Stability Design of Steel Frames considering Initial Imperfection based on Second-Order Elastic Analysis

構 造 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第28卷 第4A 號·2008年 7月 pp. 465 ~ 474

2차 탄성해석을 이용한 강뼈대구조의 초기결함 좌굴설계

Stability Design of Steel Frames considering Initial Imperfection based on Second-Order Elastic Analysis

경용수*·이창환**·김문영***

Kyung, Yong Soo

·

Lee, Chang Hwan

·

Kim, Moon Young

···

Abstract

Generally design of frame structures composed of beam-column member is accomplished by stability evaluation of each member considering the effective buckling length. This study selects a member of the smallest non-dimension slenderness ratio using the buckling eigenvalue calculated by the elastic buckling eigen-value analysis and axial force of the each member, and decides the initial deflection quantity reflected geometric and material nonlinearities from a suggested equation on the base of standard strength curve of Korea Bridge Design Code. Second-order elastic analysis applying the initial deflection is executed and the stability of each member is evaluated and decides ultimate strength. Through examples of eight-stories and four-stories plane frame structures, the evaluation of the stability is compared with the existing method and ultimate strength of the sug- gested method is compared with ultimate strength by the nonlinear inelastic analysis. Through these procedures, the increasing of effective buckling length by elastic buckling eigenvalue analysis is prevented from a new design method that considers ini- tial imperfections. And the validity of this method is proved.

Keywords : initial imperfection, second-order elastic analysis, frame structures, stability evaluation, system buckling analysis

···

요 지

일반적으로, 보-기둥 부재로 구성된 강뼈대구조물의 설계는 개별부재의 유효좌굴길이를 고려하여 설계기준에서 제시한 안 정성 평가식을 적용하고 있다. 그러나 이 방법은 구조물에서 상대적으로 작은 압축력이 적용되는 부재에서는 유효좌굴길이가 커지는 문제가 발생하게 된다. 이러한 문제를 극복하고자 본 연구에서는 대상 구조물의 초기결함(initial imperfection)을 고 려한 2차 탄성해석법을 제시한다. 이 방법은 탄성좌굴 고유치해석으로 산정된 좌굴모드 및 좌굴고유치, 개별부재의 축력을 이용하여, 가장 작은 무차원 세장비를 가진 부재를 선정하고, 그 부재에 대하여 기하적, 재료적인 효과가 고려된 설계기준의 기준강도곡선으로부터 좌굴모드에 대한 증폭량을 산정한다. 이렇게 결정된 증폭량을 대상 구조물의 좌굴모드에 증폭시켜 2차 탄성해석을 수행하고, 개별부재의 안정성을 평가한다. 본 방법의 타당성을 확인하기 위하여, 8층 및 4층으로 이루어진 평면 강뼈대구조물에 적용시키고, 설계기준에서 제시하는 안정성 평가법과 비교한다.

핵심용어

:

초기결함, 2차 탄성해석, 뼈대구조, 안정성 평가, 시스템 좌굴해석

···

1. 서 론

일반적으로 강구조물의 설계는 소성영역(plastic zone

analysis)

또는 소성힌지(plastic hinge)를 고려한 비선형-비탄

성 해석방법을 적용하여 구조물 전체의 내하력을 평가하는 것이 가장 정확하다. 그러나 이러한 방법은 해석자체가 복잡 하고, 해석기법의 적용이나 설계자의 모델링 방법에 따라 해 석결과가 달라질 수 있다. 이러한 비선형-비탄성 해석기법의 대안으로 AISC(2005)의 설계기준에서는 전체 구조물의 안정 성 검토를 생략하는 대신에 개별부재의 유효좌굴길이

(effective buckling length)

를 산정하고, 이를 설계기준에서

제시한 기준강도곡선과 축방향력에 의한 기하학적인 영향를 고려한 보-기둥부재의 상관식을 제시하고 있다. 유효좌굴길 이의 산정방법으로 AISC(2005)에서는 alignment chart 방법 을 추천하고 있으나, 이는 근접한 기둥과 보를 제외하고는 이웃부재의 상호작용효과를 충분히 반영하지 못한다. 이로 인해 몇 개의 기본적인 가정을 설정하여 이 조건을 만족하 지 못하는 경우 합리적인 유효좌굴길이를 도출하지 못하거 나 보정이 요구되고 있다. Alignment chart 방법의 대안으 로 구조물의 시스템 좌굴해석을 통해 산정된 좌굴고유치와 탄성해석에 의한 축방향력을 이용하여 개별부재의 유효좌굴 길이를 산정하는 방법이 제시되었다(Roddis, 1998: 진 등,

*정회원·성균관대학교 건설환경연구소 연구원 (E-mail : [email protected])

**(주)서영엔지니어링사원 (E-mail : [email protected])

***정회원·교신저자·성균관대학교 사회환경시스템공학과 교수 (E-mail : [email protected])

2004).

그러나 이 방법은 상대적으로 축압축력이 작은 부재 에서 유효좌굴길이가 길게 산정되어 본래의 강도를 과소평 가하게 되는 등 비경제적인 설계를 야기시킬 수 있다.

강구조물의 안정성을 판단하기 위한 다른 방법으로 대상 구조물에 적절한 초기결함(initial imperfection)의 크기를 고 려하여, 작용하중에 의한 2차효과를 반영하는 설계방법이 제 시되고 있다. 여기서, 초기결함이라고 하는 것은, 구조물의 2 차효과를 반영하기 위한 인위적인 변형형상을 의미한다. 이 러한 초기결함의 연구로서, Kam(1986)등은 초기 휨을 가진 부재의 접선강도행렬을 유도하고 부재의 초기결함의 크기에 따른 프레임의 탄-소성해석을 수행하여, 각각의 하중-변위 곡 선을 나타내었다. Oda(1997)등은 두가지의 초기결함을 가진 기둥(초기 휨을 가진 기둥과 편심하중을 받는 기둥)에서 축 력과 휨모멘트에 의한 강도감소효과를 포함하는 등가초기처 짐(equivalent initial deflection)개념을 도입된 새로운 보-기 둥부재의 상관식을 제시하였다. Eurocode 3의 “Design of

steel structure”

편에서는 전체 구조물에 대한 등가경사결함

(equivalent sway imperfection)

과 구조물의 좌굴모드형상을

이용하여 초기결함의 크기를 결정하고, 이를 보-기둥부재의 상관식에 적용하는 방법이 제시되었으며(EC3-prEN, 2003),

Gonçalves(2005)

등은 Eurocode 3에서 제시한 방법에 대하여

임의의 지지조건을 갖는 기둥부재에 대한 매개변수 연구를 수행하였으며, 이를 통하여 Eurecode 3에서 제시하고 있는 등가초기결함의 크기를 보정, 제시하였다. 그러나 Eurocode

3

와 Gonçalves(2005)등의 방법에서는 모든 부재에 대한 초 기결함의 크기를 산정, 비교함으로써 많은 시간이 필요하며, 수직 및 수평하중이 동시에 작용하는 구조물에서는 적용성 이 고려되지 않았다.

본 연구에서는 강구조물에 대한 초기결함의 크기를 결정하 는 방법으로 작용하중에 의한 변형형상이 좌굴해석에 의한 좌굴모드와 유사한 성질을 이용하여, 구조물의 탄성좌굴 고 유치해석을 수행하여 얻은 좌굴모드에 합리적으로 산정한 증 폭계수를 적용하여 증폭시킨 후, 본래의 작용하중을 재하하 고, 기하비선형해석을 수행하고 얻은 단면력을 간단한 보-기 둥부재의 상관식에 적용하였다. 일반적으로 좌굴 고유치해석 에 의한 산정된 유효좌굴길이는 축압축력이 작은 부재에서 크게 산정된다. “유효좌굴길이가 크다”는 의미는 설계기준에 서 제시하고 있는 내하력곡선의 공칭압축강도(P

n)

가 작아지 므로, 이로 인해 안정성 평가식에서의 축력부분의 안정값이 커지게 됨을 의미한다. 그러나 실제적으로 구조물의 작용하 중에 의해서, 상부기둥은 하부기둥들에 비해 축압축력이 작 아 기둥의 내하력에 미치는 영향이 작으리라 생각할 수 있 는데, 좌굴해석을 거치면, 유효좌굴길이가 커지게 되므로 모 순이 발생하게 된다. 이러한 문제를 극복하고자 본 연구에서 는 유효좌굴길이를 산정하고, 개별부재에 적용하는 현행 설 계기준 대신 좌굴모드에 적절한 증폭량을 산정하여 변형된 형상에 재하하중을 작용하여 2차탄성해석을 수행하는 방법 을 제시한다. 특히, 좌굴모드와 최소고유치 및 개별부재의 축 압축력을 이용하여 대상 구조물에서의 가장 취약한 부재를 기준부재로 결정하였다. 본 연구방법은 유효좌굴길이를 산정 하지 않기 때문에 축압축력이 작은 상부기둥에 대해서도 합 리적으로 안정성을 평가할 수 있다. 설계법의 타당성을 검증

하기 위하여 AISC(2005) 설계기준의 안정성 검토식과 비교 한다.

2. 유효좌굴길이를 고려한 좌굴안정성 평가방법

2.1 AISC(2005)

에 의한 안정성 검토식

AISC(2005)

에서는 식 (1)을 사용하여 축압축력과 휨모멘트

를 받는 구조물에서 개별 단위부재의 좌굴안정성을 검토한다.

for (1a)

for (1b)

여기서, P

u=

선형탄성해석에 의해 구한 부재의 축방향력; P

n=

공칭압축강도; M

u=2

차효과가 고려된 작용휨모멘트; M

n=

공칭휨 강도; =기둥 및 보의 저항계수이다. 이때, 은 구조물의 작용축력에 대한 부재의 안정성을 설명하는 항으로서,

AISC(2005)

에서는 P

n

의 산정 시 유효좌굴길이가 적용된다. 그

리고, M

u

를 계산하는 경우에는 P-

δ

및 P-Δ효과가 고려된다.

2.2

시스템좌굴해석 및

2

차 탄성해석을 이용한 안정성 검 토식

선형탄성해석과 모멘트 증폭효과를 고려하여 산정하던 작 용휨모멘트를 시스템좌굴해석 및 2차 탄성해석법을 직접적 으로 적용한 개선된 안정성 검토식을 고려한다. 이는 앞 절 에서 제시했던 AISC(2005) 설계기준의 안정성 검토식 대신 에 수정된 안정성 검토식을 적용하는 것을 의미한다(김문영 등, 2005).

for (2a)

for (2b)

여기서, P

n=

공칭압축강도; =2차 탄성해석에 의해 산정된 작용휨모멘트이며, 식 (2a,b)에 제시된 안정성 검토식에서 P

ⁿ

의 산정을 위해 시스템좌굴해석을 수행하여 얻은 유효좌굴길 이를 적용한다. 그리고 증폭된 휨모멘트 는 전체 구조시 스템의 2차 탄성해석을 통하여 직접적으로 구한다. 이 경우 에 P-

δ

및 P-Δ효과를 고려하기 위한 유효좌굴길이 산정과정 을 생략할 수 있다.

3. 초기결함 (Initial imperfection) 을 고려한 강뼈대구 조의 2 차 탄성해석

본 연구방법은 설계기준에서 제시하는 기준강도곡선을 이 용하여, 합리적인 초기결함의 크기를 산정한 후, 이를 대상 구조물에 적용하여 변형된 형상을 얻고, 변형된 형상에 재하 하중을 작용시켜 발생하는 2차 효과를 고려하는 방법이다.

3.1

임의 경계조건을 갖는 보

-

기둥부재

2

차 효과를 고려하기 위해서는 대상구조물의 초기결함이 고려된 변형된 형상을 얻어야 한다. 본 연구에서는 합리적인

P_u

φ

_c^P_n --- 8

9--- M_u

φ

_b^M_n --- 1

≤

+ P_u

φ

_c^P_n --- 0.2

≥

P_u 2

φ

cP_n --- M_u

φ

bM_n --- 1

≤

+ P_u

φ

cP_n --- 0.2

<

φ

c

, φ

b P_u

⁄ φ

cP_n

P_u

φ

_c^P_n --- 8

9--- M_u^*

φ

_bM_n --- 1

≤

+ P_u

φ

_c^P_n --- 0.2

≥

P_u 2

φ

cP_n --- M_u^*

φ

_bM_n ---

+

≤

1 P_u

φ

cP_n --- 0.2

<

M_u^*

M_u^*

초기결함을 산정하는 방법으로 재하하중에 의해 발생하는 구 조물의 처짐형상과 비슷하다고 판단되는 좌굴모드에 적절한 증폭계수(scale factor)를 고려하는 방법을 적용하였다. 먼저, 그림 1에서는 임의의 경계조건을 갖는 보-기둥부재의 좌굴모 드 v(x)와 초기결함이 고려된 곡선 y

0(x)

를 나타내고 있다.

이때, 초기결함을 나타내는 함수 y

0(x)

는 좌굴모드 v(x)

(i=1, 2,

…)와 증폭계수

δ0

만큼을 증폭시킨 값으로 나타낼

수 있다.

(3)

여기서, v(x)는 임의의 경계조건을 갖는 보-기둥부재의 좌굴 모드를 나타내며, EI, L은 각각 부재의 휨강성과 부재길이를 의미한다. 또한 는 각각 양단의 이동 및 회전 스프링상수이다. 본 연구에서는 좌굴모드 v

i(x)

에서 첫 번째 모드만을 적용하였으며, 이때 부재의 지배방정식과 일반해는 다음과 같다.

(4)

(5)

세 번째와 네 번째 항은 1차 함수로서, 각각 부재의 강체 회전 및 강체이동변위를 나타낸다. 이는 변형이 영(zero)이기 때문에 좌굴하중에 영향을 주지 않는다. 이에 반하여 첫 번 째와 두 번째 항은 부재의 처짐변형을 발생시키는 항으로서 사인함수, 코사인함수의 조합으로 이루어짐을 알 수 있다. 여 기서, 이며, k는 좌굴길이계수(K-factor,

buckling length factor)

이다. 좌굴모드에서 각각의 상수 A

1,

A2, A3, A4

는 경계조건을 이용하여 계산할 수 있다.

일반적으로, 초기결함이 고려된 곡선 y

0(x)

를 적용한 변형 된 형상에서는 축력에 의한 2차 효과를 얻을 수 있으며, 작 용하중에 의한 구조물의 안정성해석은 보-기둥부재의 단면상 관식 (6)을 이용하여 적용할 수 있다.

(6)

여기서, 이며, W는 단면상수(section

modulus)

를 나타낸다. 식 (6)을 적용하기 위해서는 초기결함

이 고려된 곡선 y

0(x)

에 의해 발생하는 최대모멘트 M

^max

를 산정할 필요가 있으며, 이는 식 (5)의 좌굴모드를 이용한다.

(7)

이때, 모멘트 M(x)는 다음과 같다.

(8)

여기서, 는 그림 2와 같이 최대모멘트의 발생위치에 따라 두가지로 분류하여 고려할 수 있다.

1)

최대모멘트 가 기둥의 양단에서 발생하는 경우, 그림 2(b)에서 보는 바와 같이, 양끝 경계에서 발생하며, 이 때 식 (9)에서 각각 x=0과 x=L을 대입하여 가장 큰 값을 구할 수 있다.

(9)

2)

최대모멘트 가 대상기둥 내(

)

에서 발생하 는 경우, 식(8)는 다음과 같이 삼각함수를 합성할 수 있다.

(10)

이때, 최대모멘트 를 가지기 위해서는

이 되어야 하며, 최대모멘트 는 다음과 같다.

(11)

그림 2의 각각의 조건에 따라, 단면상관식 (6)에 대입하고 정리하면, 식 (12)와 같다.

(12)

여기서, 일 때 보-기둥의 단면상관식 (12)는 1과 같 아지며, 이를 이용하여

δ0

를 얻을 수 있다.

(13)

라고 할 때,

η

는 다음과 같이 나타 낼 수 있다.

(14)

여기서,

η⁼

무차원 초기처짐량

=

단면적;

W=

단면계수(section modulus)을 나타낸다. 그림 3(a), (b)은 각국의 설계기준에 제시된 기둥강도곡선과 무차원 초기처짐 량(

η⁾

을 나타내고 있다. 그림에서 보듯이, 각각의 설계기준마 다 내하력의 차이가 발생하고 있음을 알 수 있다.

y₀

( ) δ

x = ₀

⋅ v ( )

^x

gˆ_i

, , ,

kˆi gˆ_j kˆj

EI

v ( )″″ P

^x + _v

( )″

x =0

v ( ) A

^{x =} ₁ sin

β

^{x A+} ₂^cos

β

^{x A+} ₃^{x A+} ₄

β

= ^N_cr

⁄

^EI=

π ⁄

^kL

N N_y --- M^max

M_y ---

+

≤

1

N_y=A f

⋅ M

_y

,

_y=W f

⋅

_y

v ″ x ( ) π

kL---

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

²

– A₁sin

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞ A

₂cos

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞

–

=

M x

( ) EId

²y dx² --- EI

π

kL---

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

² A₁sin

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞ A

– ₂cos

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞

= =

N 1 N N–

⁄

_cr

---

δ

₀ ^A₁^sin

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞ A

₂cos

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⋅ ⋅

+

=

M^max

M^max

M^max N

1 N N–

⁄

_cr

---

δ

₀ Max A₂ | A₁sin

π

L_e

---L A₂cos

π

L_e ---L

,

+

⋅ ⋅

=

M^max 0 x L

< <

M ^max N 1 N N–

⁄

_cr

---

δ

0 A₁²+A₂²sin

π

kL---x⁺

φ

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⋅ ⋅

=

M ^max sin π

xL---x+φ

⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1= M ^max

M ^max N 1 N N–

⁄

_cr

---

⋅ ⋅ δ

0

[

A₁²+A₂²

]

=

N N_u

⁄

f --- N

1 N N–

⁄

_cr

---

δ

0 Max A₁sin

π

kL---x A₂cos

π

kL---x

⋅ ⋅

+

⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1

M_y --- 1

≤

⋅

+

N

→

N_u

δ

0

1 f –

( ) 1 f (

^–

λ

²

)

f

--- W

---A 1

Max A₁sin

π

kL---x A₂cos

π

kL---x +

---

⋅ ⋅

=

f (1 f – ) 1 f( – λ²) f ---W

---A η ^W ---A

⋅

= =

η ⁽

^{1 f –}

^{) 1 f} (

^–

λ

²

)

f ---

=

f₀

( A W)⋅ ⁄ ; λ= N_y⁄ ; AN_c

그림

1.

임의의 경계조건을 갖는 보

-

기둥부재

3.2

취약부재의 결정

3.1

절에서는 좌굴모드의 증폭계수를 산정하는 방법을 기술 하였다. 이때, 구조물을 이루고 있는 모든 부재에 대하여 증 폭계수를 산정하는 것은 많은 시간과 노력이 소요된다. 즉 복잡한 구조물에서의 모든 부재에 대한 초기결함의 크기를 산정하는 것은 비현실적인 문제이기 때문이다. 따라서 본 연 구에서는 구조시스템을 구성하는 개별부재 중 가장 취약한 부재를 선정하고, 탄성좌굴 고유치해석으로 결정된 최소고유 치와 각 부재에 발생한 축압축력을 근거로 선정된 기준부재

(critical member)

에 대한 증폭계수를 산정할 필요가 있다.

본 연구에서의 기준부재 산정은 개별부재들의 최소 좌굴고 유치와 축압축력에 따른 세장비 파라메타 를 비교하여 그 값이 가장 작은 부재를 기준부재로 선정하였다.

먼저, 세장비 파라메타 는 식 (15)와 같이 표현할 수 있다.

(15)

여기서, L

e,i=i

부재에 대한 유효좌굴길이; N

i=i

부재에 대한 축압축력; r

i=i

부재에 대한 회전반경; N

e,i=i

부재에 대한 오 일러 좌굴하중;

ξ=

최소고유치이다.

축압축력을 받는 기둥의 경우, 극한하중에 대한 작용 축압 축력의 비, 가 큰 부재일수록 불안정에 가까워지기

때문에 이는 식(16)과 같이 표현할 수 있다.

(16)

이때, 가 가장 큰 값을 가지는, 즉 최소

를 가지는 부재를 기준부재로 결정한다.

3.3

전체 구조시스템의 초기결함의 크기 결정

3.1

절에서 산정된 무차원 초기결함의 크기

η

를 시스템좌굴 고유치해석을 통해 얻은 좌굴모드에 증폭계수를 이용하여 초 기결함의 크기를 결정한다. 식 (3)에 제시한 초기결함의 산 정식에서 최종적으로 식 (13)을 대입하여 초기결함의 크기를 나타내는 식 (17)을 얻을 수 있다.

(17)

3.4

초기결함을 고려한 좌굴설계

AISC(2005)

의 설계기준에서는 개별부재의 유효좌굴길이 산

정하고, 이를 안정성 검토식에 적용하고 있다. 이때, 개별부 재의 유효좌굴길이의 산정에서 상대적으로 축압축력이 작은 부재에서는 유효좌굴길이가 길게 되어 공칭압축강도(P

n)

에서 λ

λ λ

_i ¹

π

^---

f_{y i,} E_i ---L_{e i,}

r_i --- N_{y i,}

N_{e i,} --- N_{y i,}

ξ

^Ni

---

= = =

N_i

⁄

N_{u i,}

ξN

N_{u i,} --- N_{e i,}

λ

N_{u i,}

( ) λ

---

=

N_{e i,}

( ) N λ ⁄

_{u i,}

( ) λ λ

_i

y₀

( )

x

δ

0

v ( )

^x

(

1 f –

) 1 f (

^–

λ

²

)

f

--- W

---A 1

Max A₁sin

π

kL---x A₂cos

π

kL---x +

---

⋅ ⋅

⋅

=

=

그림

2.

최대모멘트의 발생위치에 따른 분류

그림

3.

기둥강도곡선 및 무차원 초기처짐량

불리한 응력이 산정된다. 이러한 문제점을 개선하기 위해 초 기결함을 고려한 2차 탄성해석에 의한 안정성 평가식을 제 시한다. 이 설계방법은 간단한 단면상관식을 이용하여 결정 할 수 있으며, 식(17)에 의해 결정된 초기결함의 크기를 산 정하고, 시스템좌굴 고유치해석에 의해 산정한 좌굴모드에 적용한 후, 작용하중에 의한 2차 탄성해석을 수행하여 산정 된 단면력을 단면강도식에 적용한 것이다.

(18)

여기서, N*=초기결함을 고려된 구조물의 2차 탄성해석에 의 한 부재 축압축력; M

^*=

초기결함이 고려된 구조물의 2차 탄 성해석에 의한 최대 휨모멘트이다.

식 (18)에서는 식(1) 및 (2)와 비교하여, 개별부재의 유효좌 굴길이가 직접적으로 안정성 평가식에 반영되지는 않으나, 초 기결함의 크기를 산정하는 과정에서 가장 취약한 부재의 유효 좌굴길이를 필요로 하기 때문에, 초기결함의 크기로 좌굴모드 를 증폭시켜 이루어지는 2차 효과로 발생한 축압축력과 모멘 트에는 유효좌굴길이가 간접적으로 고려된다. 따라서 제안된 안정성 평가식을 이용하면 축압축력이 작은 부재에서 발생하 는 유효좌굴길이의 길어지는 현상을 제어함으로써, 합리적인 강뼈대구조물의 설계가 가능할 것이라 판단된다.

4. 수치예제

4.1

단순지지 및 양단고정을 가진 기둥

4.1.1

대상구조물의 탄성해석 및 탄성좌굴 고유치해석 수행

그림 4는 단순지지 및 양단고정을 가진 기둥을 나타내고 있으며, 2차 탄성해석을 수행하기 위한 초기결함의 크기를 계 산하는 과정을 알아보고자 한다. 그림 4에서 단순지지기둥을

①번 부재로, 양단고정을 가진 부재를 ②번 부재로 놓는다.

먼저, 대상구조물의 탄성 및 좌굴해석결과는 표 1에 나타 내었으며, 이때의 좌굴모드는 그림 4와 같다.

4.1.2

기준부재(critical member)의 선정

대상구조물의 모든 부재에 대하여 초기결함의 크기를 산정

할 수 있으나, 복잡한 구조물의 모든 부재에 대해서 일일이 적용한다는 것은 다소 무리가 따른다. 따라서 대상 구조물의 기준부재를 선택하고, 증폭량을 산정한 후 전체 구조물에 적 용하는 것이 효과적이라고 할 수 있다. 먼저, 기준부재의 선 정에서는 개별부재들의 최소 좌굴고유치와 축압축력에 따른 세장비 파라메타 를 비교하여 그 값이 가장 작은 부재를 기준부재(critical member)로 선정하였다. 이는 축력을 받는 기둥에서 부재의 축압축력 N과 극한강도 N

u

의 비율인 가 큰 부재일 수록 가장 취약하다고 판단하였다. 그러 나, 본 구조물의 경우 부재수가 1개이므로, 바로 기준부재로 채택되었다. 먼저 개별부재의 세장비 파라메타 를 산정하 고, 이를 표 1에 나타내었다. 이후 좌굴고유치와 축압축력을 이용하여 K-factor를 산정한다.

4.1.3

무차원의 초기처짐량

η

및 전체 구조시스템의 초기

결함에 대한 증폭량 산정

식 (3)의 초기결함의 크기 이다. 먼저, 대

N^*

N_y --- M^*

M_y ---

+

≤

1

λ

N N

⁄

_u

λ

y₀

( )

x =

δ

0

⋅ v ( )

^x

그림

4.

단순지지 및 양단고정에 의한 기둥의 좌굴모드 및 기둥의 제원

표

1.

작용 축하중에 따른 결과

No. of Column

① ②

L(m) 10.000 20.000

Eigen-value 8.697E+4 8.697E+4

N(kN) -1.000 -1.000

0.383 0.383

K-factor 1.000 0.500

N_u (kN) 12021.167 12021.167

표

2.

좌굴모드에서의 상수값 좌굴모드의 상수값

① ②

A1 1.5265E-04 0.0000E+00

A2 0.0000E+00 -1.0794E−04

A3 0.0000E+00 0.0000E+00

A4 0.0000E+00 1.0794E-04

λ

상구조물의 좌굴모드 v(x)는 다음과 같다.

(19)

그림 4의 단순지지 및 양단고정에 대한 경계조건을 이용 하여 좌굴모드의 상수 를 결정하며, 좌굴모드 는 그림 5에 나타내었다.

기둥 ①과 기둥 ②의 좌굴모드를 구체적으로 나타내면 다 음과 같다.

−

기둥 ①번의 경우 :

(20)

−

기둥 ②번의 경우 :

(21)

4.1.4

초기결함의 크기 결정

초기결함의 크기는 식(13)을 이용하여 결정할 수 있다. 여

기서, 값은 그림 2와 같

이, 최대모멘트의 발생위치가 부재내에서 발생하는 경우와 그렇지 않은 경우로 분류하여 결정하여야 한다.

−

최대모멘트의 발생위치가 기둥의 부재내에서 발생하는 경우

(22)

이때, 식 (22)에서 최대값을 가지기 위해서는 sin 이 되어야 하며, 최종적으로 식 (23)을 얻을 수 있다.

(23)

−

최대모멘트의 발생위치가 기둥의 양끝에서 발생하는 경 우, 양끝 경계에서 발생하며, 이때 식 (21)에서 x=0과

x=Li

을 대입하여 구할 수 있다.

v ( ) A

^x ₁sin

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞ A

₂cos

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞ A

₃x A₄

+ + +

=

A₁

,

A₂

,

A₃

,

A₄

v

_①

( ) 1.5265 10

^{x –4}sin

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞

×

=

v

_②

( )

^x –1.0794

×

10^–4cos

π

kL---x

⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1.0794 10

+

×

^–4

=

Max A

[

₁sin

( π ⁄

^kL

)x A

+ ₂cos

( π ⁄

^kL

)x ]

Max A₁sin

π

kL---x A₂cos

π

kL---x

+ A₁²+A₂²sin

π

kL---x⁺

φ

⎝ ⎠

⎛ ⎞

=

π ⁄

^kL

( )x

⁺

φ ( ) 1

=

δ

₀

⁽

^{1 f –}

^{) 1 f} (

–

λ

²

)

f

--- W ---A 1

A₁²+A₂² ---

⋅ ⋅

=

그림

5.

좌굴모드 v

^(x)

표

3.

대상구조물에 대한 증폭계수

No. of Column

① ②

η

^{0.0547 0.0547}

N_u (kN) 12021.1668 12021.1668

δ

o 78.9529 111.6566

y₀ (m) 0.0121 0.0241

그림

6. 8

층 강뼈대구조물 및 좌굴형상

(24)

4.1.5

좌굴모드에 대한 초기결함의 증폭량

(25)

표 3은 그림 4에 보인 단순지지 및 양단고정에 대한 최 종 증폭량을 나타낸다. 표에서 보듯이, 단순지지 기둥 및 양 단고정 기둥의 증폭비는 앞서 산정했던 좌굴모드의 최대값 에서 78.9529배와 111.6566배가 산정되었으며, 이를 수치적 으로 나타내면 최종 증폭량은 0.0121 m과 0.0242 m이다.

4.2

수직

-

수평하중이 작용하는

8

층 뼈대구조

그림 6은 수평하중과 수직하중이 각 절점에 작용하는 8층 강뼈대구조물을 보이고 있다. 구조물의 지지조건은 힌지이며, 기둥 및 거더의 단면제원은 각각 이고,

모든 부재는 A36(

)

강재를

사용하였다.

대상구조물이 탄성좌굴 고유치해석에 의한 최소 값을 가지는 부재는 9번 기둥이며, 이를 축압축력에 대해 가장 취약한 부재인 기준부재로 결정한다. 다음으로 식(13)과 식

(14)

를 이용해 초기결함의 크기를 결정하는데 사용되는 증폭 계수

δ0

와

η

를 구한다. 본 예제에서는

δ0=35.51

을 얻었으며, 이를 좌굴모드에 적용하고자 할 때, ABAQUS의 *Imper-

fection

옵션을 이용하여 좌굴모드에 35.51배로 증폭시킨 후, 변형된 구조물의 2차 탄성해석을 수행한다. 그림 7는 해석결

과에서 얻은 축압축력과 모멘트로부터 제안식(18)에 의한 안 정성 평가식을 시스템 좌굴해석으로 구한 유효좌굴길이를 적 용한 안정성 평가식(1)과 비교한 것이다.

그림 7는 현행 설계기준과 본 연구에서 제시한 기준식에 대해서 각각 축력 부분과 휨모멘트 부분 그리고 최종적인 안정값을 나타내기 위한 합산식을 표시하였다. 그림에서 보 면, 휨모멘트 부분은 초기결함을 고려한 안정성 평가식이 작 은 경향을 보이며, 축력 부분은 AISC(2005)에서 제시하고 있는 안정성 평가식보다 작은 경향을 보여준다. 그리고, 가 장 취약한 부재 9번 기둥에서 제안한 안정성 평가 결과는 현행 설계기준의 안정성 평가 결과와 유사한 결과를 보여줌 을 확인할 수 있다. 그러나, 축압축력이 상대적으로 작은 부 재 8번과 부재 16번의 상부기둥에서는 표 4에서의 유효좌굴 길이가 다른 부재보다 크게 산정되었기 때문에 AISC(2005) 에 의한 안정성 평가식에서는 축방향력에 의한 영향이 본 연구방법보다 크게 산정되었다. 이 때문에 최종 안정값은 본 연구방법에 의한 안정값보다 큰 값을 나타냄을 알 수 있다.

4.3

층별 단면이 일정하지 않는

4

층 강뼈대구조

그림 8은 4층 강뼈대구조물이며, 단면제원은 표 5에 나타 내었다. 작용하중 이고, 수평하중계수는 0.10, 0.24, 0.50로 변한다. 본 예제에서는 각각의 경우에 대한 초기결함의 크기 를 결정하며, 이를 이용하여 2차 탄성해석을 수행하여 안정 성을 판단한다.

먼저, 수평하중계수 r =0.1일 경우에 대하여 검토한다.

4.3.1

기준부재(critical)의 결정

전체시스템의 탄성좌굴 고유치해석으로 결정된 좌굴고유치와 축압축력으로 모든 기둥부재의 를 결정하고, 이 값이 최소인 δ

0

1 f –

( ) 1 f (

^–

λ

²

)

f

--- W

---A 1

Max A₁sin

π

kL---L_i A₂cos

π

kL---L_i +

---

⋅ ⋅

=

y₀

( ) δ

x ₀

⋅ v ( )

^x

(

1 f –

) 1 f (

^–

λ

²

)

f

--- W

---A 1

Max A₁sin

π

kL---L_i A₂cos

π

kL---L_i +

---

⋅ ⋅

= =

W33 130

× ,

W21 50

×

E=199.948 GPa f

,

_y=248.21 Mpa

λ

λ 표

4.

기준부재

(critical member)

의 결정

기둥번호 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

고유치 18.3689

P(kN) 206.063 264.784 288.242 284.124 257.058 210.219 146.464 69.358 1547.857 1265.996 1019.418 800.406 604.342 428.051 268.676 122.652 1.2729 1.1229 1.0763 1.0840 1.1397 1.2603 1.5099 2.1941 0.4644 0.5136 0.5723 0.6459 0.7433 0.8832 1.1148 1.6499 K 8.4798 10.6866 10.2425 10.3165 7.5922 11.9936 14.3688 20.8803 4.4200 4.8873 5.4464 6.1465 7.0737 8.4050 10.6089 15.7017 λ

그림

7. AISC(2005)

와 제안식의 안정성 평가 결과 비교

부재를 기준부재로 결정한다. 따라서, 부재 5번이 표 7과 같이 가장 취약한 부재로 결정된다. 기둥부재의 저항력에 대한 외력 에 의한 발생 축력비 N/N

u

값이 가장 큰 값을 가질수록 가장 낮은 세장비 파라메타를 가짐을 확인할 수 있다.

4.3.2

초기결함의 크기 결정

탄성좌굴 고유치해석에 의해 결정된 좌굴모드 를 이 용하여 무차원 초기처짐량

η

를 구하고, 실제 구조물의 초기 결함의 크기를 결정하고, 결정된 좌굴모드에 증폭시키면, 초 기결함의 크기를 결정할 수 있다.

4.3.3

초기결함을 고려한 2차 탄성해석에 의한 안정성 평가

산정된 증폭비 89.30배를 좌굴모드를 증폭시켜 초기결함을

고려한 2차 탄성해석을 수행하였다. 그림 9은 초기결함을 고 려한 안정성 평가식 (18)과 현행 설계기준의 안정성 평가식

(1)

을 비교한 결과이다.

축압축력을 기준으로 결정된 기준부재가 부재 5번이었음에 도 불구하고 좌굴안정성 평가결과는 6번과 8번 기둥이 오히 려 불안정함을 보여주었다. 이러한 결과의 원인은 단면적과 단면 2차 모멘트가 큰 5번 기둥의 영향으로 축력 부분과 모멘트 부분이 감소되었기 때문이다. 그림 9에서 보면, 좌측 기둥보다 우측기둥이 불리한 안정값을 나타내며, 표 7에서와 같이, 우측기둥에서는 8층 예제와 동일하게 초기결함을 고려 한 안정성 평가식에서는 모멘트 부분이, 현행설계기준의 안 정성 평가식에서는 축력 부분이 상대적으로 크게 나타나는 경향을 보여준다.

4.3.4

초기결함을 고려한 2차 탄성해석에 의한 극한강도 산정

그림 10과 같이 작용하중의 증분에 따른 발생부재력을 확 인하여 극한강도를 결정한다. 단면강도식과의 교점, 즉 초기 결함을 고려한 안정성 평가식(18)이 1이 되는 순간의 극한하 중을 결정할 수 있다. 이 결과를 비선형 재료모델(EPP,

MLP)

을 이용하여 수행된 비선형 비탄성 해석 결과와 비교 한다. 수평하중이 작용하기 때문에 해석을 위한 별도의 초기 처짐은 고려하지 않는다. 작용하중이 증가할 때 기둥 5번에 비해 기둥 6번이 더 낮은 하중에서 불안정 상태에 도달하게 v ( )

^x

그림

8. 4

층 뼈대구조

표

5.

단면제원

Column Girder

Bottom story (W12×79)

Other stories

(W10×60) W16×40

A 1.49677×10⁴ mm² 1.13548×10⁴ mm² 7.61288×10³ mm² I 2.75545×10⁸ mm² 1.41935×10⁸ mm² 2.156079×10⁸ mm⁴

E 201.5 GPa 201.5 GPa 201.5 GPa

fy 236 MPa 236 MPa 236 MPa

표

6. critical

부재 결정

기둥 번호

1 2 3 4 5 6 7 8

P(kN) 947.85 717.20 485.38 245.80 1052.15 782.80 514.62 254.20

0.583 0.584 0.709 0.997 0.553 0.559 0.689 0.980

K 1.983 1.636 1.989 2.795 1.882 1.566 1.932 2.749

N_u(kN) 2795.43 2119.57 1935.85 1516.02 2852.50 2156.06 1965.71 1540.29

N/N_u 0.339 0.338 0.251 0.162 0.369 0.363 0.262 0.165

λ

그림

9. r=0.1

일때 안정성 평가

표

7.

좌측기둥과 우측기둥의 축력

,

모멘트 비교

축력 모멘트

좌측기둥 우측기둥 좌측기둥 우측기둥

-245.990 -253.980 207.530 246.670 -486.330 -513.490 -103.720 149.960 -720.200 -779.450 79.930 181.490 -954.290 -1045.670 123.460 169.600

된다. 그러나, 그림 9에서 보듯이 모멘트 부분의 증가로 인 하여 최종적으로 기둥 8번에서 전체 구조물의 강도를 지배 하는 경향을 보인다.

4.3.5

수평하중의 증가에 따른 변화

수평하중계수가 r=0.24, 0.5인 경우에 대한 변화를 알아본 다. r=0.24일 경우에도 최소 에 의해 결정된 기준부재는

5

번 기둥이며, 탄성좌굴 고유치해석에 의한 5번 기둥에 근거 하여 결정된 증폭계수는 표 8과 같이 수평하중계수가 커짐 에 따라 증가하는 결과를 보여준다.

결정된 증폭계수로 좌굴모드를 증폭시켜 2차 탄성해석을 수행하여 안정성 평가를 수행하였으며, 결과는 그림 11에 나 타내었다.

초기결함이 고려된 2차 탄성해석에 의해 결정된 부재력 을 근거로 단면강도식의 한계상태, 즉 1이 되는 순간의 극 한하중을 확인할 수 있다. 부재력은 가장 불안정한 부재, 즉 전체 구조물의 강도에 지배적인 부재를 근거로 산정한 다. 해석결과, 6번 부재가 가장 불안정한 부재임을 알 수 있었다. 이는 일정한 수직하중하에서 수평하중 증가계수의 변화에 따른 수평력의 변화가 초기결함의 증가량을 변화시 켜 수평하중 증가계수가 클수록 모멘트항의 영향이 커지기 때문이다.

5. 결 론

강뼈대구조물을 설계하기 위해서는 개별부재의 안정성 검 토를 위한 유효좌굴길이를 정확하게 산정하는 것이 중요한 과제이다. 그러나, 유효좌굴길이의 산정에 있어 alignment

chart

법은 많은 가정과 적용에 있어 제약이 있고, 탄성좌굴

고유치해석법은 압축력이 작은 부재에서 유효좌굴길이가 상 대적으로 크게 산정되는 문제점을 가지고 있다. 본 연구에서 는 구조물의 좌굴모드를 이용하고, 좌굴모드의 증폭계수를 고려한 2차 탄성해석법을 적용하여 안정성을 검토하였다. 이 때 좌굴모드의 증폭계수는 잔류응력과 초기처짐 등이 고려 된 AISC(2005)의 기준강도곡선(Standard strength curve)을 이용하여 초기결함의 크기를 산정하였으며, 이를 구조물의 2 차 탄성해석을 적용하여 강뼈대구조물의 안정성을 평가하였 다. 본 연구에 의한 결론은 다음과 같다.

1.

압축과 휨모멘트를 동시에 받는 보-기둥부재의 안정성을 평가하는 방법으로, 본 연구에서는 구조물의 탄성시스템 좌굴모드를 이용하여 초기결함의 크기를 산정하여 변형된 구조물에 대해 2차 탄성해석을 수행하였다.

2.

강뼈대구조물의 탄성시스템 좌굴모드를 산정하고, 좌굴모 드의 증폭량을 산정하기 위해 AISC(2005) 설계기준의 기 준강도곡선을 고려하여 초기결함의 크기를 결정할 수 있 는 개선된 안정성 평가식을 제시하였다.

3.

결정된 초기결함은 2차 탄성해석법에 의해 결정되는 단면 상관식에 적용하였으며, 현행 설계기준의 안정성 평가식과 비교하였다. 이때, 현행 설계기준의 유효좌굴길이의 산정 에서 탄성좌굴해석법의 경우, 구조물에서 상대적으로 작은 압축력을 얻는 부재에서는 긴 유효좌굴길이가 산정되며, λ

그림

10.

초기결함을 고려한 안정성 평가식을 이용한 극한강도

표

8.

수평하중의 크기

(r)

에 따른 증폭계수의 변화

r 0.1 0.24 0.5

MAF 89.30 91.22 94.75

그림

11. r=0.24, 0.5

일때 안정성 평가

그림

12. r

값에 따른

2

차 탄성해석 결과

이는 설계기준의 안정성 평가식에서 축력 부분이 불합리 하게 커지는 경향을 보인다. 이러한 문제는 초기결함을 고 려한 2차 탄성해석법을 적용하는 경우, 쉽게 해결할 수 있으며, 뼈대구조물의 합리적인 안정성설계가 가능할 것이 라 판단된다.

감사의 글

이 연구는 서울대학교 교량설계핵심기술연구단을 통하여 지원된 건설교통부 건설핵심기술연구개발사업에 의하여 수행 되었으며, 연구 지원에 대하여 깊은 감사를 드립니다.

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(

접수일: 2008.1.18/심사일: 2008.2.21/심사완료일: 2008.4.8)