Vibration Analysis of Angle-Ply Laminated Shells

(1)

構造工學大韓土木學會論文集

第31卷第6A 號·2011年 11月 pp. 409 ~ 415

ANGLE-PLY 적층쉘의 진동특성에 관한 연구

Vibration Analysis of Angle-Ply Laminated Shells

박승진*

Park, Sung Jin

···

Abstract

Optimization Analysis of angle-ply laminated shells, having one pair of opposite edges supported, are investigated on the basis of the first-order shear deformation theory. The equations of motion of the shell are solved by the use of ritz method. A range of results are presented for composite shells to show the effects of lamination angle and number of layers on natural fre- quency. In addition, an analysis of the strain energy distributions is used as an aid for the better understanding of the vibration characteristics of the shells.

Keywords : vibration, angle-ply laminated shells, optimization analysis

···

요 지

Angle-Ply 적층쉘의 진동특성에 관한 최적화해석을 위해 1차전단변형이론에 의한 Ritz Method를 이용하여 이론적으로 해 석하고, 수치해석에 의해 고유진동수와 진동모드를 해석하여 적층수, 쉘의 지지조건, 적층순서에 미치는 영향을 정량적으로 검토하여 적층복합원통쉘의 기본고유진동수의 최적화를 위한 최적인 적층구성에 미치는 영향을 명확히 규명하고자 한다.

핵심용어 : 진동, Angle-Ply 적층쉘

···

1. 서 론

적층쉘은 강한 이방성 특성을 가진 재료로 면내ㆍ면외 강 성에 비해 면외 전단강성이 극히 작기 때문에 단일재료에서 는 얻을 수 없는 비강도와 비강성 등의 여러 가지 우수한 역학적 성질을 가지고 있어, 구조 경량화를 필수로 하는 항 공구조물 등 많은 공학 분야에서 사용되고 있다.

여기서 말하는 강성, 강도는 보통 정적인 거동상태에서 얻 어지는 역학적 특성을 말하는 것으로, 정적 특성인 역학적 성질의 데이터를 기초로 하는 적층구조 설계가 많이 이루어 지고 있지만, 최근 복합재료의 이용 범위가 동적하중을 받는 구조에까지 확대 되어 가고 있어, 주요 구조요소부재의 적극 적 활용에 있어서 적층복합원통쉘의 동역학적 특성의 규명 은 필요불가결하게 되었다.

적층복합원통쉘의 특징은 재료특성, 적층순서, 적층수, 섬유 배향각 등을 적절히 선택하여 사용 목적에 맞는 역학적 특성 을 구조요소로 이용할 수 있는 가장 진보된 구조재료로서, 향 후 고성능화, 경량화 요구에 대응하기 위해 적층복합원통쉘의 이방성 특성을 잘 활용한 최적설계가 절실히 요구되고 있다.

적층복합원통쉘은 섬유배향각 α=0ô, ±45ô, 90ô의 단일재료 구성된 것이 보편적이지만, 이러한 섬유배향각은 실험적 연

구에 의한 것으로, 조합된 적층쉘의 동적강도, 고유진동수, 좌굴하중 등에 대해서는 최적 설계가 이루어지고 있지 않은 상태이다.

더구나 단일재료의 이방성 영향이 고려되지 않은 종래 설 계에 있어서 이방성 영향을 적극적으로 이용할 경우 적층복 합원통쉘 구조의 최적설계 실험을 위해, 섬유배향각, 적층수 등의 각종 적층 파라미터가 적층복합원통쉘의 진동특성에 미치는 영향을 정확히 파악하는 것은 아주 중요하다고 생각 된다.

본 논문에서는 Angle-Ply 적층복합원통쉘의 적층구성(섬유 배향각 α=0^o, ±α, 90^ο의 적층구성)으로 이루어 지는 적층복 합원통쉘의 지지조건, 적층수, 적층순서의 고유진동수와 진 동모드를 구하여, 적층복합원통쉘의 지지조건, 적층형태의 차 이가 적층복합원통쉘의 진동특성에 미치는 영향을 정량적인 수치해석(Ritz Method)을 실시하여 적층복합원통쉘의 기본진 동수의 최대화(최적화)를 위한 최적인 적층구성에 미치는 영 향을 명확히 규명하고자 한다.

2. 기초방정식

적층복합원통쉘의 기하학적 형상과 좌표계를 그림 1에 보

*정회원·인천대학교도시환경공학부교수 (E-mail : [email protected])

(2)

였다. 그림과 같이 좌표(x, θ, z), 쉘 임의점에서 각 방향 변위를 각각 u,v,w로 한다. 쉘의 길이 L, 두께를 H로 하 고, 쉘의 회전축에서 중앙면까지의 거리(반경)을 R로 한다.

적층쉘의 내외면에서 기하학적으로 중앙이 되는 N장의 단 일재료로 구성된 적층복합원통쉘의 단면도를 그림 2에 나타 내었다. 그림에서 중앙면에서 부터 zk-1에서 k번째의 단일재 료 섬유방향과 쉘의 축방향으로 이루어지는 각을 αk로 하고, 각 단일재료에서 섬유방향, 면외방향 및 수직인 방향으로 1 축, 3축, 2축을 두며, 에너지법의 일종인 Ritz Method를 이 용하여 쉘의 진동수방정식을 해석한다.

이 해법은 에너지의 정류원리에 근거한 해법으로 적층쉘 의 기하학적 경계조건을 만족하는 변위함수를 이용하면 원 진동수 ω의 조화진동에 대한 쉘의 각 변형량은 식 (1)과 같다.

(1)

여기서, (u, v, w)=(x,y,z방향의 변위성분), ω는 고유원진동수, (ψx, ψθ)=θ축, x축의 회전각을 나타내며, 적층쉘의 합응력, 합모멘트과 변형율-변위관계식을 이용하면 최대변형에너지 (Umax)와 최대운동에너지(Tmax)는 다음과 같다.

(2) 여기서, κ²는 전단보정계수,

(i,j=1, 2, 4, 5, 6)은 적층복합원통쉘의 강성을 나타내며, k번째 적층수의 단일재료로 이루어지는 탄성계수 를 이용하면

(3)

여기서, [A]는 신장강성, [B]는 신장-휨연성(면내ㆍ면외)강성, [D]는 휨(면외)강성이다.

적층쉘의 변형-운동에너지 관계식에서 최대운동에너지(Tmax) 는 다음과 같다.

(4) 여기서, Ti는 관성질량, 관성모멘트 쉘의 관성량이고, k번째 재료의 밀도 ρ⁽^k⁾를 이용하면

(5) u₀(x, ,θ t)=U₀(x,θ)sinωt

u₀(x, ,θt)=V₀(x,θ)sinωt w₀(x, ,θt)=W₀(x,θ)sinωt

ψ_x(x, ,θt) ψ0= (x,θ)sin^ωt

ψ_θ(x, ,θt) ψ= _θ(x,θ)sin^ωt⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫

Umax ^R^---₂ ^A11^∂U0 ---∂x

⎝ ⎠

⎛ ⎞2

A66* ^∂U0 ---∂θ

⎝ ⎠

⎛ ⎞2

A22^∂V0 ---∂θ

⎝ ⎠

⎛ ⎞2

+ +

0

∫L

0 2π

∫

=

+ A66 _R^---B² 66 ^D66 R2 --- +

+ ∂V0

---∂x

⎝ ⎠

⎛ ⎞2 _A22* R2 ---W02 _D

11_⎝^⎛^∂ψ^---_∂x^x_⎠^⎞2 _D22* R2 ---∂ψ_θ

---∂θ

⎝ ⎠

⎛ ⎞2

+ + +

+2D11 ---R ∂ψ_x

---∂x∂_θ

∂θ--- D66_⎝^⎛^∂ψ^---_∂x^θ_⎠^⎞2 _D66* R2 ---∂ψ_x

---∂θ

⎝ ⎠

⎛ ⎞2 _2A22

R2 ---∂V0

---W∂θ 0

+ + +

+2A12 ---A ∂U0

---W∂x 0⁺^2A66 ---R ∂U0

---∂θ∂V0 --- 2∂x A12

---R ∂U0 ---∂x∂V0

---∂θ 2D66 ---R ∂ψ_x

---∂θ∂ψ_θ ---∂x +

+ +2A16

---R ∂U0 ---∂x∂U0

---+2∂θ R--- A22 ^B26

---R

⎝ + ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞∂V0

---∂x∂V0 ---∂θ 2A26*

R2 ---∂U0

---W∂θ 0 ^{2 A}16 ^B16 ---R

⎝ + ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

+ +

∂U₀

∂x

---^∂---+2_∂^V_x⁰ ---^A_R²⁶^∂---_∂^V_x⁰W₀ 2D₁₆^∂ψ---_∂x^x^∂ψ---_∂^θx 2D₁₆ ---R ^∂ψ---_∂_x^x^∂ψ---_∂θ^θ +

+

+2D26 ---R ∂ψ_θ

---∂x∂ψ_θ ---∂θ 2D26*

R2 ---∂ψ_x

---∂θ∂ψ_θ --- κ∂θ 2_A

44 ^B44 ---R D44*

R2 --- +

⎝ – ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

ψ_θ2

+ +

+κ2^A44* R2 ---∂W0

---∂θ

⎝ ⎠

⎛ ⎞2

+2κ2 --- AR 44 ^B44*

---R

⎝ – ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞∂W0

---ψ∂θ _θ κ2_A

55^ψx2 _2κ2_A 55^∂W0

---ψ∂x _x +

+ +κ2_A

55^∂W0 ---∂x

⎝ ⎠

⎛ ⎞2

+2κ2_A

45^ψxψ_y 2κ2 ---AR 45^∂W0

---ψ∂θ _x 2κ2_A 45^∂W0

---ψ∂x _θ

+ +

+2κ2 ---AR 45^∂W0

---∂x∂W0 ---+∂θ 2B22

R2 ---∂V0

---∂θ∂ψ_θ ---∂θ 2B12

---WR 0^∂ψ^---_∂x^x ^2B26 ---WR 0^∂ψ^---_∂x^θ

+ +

+2B26*_W

0^∂ψ---+2 B_∂θ^x 16 ^D16 ---R

⎝ + ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞∂V0

---∂x∂ψ_x ---∂x 2B16

---R ∂V0 ---∂θ∂ψ0

---∂x 2B26 R2 ---∂V0

---∂θ∂ψ_x ---∂θ

+ +

+2B26 ---R ∂V0

---∂x∂ψ_θ ---+∂θ B12

---R ∂V0 ---θ∂ ∂ψ_x

--- 2 B∂x 66 ^D66 ---R

⎝ + ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞∂V0

---∂x∂ψ_θ ---∂x 2B66

---R ∂V0 ---∂x∂ψ_x

---∂θ

+ +

+2B22* R2

---W0^∂ψ---+2B_∂θ^θ 11^∂U0 ---∂x∂ψ_x

---∂x 2B66 ---R ∂U0

---∂θ∂ψ_θ ---∂x 2B66*

R2 ---∂U0

---∂θ∂ψ_x ---∂θ +

+ +2B12

---R ∂U0 ---∂x∂ψ_θ

---∂θ 2B16 ---R ∂U0

---∂θ∂ψ_x ---∂x 2B16

R2 ---∂U0

---∂x∂ψ_x --- 2B∂θ 16

+ + ∂U0

---∂x∂ψ_θ ---∂x +

+2B26* R2 ---∂U0

---∂θ∂ψ_θ --- dxdθ∂θ

A_ij, , , , ,A_ij^* A_ijB_ijB_ijD_ij,D_ij^*,D_ij

Q_ij^{( )}^k A_ij A_ij B_ij

---R

+ ,B_ij B_ij D_ij ---R

+ ,D_ij D_ij E_ij ---R +

= = =

A_ij, ,B_ijD_ij,E_ij

( ) Q_ij^{( )}^k(1, , ,z z²z³)dz

∫z k=1

∑N

= A_ij^*, ,B_ij^* D_ij^*

( ) Q_ij^{( )}^k_⎝^⎛1+_R---^z_⎠^⎞(1, ,z z²)dz

∫z k=1

∑N

= (i j, =1 2 4 5 6, , , , )

T_max Rω2

---2 T₁U₀² T₁ 2 R---T₂ T₃

R² ---

+ +

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞V₀²+T₁W₀²+T_3ψ_x²

0 +

∫L 0 2π

= ∫

+T_3ψ_θ² 2T₂U_0ψ_x 2 T₂ T₃ ---R

⎝ + ⎠

⎛ ⎞V_0ψ_θ

+ + dxdθ

T₁ I₁ I₂ ----R

+ ,T₂ I₂ I₃ ----R,T₃

+ I₃ I₃

R---- +

= = =

그림 1. 적층쉘의 기하학적 형상과 좌표계

그림 2. N장의 단일재료로 구성된 적층 복합원통쉘

(3)

적층쉘의 변위량 를 다음식과 같이 베키 급수(축방향)과 푸리에급수(원주방향)를 이용하면 변위함수는 다음과 같다.

(6)

여기서, Uij, Vij, Wij, ψxij, ψθij는 미정계수이며, ξ=x/L,

=(1/H)(U0,V0,W0), , Xmi(ξ) 는 베키승의 지수 αm, βm(m=1, 3, 4, 5, 6)을 무차원화하여 쉘 양단에서 기하학적 경계조건을 만족시킬 수 있다.

예를 들면, 쉘의 우단(ξ=1)에서 변위 가 구속되면 쉘 은 β1=1으로 하고, 구속되지 않을 경우 에 는 β1=0으로 하면 된다. 즉, 수치계산에서 급수 αm, βm을 지정함으로써 임의 기하학적 경계조건을 만족시키는 적층복 합원통쉘에 대한 본해석법의 적용이 가능하다.

적층복합원통쉘 양단에서 지지조건이 양단단순지지(S-S), 양단고정(C-C), 일단고정타단자유(C-F)인 경우의 경계조건은 다음과 같다.

양단단순지지(S-S) :

양단고정(C-C) :

고정(ξ=0)-자유(ξ=1)(C-F)

(7) 로 지정하면 적층복합원통쉘 양단에 기하학적 경계조건을 만 족시킬 수 있다.

3. 진동수 방정식

라그랑제 함수에 관한 정류조건식을 이용하면 적층복합원 통쉘의 진동수방정식은 다음과 같다.

식 (7)을 식 (2), (4)에 대입하면 적층쉘의 라그랑제함수 에 의해

정류조건식

(8)

을 적용하면 연립동차방정식의 진동수 방정식은 다음과 같이 된다.

(9) 여기서, 는 각각 강성행렬, 질량행렬,

/ 는 무차원화 밀도 및 종탄성계수을 나타낸다.

4. 해석결과

수치계산에 이용된 적층쉘의 구조재료로서 가장 많이 이용 되는 고강도 그라파이트/에폭시 재료의 제원은 다음과 같다.

4.1 수치계산 수렴성 검토

표 1은 3층(45ô/-45ô/45ô)의 Angle-Ply 적층복합원통쉘에 대해서 항수 I, J를 변화시켰을 때의 진동수 파라미터 λ의 수렴성을 나타낸 것이다.

표에서 알 수 있듯이 지지조건, 적층형태, 진동차수의 차 U₀, ,V₀ W_{0 ψ}, ,_xψ_θ

U(ξ θ, ) U_ijX₁_i( )ξY_j( )θ j=1

∑J j=1

I1

=∑

V_{0 ξ θ}( , ) V_ijX₂_i( )ξY_i( )θ j=1

∑J i=1

I1

=∑

W_{0 ξ θ}( , ) W_ijX₃_i( )ξY_j( )θ j=1

∑J i=1

I1

=∑

ψ_x₀(ξ θ, ) ψ_ξ_{i j}_,X₄_i( )ξY_j( )θ j=1

∑J i=1

I1

=∑

ψ_θ(ξ θ, ) ψ_θ_{i j}_,,X₅_i( )ξY_j( )θ j=1

∑J i=1

∑I

=

X_mi( ) ξξ = ^α^m⁽ξ–1 2^⁄ ⁾ⁱ^{– ξ}¹⁽ –1⁾^β^m Y_j( )θ cos^j–1

---2 ^θ (j:홀수)

sin 2---^j^θ (j:짝수)

⎩⎪

⎨⎪

=⎧

U₀, ,V₀W₀

( ) (ψ_x,ψ_θ)=(H R⁄ ) ψ( _x,ψ_θ)

U₀ U0=0

( ) (U≠0)

N_x= =V₀ W₀=M_x= =ψ_θ 0 ⁽^ξ=0 1^, ⁾ U₀= =V₀ W_{0 ψ}= = =_x ψ_θ 0 (ξ=0 1, )

U₀= =V₀ W_{0 ψ}= = =_x ψ_θ 0 (ξ=0)

N_x= =T_x Q_{x x}_, =M_x=M_x_,_θ=0 (ξ=1)

L T= _max–U_max

∂L

∂U_mn --- _∂^∂_V^L

---mn _∂_W^∂^L

---mn _∂ψ^∂^L x_min

--- _∂ψ^∂^L

θ_mm

--- 0

= = = = =

m=1 2^{, , ,}^…I; n=1 2, , ,^…J

( )

K_f^{m n}_{i j}^,_,

[ ] λ2– [M_{fi j}^{m n}_,^, ]

[ ]

U_ij V_ij W_ij

ψ_xij ψ_θ_ij

⎩ ⎭

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎧ ⎫

0

=

i m⋅ =1 2, , ,…I; j m⋅ =1 2, , ,…J

( )

K_f

[ ],[ ]M_f λ2 ρ0= R2ω2

E_{0 ρ0}, ,E₀

E₁=20E₂,G₁₂=G₃₁=0.65E₂,G₂₂=0.5E_{2 ν12}, =0.25

표 1. 3층(45ô/-45ô/45ô) Angle-Ply 적층복합원통쉘의 진동수 파 라메터λ의 수렴상황

(l=4.0, h=0.2, E1=20E2, G12=G31=0.65E2, G22=0.5E2, ν12=0.25) I×J 1st 2nd 3rd 4th 5th

단순-단순

4×9 5×11 6×13 7×15 8×17 9×19 5×9 6×9 7×9 8×9 9×9

0.4619² 0.4593 0.4583 0.4578 0.4575 0.4575 0.4593 0.4583 0.4578 0.4575 0.4575

0.6128¹ 0.6127 0.6124 0.6124 0.6124 0.6124 0.6127 0.6124 0.6124 0.6124 0.6124

0.8580³ 0.8388 0.8350 0.8345 0.8337 0.8335 0.8388 0.8350 0.8345 0.8337 0.8335

0.9935⁰ 0.9935 0.9932 0.9932 0.9932 0.9932 0.9935 0.9932 0.9932 0.9932 0.9932

1.290² 1.078 1.078 1.074 1.074 1.074 1.078 1.078 1.074 1.074 1.074

고정-고정

4^×9 5^×11 6^×13 7^×15 8^×17 9^×19

0.6572² 0.6547 0.6527 0.6519 0.6514 0.6513

0.9030³ 0.8924 0.8908 0.8903 0.8900 0.8900

1.031¹ 1.027 1.025 1.024 1.023 1.023

1.108⁰ 1.099 1.097 1.096 1.096 1.096

1.373³ 1.335 1.322 1.319 1.319 1.318

고정-자유

4×9 5×11 6×13 7×15 8×17 9×19

0.2243² 0.2226 0.2218 0.2214 0.2212 0.2212

0.3217² 0.3172 0.3156 0.3145 0.3142 0.3140

0.5987⁰ 0.5962 0.5949 0.5942 0.5939 0.5939

0.6897² 0.6798 0.6746 0.6738 0.6730 0.6727

0.7132³ 0.7069 0.7028 0.7006 0.6994 0.6988

(4)

이에 의해 수렴성이 차이는 있지만. 지지조건에 관계없이 축 방향 함수 Xmi(ξ)는 I=8, 원주방향 함수 Yj(θ)에 대해서는 9 항(J=9)에서 에서 고정도의 수렴성을 확인할 수 있다.

4.2 수치해석 결과

그림 3은 단일재료로 구성된 3층(α/−α/α), 2층(α/-α) Angle-Ply 적층복합원통쉘의 신장강성과 섬유배향각 α에 미 치는 영향을 살펴본 것이다. 여기서 각 강성과 종탄성계수

E2와 쉘의 반경 R을 이용하여 무차원화하였고, 그림에서 실 선, 파선은 각각 3층 대칭적층(쉘을 구성하는 단일재료의 재 료특성, 섬유배향각, 위치가 중앙면에 대해 대칭이 되는 적 층형태)와 2층 역대칭적층인 경우에 대해 나타낸 것이다.

그림에서 알 수 있듯이 신장강성

은 적층형태의 차이에 관계없이 거의 일치하고 있으며, 이들 곡선은 배향각 α=0ô, 90ô, 45ô, 45ô에서 최대가 되며, 과 는 α=45ô에서 대칭관계가 된다. 와 는 α=45ô에서 대칭이다. 또한 역대칭 적층복합원통쉘인 경우에 는 쉘이 곡률을 가지기 때문에 , ,

이 되어 쉘의 신장변형과 면내 전단변형이 연성이 되는 것

을 알 수 있다.

그림 4는 적층쉘 3층(α/-α/α), 2층(α/-α)의 Angle-Ply 적 층복합원통쉘의 신장-휨 연성강성과 섬유배향각 α에 미치는 영향을 나타낸 것으로, 그림에서 실선, 파선은 각각 3층, 2 층의 적층수이며, 일반적으로 대칭적층평판에서 강성은 0으 로, 적층원통쉘에서 적층수에 관계없이 면내변형과 면외변형 이 연성한다는 것을 알 수 있다. 또한 연성강성 , , 은 적층수에 따라 차이가 크게 나타나며, 쉘의 면내변형과 면외변형의 연성이 강하게 나타나는 것을 알 수 있다.

본 해석법의 타당성을 검토하기 위해 Ritz Method에 의 해 수치해석된 진동수파라메터 λ의 비교를 표 2에 나타내 었다. 표에서 알 수 있듯이 본 해석법은 근사해법에서 관계 없이 전달매트릭스법의 결과와 잘 일치하고 있다는 것을 알 수 있다.

표 3은 3층(45ô/-45ô/45ô), 2층(45ô/-45ô)의 Angle-Ply 쉘 두께(h=0.01) 적층복합원통쉘에 대해 1차전단변형이론과 고 전쉘이론에 의한 진동수 파라메터 λ를 비교한 것이다.

1차전단변형이론에서 구한 수치계산은 쉘의 면외전단변형 을 고려하기 때문에 고전쉘이론 결과와 비교하면 잘 일치하 고 있음을 알 수 있다.

4.3 지지조건의 영향

그림 5는 양단단순지지된 3층적층(α/-α/α)과 2층적층(α/-α)인 Angle-ply 적층복합원통쉘의 진동수 파라메터 λ와 섬유배향 각 α에 미치는 영향을 나타낸 것이다.

그림에서 곡선은 최저차에서 5차까지의 진동수로 각 차수 마다 연결된 것이고, 그림에서(·)표시는 진동모드형의 원주 방향파수를 나타내고 있다.

또 0_U, 0_V는 각각 축방향변위 를 초월하는 신장진동, 원주방향변위 를 초월하는 비틀림진동을 나타내고 있다.

A₁₁,A₂₂^* ,A₁₂,A₆₆+B₆₆⁄R A₁₁

A₂₂^* A₁₂ A₆₆+B₆₆⁄R

A₂₆ A₂₆^* A₁₆+B₁₆⁄R≠0

B₂₆ B₂₆^* B₁₆+C₁₆⁄R

U₀ V₀

그림 3. Angle-Ply 적층쉘의 신장강성과 섬유배향각에 미치는 영향

(E1=20E2, G12=G31=0.65E2, G23=0.5E2, n12=0.25, h=0.2)

그림 4. Angle-Ply 적층쉘의 신장-휨연성 강성과 섬유배향각에 미치는 영향

(E1=20E2, G12=G31=0.65E2, G23=0.5E2, n12=0.25, h=0.2)

표 2. 1차전단변형이론에 의한 Angle-Ply 적층복합원통쉘의 진동수 파라메터 비교

(l=4.0, h=0.2, E1=20E2, G12=G31=0.65E2, G22=0.5E2, ν12=0.25

단순-단순, I×J=7×15)

본해석법 Ritz Method, 엄밀해 Transfer Matrix Method

배향각 해석법 1st 2nd 3rd 4th 5th 0ô/45ô/0ô

(3층) ^{본해석법엄}밀해 1.881 1.881 1.901

1.901 2.085 2.085 2.086

2.086 2.410 2.410 45^o/0^o

(2^층) ^{본해석법엄}^밀해 1.407 1.407 1.470

1.470 1.762 1.762 1.819

1.819 2.340 2.340

표 3. 1차전단변형이론과 고전쉘이론에 의한 Angle-Ply 적층 복합원통쉘의 진동수 파라메터 비교

(l=4.0, h=0.2, E1=20E2, G12=G31=0.65E2, G22=0.5E2, ν12=0.25

단순-단순, I×J=7×15)

Mode 45ô/-45ô/45ô 45ô/-45ô

FSDT CTST FSDT CTST

1st 2nd

3rd 4th 5th

0.1188 0.1246 0.1694 0.2180 0.2255

0.1188 0.1247 0.1697 0.2180 0.2260

0.0944 0.1097 0.1233 0.1719 0.2037

0.0944 0.1097 0.1234 0.1721 0.2038 FDST(1차전단변형이론) : First-Order Shear Deformation Theory CTST(고전쉘이론) : Classical Thin Shell Theory

(5)

그림에서 알수 있듯이 섬유배향각 α가 증가하므로 인해 진동수 파라메터는 크게 변화하고, 진동수가 접근하고 있는 부근에서는 진동모드형의 이동변화가 발생하고 있다.

3층 대칭적층인 경우에는 2층 역대칭에 비해 진동수가 전 체적으로 높게 나타난다는 것을 알수 있다.

진동모드형별로 진동수 파라메터와 섬유배향각의 관계를 살펴보면 그림에서 진동모드는 섬유배향각 α의 증가와 함께 진동수 파라메터가 높게 나타나고, α=90^o일 때 진동수가 가 장 높게 나타나는 것과, 섬유배향각 α=30^o 부근에서 진동수 가 최대가 되는 진동모드로 나누어 지는 것을 알 수 있다.

그림에서 n=2,3의 축방향 1차 진동모드가 전자에 해당되 며, n=0_U, 1의 1차 및 n=2인 2차가 후자에 속한다.

그림 6은 양단고정 2층적층(α/-α)인 Angle-Ply 적층복합원 통쉘의 진동수 파라메터와 섬유배향각 α에 미치는 영향을 나타낸 것이다. 그림에서 알 수 있듯이 섬유배향각이 변화했 을 때의 진동수 변화의 경향은 양단단순지지된 경우와 잘

일치하고 있다. 진동모드형의 이동변화도 확인되고, 양단고 정된 경우에서 α=30ô~60ô의 n=1인 휨진동과 α=80ô 부근에 서의 n=0인 신장진동에 있어서는 3층대칭 적층에 비해 2층 역대칭 적층원통쉘의 진동수가 높게 나타나는 것을 확인할 수 있다.

그림 7는 적층수, 지지조건이 다른 Angle-Ply적층복합원통 쉘에 대해서 1층~4층의 Angle-Ply 적층복합원통쉘의 기본진 동수 파라메터 λ와 섬유배향각 α에 미치는 영향을 나타낸 것으로, 그림에서 실선, 파선, 점선은 각각 양단단순지지, 양 단고정, 일단고정타단자유(캔틸레버) 지지조건이며, 그림에서

N는 적층수이며, N=2는 (α/-α), N=3(α/-α/α), 4층대칭적층 (α/-α/-α/α), 역대칭적층(α/-α/α/-α)을 나타내고 있다. 지지조 건에 관계없이 적층수 N가 증가하고 있으며 진동수는 전체 적으로 높게 나타나고 있다. 적층수 N=4정도에서 진동수는 거의 수렴하고 있고, 양단단순지지된 N=4S에서 섬유배향각 α=24^o, 54^o 부근에서 진동수 파라메터가 최대가 되며, 가장 그림 5. (a) 3층 Angle-Ply 적층쉘의 진동수 파라미터λ와 섬유배향각α에 미치는 영향(S-S), (b) 2층 Angle-Ply 적층쉘의 진동수 파라

미터λ와 섬유배향각α에 미치는 영향(S-S) (E1=20E2, G12=G31=0.65E2, G23=0.5E2, n12=0.25, h=0.2)

그림 6. (a) 3층 Angle-Ply 적층쉘의 진동수 파라미터λ와 섬유배향각α에 미치는 영향(C-C), (b) 2층 Angle-Ply 적층쉘의 진동수 파라 미터λ와 섬유배향각α에 미치는 영향(C-C) (E1=20E2, G12=G31=0.65E2, G23=0.5E2, n12=0.25, h=0.2)

(6)

낮은 진동수 α=90ô일 때와 비교하면 α=24ô일 때에 약 67% 진동수가 높게 나타난다는 것을 알 수 있다. 마찬가지 로 양단단순지지된 경우 (N=4S)에서 각각 α=33ô, 74ô 2개 소에서 진동수는 최대가 되며 최대 70%정도 진동수가 높게 나타난다. 일단고정타단자유인 경우에는 α=35ô 부근에서만 최대가 되고 약 130% 진동수가 높게 나타나고 있다. 이와 같이 Angle-Ply 적층원통쉘에서는 섬유배향각 α를 적절히 선택함으로 인해 쉘의 기본고유진동수 파라메터를 최대로 하 는 것이 가능하지만, 가장 낮은 진동수가 얻어지는 섬유배향 각이나 진동수가 상승하는 정도는 쉘의 지지조건, 적층수 차 이에 의해 크게 달라진다.

그림 8은 Angle-Ply(단층) 적층복합원통쉘의 두께를 변화 시켰을 때, 양단단순지지(S-S)된 Angle-Ply 적층복합원통쉘 의 진동수 파라메터 λ와 섬유배향각 α에 미치는 영향을 나

타낸 것으로, 그림 중 숫자는 진동모드의 원주방향파수를 나 타내고 있다.

그림에서 알수 있듯이 어느 경우에서도 섬유배향각의 증가 와 함께 진동수의 변화는 그림 5와 비슷한 경향을 나타내고 있으며, 진동모드형의 이동변화도 확인되고 있다. 그러나 단 층인 경우 그림에서 섬유배향각의 변화에 따른 진동수의 변 화가 작아진다는 것과 n=1인 축방향 1차의 진동모드의 진동 수가 섬유배향각의 증가와 함께 단순히 감소한다는 것이 다 른 적층형태의 경과 다르다는 것을 알 수 있다. 즉 Angle- Ply 적층복합원통쉘에서는 섬유배향각의 선택과 진동모드형 에서 역대칭한 적층구성을 가지는 쉘의 쪽이 대칭적층보다 진동수가 높아지는 것을 알 수 있다.

그림 9, 10은 Angle-Ply 적층복합원통쉘의 쉘두께 h=0.2, 0.1에 대해 기본진동수비 λ/λ(0^o)와 섬유배향각 α에 미치는 영향을 나타낸 것이다.

그림에서 N은 적층수를 나타내며, 기본진동수 λ는 α=0^o 에서 기본진동수 λ(0^o)를 이용하고 있다.

그림에서 알 수 있듯이 Angle-Ply 적층복합원통쉘에서 쉘 두께에 상관없이 적층수 N=4일 때 기본진동수는 수렴하고 그림 7. Angle-Ply 적층쉘의 기본고유진동수 파라메터λ와 섬유배

향각α에 미치는 영향

(E1=20E2,G12=G31=0.65E2,G23=0.5E2,n12=0.25,l=4.0, h=0.2)

그림 8. Angle-Ply 적층쉘의 기본고유진동수 파라메터λ와 섬유배 향각α에 미치는 영향(S-S)

(E1=20E2,G12=G31=0.65E2,G23=0.5E2,n12=0.25,l=4.0, h=0.2)

그림 9. Angle-Ply 적층쉘의 기본고유진동수 파라미터λ와 섬유배 향각α에 미치는 영향(S-S)

(E1=20E2,G12=G31=0.65E2,G23=0.5E2,n12=0.25,l=4.0, h=0.2)

그림 10. Angle-Ply 적층쉘의 진동수 파라미터λ와 섬유배향각 α에 미치는 영향(S-S)

(E1=20E2, G12=G31=0.65E2, G23=0.5E2, n12=0.25, l=4.0, h=0.2)