1. 서 론
함수구배재료는 성질이 다른 여러 재료로 구성된 복합재료로서 재료의 공간에서 물성치가 변화한
Corresponding Author, [email protected]
2015 The Korean Society of Mechanical Engineers
Ⓒ
다 그리하여 함수구배재료는 다양한 형태로 개. 발되고 있다 이러한 함수구배재료의 개발목적은 . 단일 재료에서 얻을 수 없는 여러 가지 장점을 얻기 위함이다. 초기의 함수구배재료의 개발은 주로 용광로에 사용하기 위함으로 금속 세라믹 - 합성재료가 개발 되어왔다.(1) 그러나 최근에 함수 구배재료는 금형 또는 절삭공구용,(2) 생물학적 기
<학술논문> DOI http://dx.doi.org/10.3795/KSME-A.2015.39.2.143 ISSN 1226-4873(Print) 2288-5226(Online)
함수구배재료에서 임의의 방향을 따라 비정상적으로 전파하는 모드 III 균열해석
이광호* · 조상봉** · 황재석***
경북대학교 자동차공학부 경남대학교 기계공학부 영남대학교 기계공학부
* , ** , ***
Analysis of Unsteady Propagation of Mode III Crack in Arbitrary Direction in Functionally Graded Materials
Kwang Ho Lee* , Sang Bong Cho** and Jai Sug Hawong***
* School of Automotive Engineering, Kyungpook Nat’l Univ.,
** School of Mechanical Engineering, Kyungnam Univ.,
*** School of Mechanical Engineering, Yeungnam Univ.
(Received May 27, 2014 ; Revised October 31, 2014 ; Accepted November 19, 2014)
Key Words: Angled Property Variation(경사진 물성구배), Dynamic Stress Intensity Factors (동적응력확대계 수), Functionally Graded Materials(함수구배재료), Stress and Displacement Fields(응력 및 변위 장), Unsteadily Propagating Crack(비 정상적 전파균열)
초록 함수구배재료의 모드 : III 균열이 물성치 구배방향과 다른 방향으로 비정상적으로 전파할 때 전파 균열선단부근의 응력 및 변위장에 대하여 연구하였다 함수구배재료는 밀도가 일정한 상태에서 전단탄. 성계수가 선형적으로 변화하는 경우와 밀도와 전단탄성계수가 지수형적으로 변화하는 경우로 가정했다.
조화함수의 해를 얻기 위하여 일반적인 편미분방정식의 동적평형방정식을 라플라스 방정식으로 변환하 였다 라플라스 방정식으로부터 균열속도 변화률 응력확대계수의 변화률 등에 의존되는 응력장과 변위. , 장을 근접해법으로 얻었다 본 연구에서 얻어진 응력장과 변위장을 사용하여 재료의 비 균질성 균열속. , 도의 변화률 응력확대계수의 변화률 등을 고려한 상태에서 균열이 임의의 방향으로 전파할 때 균열선, 단부근의 응력 및 변위 그리고 응력확대계수에 대하여 연구하였다.
Abstract: The stress and displacement fields at the crack tip were studied during the unsteady propagation of a mode III crack in a direction that was different from the property graduation direction in functionally graded materials (FGMs). The property graduation in FGMs was assumed based on the linearly varying shear modulus under a constant density and the exponentially varying shear modulus and density. To obtain the solution of the harmonic function, the general partial differential equation of the dynamic equilibrium equation was transformed into a Laplace equation. Based on the Laplace equation, the stress and displacement fields, which depended on the time rates of change in the crack tip speed and stress intensity factor, were obtained through an asymptotic analysis. Using the stress and displacement fields, the effects of the angled property variation on the stresses, displacements, and stress intensity factors are discussed.
능재료,(3) 압전재료(4) 군사용재료(5) 등으로 다양하 게 개발되고 있다.
이러한 다양한 형태의 함수구배재료의 개발로 많 은 학자들은 함수구배재료의 파괴건전성을 평가 하기 위하여 비 균질 재료인 함수구배재료에 대 한 파괴역학적 연구를 진행해 오고 있다.
함수구배재료의 균열장 연구에서 Eischen,(6) Lee(7) 등은 균열장의 구조적 특성에 대하여 연구 를 하였는데 이들의 연구결과에 의하면 함수구, 배재료의 균열 선단부근의 응력장 및 변위장은 균열선단의 매우 가까운 영역을 나타내는 균열선 단의 응력장( 항) 또는 변위장( 항 에서) 는 균질재료와 동일한 형태를 나타내나 균열선단 에서 떨어진 영역에서는 재료의 비 균질성의 영 향을 받는 형태로 나타난다.
따라서 함수구배재료의 파괴문제를 실험 또는
수치해석적으로 연구할 때는 균열선단에서 떨어 진 영역에서 데이터를 취하므로 비 균질항이 포 함된 고차항까지 고려된 균열장을 사용한다.
대개 재료균열에서 균열상태는 크게 가지로
3
분류된다 첫째 정적균열 둘째 정상상태 전파균. 열 셋째 비정상상태 전파균열로 나누어진다.
정적상태의 함수구배균열에 대하여는 Erdogan,(8) Jin과 Noda,(9) Gu 등(10)이 연구를 수행하였는데 그 들의 연구결과를 보면 함수구배재료의 균열선단
부근에서는 의 특이성을 가지고 있으나 응
력확대계수값은 비균질성에 영향을 받아 등방성 재료의 응력확대계수값과 다르다.
다음으로 정상상태로 전파하는 함수구배재료의
균열에 대하여는 Atkinson(11)가 시작하여 여러 연 구자들에 의해 연구되어오고 있다.
는 등방성재료와 함수구배재료의 계면을 따 Lee
라 등속 전파하는 균열선단부근의 고차항의 응력 장과 변위장(12) 및 균열이 등속으로 전파하는 직 교이방성 함수구배재료의 모드III 균열의 응력 및 변위(13)을 얻었다 또한 . Lee는 등속으로 전파하 는 균열이 구배방향이 아닌 임의의 방향으로 전 파하는 균열에 대하여 연구한 바(14)가 있다.
이러한 연구결과에서도 균열선단의 매우 가까
운 영역에서 응력 및 변위는 비균질성에 영향을 받지 않는다 그러나 균열선단에서 떨어진 영역. 에서의 응력장과 변위장은 비 균질성의 영향을 받는다.
마지막으로 함수구배재료에서 비 정상상태로
전파하는 균열에 대한 연구로는 Lee(15)가 재료의 밀도가 일정한 상태에서 탄성계수가 선형적으로 변화하는 함수구배재료에서 균열이 재료의 구배 방향으로 비정상상태로 전파하는 경우에 대하여 연구한바가 있다 그러나 함수구배의 균열이 비. 정상적으로 전파하는 경우에는 균열의 진행방향 이 반드시 재료의 구배방향으로 전파하지 않는 다 함수구배재료에서 비정상적으로 전파하는 균. 열문제에 대하여 Chalivendra 등(16)은 곡선균열에 대하여 연구한 바가 있다 그러나 물성구배 방향. 과 다른 방향으로 비정상적으로 전파하는 모드
균열에 대한 연구는 아직 보고 되지 않았기에 III
이에 대한 균열장 및 동적 응력확대계수에 대하 여 연구하였다.
균열방향과 경사진 함수구배재료의 2.
물성치 조건
과 같은 함수구배재료에서 물성치가 Fig. 1
방향으로 변화하는데 본 연구에서는 가지 형태2 로 변화하는 경우에 대하여 연구하였다.
(1) μ μ ζ , ρ 일정 :
(2) μ μ ζ ρ ρ ζ
여기서 μ 는 에서 전단탄성계수이고,
ζ는 비균질 파라메타이다 이때 균열은 비정상적. 인 속도로 변화한다.
일정한 밀도상태에서 선형적탄성변화 3.
평형방정식의 공식화 3.1
μ μ ζ , ρ 일정 : (1) 경사진 방향으로 변하는 전단탄성계수 μ 는
좌표를 기준으로 하면 식 로 된다(2) .
Fig. 1 Propagating crack in angled properties
μ μ ζ (2)
여기서 ω, ω이며 ω는 축과 물성
변화 방향과 이루는 각이다 이러한 경우 응력과 변. 형률의 관계는 방정식 과 같다(3) .
τ ζ μ
τ ζ μ
(3)
동적상태의 평형방정식은 식 와 같이 주어진다(4) .
2
2
t w Y
X
YZ XZ
∂
= ∂
∂ +∂
∂
∂τ τ ρ
(4) 식 을 식 에 대입하면 식 를 얻는다(3) (4) (5) .
μ ζ
μ ζ ρ
(5)
균열의 길이가 시간에 따라 변화할 때 즉 균열의 , 길이 가 로 나타낼 때 식 는 식 과 같이 나(5) (6) 타낼 수 있다.
α β
β ρ μ ̇
(6)
여기서 α , μ ρ,
μ μ ζ , β ζ ζ 이다.
식 에서 변위 (6) 의 일반해는 식 (7)과 같이 멱 급수열로 나타낸다.
Ω λ (7)
식 (7)을 식 (6)에 대입하면 다음의 식을 얻는다.
α β
β
(8)
3.2 일 때 응력장 및 변위장
식 (8)은 일 때는 식 (9)와 같이 나타 낼 수 있다.
α
β
(9)
복소함수 로 두고 식 에 대입하면 , (9) 는 다음과 같이 얻어진다.
ˆα (10) 변위 은 균열선단부근 ( )을 나타내고 있음 을 고려하면 식 (11)과 같이 나타낼 수 있다.
ˆα α
ˆα α β β
(11) 식 (11)에서 인 경우 ˆα 는 좌표 에 의존 된다 그러나 . ˆα 는 균열 선단 근방에서 거의 일정 하므로 식 는 다음과 같이 나타낼 수 있다(9) .
α
(12) 여기서ˆ ˆα 식 (12)에서 변위 ˆ 의 일반해는 식 (13)과 같이 나타낼 수 있다.
ˆ Ω ˆλ (13)
식 (13)을 식 에 대입하면 식 (3) (14)를 얻는다.
τ β μ Ω ˆ ,
τ β μ αˆ Ω ˆ (14)
식 (14)에서 균열표면의 표면력이 인 조건을 적용하0 면 식 (13)의 λ과 는 다음과 같이 얻어진다.
λ
(15) 한편 균열선단부근의 응력확대계수는 다음과 같이 정의된다.
π τ θ (16) 식 (13)을 식 (14)에 대입하고 다시 식 (16)에 대입하면
μ αˆ π (17) 을 얻으며 식 (17)을 식 (14)에 대입하므로 균열선단 부근의 응력장을 식 (18)과 같이 나타낼 수 있다.
τ ˆα π β ˆ
ˆθ
ˆθ
(18a)
τ π β ˆ ˆθ
ˆθ
(18b)
여기서 는 비정상적으로 전파하는 균열의 동
적응력확대계수이다 한편 변위장은 식 . (13)으로부 터 식 를 얻을 수 있다(9) .
μ αˆ π ˆ
ˆθ
ˆθ
(19)
여기서ˆ ˆα , θˆ ˆα
3.3 일 때 응력장 및 변위장 이 경우 식 은 다음과 같이 나타내어진다(8) .
α β
β
(20) 식 (7)을 식 (20)에 대입하면 식 (21)을 얻는다.
α β
β α (21)
식 (21)에서
ˆα (22) 이다 여기서.
ˆα α β β β α δ
α α
α , α
α β β δ
β
βα β
δ
̇ ̇ α ̇
α
θ θ
δ ̇ ̇
α ̇ ̇ α
μ α π
̇ μ π ̇α α ̇ α
이상과 같이 균열의 전파방향과 물성치의 변화방
향이 일치하지 않은 경우 복소변수, 에
서 에서 α 이다 즉 균열전파속도 . 및 재료의 물성치에 의존하나, 인 경우 에는 α ζ , 즉 α , 비균질파라메타
ζ 그리고 위치좌표 에 의존하고 는
α ζ ̇ ̇ ̇ , 즉α ζ, ,
균열의 가속도 ̇와 응력확대계수와 관계되는 계 수의 변화율 ̇ , ̇ 에 의존됨
을 알 수 있다 그러나 . 는 균열선단부근( ) 에서는 천이균열의 천이 상수값 ̇ ̇가 아무
리 높더라도 즉 균열이 아무리 비정상적으로 전 파하더라도 거의 일정한 값을 가진다 따라서 본 . 연구에서는 은 균열선단부근의 좌표에 독립적 이다고 가정하여 해석한다. 이 식 (22)와 같이 표현될 때 식 (20)은 다음과 같이 나타낼 수 있 다.
ˆα ˆ ˆ (23) ˆ ˆα 이다 식 . (23)의 의 일반해는
ˆ ˆΩ ˆ ˆλ (24)
식과 같으며 따라서 복소상수 , ˆ는 식 (25)와 같이 나타난다.
ˆ ˆ
μ α α π (25)
그리하여 3.2절에 제시된 동일한 방법에 의해 균 열선단부근의 응력장은 식 (26)과 같이 얻을 수 있 다.
τ ˆ
π
β
α α ˆ
α ˆθ α ˆθ
α ˆθ α ˆθ
(26a)
τ ˆ
π β ˆ
ˆθ
ˆθ
(26b)
한편 변위장은 식 (24)로부터 식 (27)을 얻는다.
ˆ
μ π α α ˆ
α ˆθ α ˆθ
α ˆθ α ˆθ
(27)
여기서
ˆ α α ,
ˆθ αα
사실 식 (26), (27)에서 인 경우의ˆ
는 균열의 천이상수 즉 균열의 가속도 ̇와 균열 장의 계수의 변화율 ̇ 등의 함수이다 그러나 .
의 경우의 및 는 균열의
천이상수의 함수가 아니다 따라서 . 경우
의 ˆ 및ˆ 의 특성을 및
의 특성과 동일하게 할 필요성이 있다 즉 .
ˆ η 을 적용하면ˆ
는 다음과 같이 표현된다.
ˆ η αα αα αα αα
(28) 식 (28)을 식 (26), (27)에 대입하면
τ π
β
α ˆ
ˆθ α α ˆθ
ˆθ α α ˆθ
(29a)
τ π β ˆ
α α
α α
ˆθ
ˆθ
(29b)
μ π α ˆ
ˆθ α α ˆθ
ˆθ α α ˆθ
(30)
을 얻는다. 그리하여 선형적 함수구배재료에서 비 정상적으로 전파하는 균열의 응력장과 변위장은 다음과 같다.
τ τ , (31) 식 (26), (27)의 인 경우의 균열장의 계수 특성은 식 (18), (19)의 의 균열장 계수 특성과는 다르다 그리하여 . 인 균열장의
계수의 특성을 의 계수 특성과 일치시키
기 위하여 식 (26), (27)을 식 (31)에 적용하지 않 고 식 (29)와 (30)을 식 (31)에 적용한다.
4. 밀도 및 탄성계수의 지수형적 탄성변화
평형방정식의 공식화 4.1
μ μ ζ , ρ ρ ζ (32) 경사진 방향으로 변하는 전단탄성계수 μ 는
좌표를 기준으로 하면 식 (33)으로 된다. μ μ ζ
ρ ρ ζ (33)
이 경우 응력과 변형률의 관계는 식 (34)와 같다.
τ μ ζ
τ μ ζ
(34)
균열의 길이가 시간에 따라 변화할 때 식 , (34)를 동 적 평형방정식 에 대입하면 식 (4) (35)를 얻는다.
α ζ
ρ μ ̇
(35)
여기서 α , μ ρ , 식 (35)
는 3.1절과 동일한 방법에 의해 식 (36)과 같이 얻을 수 있다.
α ζ
ρ μ ̇
(36) 4.2 일 때 응력장 및 변위장
이 경우 식 (36)은 식 (37)로 나타난다.
α (37) 그리하여 3.2절과 동일한 방법에 의해 응력장은 식 (38)과 같이 얻어진다.
τ α π ζ
θ
θ
(38a)
τ π ζ
θ θ
(38b)
한편 변위장은 식 (39)와 같이 얻어진다.
μ α π
θ θ
(39)
여기서 μ μ ζ
α , θ α
4.3 일 때 응력장 및 변위장 이 경우 식 (36)은 식 (40)으로 나타난다.
α ζ
(40) 식 (7)을 식 (40)에 대입하면 다음의 식을 얻을 수 있다.
α
ζ α (41)
따라서
ˆα (42) 여기서
ˆα α ζ α δ
α α
α ,
α
α ζ δ , ζα
δ
̇ ̇ α̇
α
θ θ
δ ̇ ̇
α̇ ̇ α
μ α π ,
̇ μ π ̇α α̇ α
이 경우에는 복소변수 에서 일
때 α 이다 즉 균열전파속도 . 및 재료
의 물성치에 의존한다. 인 경우
α ζ ̇ ̇ ̇ , 즉 α 그리고
비균질파라메타 ζ 및 균열선단의 위치좌표
균열의 가속도 ̇와 응력확대계수와 관계되는 계 수의 변화율 ̇ , ̇ 에 의존됨 을 알 수 있다 그러나. 는 균열선단부근( ) 에서는 천이균열의 천이 상수값 ̇ ̇가 아무
리 높더라도 즉 균열이 아무리 비정상적으로 전 파하더라도 거의 일정한 값을 가진다 그리하여 . 지수형적함수구배재료에서 비정상적으로 전파하 는 균열의 응력장과 변위장은 3.3절에 제시된 동 일한 방법에 의해 식 (43), (44)와 같이 얻는다.
τ π
ζ
α ˆ
ˆθ α α ˆθ
ˆθ α α ˆθ
(43a)
τ π ζ ˆ
α α
α α
ˆθ
ˆθ
(43b)
여기서 는 비정상적으로 전파하는 균열선단
장의 고차항계수이다 한편 변위장은 식 . (44)와 같이 얻는다.
μ π α
ˆ
ˆθ α α ˆθ
ˆθ α α ˆθ
(44)
여기서
ˆ α α ,
ˆθ αα
지수형적인 함수구배재료에서 임의방향으로 전파 하는 균열선단부근의 응력장 및 변위장은 식 (45) 와 같이 표현된다.
τ τ , (45) 식 (43)과 (44)는 균열이 물성치 구배방향으로 전파하는 경우, 즉 ω 인 경우에는 α α ,
α 이 되므로 기 연구된 이와 동일한 조건
의 응력장 및 변위장과 동일하게 나타남을 알 수 있다.(17)
균열선단의 응력 및 변위거동 5.
본 연구에서는 지수형적 함수구배재료에서 비 정상적으로 전파하는 균열의 전파특성에 대하여 해석하였다 응력 및 변위장의 고차항은 응력확. 대계수에 영향을 받는 의 항을 사용하였
다. 전단탄성계수μ μ ζ 에
서μ , ζ , ρ , 포
아송의 비 ν는 일정하다 물성치 변화방향과 균.
열의 방향이 이루는 각도 ω 로 하
였다 균열의 가속도 . ̇ , 순간응
력확대계수변화율 ̇ ,
및 ,
,
이다 균열의 길이 . , 균열선단에서 거리 영역에서 응력 및 변위를 해석하였다.
는 물성변화방향 즉 함수구배방향
Fig. 2 , ( ω 에 )
따른 균열선단부근의 전단탄성계수 μ θ 의 변화 를 나타내고 있다 균열선단 부근의 응력 및 변. 위거동은 균열선단부근의 물성치에 의존되기 때 문에 균열선단의 응력장 및 변위장을 해석하기 전 먼저 ω에 따른 균열선단 부근( )의
Fig. 2 Normalized shear modulus variation with unctionally graded direction at crack tip
전단탄성계수 μ의 변화 거동을 확인하였다. Fig.
에서 보듯이
2 μ의 크기는 θ 또는
θ 에서는 ω 의 순이고,
θ 에서는 ω 의 순이
고, θ 에서는 ω 순이고
θ 에서는 ω 순이고 θ
에서는 ω 의 순으로 그 크기를 가진
다 이러한 점을 고려하여 . ω에 따른 균열선단부 근의 응력 및 변위거동을 살펴본다.
은 균열선단부근에서
Fig. 3 ω의 변화에 따른
τ τ 의 변화를 나타내고 있다 그림에서 알수 . 있듯이 균열의 전파가 동적 또는 정적에 관계없
이 θ 또는 θ 에서
τ τ 크기는ω 의 순이고,
θ 에서는 ω 이다.
θ 에서는 τ τ 는 ω에 관계없이 거의 비슷한 값을 갖는다. 이러한 이유는 Fig. 2 의 균열선단부근의 물성치 변화에서 찾을 수 있 다. 즉 전단탄성계수의 크기가 큰 영역에서
τ τ 가 증가함을 알 수 있다 그러나 . θ 부근에는 τ 값을 가지므로 τ τ 는 ω의 변화에 거의 영향을 받지 않음을 알 수 있다.
는 균열선단부근에서
Fig. 4 ω의 변화에 따른
τ τ 의 변화를 나타내고 있다. 그림에서 알 수 있듯이 균열의 전파가 정적인 경우와 동적인 경우는 약간의 차이가 있다.
최대 응력이 발생하는 위치를 보면 정적균열에 서는 ω에 관계없이 θ 에서 최대값을 가지나
에서는 ω 인 경우는 θ 부근
에서, ω 및 ω 인 경우는 θ 에서
최대값을 갖는다 또한 . ω의 변화에 따른 τ τ
의 크기를 보면 정적균열에서는 θ
또는 θ 에서 ω에 관계없이 거의 비
슷 하 나 θ 에 서 τ τ 의 크 기 는 ω 의 순 이 다 . 또 한 τ τ 는
θ 에 서 ω 의 순 이 며
θ 에 서 는 ω 의 순 이 며
Fig. 3 Variation of τ τ with variation of ω at the vicinity of crack tip
Fig. 4 Variation of τ τ with variation of ω at the vicinity of crack tip
θ 에서 ω 의 순으로 크
기를 가진다. Fig. 2를 고려할 때 균열선단부근 에서 전단탄성계수가 큰 영역에서 응력 τ τ 가 증가하고 있음을 알 수 있다.
다음에 균열전파가 로 전파하는 경우서
τ τ 크기는 θ 또는
θ 에서는 ω에 관계없이 거의 비슷하
나 θ 에서는 ω 순이다.
그리고 θ 에서 τ τ 의 크기는
ω 의 순이며 θ 에서는
ω 의 순이고 θ 에서는
ω 의 순이다 이 경우에도 . ω의 변 화가 응력에 미치는 영향이 정적균열과 전파균열에 대하여 약간의 차이가 있으나 대체로 균열면 ( θ )부근에서는 응력 τ 가 에 가까우므0 로 ω가 응력에 미치는 영향은 거의 없다 그러나 . 이러한 영역을 제외하면 전단탄성계수의 크기가 큰 영역에서 τ τ 가 증가함을 알 수 있다.
Fig. 5 Variation of τ τ with variation of ω at the vicinity of crack tip
Fig. 6 Variation of τ τ with variation of ω at the vicinity of crack tip
는 균열이 정지 또는
Fig. 5 로 전파하
는 경우 순간응력확대계수가 ̇
로 증가하는 경우 균열선단부근에서 ω의 변화에 따른 τ τ 의 변화를 나타내고 있다 이 경우에. 서 ω의 변화가 τ τ 에 미치는 영향은 Fig. 3의 경우와 거의 비슷하다 즉 전단탄성계수의 크기. 가 큰 영역에서 τ τ 가 증가함을 알 수 있다.
그러나 θ 부근에는 τ 값을 가지므로
τ τ 는 ω의 변화에 거의 영향을 받지 않음을 알 수 있다.
은 균열이 정지 또는
Fig. 6 로 전파하
는 경우 순간응력확대계수가 ̇
로 증가하는 경우 균열선단부근에서 ω의 변화에 따른 τ τ 의 변화를 나타내고 있다 이 경우에. 는 순간응력확대계수의 변화율이 인 0 Fig. 4와 는 상당한 차이가 있다 최대값을 보면 정지균열에.
서는 θ 에서 의 전파균열에서
는 θ 에서 최대 값을 가진다.
ω의 변화에 따른 τ τ 의 크기를 보면 정적
상태에서 θ 또는 θ
에서 τ τ 크기는ω에 관계없이 거의 비슷하
나 θ 에서는 ω 의 순
이다 또한 . θ 에서는 τ τ 의 크기는
ω 의 순이다. θ 에서는
τ τ 의 크기는 ω 의 순이다. 그
리고 θ 에서 τ τ 의 크기는
ω 의 순이다 이 경우에서도 . Fig. 2 를 고려할 때 균열선단부근에서 전단탄성계수가 큰 영역에서 응력 τ τ 가 증가하고 있음을 알 수 있다.
다음에 균열전파가 로 전파하는 경우에
는 θ 또는 θ 에
서 τ τ 크기는ω에 관계없이 거의 비슷하나
θ 에서는 ω 의 순이
다 또한 . θ 에서는 τ τ 의 크기는
ω 의 순이나 θ 에서는
ω 의 순이다. θ 에서는 ω 의 순이다 이 경우에도 . ω의 변 화가 응력에 미치는 영향이 정적균열과
전파균열에 대하여 약간의 차이가 있으나 대체 로 균열면( θ )부근에서는 응력 τ 가 0 에 가까우므로 ω가 응력에 미치는 영향은 거의 없다 그러나 이러한 영역을 제외하면 전단탄성. 계수의 크기가 큰 영역에서 τ τ 가 증가함을 알 수 있다.
은 균열이 저속상태인
Fig. 7 이고 응력
확대계수변화율 ̇ 상태에서 균
열선단부근에서 ω 및 ̇의 변화에 따른 무차원 τ τ 의 변화를 나타내고 있다 그림에서 보는 . 봐와 같이 τ τ 는 ̇에 작지만 영향을 받으며
̇가 증가하면 을 제외한 영역에서 τ τ 는 약간 감소한다. 한편 ω의 변화에 따른
τ τ 의 크기는 그림에서 알 수 있듯이
θ 또는 θ 에서는
ω 의 τ τ 가 ω 의 τ τ 보다 크
고, θ 에서는 ω 의 τ τ
가 ω 의 τ τ 보다 크다. 그리고 θ 에서는 τ τ 는 ω에 관계없이 거의 비슷한 값을 갖는다.
Fig. 7 Variation of with variation of ω and
̇ at the vicinity of crack tip
이러한 이유는 Fig. 3에서 언급했듯이 균열선단 부근의 물성치 변화의 영향 때문이다 즉 전단탄. 성계수의 크기가 큰 영역에서 τ τ 가 증가함 을 알 수 있다 그러나 . θ 부근에는 τ 값 을 가지므로 τ τ 는 ω의 변화에 거의 영향 을 받지 않음을 알 수 있다.
은 균열이 저속상태인
Fig. 8 이고 응력
확대계수변화율 ̇ 상태에서 균
열선단부근에서 ω 및 ̇의 변화에 따른 무차원 τ τ 의 변화를 나타내고 있다 그림에서 보는 . 봐와 같이 ̇가 증가하면 τ τ 는 크게 증가 함 을 알 수 있 다 . ̇ 인 경 우
ω 일 때 θ 에 서 , ω 일 때 는 θ 에서 최대 τ τ 을 갖는다. ̇ 인
경우 ω 일 때 θ 에서, ω 일 때
는 θ 에 서 최 대 τ τ 를 갖 는 다 .
̇ 인 경우 ω 일 때 θ
에서, ω 일 때는 θ 에서 최대값을 갖
는다. 한편 ω가 응력 τ τ 에 미치는 영향을
보 면 ̇ 인 경 우 τ τ 는
θ 의 영역에서 ω ω 이
고 θ 의 영역에서는 ω ω
이다. ̇ 인 경우 θ 의 영역에서
Fig. 8 Variation of with variation of ω and
at the vicinity of crack tip
τ τ ω ω 이고 θ 의
영역에서는 ω ω 이다. ̇
인 경우 τ τ 는 θ 의 영역에서
는 ω ω 이고 θ 의 영역에
서는 ω ω 이다 이러한 원인은 앞에서 . 언급했듯이 응력 τ 가 에 가까운 영역에서는 0 ω가 응력에 미치는 영향은 거의 없으나 그렇지 않은 영역에서는 전단탄성계수의 크기가 큰 영역 에서 τ τ 가 증가함을 알 수 있다.
동적응력확대계수거동 6.
유한판에서 균열이 전파할 때 균열선단에서 발생 하는 응력파는 유한판의 가장자리에 부딪혀 다시 균열선단으로 되돌아오며 또한 균열은 되돌아오는 , 응력파를 극복하며 전파하여야 하므로 균열의 전파 속도가 증가할수록 응력확대계수는 증가한다 그러. 나 균열이 무한판에서 전파할 때 균열 끝은 되돌아 오는 응력파에 영향을 받지 않는다 그리하여 균열. 의 전파속도가 증가할수록 동적응력확대계수는 감 소하며 모드 균열에서는 균열전파속도가 전단응III 력파의 속도에 도달하는 경우 이 된다 대부분의 0 . 연구에서 무한판에서 균열이 전파할 때 동적응력확
대계수 로 나타낸다 여기서 .
는 균열속도와 관련되는 만능함수이며, 는 정 적응력확대계수이다. 에 대한 표현은 균열의 모드 형태에 따라 다르나 분명한 것은 모드 균열, III
인 경우에는 균열전파속도 일 때 이
며 일 때 로 나타난다 이러한 무. 한판의 응력확대계수식은 균열전파 후 매우 짧은 시간 즉 반사파가 되돌아오기 직전인 경우에는 유, 한판의 경우에도 유효하다.
본 연구에서는 균열선단부근의 어느 한 지점의 균열면 변위가 일정한 상태에서 전파할 때 균열 선단 부근의 응력 τ θ 를 얻어 비정상적으 로 전파하는 균열선단의 응력확대계수를 해석하 였다 식 . (45)로부터 응력과 변위의τ 관계
τ θ
θ π
μ ζ α
이다 여기서 . α α
α α , .
위의 식으로부터 균열선단부근의 변위 θ π 가 일정한 변위량 δ로 전파할 때 균열선단부근의 응 력 τ θ 을 얻을 수 있다 식 . (16)에서 보는 봐와 같이 균열선단 매우 가까운 영역에서 응력 확대계수는 τ θ 에 비례하므로 균열전파속 도변화에 따른 균질재료의 정적균열에 대한 무
차원 응력확대계수 ζ 를 얻을 수
있다 여기서 . m, m, ζ 의
경우를 적용하였다.
는 정지균열상태에서
Fig. 9 ζ 가 변화할 때 무
차원 응력확대계수 ζ ζ 을 나타
내고 있다 그림에서 알 수 있듯이 . ω 인 경
우는 ζ 가 증가하면 ζ 는 증가하
며, ω 인 경우는 ζ 에 관계없이 항상 일정 하며, ω 인 경우는 감소한다 이러한 현상. 은 균열 선단부근의 재료의 물성치 변화 때문에 발생한다. 즉 ω 인 경우는 ζ 가 증가하면 균열선단의 전단탄성계수는 증가하며, ω 인 경우는 ζ 의 변화에 관계없이 일정하고
ω 인 경우는 ζ 가 증가하면 전단탄성계수
는 감소한다 함수구배재료의 이러한 응력확대계. 수의 거동은 기존 연구의 거동과도 일치한 다.(18~20)
Fig. 9 Normalized stress intensity factors with ω and ζ when M=0
Fig. 10 Normalized stress intensity factors with normalized crack propagation velocity
Fig. 11 Normalized stress intensity factors with variation of ω and when M=0.1
은 균열이 전파할 때
Fig. 10 ζ 의 변화에 대한
무차원 응력확대계수 ζ 을 나타내
고 있다 그림에서 알 수 있듯이 균열전파속도가 . 빠를수록 무차원 응력확대계수는 감소하며 균열 전파속도 가 전단응력파의 속도 에 도달하면 응력확대계수는 에 도달한다0 . 이러한 결과는
의 결과
Freund (21)와 일치한다 그리고 저속에서는 . ζ 가 증가하면 응력확대계수는 크게 증가하나 균열전파속도가 증가하면 그 증가양이 작아짐을 알 수 있다.
Fig. 11은 ζ 에서 균열 전파속도 M=0.1인 경우 순간 속도변화율에 대한 무차원 응력확대계
Fig. 12 Normalized stress intensity factors with variation of ω and when M=0.1
수 ζ 을 나타내고 있다. 그림에서 알 수 있듯이 순간 균열속도 변화율이 증가할수 록 무차원 응력확대계수는 증가하며 그 크기는
ω > ω > ω 의 순이다.
Fig. 12는 ζ 에서 균열 전파속도 M=0.1 인 경우 순간 응력확대계수변화율에 대한 무차원
응력확대계수 ζ 을 나타내고 있다.
그림에서 알 수 있듯이 순간 응력확대계수변화율 이 증가할수록 무차원 응력확대계수는 역시 증가 하며 그 크기는 ω > ω > ω 의 순 이며 이러한 거동은 , Fig. 11의 순간 균열속도변 화율의 경우와 동일하다 전파하는 균열이 어느 . 속도에 도달하는 순간에 순간속도변화율
및 순간응력확대계수의 변화율 이 증가하
면 응력확대계수는 증가한다 또한 균열이 탄성. 계수가 증가하는 방향으로 전파하는 경우 ( ω )의 응력확대계수가 탄성계수가 감소하는 방향으로 전파하는 경우( ω )의 응력확대계 수보다 크다 이러한 원인은 . 가 증가할수
록, 증가 할수록 또한 균열선단의 재료의
탄성계수가 클수록 재료의 내부에서 방출되는 에 너지 해방률이 증가되기 때문으로 여겨진다.
Shaw(22)의 연구에 의하면 함수구배재료가 등 변위하중을 받아 균열이 탄성계수가 낮은 영역에 서 높은 영역으로 전파하는 경우( ω ) 에너지 해방률은 함수구배재료에서 탄성계수가 가장 낮
은 지점 즉 X=0 (중앙균열의 경우 균열의 중앙지 점 외측균열의 경우 좌측 끝단 에서 탄성계수를 , ) 갖는 균질재료의 응력확대계수보다 크며 반대로 , 균열이 탄성계수가 높은 영역에서 낮은 영역 ( ω )으로 전파하는 경우 에너지 해방률은 , 함수구배재료에서 가장 높은 지점(X=0)의 탄성계 수를 갖는 균질재료의 응력확대계수보다 낮다.
본 연구의 Fig. 14와 15는 등 변위하중을 받아 균 열이 전파하는 경우와 동일한 조건이므로 본 연 구의 동적 응력확대계수의 크기가 ω >
ω > ω 의 순서가 되는 것은 에너지 해방률이 ω > ω > ω 이기 때문으 로 여겨진다.
6. 결 론
함수구배재료의 모드 III 균열이 임의방향으로 비 정상적으로 전파할 때 균열선단부근의 응력 및 변위장의 연구에서 다음과 같은 결론을 얻었 다.
균열방향에 대한 함수구배방향이 이루는 각 (1)
ω가 변화할 때 균열선단부근의 응력 τ 및 τ 는 전탄탄성계수가 높은 영역에서 증가한다.
천이파라메타
(2) ̇ 및 ̇는 균열선단부근의
응력 τ 보다는 τ 에 더 큰 영향을 미친다.
(3) ̇가 증가하면 τ 에는 거의 영향을 미 치지 않으나 τ 는 크게 증가한다.
(4) ̇가 증가하면 τ τ 는 약간 감소하나 τ τ 는 크게 증가한다 이러한 . τ τ 의 감 소는 τ τ 의 심한 증가로 인한 방향의 변 형률 의 감소 때문으로 여겨진다.
균열이 등 변위 상태로 전파할 때 균열전파 (5)
속도가 빠를수록 동적응력확대계수는 감소하며 균열의 속도가 전단응력파의 속도에 도달하면 0 가된다.
(6) ζ 가 증가할 때 균열의 속도가 저속이면 동적 응력확대계수는 크게 증가하나 속도가 증가 하면 그 증가양이 작아짐을 알 수 있다.
전파하는 균열이 어느 속도에 도달하는 순 (7)
간에 순간속도변화율 및 순간응력확대계
수의 변화율 이 증가하면 동적 응력확대
계수는 증가한다.
동적 전파균열의 응력확대계수의 크기는 (8)
ω > ω > ω 의 순이다.
후 기
본 연구는 2013학년도 경북대학교 전임교원 연 구년 교수 연구비에 의하여 연구되었음.
참고문헌
(References)
(1) Koizumi, M., 1997, "FGM Activities in Japan,"
Composites part B, Vol. 28B, pp. 1~4.
(2) Xing, A., Jun, Z., Chuanzhen, H., Jianhua, Z., 1998, "Development of an Advanced Ceramic Tool Material-Functionally Gradient Cutting Ceramics," Mater. Sci. Eng, (A), Vol. 248, pp.125~131.
(3) Pompea, W., Worch, H., Epple, M., Friess, W., Gelinsky, M., Greil, P., Hempele, U., Charnweber D., Schulte, K., 2003, "Functionally Graded Materials for Biomedical Applications," Mat. Sci.
Eng. A, Vol. 362, pp. 40~60.
(4) Steinhausen, R., Kouvatov, A., Pientschke, C., Langhammer, H.T., Seifert, W., Beige, H., Abicht, H., 2004, "AC-Poling of Functionally Graded Piezoelectric Bending Devices," Integrated Ferroelectrics, Vol. 63, pp.15~20.
(5) Chen, E.S.C., 1999, "Army Focused Research Team on Functionally Graded Armor Composites,"
Mater. Sci. Eng. (A), Vol. 259, pp.155-161.
(6) Eischen J. W., 1987, “Fracture of Nonhomogeneous Materials,” Int. J. Fract., 34(1) pp. 3~22.
(7) Lee, K. H., 2004, "Characteristics of a Crack Propagating Along the Gradient in Functionally Gradient Materials," Int. J. Solids and Struct., Vol. 41, pp. 2879~2898.
(8) Erdogan F., 1995, "Fracture Mechanics of Functionally Graded Materials," Composites Engineering, Vol. 5, No. 7, pp. 753~770.
(9) Jin Z. H., Noda N., 1994, "Crack-tip singular fields in Nonhomogeneous Materials," J. Appl.
Mech., Vol. 61, pp. 738~740.
(10) Gu, P., Asaro, R. J., 1997," Cracks in Functionally Graded Materials," Int, J. Solids
