The Stochastic Finite Element Analysis and Reliability Analysis of the Cable Stayed Bridge Considered to Correlation of the Random Variable

構 造 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第26卷 第1A 號·2006年 1月 pp. 21 ~ 33

확률변수의 상관성을 고려한 사장교의 확률유한요소해석 및 신뢰성해석

The Stochastic Finite Element Analysis and Reliability Analysis of

the Cable Stayed Bridge Considered to Correlation of the Random Variable

한성호*·신재철**

Han, Sung Ho · Shin, Jae Chul

···

Abstract

The reliability analysis can be conducted more effectively by formulating the stochastic finite element method suitable for the reliability theory about the cable stayed bridge. After conducting the initial equilibrium analysis of the cable stayed bridge, the program which can conduct the linear and nonlinear stochastic finite element analysis using the perturbation method and the reliability analysis considered to the correlation of the random variable is developed. Using the results of this program about the cable stayed bridge, the characteristic of the node displacement, element force and cable tension according to the corre- lation of the random variable is investigated quantitatively. Also the reliability index and the failure probability are examined by the compounding the correlation of the random variable.

Keywords : SFEM (Stochastic Finite Element Method), Reliability analysis, Correlation, AFOSM (Advanced First Order Sec- ond Moment)

···

요 지

사장교 구조물을 대상으로 확률유한요소법을 신뢰성이론에 적합하도록 정식화하여 신뢰성해석을 보다 효율적으로 수행하 고자 한다. 사장교의 초기평형해석을 수행한 후, 섭동법을 이용하여 선형ㆍ비선형 확률유한요소해석을 수행할 수 있으며, 확 률변수의 상관성에 따른 신뢰성해석을 수행할 수 있는 프로그램을 작성하였다. 작성된 프로그램을 이용하여 사장교의 응답해 석을 검토한 결과, 확률변수의 상호간 상관성에 따른 절점변위, 부재력 및 케이블긴장력에 대한 분산특성을 정량적으로 평가 할 수 있었다. 또한 신뢰성지수 및 파괴확률을 검토하여 사장교 구조물의 안전성을 명확하게 파악하였다.

핵심용어 : 확률유한요소법, 신뢰성해석, 상관성, AFOSM

···

1. 서 론

전 세계적으로 사장교의 건설이 활발해지고 있으며 , 국내

에서도 1984 년 진도대교 및 돌산대교를 처음으로 건설한 이

래 올림픽대교 , 팔당대교 , 행주대교 및 서해안에 서해대교 등 을 사장교로 건설하였으며 , ^{장경간 교량의 대부분을 사장교}

로 건설하는 추세이다 . 사장교의 구조해석 및 설계 시에 있 어서 가장 중요한 것은 무엇보다도 구조형식과 설계변수에 따라 역학적 거동을 파악하고 설계변수가 전체 구조계에 어 떤 영향을 주는가를 충분히 검토하여야 한다 ( ^{한국건설기술연}

구원 (1995), Nazmy(1990), Fleming(1980), 한국건설기술연

구원 (2000) 등 ). 그러나 이러한 설계변수를 일정한 값을 갖

는 확정론적 변수로 가정하여 구조해석을 수행하게 되면 , 구 조물의 정확한 거동 및 안전성 정도를 명확하게 파악하기

어렵다 . 따라서 구조물에 가해지는 하중의 추정에 따른 오차 ,

구조물의 기하학적 형상 , 재료의 성질 , 단면의 성질 , 경계조 건과 시공과정 등에서 발생되는 오차 , 그리고 구조해석시의 가정 및 수치해석에 따른 오차 등에 의한 불확실성을 확률 론적 변수로 고려하여 해석을 수행하여야 할 것이다 . 1960

년대 후반 이후 구조물의 물성치나 작용하중의 임의성

(Randomness) 을 보다 합리적으로 고려하기 위해 기존의 안

전계수를 적용하는 방법보다 체계적이며 논리적인 구조 신 뢰성 평가방법의 개발이 시도되었다 (Cornell(1969)). 이러한 신뢰성 평가방법은 매우 복잡한 비선형 한계상태함수를 이 용해야 할 뿐만 아니라 비선형 한계상태함수의 형태를 명확 하게 나타내는 것조차 어렵기 때문에 실용화 되지못하였다 .

이와 같은 문제점을 해결하기 위한 대안으로 매우 정확한 해석 결과를 얻을 수 있는 MCS(Monte Carlo Simulation)

*

충남대학교토목공학과공학박사

(E-mail: [email protected])

**

정회원·충남대학교토목공학과교수공학박사

(E-mail: [email protected])

방법을 이용하여 신뢰성해석을 수행하는 것이 보편화되었다

(Shinozuka(1972), Rubinstein(1981)). 하지만 MCS 방법은 반복적 구조해석을 수행해야 하므로 시간이 과다하게 소요 되는 단점이 있어 복잡한 구조물의 신뢰성해석에는 적합하 지 않으며 , 다른 근사해법으로 구한 파괴확률의 정확도를 검

증하는데 주로 사용되고 있다 . 이에 반해 1970 년대 중반 이

후에 기존의 유한요소법에 확률이론을 도입하여 개발된 확 률유한요소법은 단 한 번의 구조해석으로 확률변수에 따른 결과치의 분산정도를 알 수 있으므로 복잡한 구조물의 신뢰 성해석에 매우 유용한 방법이며 , 국내ㆍ외적으로 많은 연구 가 수행되고 있으나 교량 구조물에 적용한 경우는 미흡한 실정이다 (Liu(1989), Hein(1991), Yamazaki(1988), Hein (1991), 최창근 (1999), 방명석 (1993), 최규섭 (1997) 등 ). 따라 서 본 연구에서는 사장교와 같은 복잡한 구조물을 대상으로 구조해석의 각 단계마다 확률변수의 분산 특성을 고려할 수 있는 확률유한요소법을 도입하여 기존의 신뢰성이론에 대한 응용에 적합하도록 정식화함으로써 사장교 구조물에 대하여 초기긴장력을 도입 후 , 선형·비선형해석을 수행할 수 있으 며 , ^{확률변수의 상호간 상관성을 고려할 수 있는 확률론적}

유한요소해석 프로그램을 작성하고자한다 . 또한 작성된 프로 그램을 이용하여 사장교 구조물의 확률변수에 따른 선형ㆍ 비선형응답특성을 정량적으로 파악하고자하며 , 파괴확률을 검 토하여 구조물의 안전성을 평가하고자 한다 .

2. 사장교의 확률유한요소해석 2.1 섭동법에 의한 확률유한요소해석

불확실량의 해석문제에 대한 전형적인 수치해법의 하나인 섭동법은 강성행렬를 재료의 불확실성을 나타내는 확률변수 α ={ α

1

, α

2

, … , α

n

}

^T

의 함수로 가정하고 , 강성행렬를 Taylor

전개하면 다음 식과 같다 .

(1)

여기서 , [ ^K

0

] ^는 α =0 ^{인 경우의 강성행렬이며} , ^강성행렬 [ ^K ] ^를

편미분한 과 는 다음식과 같이 나타낼 수 있다 . (2)

그리고 하중벡터 { ^F } ^{와 변위벡터} { ^U } ^{역시 위의 식} (2) ^와

같이 전개하면 다음 식과 같이 표현된다 .

(3)

위 식들을 평형방정식 [ K ]{ U }={ F } 에 대입하여 정리하면 다음 식과 같다 .

(4)

변위에 대한 1 차 섭동법 (First Order Perturbation Method)

은 식 (3) 의 우변에서 1 차 항만 고려한 것으로 다음 식과 같이 나타낼 수 있다 .

(5)

따라서 1 차 섭동법에 의한 변위의 기대치와 공분산 행렬은 다음 식과 같이 구할 수 있다 .

(6)

또한 변위에 대한 2 차 섭동법 (Second Order Perturbation Method) 은 1 차 섭동법과 같이 식 (3) 에서 2 차 항까지 고려 한 것으로 다음 식과 같다 .

(7)

2 차 섭동법에 의한 변위의 기대값과 공분산 행렬은 다음 식

과 같다 .

(8)

·

각 절점에서 변위값을 구한 후 , 계산되는 부재력의 기대치 및 공분산 행렬들은 다음과 같은 식으로 구할 수 있다 .

(9) +

본 연구에서는 사장교 구조물에 대하여 케이블긴장력 , 부 재강성 , ^사하중 , ^{활하중 등을 확률변수로 고려하였으며} , ^부재

강성을 구성하는 각각의 인자 및 초기긴장력을 확률변수로 고려하기 위해서는 구성인자에 대한 편미분 강성행렬를 계 산하여야 한다 . 따라서 사장교 구조물의 구성요소 중에서 케 이블요소의 부재강성을 구성하는 인자 및 초기긴장력에 대 한 편미분 강성행렬은 식 (10)-(12) 를 이용하여 구할 수 있 다 (Kleiber(1991), Handa(1975), Handa(1979) 등 ).

• 단면적 ( A

c

) 가 확률변수인 경우 :

(10)

K [ ]= K [ ]+

₀

i 1=

∑

N

^{[ ] K}

i( )1

α

_i

+1 2 ---

i 1=

∑

N j 1=

∑

N

^{[ ] K}

ij( )2

α

_i

α

_j

+…

K

[ ]

_i^{( )1}

[ ] K

_ij^{( )2}

K

[ ]

_i^{( )1}

= ∂ [ ] K

∂α

_i

---

α=0

K [ ]

_ij^{( )2}

= ∂

²

[ ] K

∂α

_i

∂α

_j

---

α=0

F

{ }= F { }

₀

+

i 1=

∑

N

^{{ } F}

i( )1

α

_i

+1 2 ---

i 1=

∑

N j 1=

∑

N

^{[ ] F}

ij( )2

α

_i

α

_j

+ … U

{ }= U { }

₀

+

i 1=

∑

N

^{{ } U}

^{i( )1}

^α

ⁱ

⁺¹ ₂ ^---

i 1=

∑

N j 1=

∑

N

^{[ ] U}

^{ij( )2}

^α

ⁱ

^α

^j

^{+ …}

U

{ }

₀

= K [ ]

₀^–1

{ } F U

{ }

_i^{( )1}

= K [ ]

₀^–1

( { } F

_i^{( )1}

− [ ] K

_i^{( )1}

{ } U

₀

) U

{ }

_ij^{( )2}

= K [ ]

₀^–1

( { } F

_ij^{( )2}

− [ ] K

_i^{( )1}

{ } U

_j^{( )1}

− [ ] K

_j^{( )1}

{ } U

_i^{( )1}

− [ ] K

_ij^{( )2}

{ } U

₀

)

U

{ }= U { }

₀

+

i 1=

∑

N

^{{ } U}

^{j( )1}

^α

ⁱ

E

^{( )1}

[ { } U ]= U { }

₀

COV

^{( )1}

[ { }, U U { } ]=E U [ ( { } − E

^{( )1}

[ { } U ] ) U ( { } − E

^{( )1}

[ ] U )

^T

]

=

i 1=

∑

N j 1=

∑

N

^{{ } U}

^{i( )1}

^{( { } U}

^{j( )1}

⁾

^T

^{E [ α}

ⁱ

^α

^j

^]

U

{ }= U { }

₀

+

i 1=

∑

N

^{{ } U}

i( )1

α

_i

+1 2 ---

i 1=

∑

N j 1=

∑

N

^{{ } U}

ij( )1

α

_i

α

_j

E

^{( )2}

[ { } U ]=E

^{( )1}

[ { } U ]+1 2 ---

i 1=

∑

N j 1=

∑

N

^{{ } U}

ij( )2

α

_i

ha

_j

COV

^{( )2}

[ { }, U U { } ]=COV

^{( )1}

[ α

_i

α

_j

]

+1 4 ---

i 1=

∑

N j 1=

∑

N k 1=

∑

N l 1=

∑

N

^{{ } U}

ij( )2

( { } U

_kl^{( )2}

)

^T

E [ α

_i

α

_l

]E [ α

_j

α

_k

]+E [ α

_i

α

_k

]E [ α

_j

α

_l

]

( )

F

{ }

₀

= K [ ]

₀

{ } U

₀

F

{ }

_i^{( )1}

= K [ ]

_i^{( )1}

{ } U

₀

+ K [ ]

₀

{ } U

_i^{( )1}

F

{ }

_ij^{( )2}

= K [ ]

_ij^{( )2}

{ } U

₀

+ K [ ]

_i^{( )1}

{ } U

_j^{( )1}

+ K [ ]

_j^{( )1}

{ } U

_i^{( )1}

[ ] U K { }

_ij^{( )2}

∂A ∂K

_c

--- =

E

_eq

L

_c

--- E

_eq

L

_c

--- – E

_eq

L

_c

--- E

_eq

L

_c

---

여기서 , 는 Ernst 가 제안한 등

가탄성계수 (Equivalent modulus of elasticity) 이며 본 연구 에서는 케이블요소에 대하여 등가탄성계수를 이용하여 케이 블요소의 편미분 강성행렬을 구성하였다 (Ernst(1965)).

• 탄성계수 ( E

c

) 가 확률변수인 경우 :

(11)

여기서 , 는 등가탄성계수를 탄

성계수 ( E

c

) 에 의해 편미분하여 산정된 결과이다 .

• 초기긴장력 ( T ) 가 확률변수인 경우 :

(12)

여기서 , 는 등가탄성계수를 초

기긴장력 ( T ) 에 의해 편미분하여 산정된 결과이다 .

주형과 주탑의 프레임요소에 대한 부재강성을 구성하는 인 자를 확률변수로 고려하기 위하여 안정함수 (Stability Func- tion) ^{를 포함한 편미분 강성행렬은 식} (13)-(15) ^{와 같이 나타}

낼 수 있다 ( 정인수 (2002), 양영순 (1989) 등 ).

• 탄성계수 ( E ) 가 확률변수인 경우

= (13)

• ^{단면이차모멘트} ( ^I ) ^{가 확률변수인 경우}

= (14)

• ^단면적 ( ^A ) ^{가 확률변수인 경우}

= (15)

윗 식에서 사용한 안정함수는 수치적으로 안정된 값을 얻기 위해여 이용하였으며 안정함수 S

1

- S

4

, S

c

및 S

t

를 Taylor 급 수 전개를 하고 고차항을 생략하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있다 ( 이태열 (1997)).

• 압축력이 작용할 경우 이며

(16)

• 인장력이 작용할 경우 이며

(17)

사하중 , 활하중을 확률변수로 고려하기 위한 편미분은 사하중 , 활하중 자체가 확률변수이므로 쉽게 산정할 수 있다 .

E

_eq

= E

_c

1 A

_c

ω

²

( lcosα )

²

E

_c

12T

³

---

⎩ + ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

²

---

∂E ∂K

_c

--- =

E

_eq1

′A L

_c

--- E

_eq1

′A L

_c

--- – E

_eq1

′A

L

_c

--- E

_eq1

′A L

_c

---

E

_eq1

′= 1

1 A

_c

ω

²

( lcosα )

²

E

_c

12T

³

---

⎩ + ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

²

---

∂K ∂T --- =

E

_eq2

′A L

_c

--- E

_eq2

′A L

_c

--- – E

_eq2

′A

L

_c

--- E

_eq2

′A L

_c

---

E

_eq2

′=

A

_c

ω

²

( lcosα )

²

E

_c²

4T

⁴

---

1 A

_c

ω

²

( lcosα )

²

E

_c

12T

³

---

⎩ + ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

²

---

∂K ∂E ---

A L

---S

₅

0 0 A

L ---S

₅

– 0 0

0 12I

L

³

---S

₁

6I

L

³

---S

₂

0 12I L

³

---S

₁

– 6I

L

²

---S

₂

0 6I

L

³

---S

₂

4I

---S L

₃

0 6I L

²

---S

₂

– 2I

---S L

₄

A L

---S

₅

– 0 0 A L ---S

₅

0 0

0 12I

L

³

---S

₁

– 6I

L

²

---S

₂

0 12I L

³

---S

₁

6I L

²

---S

₂

–

0 6I

L

²

---S

₂

4I

---S L

₄

0 6I L

²

---S

₂

– 2I

---S L

₃

∂K ∂I ---

0 0 0 0 0 0

0 12E L

³

---S

₁

6E L

²

---S

₂

0 12E L

³

---S

₁

– 6E

L

²

---S

₂

0 6E ---S L

² ₂

4E

---S L

₃

0 6E L

²

---S

₂

– 2E

---S L

₄

0 0 0 0 0 0

0 12E L

³

---S

₁

– 6E

L

²

---

– S

₂

0 12E L

³

---S

₁

6E L

²

---S

₂

–

0 6E ---S L

² ₂

4E

---S L

₄

0 6E L

²

---S

₂

– 2E

---S L

₃

∂K ∂A ---

E L

--- 0 0 E – L --- 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

E L

– --- 0 0 0 0 0 0 0 0 E --- L 0 0

0 0 0 0 0 0

k= P/EI

S

₁

= 1 kL ( )

²

--- 6 – ( ) kL

⁴

--- kL 120 ( )

⁶

--- 5040 – ( ) kL

⁸

362880 ---

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞/S

_c

S

₂

= 1 kL ( )

²

--- 12 – ( ) kL

⁴

--- kL 360 ( )

⁶

20160 --- – ( ) kL

⁸

1814400 ---

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞/S

_c

S

₃

= 1 kL ( )

²

--- 10 – ( ) kL

⁴

--- kL 280 ( )

⁶

15120 --- – ( ) kL

⁸

1330560 ---

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞/S

_c

S

₄

= 1 kL ( )

²

--- 20 – ( ) kL

⁴

--- kL 840 ( )

⁶

60480 --- – ( ) kL

⁸

6652800 ---

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞/S

_c

S

_c

=1 kL ( )

²

--- 15 – ( ) kL

⁴

--- kL 560 ( )

⁶

37800 --- – ( ) kL

⁸

3991680 ---

+ +

k= P/EI –

S

₁

= 1 kL ( )

²

--- kL 6 ( )

⁴

--- kL 120 ( )

⁶

--- 5040 ( ) kL

⁸

362880 ---

+ + + +

⎝ ⎠

⎛ ⎞/S

_t

S

₂

= 1 kL ( )

²

--- kL 12 ( )

⁴

--- 360 ( ) kL

⁶

20160 --- ( ) kL

⁸

1814400 ---

+ + + +

⎝ ⎠

⎛ ⎞/S

_t

S

₃

= 1 kL ( )

²

--- kL 10 ( )

⁴

--- 280 ( ) kL

⁶

15120 --- ( ) kL

⁸

1330560 ---

+ + + +

⎝ ⎠

⎛ ⎞/S

_t

S

₄

= 1 kL ( )

²

--- kL 20 ( )

⁴

--- 840 ( ) kL

⁶

60480 --- ( ) kL

⁸

6652800 ---

+ + + +

⎝ ⎠

⎛ ⎞/S

_t

S

_t

=1 kL ( )

²

--- kL 15 ( )

⁴

--- 560 ( ) kL

⁶

37800 --- ( ) kL

⁸

3991680 ---

+ + + +

2.2 DMCS 해석

DMCS(Direct Monte Carlo Simulation) 해석은 구조해석 시 여러 불확실량에 대하여 평균 및 분산 ( ^{또는 표준편차} ) ^에

맞게 난수를 추출하고 이것을 이용하여 유한요소해석을 하 는 것으로서 각 분포에 맞는 난수추출이 가장 중요하다 . 따 라서 본 연구에서는 DMCS 를 사장교에 적용하기 위하여 난 수추출을 다음의 중심극한정리를 사용하였다 ( 지영준 (1993)).

중심극한정리를 이용한 Gaussian 분포를 갖는 난수 발생 과 정을 살펴보면 독립적인 불규칙변수 x

i

( i =1, 2, … , n ) 을 n개 더하여 새로운 불규칙 변수 x를 만들면 다음식과 같이 표현된다 .

x = x

1

+ x

2

+ … + x

n

(18)

n을 무한대로 보내면 의 확률밀도함수는 Gaussian 확률밀 도함수가 된다 . 불규칙 변수론에 따르면 서로 독립인 불규칙 변수의 합으로 만들어지는 불규칙 함수는 Convolution 이라는 연산으로 계산될 수 있는데 다음과 같이 정의할 수 있다 .

(19) Convolution 의 의미는 g ( x ) 를 y축으로 대칭시켜서 마이너 스 무한대로 이동시킨 후 x값을 증가시키면서 오른쪽으로 이동시키면 된다 . 이때 f ( x ) 와의 곱 f ( x ) 와 g ( τ− x ) 의 겹치는 면적을 나타낸다 . 즉 , x

i

가 각각 (0, 1) 사이의 균일 확률분 포를 갖는 확률분포라 하면 Fig. 1 과 같이 한 번씩 Convo- lution 함에 따라 점점 Gaussian 분포의 형태로 변해가는 것을 볼 수 있다 .

해석결과의 정확성을 높이기 위해서는 표본의 랜덤추출횟 수가 무한대이어야 정확한 결과를 도출할 수 있으나 , 이는 현실적으로 불가능하기 때문에 적절한 범위 안에서 추출횟 수의 크기를 결정해야 한다 . 따라서 본 연구에서는 DMCSP

의 해석을 수행하기 위해 Shooman 이 제안한 유의수준 5%

에서의 오차 추정식을 이용하여 표본의 랜덤추출횟수를

10,000 ^{번으로 하였다} (Shooman(1968)).

3. 신뢰성해석 3.1 한계상태방정식

사장교의 주형과 주탑에서는 축력과 휨모멘트가 동시에 작 용하고 케이블에는 긴장력만 작용하고 있으므로 한계상태방 정식의 확률변수는 축력 , 휨모멘트 , 케이블긴장력 , 단면적 , 단 면이차모멘트로 구성된다 . 주형과 주탑 및 케이블에 대한 부 재응력을 확률변수의 함수로 나타내면 식 (20) 과 같다 .

(20)

여기서 , : 주형과 주탑 , 케이블응력

: 주형과 주탑의 축력 , 휨모멘트

: 케이블긴장력

: 주형과 주탑 , 케이블단면적

: ^{주형과 주탑의 단면이차모멘트}

따라서 한계상태방정식은 윗 식을 이용하여 다음 식과 같이 정의할 수 있다 .

(21)

여기서 , 및 는 주형 , 주탑과 케이블의 극한응력을 나타내고 있으며 , 한계상태방정식에 대한 표준편차는 식 (22)

에 의해 계산할 수 있다 .

(22)

본 연구에서는 식 (21) 를 이용하여 확률변수에 의해 발생 하는 최대 부재응력에 대하여 평균과 표준편차를 계산하여 신뢰성해석을 수행하였다 .

3.2 AFOSM 방법

기본 확률변수들을 표준정규분포를 갖는 새로운 변수로 선 형 변환하여 변환된 좌표공간의 원점으로부터 가장 가까운 거리에 있는 파괴면상의 한 점 (MPFP; Most Probable Failure Point or Design Point, Checking Point) 에서 선형 근사함 으로써 불변성이 결여되는 문제를 해결할 수 있는 방법이다 .

신뢰성지수와 이에 상응하는 파괴확률은 다음 식과 같이 쓸 수 있다 (Hansofer(1974)).

(21)

여기서 , P

f

: Failure Probability, β : Reliability Index

또한 AFOSM(Advanced first order second moment) 방법 은 연성 ( 상관 ) 확률변수들을 비연성 ( 비상관 ) 확률변수들로 바꾸 어 연성을 해결하였으며 , Rackwitz-Fissler 는 등가정규변환 방법을 도입함으로써 연성 비정규분포를 갖는 기본변수들의 한계상태방정식이 비선형 함수인 경우에도 정확한 해석 결과 를 구할 수 있는 신뢰성 해석 방법을 제시하였으며 , ^신뢰성

지수를 구하기 위한 반복시행 알고리즘은 다음과 같다

(Rackwitz(1978)).

< 단계 1> 고려하고자 하는 한계상태방정식을 정한다 .

< 단계 2> 신뢰성지수를 가정한다 .

< 단계 3> 모든 i에 대하여 초기치 를 설정한다 .

< 단계 4> 비정규 변수들에 대하여 등가의 정규분포 평균

와 표준편차 를 계산한다 .

< 단계 5> 추정점 에서 편미분 를 계산한다 .

f x ( ) f × x ( )= ∫

_–^∞_∞

f x ( )g τ x ( – ) ^dτ

f

_g

= P ⋅ ( ) A ⋅ ( )

_g

---+M ⋅ ( )

I ⋅ ( )

_g

---y, f

_c

= T ⋅ ( ) A ⋅ ( )

_c

---

f

_g

, f

_c

P ⋅ ( ), M ⋅ ( ) T ⋅ ( )

A ⋅ ( )

_g

, A ⋅ ( )

_c

I ⋅ ( )

_g

g ⋅ ( )

_fg

=f

_yg

− _{A ⋅} ^{P ⋅} _{( )} ^{( )}

---

g

− ^{M ⋅} ---y _{I ⋅ ( )} ^{( )} g ⋅ ( )

_fc

=f

_yc

− _{A ⋅} ^{T ⋅} _{( )} ^{( )}

---

c

f

_yg

f

_yc

f

_{g ( )⋅}

=

∑

i

⎝ ⎛ ^{∂g ⋅} --- _∂X ^{( )}

_i

⎠ ⎞

²

f

_X²_i ^1/2

P

_f

= Φ β ( ), β= Φ – –

^–1

( ) P

_f

X

_i^*

=X

_i

μ

_X^N_i

σ

_X^N_i

X

_i^*

∂g

∂X

_i

---

Fig. 1. Convolution of irregular variable having probability

uniform distribution

< 단계 6> 단위 구배벡터 α

i

를 다음의 식을 이용하여 계산 한다 .

< 단계 7> 의 새로운 값을 다음 식으로부터 계산한다 .

= 그리고 가 수렴될 때 까지 단

계 4-7 을 반복한다 .

< 단계 8> 고려하는 g ( , , … , )=0 에 대하여 신뢰성 지수를 계산한다 . 그리고 연속적인 반복 시행에 의 해 신뢰성지수의 오차가 허용 한계 내에 들어 올 때까지 < 단계 4-8> 을 반복한다 .

이와 같은 이론내용 및 정식화 과정을 바탕으로 본 연구 에서는 사장교 구조물에 대해 확률유한요소해석 및 신뢰성 해석을 수행하기 위하여 확률유한요소법을 이용한 프로그램

(SFEMP; Stochastic Finite Element Method Program) 과

DMCS 방법을 이용한 프로그램 (DMCSP; Direct Monte

Carlo Simulation Program) 을 FORTRAN 언어로 작성하였 다 [Kleiver(1991), 정인수 (2002), 한성호 (2003) 등 ). SFEMP

및 DMCSP 의 비선형해석을 수행하기 위한 알고리즘은 Fig.

2-3 과 같다 .

4. 검증예제 해석 4.1 프로그램의 검증

본 연구에서 작성한 프로그램인 SFEMP 을 검증하기 위해

Fig. 4 와 같은 1 개의 케이블 요소와 10 개의 보요소로 구성

된 구조물에 Table 1 ^{과 같은 각 구성요소에 대한 평균값과}

표준편차를 적용하여 해석하였다 . 앞 절에서 언급한 것과 같

이 DMCSP 에 의한 해석도 병행하여 구조물의 변위와 단면

력의 평균과 표준편차를 비교하였다 . 이때 , 불확실성을 포함 한 구성요소들을 편의상 통계적으로 서로 독립인 정규분포 를 갖는 확률변수로 가정하여 구조해석을 수행하였다 . 섭동

법의 정식화 과정을 통해 작성한 SFEMP 는 확률변수들의

불확실량을 평균값과 표준편차의 비로 나타나는 변동계수

(Coefficient of variance; C.O.V) ^{가 비교적 작은 구조물에}

적용해야 만족한 결과를 얻을 수 있으므로 , 각각의 확률변수 의 변동계수에 따른 영향이 어느 정도인가를 판단하여 사장 교의 확률유한요소해석 시 적합한 변동계수의 범위를 제안 하였다 (Yiguang(1992)).

α

_i

= ( ∂g/∂X

_i

) σ

_X^N_i

Σ ∂g/∂X [ (

_i

) σ

_X^N_i

]

^{2 1/2}

---

X

_i^*

X

_i^*

μ

_X^N_i

− α

_i

βσ

_X^N_i

α

_i

X

₁^*

X

₂^*

X

_n^*

Fig. 2. Flow chart of SFEMP system (nonlinear)

Fig. 3. Flow chart of DMCSP system (nonlinear)

Fig. 4. Verification model of beam cable structure

검증예제 구조물에 대한 확률유한요소해석을 수행하기 위 해 Table 1 과 같이 보의 단면적 , 단면이차모멘트 , 탄성계수 ,

사하중 , ^집중하중 , ^{등분포활하중과 케이블의 단면적} , ^탄성계

수 , 사하중 , 초기긴장력 등을 확률변수로 고려하였으며 , 평균 과 표준편차의 비인 변동계수 (C.O.V.) 를 각 부재마다 10% 로 동일하게 적용하였다 . 이때 , 집중하중은 7 번 절점에 수직방 향으로 적용하였다 . SFEMP 의 해석결과를 검증하기 위하여 구조물의 비선형해석 및 비상관성인 경우에 대한 구조물의 축력 및 휨모멘트의 평균과 표준편차를 DMCSP 의 결과와 비교하여 Table 2-3 에 나타내었다 .

축력에 대한 결과는 평균과 표준편차가 거의 일치함을 보

이고 있으나 , DMCSP 의 평균이 약간 작은 결과를 보이며 ,

표준편차에서는 5 번 부재를 기준으로 반대의 양상을 보이고 있다 . 변동계수는 각각의 확률변수에 주어진 10% 보다 작은 약 3% 로 큰 영향을 받지 않는 것으로 나타났다 . 휨모멘트

에 대한 결과는 Table 3 에서 보는 바와 같이 거의 일치함

을 보여주고 있으며 , 변동계수는 4, 5 번 부재에서 16, 28%

로 가장 큰 오차를 보이고 있으나 , 다른 절점에서는 거의

10% 미만의 오차를 보이고 있다 . 따라서 SFEMP 는

DMCSP 에 의한 해석에 비해 시뮬레이션 횟수만큼 시간상

유리함을 보이고 있으므로 복잡한 사장교 구조물의 응답해 석 시 효율적인 해석프로그램으로 판단된다 .

4.2 프로그램의 적용성 평가

확률변수의 변동계수가 어느 정도 해석 결과의 변동특성에 영향을 미치는가를 평가할 수 있어야 한다 . 본 연구에서는 최대 수직절점변위가 나타난 7 번 절점을 선택하여 확률변수 중 변동계수의 변화에 따라 절점변위 오차가 가장 크게 나 타난 탄성계수에 대해 DMCSP 에 의한 해석 결과를 기준으

로 SFEMP 의 해석 결과를 비교한 결과 Table 4 와 같이 나

타났다 .

결과를 검토해보면 각각의 오차는 변동계수가 10% 이하일 때 5% 이하의 오차를 보이는 반면 15% 에서는 7.9%, 20%

에서 19.6%, 25% 에서 31.4% 로써 변동계수 증가함에 따라

어느 기점을 기준으로 급격히 증가함을 알 수 있다 . 그러므 로 본 연구에서 작성한 프로그램은 변동계수가 10% 이하일 때 유용성이 있다고 판단된다 .

4.3 사장교의 해석 모델

본 연구의 수치해석 대상교량은 우리나라 최초의 강사장교 인 진도대교를 선정하였다 . 진도대교는 Fig. 5 와 같이 폭

11.3m, 길이 484m( 주경간장 344m, 측경간장 70m) 의 강상

자형 주형과 69m 높이의 강상자형 주탑으로 구성된 사장교

이다 . 본 연구에서는 대상교량을 총 71 개의 절점과 34 개의 등가트러스 요소 , 68 ^{개의 보요소로} Fig. 6 ^{과 같이 모델링}

하였으며 , 케이블 , 주탑과 주형의 구성요소에 대한 제원은

Table 1. Properties of members for beam cable structure Random Variable Mean Std.

deviation C.O.V

A (m

²

) Beam 2.000 0.200 10%

Cable 0.030 0.003 10%

E (tonf/m

²

) Beam 2.1 × 10

⁷

2.1 × 10

⁶

10%

Cable 2.1 × 10

⁷

2.1 × 10

⁶

10%

Dead load (tonf/m) Beam 15.7 1.57 10%

Cable 0.2355 0.02355 10%

Initial tention (tonf) Cable 220.80 22.08 10%

I (m

⁴

) Beam 0.04167 0.004167 10%

Uniform load (tonf/m) Beam 10.0 1.0 10%

Concentrated load (tonf) Beam 100 10 10%

ρ (tonf/m

³

) Beam 7.85 - -

Cable 7.85 - -

Table 2. Mean and std. deviation for SFEMP and DMCSP (axial force: tonf)

Member No.

SFEMP DMCSP

Mean Std.

deviation C.O.V

(%) Mean Std.

deviation C.O.V (%) 2 533.380 17.933 3.362 532.641 17.765 3.335 3 523.368 17.931 3.426 522.568 17.749 3.396 4 520.357 17.932 3.446 519.536 17.855 3.437 5 521.435 17.932 3.439 520.615 17.964 3.451 6 524.277 17.933 3.421 523.473 17.995 3.438 7 527.147 17.935 3.402 526.367 17.942 3.409 8 528.125 17.936 3.396 527.363 17.866 3.388 9 526.529 17.936 3.406 525.767 17.840 3.393 10 523.946 17.935 3.423 523.177 17.795 3.401 11 521.732 17.935 3.438 520.954 17.739 3.405

Table 3. Mean and std. deviation for SFEMP and DMCSP (moment : tonf·m)

Member No.

SFEMP DMCSP

Mean Std.

deviation C.O.V

(%) Mean Std.

deviation C.O.V 2 6136.83 279.307 4.551 6141.88 282.205 4.595 (%) 3 3436.76 230.980 6.721 3439.28 232.417 6.758 4 1193.39 193.560 16.219 1195.59 196.663 16.449 5 -579.78 167.884 28.957 -576.74 166.035 28.789 6 -1936.92 152.864 7.892 -1932.76 150.097 7.766 7 -2931.47 145.393 4.960 -2927.04 145.950 4.986 8 -3566.12 141.791 3.976 -3563.48 145.078 4.071 9 -3356.77 117.513 3.501 -3356.10 121.716 3.627 10 -2659.81 86.926 3.268 -2659.54 89.699 3.373 11 -1528.26 48.006 3.141 -1528.02 49.027 3.209 Table 4. Std. deviation and ratio for variability of young's

modulus C.O.V

Node. No 5% 10% 15% 20% 25%

7 SFEMP 0.01105 0.0221 0.0327 0.041 0.0511

DMCSP 0.01110 0.0226 0.0355 0.051 0.0745

RATIO (%) 0.451 2.212 7.887 19.608 31.409

(Simulation No=10,000)

Table 5 와 같다 ( 건설교통부 (1993)).

4.4 케이블의 초기긴장력 결정

본 연구에서는 사장교 구조물의 비선형해석은 Fig. 2-3 ^의

알고리즘에서 나타낸 것과 같이 증분법과 반복법을 동시에 고려한 혼합법을 이용하였다 . 또한 초기형상해석을 수행하기 위하여 시산법 (Trial and error method) 을 이용하여 각각에 대해 초기긴장력을 결정하였다 . ^{주형의 사하중 분포에 따른}

케이블의 초기긴장력을 모든 절점에서 최대 상대변위

0.001m 의 수렴조건을 적용하였다 . 사하중은 주탑과 케이블의

자중 및 주형의 자중과 부가사하중을 포함하여 산정하였으 며 , 대상교량이 대칭구조이므로 케이블 1-17 번 요소에 대하

여 선형과 비선형해석에 의한 초기긴장력 계산 결과를 Fig.

7 과 Table 6 에 나타내었다 ( 윤군진 등 (2001)).

4.5 확률유한요소해석 결과 분석

사장교의 확률유한요소해석을 수행하기 위해 케이블 요소 의 탄성계수 , 단면적 , 초기긴장력과 주탑·주형의 탄성계수 ,

단면적 , 단면이차모멘트 , 사하중 및 등분포활하중 등을 정적 하중 하에서 불확실성을 포함하고 있는 확률변수로 고려하 였다 . 각각의 확률변수에 대한 평균 (Mean) 과 표준편차

Fig. 5. Profile of Jindo bridge

Fig. 6. Model for numerical analysis

Table 5. Properties of members for cable stayed bridge Properties Area

(m

²

) Young's modulus (tonf/m

²

)

Cross section moment of inertia (m

⁴

)

Unit weight (tonf/m

³

) Girder Side 0.9475

2.1 × 10

⁷

0.9475 7.85

Center 0.4373 0.5544

Tower

Top 0.646

2.1 ^× 10

⁷

1.227

7.85

Middle 0.525 0.482

Bottom 0.619 0.534

Pier 35.6 2.0 ^× 10

⁶

125.4 2.5 Cable

⑤⑥ ①②③④ 0.0814

1.6 ^× 10

⁷

0 7.85

⑦⑪⑫ 0.0488

⑧⑨⑩ 0.0348

⑬⑭⑮ 0.0622

Fig. 7 Results of initial shape analysis Table 6. Initial cable tension (tonf)

Cable No. Linear analysis Nonlinear analysis

1 282.504 284.329

2 257.387 258.640

3 236.956 237.618

4 219.256 219.120

5 201.293 200.128

6 180.028 177.696

7 338.322 334.013

8 39.322 52.969

9 45.396 61.498

10 189.739 182.353

11 105.591 107.852

12 150.719 150.895

13 167.334 167.433

14 180.148 180.392

15 203.912 200.841

16 236.239 241.770

17 248.152 244.387

(Standard deviation) 의 비인 변동계수 (Coefficient of vari-

ation) 는 단면적 , 단면이차모멘트 , 사하중에 대하여 각각

10%, 강재인 주형과 주탑의 탄성계수 , 콘크리트인 교각의 탄

성계수는 10%, 활하중은 25%, 케이블 초기긴장력은 10% 로 가정하였다 . ^{활하중은 도로교설계기준에 의해 장경간 교량인}

경우 DB 하중보다 DL 하중의 영향이 더 크므로 , DL-18 하

중을 2 차선에 재하하는 조건과 충격계수 i =15/(40+L) 의 식

에 의해 계산된 0.04 를 고려하였으며 , 이때 계산된 등분포활

하중 3.43 tonf/m 와 집중활하중 16.85 tonf 를 중앙경간과 중앙경간의 중앙부에 최대 휨모멘트가 발생할 수 있도록 재 하하였다 ( 건설교통부 (1996)). 이러한 조건하에서 작성된

SFEMP 를 이용하여 대상 사장교의 주형과 주탑의 절점 변위

와 부재력 , 케이블긴장력에 대한 각각의 평균 , 비상관 및 상 관성을 고려한 표준편차 및 변동계수의 해석결과를 검토하 였다 . 이때 , 확률변수의 상관성은 사장교 구조물의 응답에 영 향을 크게 미치는 케이블 긴장력 , 사하중 , 등분포활하중에 대

하여 고려하였으며 , Table 7 과 같이 CASE 1-7 의 경우에 대하여 수행하였다 .

4.5.1 절점변위

대상교량에 대한 해석결과 , 주형에서의 수평 및 회전변위 와 주탑에서의 수직변위가 극히 미소하기 때문에 주형의 수 직변위와 주탑의 수평변위로 구분하여 평균 , 비상관 (Case 1)

및 상관성을 고려한 표준편차 (Case 2-7) 의 선형·비선형해

석 결과를 Fig. 8-9 에 도시하였다 . 주형의 수직변위에 대한

평균 및 표준편차는 비선형해석결과가 선형해석 결과에 비 해 전반적으로 큰 결과를 보이고 있으며 , 변동계수는 반대의 양상을 보이고 있다 . 수직변위가 가장 크게 발생하는 중앙경 간의 20 번 절점의 변위를 검토해보면 , 선형·비선형해석에

의한 평균은 각각 -0.805, -0.824m 로 비선형해석결과가 크게

나타났으며 , 표준편차는 비상관성에 의한 경우에 비해 상관 성이 증가하면서 선형·비선형해석 결과가 모두 크게 나타 내고 있다 . 표준편차가 최대로 나타난 Case 7 의 경우 선형·

비선형해석 결과는 각각 0.0743, 0.0749m 로 나타났다 . 이러 한 결과는 비선형해석 시 케이블의 자중에 의해 발생하는

케이블의 새그 (Sag) 의 영향에 대한 비선형성을 고려하기 위

해 등가탄성계수를 적용하였기 때문으로 판단된다 . 또한 변 동계수는 전 절점에서 27% 이하의 양상을 보였으며 , 특히 케

Table 7. Correlation of random variables Correlation Case Case

1 Case 2 Case

3 Case 4 Case

5 Case 6 Case Tension - 0.25 0.25 - 0.75 0.75 7 -

Dead Load - 0.25 - 0.25 0.75 - 0.75

Uniform Load - - 0.25 0.25 - 0.75 0.75

Fig. 8. Mean and C.O.V of vertical displacement at the girder Fig. 9. Mean and C.O.V of horizontal displacement at the

tower

이블이 집중된 절점 1-6 번에서는 선형해석의 경우 극히 미 소한 평균변위로 인해 변동계수는 100% 가 넘는 것으로 나 타났다 .

주탑의 수평변위는 주형과 같은 양상을 보이고 있으며 , 평 균과 표준편차는 모두 상단에서 가장 크게 나타났다 . 수평변 위가 최대로 나타난 주탑 최상단 절점에 대한 평균의 선형·

비선형해석 결과는 각각 0.174, 0.176m 로 나타났으며 , 최대 표준편차를 나타낸 Case 6 의 경우 선형ㆍ비선형해석 결과는 각각 0.0171, 0.0175m 로 나타났다 . 변동계수는 전 절점에 대하여 약 12% 의 이하의 양상을 보이고 있으나 , 평균과 표 준편차가 큰 값을 보이는 상단보다 하단에서 약 22% 로 최 대 변동계수를 나타내고 있다 .

4.5.2 부재력

해석결과에 따른 부재력은 주형과 주탑에 대한 축력과 휨 모멘트로 구분하여 나타냈다 . 축력에 대한 평균 , 비상관성 및 상관성을 고려한 해석결과를 Fig. 10-11 에 도시하였다 . 주형 의 축력에 대한 선형·비선형해석결과에 의한 평균은 측경 간의 경우 전반적으로 유사한 값을 보여주고 있으나 , ^중앙경

간에서는 비선형해석에 비해 선형해석결과가 큰 양상을 나 타내고 있으며 42 번 부재에서 가장 크게 나타났다 . 표준편차 는 상관성이 증가하면서 크게 나타나고 있으며 , 모든 경우에

서 주탑과 접합부인 42 번 부재에서 가장 크게 나타났다 . 42

번 부재의 선형·비선형해석에 의한 평균은 각각 1946.2, 1928.7 tonf 로 나타났으며 , 최대 표준편차를 나타낸 Case 7

의 경우 선형·비선형해석 결과는 각각 71.12, 71.00 tonf 로 나타났다 . 변동계수는 평균과 표준편차가 가장 크게 발생하 는 부재가 아닌 48 번 부재에서 가장 큰 값인 55.74%( 선형 : Case 7), 52.19%( 비선형 : Case 7) 를 보이고 있다 . 이러한 결과는 축력의 경우 48 번 부재를 경계로 인장에서 압축으로 변화되는 부분이기 때문으로 판단된다 .

주탑의 축력에 대한 평균은 선형해석의 경우가 비선형해석 에 비해 크게 나타났으며 , 최대값은 87 번 부재에서 각각

-5810.29, -5772.13tonf 로 나타났다 . 표준편차 및 변동계수는 상관성이 증가하면서 크게 나타나고 있다 . 최대 표준편차를

보인 Case 7 의 경우 선형해석 및 비선형해석에 의한 결과

는 각각 280.08, 279.96 tonf 로 나타났으며 , 변동계수는 전

반적으로 10% 이하를 나타내고 있다 .

휨모멘트에 대한 선형·비선형해석결과를 Fig. 12-13 에 도 시하였다 . 주형의 휨모멘트에 대한 평균은 중앙경간 보다 주 형과 주탑이 교차하는 부재에서 큰 값을 보이고 있다 . ^이는

초기형상해석으로 인한 케이블의 초기 긴장력이 구조물에 적 절히 작용하여 주형의 휨모멘트가 균등하게 분포되기 때문 으로 판단된다 . 표준편차는 전반적으로 상관성이 증가하면서

Fig. 10. Mean and C.O.V of axial force at the girder Fig. 11. Mean and C.O.V of axial force at the tower

크게 나타나고 있으며 , 최대값을 나타낸 Case 7 의 경우 선 형해석결과는 17 번 절점에서 크게 나타나고 있다 . 비선형해 석에 의한 결과는 주형과 주탑이 교차하는 9 번 절점에서 큰 값이 나타났다 . 선형·비선형해석에 의한 평균의 최대값은 각각 3118.8, 3327.9 tonf·m 로 나타났으며 , 표준편차의 최대 값은 각각 358.34, 417.08 tonf·m 로 나타났다 . 변동계수는 모두 표준편차가 가장 크게 발생하는 절점에서 보다는 중앙 경간의 15 번 절점에서 가장 큰 변동계수을 나타내고 있다 .

이는 중앙경간에서 15 번 절점을 경계로 휨모멘트가 부 ( − ) 에 서 정 (+) 으로 변환되는 절점으로 판단되며 , 추후 신뢰성 해 석을 통한 파괴확률 계산 시 신중하게 검토해야 할 것으로 판단된다 .

주탑의 휨모멘트에 대한 평균과 표준편차는 모두 하단에서 다소 크게 나타났으며 , 표준편차는 Case 6 의 경우가 최대값 을 보이고 있다 . 또한 선형해석에 의한 결과가 비선형해석 결과에 비해 비교적 큰 값을 나타내고 있다 . 선형·비선형

해석 결과에 의한 평균 및 Case 6 에 대한 표준편차의 최대

값은 각각 1764.31, 1542.92 tonf·m, 314.80, 313.62

tonf·m 로 주탑의 고정지점인 55 번 절점에서 가장 크게 발생

하고 있다 . 변동계수는 모든 경우에 대하여 주탑과 케이블의 정착부에서 가장 큰 변동계수를 보이고 있다 .

4.5.3 케이블 긴장력

케이블의 긴장력에 대한 선형·비선형해석결과는 Fig. 14

에 도시하였다 . 케이블의 긴장력에 대한 평균 및 표준편차는 주탑을 경계로 양측단에서 비선형해석에 의한 결과가 크게 나타났으나 , 반대로 주탑 부분에서는 작게 나타났다 . 또한 변 동계수는 전반적으로 모든 경우에 대하여 비교적 유사한 값 을 보이고 있다 . 케이블 긴장력에 대한 최대 평균은 선형·

비선형 해석 시 각각 443.98 tonf, 445.41 tonf ^{로 나타났다} .

표준편차는 Case 6 의 경우가 34.69, 34.9 5tonf 로 최대값을 나타내고 있으며 , 변동계수는 Case 6 에서 각각 7.85, 8.01%

로 가장 크게 나타났다 .

위의 그림과 같이 절점변위 , 부재력 및 케이블긴장력에 대 한 선형ㆍ비선형 해석결과는 전반적으로 비슷한 결과를 보 이고 있다 . 이는 초기형상해석 후 선형ㆍ비선형 해석을 수행 하였기 때문인 것으로 판단된다 . 대부분의 케이블에서 초기 긴장력에 비해 활하중 재하 시 긴장력이 증가하는 반면 , 감 소하는 케이블이 존재하기 때문에 사장교와 같은 장대교량 은 케이블 긴장력에 대한 결정이 매우 중요하며 , 시공단계 해석시에 각 단계별 긴장력의 산정에 많은 어려움이 따를 것으로 판단된다 .

4.6 사장교의 신뢰성해석

본 절에서는 SFEMP 에 의한 응답해석 결과를 이용하여

신뢰성해석을 수행하였다 . 변위의 불확실량은 사용성에 대한

Fig. 12. Mean and C.O.V of bending moment at the girder Fig. 13. Mean and C.O.V of bending moment at the tower

신뢰성해석이므로 생략하였으며 , 케이블 긴장력 , 주형과 주 탑의 축력 및 휨모멘트에 의해서 신뢰성해석을 수행하였다 .

신뢰성해석 방법은 AFOSM ^{방법에 의해 수행하였다} .

4.6.1 신뢰성해석

대상 사장교의 신뢰성지수 ( β ) 및 파괴확률 ( P

f

) 를 계산하여 서로 비교·검토하였다 . 대상사장교의 케이블을 Locked Coil

로 가정할 때 , 케이블의 극한인장응력은 10,300 kgf/cm

²

이

고 , 주형과 주탑은 SM400 인 강재로 간주하여 극한응력을

2,400 kgf/cm

²

로 가정하였다 . 또한 극한응력에 대한 변동계

수 (C.O.V) 는 15% 로 가정하였으며 , 또한 확률변수는 정규

(Normal) ^{분포를 갖는 것으로 가정하였다} ( ^{건설교통부} (1996),

변윤주 (1991) 등 ). 가정 사항을 적용하여 대상 사장교의 신

뢰성해석은 선형ㆍ비선형해석에 의한 초기긴장력 도입후 선 형ㆍ비선형해석을 구분하여 수행한 후 , 주형 , 주탑 , 케이블 부재로 나누어 각각에 대하여 상관성을 고려한 신뢰성해석

Fig. 14. Mean and C.O.V of cable tension force

Fig. 15. Reliability index and probability failure for SFEMP- based AFOSM (member 42)

Fig. 16. Reliability index and probability failure for SFEMP- based AFOSM (member 53)

Fig. 17. Reliability index and probability failure for SFEMP-

based AFOSM (member 85)

을 수행하였다. 해석결과는 Fig. 15-19에 도시하였다.

4.6.2 신뢰성해석 결과분석

한계상태방정식을 이용하여 주형은 주형과 주탑의 접합부 인 42번 부재, 중앙경간의 중앙부인 53번 부재, 주탑은 주 형과 주탑의 접합부인 85번 부재에 대하여 신뢰성해석을 수 행하였으며, 케이블은 주탑을 중심으로 끝단에 있는 1, 17번 부재에 대하여 신뢰성해석을 수행하였다. 대상 사장교에 대 한 SFEMP해석 결과를 근거로 한 AFOSM의 신뢰성 해석 결과를 살펴보면, 주형에서는 42번 부재의 경우 선형해석에 의한 파괴확률이 크게 나타났으며, 53번 부재의 경우 비선형 해석에 의한 파괴확률이 크게 나타났다. 상관성에 따른 파괴 확률은 모두 Case 6의 경우가 가장 크게 나타났으며, 42번

부재의 경우 신뢰성지수는 각각 2.937, 3.049로 나타났고, 53번 부재의 경우에는 각각 3.481, 3.310으로 나타났다. 주 탑은 선형해석에 의한 파괴확률이 비선형해석 의한 결과에 비해 크게 나타났고, 상관성에 따른 파괴확률은 Case 7의 경우가 가장 크게 나타났으며, 85번 부재에 대한 각각의 신 뢰성지수는 3.943, 3.957로 나타났다. 케이블에서는 1번 케 이블의 경우 선형해석에 비해 비선형해석에 의한 파괴확률 이 크게 나타났으나, 17번 케이블의 경우에는 선형해석에 의 한 결과가 크게 나타났다. 상관성에 따른 파괴확률은 모두 Case 6의 경우가 가장 크게 나타났으며, 1번 케이블의 신뢰 성지수는 각각 3.500, 3.489, 17번 케이블의 신뢰성지수는 각각 3.971, 4.084로 나타났다. 이상과 같이 상관성을 고려 하여 부재별 파괴확률을 검토한 결과 상관성이 증가하면서 파괴확률이 크게 나타났다. 또한 부재별 선형ㆍ비선형해석 의한 파괴확률을 검토한 결과 파괴확률은 해석방법에 따라 서 크기가 다르게 나타났다. 따라서 불확실성을 포함하는 사 장교는 각각의 확률변수에 따른 확률유한요소해석이 수행되 어야 할 것이며, 확률변수의 상관성을 고려한 신뢰성해석을 수행하여야 할 것으로 판단된다.

5. 결 론

본 연구에서는 확률유한요소법을 이용한 대상 사장교 구조 물을 해석한 후 확률변수의 상관성을 고려한 선형ㆍ비선형 신뢰성해석을 수행한 결과 다음과 같은 결론을 내릴 수 있 었다.

1. 구조해석의 각 단계마다 확률변수들의 분산특성을 고려할 수 있는 확률유한요소법을 기존의 신뢰성이론에 적용하여 프로그램을 작성함으로써 사장교와 같이 복잡한 구조물에 대해 상관성을 고려한 신뢰성해석을 보다 효율적으로 수 행할 수 있었다.

2. 사장교의 초기형상해석을 통한 초기긴장력 도입 후 선형 ㆍ비선형해석에 따른 신뢰성해석을 수행한 결과 절점변위, 부재력 및 케이블 긴장력에 대한 응답특성을 정량적으로 파악할 수 있었다.

3. 확률변수의 상관성을 고려하여 선형ㆍ비선형 신뢰성해석 을 수행한 결과 상관성 증가에 따른 신뢰성지수 및 파괴 확률의 양상을 파악할 수 있었다. 확률변수의 상호간 상관 성의 조합에 따라 파괴확률은 차이를 나타내고 있으므로 확률변수의 상관성을 적절히 고려하여 응답해석을 수행하 여야 할 것으로 판단된다.

추후 지진하중, 풍하중, 파랑하중과 같은 동하중을 확률변 수로 고려하여 상관성에 따른 확률유한요소해석 및 신뢰성 해석 수행할 수 있도록 연구 범위를 확대해 나갈 필요성이 있다고 사료된다.

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Fig. 18. Reliability index and probability failure for SFEMP- based AFOSM (cable 1)

Fig. 19. Reliability index and probability failure for SFEMP-

based AFOSM (Cable 17)

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( 접수일 :2004.12.6/ 심사일 :2005.6.8/ 심사완료일 :2005.9.12)