물과 강으로부터 같은 거리에 있는 지 점에 동물을 위치시키는 1단계 탐구 활동이다.

학생들은 주어진 조건을 만족하는 유한개의 점 에 동물을 위치시킴으로써 샘물과 강으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합이 특정한 형태의 곡선일 수 있음을 인식한다.

[그림 Ⅴ-3] 1단계 탐구 활동

[그림 Ⅴ-4]는 1단계 탐구 활동을 수학적으로 변환한 2단계 탐구 활동이다. 학생들은 평면 위 의 임의의 한 점으로부터 주어진 한 점과 직선 까지의 거리를 측정하는 방법에 대해 생각하고, 점을 이동시켜 주어진 조건을 만족하는 유한개 의 점들을 찾아보았다. [그림 Ⅴ-5]은 2단계 탐구 활동에서 찾은 유한개의 점을 관찰함으로써 주 어진 한 점과 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들을 작도하는 3단계 탐구 활동이다.

[그림 Ⅴ-4] 2단계 탐구 활동

[그림 Ⅴ-5] 3단계 탐구 활동

넷째, 학생이 작도 문제의 해결 과정에서 불필 요한 작도 도구는 제외하고 필요한 작도만을 제 공하도록 하였다. 불필요한 작도 도구의 제공은 학생의 자율성을 확대시켜주지만 오히려 학생에 게 혼란을 가중시킬 수 있어 문제 해결에 부정 적인 영향을 미칠 수 있다(van Loon A.-M., Ros, A., Martens. R., 2012). 예를 들면, [그림 Ⅴ-6]에 서와 같이 포물선의 정의와 기하학적 성질을 이 용하여 해결할 수 있는 작도 문제를 해결하기 위해 학생들이 사용할 수 있는 도구로 선택, 점, 교점, 직선, 선분, 수선, 평행선, 원, 수직이등분 선의 9개를 제공하여 작도 과정에 집중할 수 있 도록 하였다([그림 Ⅴ-7] 참조).

사용 가능한 작도 도구

[그림 Ⅴ-6] 포물선의 정의를 이용한 작도 활동 문제

2. 활동 중심 디지털교과서의 활용에서 드러나는 학습 효과

가. 성공적인 작도 활동

4명의 학생들은 동적 기하를 이용하여 포물선 을 작도하였다. <발췌문 1>과 <발췌문 2>는 주 어진 점과 직선으로부터 같은 거리에 있는 점의 자취를 작도하는 방법을 설명해보도록 했을 때 각각 H학생과 J학생이 제시한 작도 방법이다([그림

Ⅴ-7], [그림 Ⅴ-8], [그림 Ⅴ-9], [그림 Ⅴ-10] 참조).

<발췌문 1> 포물선의 작도 과정에 대한 H의 설명 1 T 어떻게 했는지 설명해보자.

2 H 이등변삼각형의 꼭짓점에서 밑변으로 중선 을 그리면 직각이 되니깐...

(포물선 위의 한 점을 가르키며) 거기서 밑변으 로 중선을 그리면 직각이 되니까 그것을 이용해 서 꼭짓점을 찾았어요.

3 T 우리가 꼭짓점을 찾아야 한다는 것을 생각 하면 어떤 점을 가장 먼저 찍었어?

4 H 직선 l에 있는 점을 먼저 찍고, 그 점이랑 F 랑 중점을 찾아서 선분을 긋고 그 다음에 수직이등분선을 그었어요.

5 T (포물선 위의 한 점과 수직이등분선을 가리 키며) 그럼 이 꼭짓점을 찾기 위해서는 이 선만으로는 찾을 수 있어?

6 H (직선 l 위의 점을 가리키며) 저기 있는 저 점에서 수선 또 그어서.

<발췌문 2> 포물선의 작도 과정에 대한 J의 설명 1 T J는 어떤 방법으로 작도했어?

2 J (준선을 가리키며) 주어진 직선에 수직인 선 을 하나 그리고...

(준선과 작도한 수선과의 교점을 가리키며) 그 점이랑 F랑 이은 다음에 중점을 그리고 그 점에서 수직인 직선을 그려서 처음 그린 선과의 교점이었어요.

H학생과 J학생은 2단계 탐구 활동을 바탕으로 포물선 위의 한 점을 작도하였다. H학생은 준선 위의 임의의 한 점과 초점 사이의 수직이등분선 과(1.4) 준선 위의 점에서 준선에 내린 수선(1.6) 이 포물선 위의 한 점을 작도하기 위한 과정으 로 설명하였다. J학생도 준선 위의 임의의 한 점 에서 준선에 내린 수선, 준선 위의 점과 초점 사 이의 수직이등분선을 작도하여 포물선 위의 점 인 교점을 찾을 수 있다고 설명하였다(2.2). 특히 H학생은 이등변삼각형의 꼭짓점으로서 포물선 위의 한 점을 가정한 후 선행조건을 찾는 분석 법의 사고를 보여주었다(1.2).

[그림 Ⅴ-7] 포물선 위의 점의 성질을 탐구하는 활동 (H학생)

[그림 Ⅴ-8] 포물선을 작도하는 탐구활동 (H학생)

[그림 Ⅴ-9] 포물선 위의 점의 성질을 탐구하는 활동 (J학생)

[그림 Ⅴ-10] 포물선을 작도하는 탐구활동 (J학생)

후속 문제로 주어진 반원에 내접하는 원의 중 심의 자취가 포물선의 일부임을 증명하도록 제 시하였을 때 J학생은 준선이라고 생각하는 직선 위의 한 점을 선택한 후 준선과 수직인 직선을 작도하고, 초점이라고 생각하는 점과의 수직이등 분선을 작도하는 모습을 반복적으로 보여주었다 ([그림 Ⅴ-11] 참조). J학생은 활동 중심의 탐구 과정을 바탕으로 문제를 해결하려고 노력하였다.

[그림 Ⅴ-11] 탐구 과정을 바탕으로 문제를 해결하기 위해 노력하는 모습 (J학생)

이와 같이 활동 중심의 탐구 활동은 학생들이 수학 개념의 이해와 문제 해결 과정에 활용되었다.

나. 다양한 방법을 통한 문제 해결

연구자는 준선이 주어진 포물선의 초점을 작 도하는 문제를 제시하였으며 4명의 학생은 포물 선의 정의와 기하학적 성질을 이용하여 문제를 해결하였다. <발췌문 3>과 <발췌문 4>는 각각 M학생과 H학생이 제시한 작도 방법이다.

<발췌문 3> 준선이 주어진 포물선의 초점을 작도 하는 문제에 대한 M의 설명

1 T 어떤 아이디어로 이것을 작도했을까? 초점 을 어떻게 찾았어?

2 M 일단 준선 위의 점에서 수선을 내린 다음 수선과 포물선의 교점을 중심으로 하고, 준 선 위의 점을 지나는 원을 그린 다음에 같 은 방법으로 3개를 그렸어요.

<발췌문 4> 준선이 주어진 포물선의 초점을 작도 하는 문제에 대한 H의 설명

1 T 초점을 어떻게 작도했는지 H가 발표해보자.

2 H 준선이랑 평행한 선을 하나 그어서 평행선 과 포물선 사이의 교점을 구한 다음에 두 교점의 수직이등분선이 축이니깐, 이 축과 포물선의 교점이 꼭짓점이자나요. 초점과 꼭짓점 사이의 거리가 꼭짓점과 준선 사이 의 거리와 같으니까 꼭짓점과 준선 사이의 거리를 반지름으로 하는 원을 그려서, 그 원과 축의 교점이 초점.

M학생은 포물선의 정의를 이용하여 준선이 주 어진 포물선의 초점을 작도하였다. 탐구 활동의 작도 과정을 바탕으로 준선 위의 임의의 한 점 으로부터 준선으로의 수선을 작도하였다. 그 후, 포물선의 정의를 만족시키는 점을 작도하기 위 하여 수선과 포물선의 교점을 중심으로 하고 그 교점으로부터 수선까지의 거리를 반지름으로 하 는 원을 작도하였다. 이와 같은 작도 과정을 3회 반복함으로써 서로 다른 3개의 원의 교점으로서 초점을 작도하였다(3.2)([그림 Ⅴ-12] 참조).

[그림 Ⅴ-12] 준선이 주어진 포물선의 초점 작도하는 문제 (M학생)

H학생은 포물선의 대칭성을 이용하여 준선 이 주어진 포물선의 초점을 작도하였다. 포물선 의 초점이 대칭축 위에 있으며, 포물선의 정의로 부터 꼭짓점에서 초점 사이의 거리와 준선까지 의 거리가 같음을 이용하였다(4.2)([그림 Ⅴ-13]

참조).

[그림 Ⅴ-13] 준선이 주어진 포물선의 초점 작도하는 문제 (H학생)

학생들이 다양한 방법으로 문제를 해결할 수 있도록 도와주었으며, 이를 바탕으로 학생들이 대화하고 토론할 수 있도록 환경이 조성되었다.

다. 활동에 기반한 문제 해결 : 이해, 계획수 립, 정당화

학생들은 Polya(1957)가 제시한 문제 해결의 4 단계 중 문제에 대한 이해 단계와 계획의 실행 단계에서 활동 중심의 디지털교과서를 활용하였다.

주어진 반원에 내접하는 원의 중심의 자취가

포물선의 일부임을 증명하는 문제를 제시하였을 때 P학생은 주어진 문제 위에 작도 도구를 이용 하여 내접하는 원을 임의로 그렸다([그림 Ⅴ-14]

참조). 잠시 시간이 흐른 후 태블릿 PC 화면을 스크린샷 한 그림 파일에 펜을 이용하여 지필 환경과 유사한 환경에서 포물선의 초점과 준선, 개형을 추측하였다([그림 Ⅴ-15] 참조). 추측을 바탕으로 디지털교과서에서 직접 작도를 함으로 써 추측을 정당화하였다([그림 Ⅴ-16] 참조). 디 지털교과서에서의 작도 결과가 포함된 태블릿 PC의 화면을 스크린샷 한 그림 파일에 펜을 이 용하여 증명함으로써 문제를 해결하였다([그림

Ⅴ-17] 참조).

[그림 Ⅴ-14] 문제 상황에 적합한 원을 임의로 그려 문제를 이해하는 단계 (P학생)

[그림 Ⅴ-15] 스크린샷을 이용하여 지필환경과 유사한 환경에서의 계획 실행 단계 (P학생)

[그림 Ⅴ-16] 추측의 정당화를 위해 디지털 환경에서 작도를 하는 모습 (P학생)

[그림 Ⅴ-17] 지필환경과 유사한 환경에서 문제를 해결하는 모습 (P학생)

J학생도 주어진 문제 위에 작도 도구를 이용하 여 반원의 중심에 내접하는 원을 그렸다([그림

Ⅴ-18] 참조). 잠시 시간이 흐른 후 S노트를 이용 하여 포물선의 준선, 초점을 추측하였다([그림

Ⅴ-19] 참조). 추측을 바탕으로 디지털교과서에서 직접 작도를 함으로써 추측을 정당화하려 하였 으나 문제 풀이 방법이 옳지 않음을 확인하였다 ([그림 Ⅴ-20] 참조).

[그림 Ⅴ-18] 문제 상황에 적합한 원을 그려 문제를 이해하는 단계 (J학생)

[그림 Ⅴ-19] S노트를 이용하여 지필환경과 유사한 환경에서의 계획 실행 단계 (J학생)

[그림 Ⅴ-20] 추측의 정당화를 위해 디지털 환경에서 작도를 하는 모습 (J학생)

이와 같이 학생들이 문제를 해결하는 과정 에서 활동 중심의 디지털교과서는 조건에 맞는 그림을 그림으로써 문제의 이해에 도움을 줄 수 있으며, 디지털 환경에서의 시뮬레이션을 통해 추측에 대한 정당화에 도움을 줄 수 있다.

라. 새로운 환경에서의 의사소통

[그림 Ⅴ-21]과 같이 포물선의 정의와 관련된 문제를 제시하였을 때, M학생, H학생, J학생, P 학생은 자신만의 방법을 이용하여 문제를 해결 하였다. J학생과 P학생의 화면을 공유하여 풀이 를 발표한 결과, 기호의 사용이 익숙하지 않은 학생들도 다양한 색이나 문자의 사용을 통해 원 활하게 의사소통을 할 수 있었다.

[그림 Ⅴ-21] 포물선의 정의와 관련된 문제

<발췌문 5>와 <발췌문 6>은 각각 J학생과 P학 생이 풀이 과정을 설명한 것이다.

<발췌문 5> 문제 4에 대한 J의 풀이 과정 설명 1 T J가 풀이한 방법을 설명해보자.

2 J (미러링을 통해 화면을 공유한다.)

(S노트 위에 그린 도형의 각 점에 이름을 붙인다.) F에서 Q까지의 거리와 Q에서 S까 지의 거리가 빨간색(빨간색 선분으로 둘 다 나타냄)으로 같고, F와 P, P와 R은 초점에 서 포물선 위의 점까지의 거리, 준선까지 거리가 같으니깐 분홍색으로 칠했고, Q와 R을 선분으로 잇고, MN과의 교점을 O라고 놓으면 NO는 QS의 절반이고, OM은 PR의 절반이니깐 10의 절반인 5가 나왔어요.

J학생의 화면을 미러링하여 [그림 Ⅴ-22]와 같 은 J학생의 태블릿 PC 화면을 공유하였다. 학생 들 모두 J학생의 화면을 공유하고 있으므로 빨 간색, 분홍색과 같은 시각적 표현을 통한 수학적 의사소통이 가능했다(5.2).

[그림 Ⅴ-22] J학생의 태블릿 PC 화면

<발췌문 6> 문제 4에 대한 P의 풀이 과정 설명 1 T P가 풀이한 방법을 설명해보자.

2 P (미러링을 통해 화면을 공유한다.) M이 F랑 같을 때 M이 이등분하면 (약 12초 후) 이등 분해서 길이가 같으면 준선이랑 평행이에 요. 그것을 이용해서 한 점과 길이가 10이 라고 했으니깐 절반을 쓰면 5이고, 그리고 (포물선 위의 점을 가리키며) 이 점에서 초 점까지의 거리와 준선까지의 거리가 5이니 깐 같아지고, 그래서 포물선 위의 두 점과 (포물선의 준선을 가리키며) 이 직선이 평 행하니깐 (포물선 위의 한 점과 준선에 내 린 수선의 발을 잇는 선분을 가리키며) 이 길이와 (포물선 위의 한 점과 초점을 잇는 선분을 가리키며) 이 길이는 같고, 두 개의 길이가 같아서 5가 되었어요.

3 T 이 풀이에 대해 어떻게 생각하니?

4 H F가 M이 아닐 때에는 증명하기 힘들 것 같 아요.

5 M 준선하고 평행하게 초점에 그리면 (포물선 과 직선의 두 교점을 가리키며) 저 사이의 길이가 10이 안 나올 것 같아요. (이하 생략)

P학생의 화면을 미러링하여 [그림 Ⅴ-23]과 같 은 P학생의 태블릿 PC 화면을 공유하였다. J학 생과 달리 P학생은 점들의 이름을 붙이지 않아

‘이 점’, ‘이 직선’, ‘이 길이’의 용어를 사용하였 다. 하지만 미러링을 통해 학생들 모두 P학생의 태블릿 PC의 화면을 공유하고 있으므로 P학생이 어떤 점, 직선 그리고 선분을 가리키는지를 알 수 있었으며(6.2), 풀이 과정에 대한 대화와 토론 이 가능했다(6.4, 6.5)

이와 같이 미러링을 활용한 스마트수업에서는 서로 다른 색을 이용한 시각적 표현을 통해 보 다 쉽게 의사소통이 가능해졌으며, 기호의 사용 에 어려움을 느끼는 학생과의 의사소통이 원활

하게 이루어졌다.

Ⅵ. 요약 및 결론

변호승 외(2005)는 수학과 디지털교과서를 개 발할 때 단순한 지식의 전달이 아닌 탐구 활동 을 통해 학생이 수학적 능력을 기룰 수 있도록 하는데 중점 목표를 두어야 함을 강조하였다. 그 러나 지금까지 개발되어 온 디지털교과서에서는 학생들의 활동을 강조하기 위한 환경이 갖추어 지지 않은 경우가 대부분이었다(노정민 외, 2013). 이에 본 연구에서는 이차곡선에 대한 활 동 중심 디지털교과서를 개발하고, 이를 적용한 수학 수업을 분석하였다. 분석 결과는 다음과 같다.

첫째, 학생들은 활동 중심의 탐구 활동을 단계 적으로 제공받음으로써 수학적 개념의 이해가 향상되었으며, 문제 해결 과정에 도움을 주었다.

본 연구에 참여한 학생들이 동적 기하 소프트웨 어를 활용한 작도 활동의 경험이 없었음에도 불 구하고 단계적으로 설계된 탐구 활동을 통하여 작도 과정을 이해하고 문제를 해결하는데 사용 할 수 있었다. 이는 디지털교과서의 개발에 있어 단계적으로 탐구할 수 있는 학습 과제의 개발이 중요함을 시사한다.

둘째, 적절한 자율성이 주어진 구조화된 작도 활동은 학생들이 다양한 방법으로 문제를 해결 할 수 있도록 도와주었으며, 이를 바탕으로 학생 들이 대화하고 토론하였다. 학생들은 다양한 작 도 도구가 주어진 기하 문제를 해결하는 과정에 서 포물선의 정의, 포물선의 성질을 이용한 풀이 방법을 제시하였으며 이를 바탕으로 학생들이 각 풀이 방법에 대해 대화할 수 있는 환경이 주 어졌다.

셋째, 활동 중심 디지털교과서는 문제의 해결 과정에서 문제의 이해과 추측의 정당화에 도움

을 주었다. 학생들은 포물선과 관련된 문제를 해 결하는 과정에서 주어진 조건에 맞는 도형을 임 의로 작도함으로써 문제에 대해 이해하는 모습 을 보였으며, 디지털교과서에 시뮬레이션을 해 봄으로써 풀이 계획이 정당한지를 확인해보았다.

넷째, 미러링을 활용한 스마트수업은 학생들의 수학적 의사소통에 긍정적인 영향을 주었다. 미 러링을 통해 발표하는 학생의 화면을 공유함으 로써 서로 다른 색을 이용한 시각적인 표현을 통해 보다 쉽게 의사소통을 할 수 있었으며, 밑 줄이나 서체의 변경 등을 통해 기호의 사용에 어려움을 느끼는 학생들의 의사소통에도 도움이 되었다.

본 연구는 스마트교육 환경에서 이차곡선 단 원의 활동 중심 디지털교과서를 개발하고 실제 수업에 적용한 사례를 분석한 것이다. 향후 다른 단원에서 활동 중심 디지털교과서를 개발하고 스마트교육 환경에서 디지털교과서를 활용한 평 가 방안에 대한 후속 연구가 진행되어야 할 것 이다.

참고문헌

교육과학기술부(2011a). 인재 대국으로 가는 길, 스마트교육 추진 전략.

교육과학기술부(2011b). 인재 대국으로 가는 길, 스마트교육 추진 전략 실행 계획.

교육과학기술부(2012a). 수학과 교육과정. (교육 과학기술부 고시 제 2011-361 [별책 8]). 서 울: 우신기획.

교육과학기술부(2012b). 스마트교육 추진전략에 따른 교과서 개선 계획(안)

교육부(2013). ‘13년 디지털교과서 개발 및 적용 방안 발표.

교육인적자원부(2007). 디지털교과서 상용화 개

발 본격 착수, 유비쿼터스 시대의 미래 학교 교육 현실로 다가와.

김부미(2012). 우리나라의 ICT 환경 기반 수학 학습 현황 분석. 교과교육학연구, 16(3), 657-687.

김선희(2012). 미래 수학 교실에 대한 전망과 교 사들의 인식 조사. 교과교육학연구, 16(1), 285-324.

김원경 외(2014). 고등학교 미적분Ⅰ 교사용지도 서. (주)비상교육.

김창복(1998). 동반자적 부모참여 프로그램에 의 한 활동중심 학습이 유치원과 초등학교 1학 년 아동의 수학적 능력에 미치는 효과. 중앙 대학교 대학원 박사학위논문.

김혜숙, 이미미, 안성훈(2014). 디지털교과서 활 용을 위한 교수․학습 지원 방안 연구. 한국 교육과정평가원 연구보고 RRT 2014-3.

노정민, 허희옥, 김현진, 남창우, 정현선, 김지연, 강윤수, 정문성, 김현주, 장신호, 조근영 (2013). 디지털교과서 활용 수업모형 연구 – 초등편-. 한국교육학술정보원 CR 2013-6.

류지헌(2008). 태블릿 PC 기반의 디지털교과서 수업에 대한 교실생태학적 분석. 교육공학연 구, 24(2), 271-297.

류희찬, 강경민(2013). 중심사영과 투시도의 작도 학습에서 나타나는 중학교 수학영재들의 수 학적 사고특성과 교사의 역할. 학교수학, 15(4), 921-940.

변호승, 김남균, 조완영, 허혜자(2005). 수학과 전 자교과서 개발 방법론 연구. 한국교육학술정 보원 CR 2005-23.

서지영, 주형미, 김혜숙(2012). 스마트 교육을 위 한 디지털교과서 내용 표준 개발. 한국교육 과정평가원 연구자료 ORM 1212-16-5.

손홍찬(2011). GSP를 활용한 역동적 기하 환경에 서 기하적 성질의 추측. 학교수학, 13(1),