Lenz Faraday Induction Law Electromotive force 30.1 Faraday Induction Law Magnetic flux: Closed loop 제 30 장 . 유도용량 ( Inductance )

제 30 장. 유도용량(Inductance)

도선 고리의 내부 면적을 지나는 자기장 다발(자기 선속)의 양이 시간에 따라 변하면 그 고리에는 기전력이 생기고 이에 따라 유도전류가 흐른다. 이것을 정의하기 위하여 폐 고리(

Closed loop

^)의

열린 면적을 지나가는 자기다발을 다음과 같이 수학적으로 정의한다.

면적

A

를 지나가는 자기다발: _B

A

B d a

   

^(30.1)

B

와 면적

d a

가 모든 지점에서 평행할 때, 즉 사이 각

  0

인 경우의 자기다발: _B

A

B d a AB

    

^(30.2)

면적벡터

d a

의 방향: 고리를 정면으로 바라 본 상태에서 오른손의 손가락들을 고리의 반 시계방 향으로 감아 쥐고 엄지를 세웠을 때 엄지가 향하는 방향이다.

자기다발(

Magnetic flux:

자기선속)의 단위:

[T m 

²

 Wb : Weber]

(30.3)

30.1 Faraday Induction Law

폐 고리 위의 면적을 지나가며 시간에 따라 변하는 자기다발은 그 고리에 기전력(

Electromotive force

)을 발생시킨다. 이 말을 수식으로 표현하면

Faraday Induction Law

:

d

^B

   dt ^

^(30.4)

(30.4)에 (30.1)의 자기다발식을 대입하면, 한 전류고리에 생긴 기전력:

A

d B d a

   dt  

^(30.5)

고리를 촘촘히

N

번 감은 고리의 기전력: ^B

A

d d

N N B d a

dt dt

   ^    

^(30.6)

Lenz

법칙에 의한 부호의 이해

기전력이 음인 이유는 자기다발의 변화를 반대하는 방향으로 생기기 때문이다.

즉 회로의 유도전류는 변화를 반대하는 방향으로 흐른다. 어느 면을 통해 자기 다발이 증가하면 그 증가를 못하게 하는 방향으로 전류가 만들어 지고, 감소하 면 감소하지 못하게 하는 방향으로 전류가 흐른다. 그 예로 그림처럼 앞이

N

극 인 자석을 고리에 밀어 넣으면 반 시계방향으로 전류가 만들어 지며, 이 전류가 자석이 들어오지 못하도록 회로 앞을

N

극으로 만든다. 즉 고리에 유도전류가 반 시계방향으로 흘러 그림과 같은 자기 쌍극자를 만들고, 들어오는 막대자석의

N

극을 밀어내게 한다. 만일

N

극이 고리로부터 멀어지면(고리를 지나는

B

다 발이 감소하면) 전류가 시계방향으로 흘러



가 아래로 향하는 쌍극자(위가

S

극)를 만들어 멀어지는

N

극을 붙들려고 한다.

변화를 반대한다는 것은 바로 에너지 보존법칙을 위배하지 않는다는 것을 의미한다. 즉 고리에 전

류를 만들려면 밖에서 그에 해당하는 일을 해야만 한다는 것을 뜻한다. 다음 그림은 전류고리의 면에

B

의 증감 방향에 따른 유도전류와 그에 의한 유도자기장

B

i n d의 방향을 보여준다.

보기문제 30.1 그림은 긴 솔레노이드

S

와 중심에 놓인 줄고 리

C

의 단면이다. 솔레노이드

S

^{는 지름}

D  3.2cm

^{이며 단}

위길이당 도선의 감긴 수는

n  220 / cm

^{이고, 전류는}

1.5A

i 

가 흐른다. 그리고 솔레노이드 중심축에는 촘촘하게

130

N 

^{회 감은 지름}

d  2.1cm

^{의 줄고리}

C

가 들어 있다.

솔레노이드에 흐르는 전류는

25 ms

동안 일정한 비율로 감소하여

0

이 된다. 솔레노이드의 전류 가 변하는 동안 줄고리

C

에 유도되는 기전력의 크기를 구하여라.

(풀이) 솔레노이드

S

의 자기장 세기:

B  

_o

in

줄고리

C

의 단면적:

2

( )

2

2 4

d d

A    

줄고리

C

의 단면적을 지나가는 자기다발:

 

_B

NAB  NA ni 

_o

Faraday Induction Law

^{: B}

NA

_o

n ⁱ

t t

   ^    ^

 

기전력의 크기:

2 2

7 2

3

(2.1 10 m) 1.5 A

(130) (4 10 T m / A)(220 /10 m)

4 25 10 s

   ^

^

 

^



^ _

 7.5 10 V

2

  

^

보기문제 30.2 우측 그림은 반지름

r  0.20 m

^{의 반원과}

세 직선 선분으로 이루어진 도체 전류고리이다. 반원은 균 일한 자기장

B

속에 놓여 있다. 자기장은 지면에서 나오 는 방향이고, 크기는

B  4.0 t

²

 2.0 t  3.0

^{이며 단위는}

테슬라,

t

의 단위는

s

이다. 이 고리에는



_{ba t}

 2.0 V

^의

전지가 연결되어 있고, 고리의 저항은

R  2.0 

^이다.

(a)

t  10s

^{일 때 자기장}

B

에 의해 전류고리에 유도되는



_{i n d}의 크기와 방향을 각각 구하여라.

(b)

t  10s

일 때 고리에 흐르는 전류를 구하여라.

(풀이) 아래 계산에서 생략된 단위는 SI 단위이다.

(a) _{i nd}

d

_B

d BA ( ) dB

dt dt A dt

  ^  

2 2 2

i nd

(4.0 2.0 3.0) (8.0 2.0)

2 2

r d r

t t t

dt

 

     

2

i nd

(0.20 m)

[8.0(10) 2.0] 5.152 V 2

    

지면으로 나오는 방향으로 자기장이 증가하므로 이것을 줄이려는 방향 즉 시계방향으로 전류고리 에 유도전류가 형성된다.

(b)

i

^{n et i nd bat}

R R

   

 

5.152 V 2.0 V

1.58 A

i  2.0  



보기문제 30.3 우측 그림은 시간에 따라 변하는 불균일한 자기장

B

안에 놓인 직사각형 전류고리이다. 자기장은 지면으로 들어가 는 방향이며 크기는

B  4 t x

^{2 2}이다. 전류고리의 폭은

W  3.0 m

이고, 높이는

H  2.0 m

^이다.

t  0.10s

에서 전류고리에 생기는 유도기전력



의 크기와 방향을 각각 구하여라.

(풀이) ^{2 3.0 2}

4

0

B A

B d a BHdx t H x dx

       

3

2 3.0 2 2

0

4 [ ] 4 (2.0) (27 0) 1 72

3 3

B

t H x t t

    

2

V

(72 ) (144 ) s d

B

d

t t

dt dt

  ^  

0.10s

t 

^{일 때:}

  (144 V / s)(0.10s) 14.4 V 

지면을 통과하는 자기다발은 지면 속으로 증가하므로 유도전류는 이것을 증가하지 못하도록 하는 방향으로 흘러야 한다. 그러려면 오른손 법칙에 의해 지면으로 나오는 방향의 자기다발이 형성되 는 방향으로 전류가 흘러야 한다. 즉 반 시계방향이어야 한다. 형성되는 기전력의 방향은 전류가 흐르는 방향과 같으므로 반 시계방향이다.

30.2 유도와 에너지 전달

너비가

L

인 직사각형 전류고리의 한쪽 끝을

 x

방향으로 잡아 당기면 고리는

 x

^{방향의 힘}

F

1이 작용하도록 고리에 전류가 흐 른다. 잡아당기기 전의 에너지는

0

이기 때문에 이것을 보존하기 위하여 우측으로 일한 에너지와 좌측의 고리가 일한 에너지의 합 이

0

이 되어야 하며, 따라서 손이 당기는 우측 힘은 고리의 좌측 힘

F

1과 같아야 한다. 우측을

x

^,

F

2^방향을

y

, 지면으로 나오 는 방향을

z

축으로 하면 그림에서

1

( i) ( j) ( k)

F   iL   B

^(30.7)

즉 좌측

F

1이 있는

L

에서 전류는 위(

j

)를 향하여야 하므로 전류는 시계방향으로 흐른다.

유도전류의 정량적 분석: 자기장

B

에 놓인 전류 고리를 우측으로 잡아당기면 고리의 면적을 통해 지나가는 자기다발의 변화가 일어난다. 고리의 저항을

R

이라 하고 유도전류를 계산한다.

자기장 안에 있는 고리의 넓이:

Lx

Lx

면적을 통과하는 자기다발:

 

_B

BL x

(30.8) 유도 기전력의 크기:

d

^B

dx

BL BL v BL v

dt dt

  ^     

^(30.9)

Ohm's Law   iR

^{을 이용하면}

iR BL v i BL v

   R

^(30.10)

고리의 각 부분은

F   iL B

에 의한 힘을 받으며

F

₂와

F

₃는 그 크기가 같고 방향이 반대이므 로 상쇄된다.

F

₁은 우측으로 잡아당기는 힘과 크기가 같다.

2 2

1

B L v F iL B

  R

^(30.11)

잡아 당기는 일률:

2 2 2

1

B L v P F v

  R

(30.12)

MRI 주사 중 일어날 수 있는 화상: MRI 주사 중인 환자는 두 종류의 자기장, 즉 크기가 일정하고 센 자기장

B

co m^{과 그림과}

같이 사인모양으로 변하는 자기장

B t ( )

가 수직으로 걸린다. 어 린이 환자는 오랫동안 움직이지 않고 누워 있는 것이 불가능하 여 마취제로 진정시키는 데 이때 혈액 속의 산소농도를 측정하

는 맥박 산소농도계를 이용하여 환자를 관측한다. 이 기구는 환자의 손가락에 붙이는 탐침과 외부 모니터로 연결하는 전선으로 이루어진다. 이 전선이 팔에 닿으면 팔과 전선이 닫힌 전류고리를 형 성하고 이때 전선의 절연재와 피부 모두가 매우 큰 전기저항을 갖는다고 해도 유도 기전력이 매 우 커서 아이의 팔에 흐르는 유도전류로 인해 큰 화상을 입는다.

소용돌이 전류: 유도 용광로는 우측 그림처럼 금속을 담는 도가니를 절연도 선으로 감싸고 있다. 도선에 교류가 흐르면 자기장의 방향이 연속적으로 변 한다. 이와 같이 변하는 자기장

B t ( )

가 금속 안에 소용돌이 전류를 만들어 서

P  i R

² 에 따라 열에너지로 전환된다. 이러한 열에너지 소모로 금속의 녹는점까지 상승하여 금속이 녹는다.

보기문제 30.4 길이

L  0.13m

, 저항

R  6.2 

의 코일을

N  85

번 감아 만들었다. 자기장

1.5T

B 

속에서 이 전류 고리를 당기는 속도는

v  0.18m / s

이다. 코일에 나타난 다음의 값들을 구하여라. (a) 유도기전력의 크기 (b) 유도 전류 (c) 잡아 단기는 데 드는 힘 (d) 일률

(풀이) (a) 유도 기전력:

  NBLv  (85)(1.5T)(0.13m)(0.18m / s)  2.98V

(b) 유도전류:

2.98 V

0.48 A i 6.2

R

   



(c) 잡아당기는 데 드는 힘:

F  N iLB  (85)(0.48A)(0.13m)(1.5T)  8.0N

(d) 일률:

P  Fv  (8.0N)(0.18m) 1.4 W  30.3 유도전기장 ( Induced Electric field ⁾

기전력은 전기장에 거리 곱으로 다음과 같이 표현된다.

C

E d s

   

^(30.13)

Faraday Induction Law

의 재 해석

B

A C

d d

B d a E d s

dt ^  dt         

^(30.14)

면을 통해 지나가는 자기장이 그림처럼 아래로 증가한다고 가정하자.

이 경우 그림(a)의 반 시계방향의 전류고리 대신 그림 (b)처럼 도체 내의 전기장 고리(Contour)로 생각할 수 있고, 이로부터 중심으로부터 거리

r

되는 곳에서의 전기장을 구할 수 있다. 즉 변하는 자기장은 전 기장을 만든다.

폐 고리에서의 전기 포텐셜: 전기 포텐셜은 전하에 의해 만들어진 전기장에서만 의미가 있고, 유 도 전기장에서는 아무런 의미가 없다. 이것을 포텐셜 정의로부터 확인해 보면

f

0

i f

f i i

o

V V W E d s

  q     

^(30.15)

유도 전기장에서 초기

i

점과 종점

f

는 동일점이다.

보기문제 30.5 반경

R  8.5cm

내부(위 그림 참조)에서 자기장이

dB dt /  0.13 T / s

^{로 변할 때,}

(a)

r  5.2cm

인 곳에서 유도 전기장의 크기는 얼마인가?

(b)

r  12.5cm

인 곳에서 유도 전기장은 얼마인가?

(c) 거리에 따른 전기장의 세기를 그려라.

(풀이) 크기를 구하는 문제이므로 다음의 계산에서 음의 부호는 생략된다.

(a)

(2 ) (

²

)

C A

d B dB

E d s d a E r r

dt  dt 

    

 

2

5 . 2 1 0 m

3

( 0 . 1 3 T / s ) 3 . 4 1 0 V / m

2 2

E r dB dt

 

     

(b)

r  R

이므로

 

_B

 R B

²

B C

E d s d dt

  



2

(2 )

2

2

dB R dB

E r R E

dt r dt

    

2 2

3 2

(8.5 10 m)

(0.13T / s) 3.8 10 V / m 2(12.5 10 m)

E

 



    



(c) 거리에 따른 전기장의 세기는 우측 그림과 같다.

30.4 유도용량( Inductance ) 및 자체유도

축전기(

Capacitor

)의 양단에 축적된 전하가 내부 전기장을 형성하듯, 유도기(

Inductor

)의 감겨진 도선을 흐르는 전류는 그 내부에 자기장을 만든다.

유도용량의 정의: 단위전류당의 전체 자기다발로 다음과 같이 표시한다.

N

B

L i

 

^(30.16)

유도용량의 단위:

[Wb / A  H (Henry)]

^또는

[T m / A 

²

 H (Henry)]

※ 진공 속의 투자율



_o

 4   10 T m / A

^7

  4   10 H / m

⁷

※ 자기의 유도용량은 축전기의 축전용량

C  q V /

과 대응되는 것이다.

(i)

솔레노이드의 유도용량

단면적

A

^{, 길이}

l

인 솔레노이드의 총 자기다발

( ) ( )

2

B o o

N   NAB  nl A  in   in lA

^(30.17)

유도용량(

Inductance

^):

L ^N

^B _o

n lA

²

i 

  

^(30.18)

단위 길이 당 유도용량:

L

_o ²

l   n A

(30.19)

(ii)

단면적이 직사각형인 토로이드(

Toroid

)의 유도용량

da  hdr

^,

2

o

iN

B r



 

[ln ]

2 2

b b

o o

B A a a

iNh dr iNh

B d a r

r

 

 

      

2 ln

o B

iNh b a



  

2

2 ln

o

B

N h

N b

L i a





  

(30.20)

자체유도(Self-Inductance)

전류가 변하는 모든 전류고리에 유도기전력



_L이 생기며 이것을 자체유도 기전력이라 한다.

유도기에서의 자기다발과 전류관계식:

N  

_B

L i

^(30.21)

(

_B

)

L

d N di

dt L dt

   ^  

^(30.22)

유도기(코일, 솔레노이드 또는 토로이드)의 전류가 시간에 따라 변하면 그 변하는 율에 비례하여 자체유도 기전력이 유도기에서 발생하며, 여기서 음 의 부호는 자체유도 기전력



^{가 전류}

i

의 변화를 방해하는 방향으로 생긴 다는 것을 의미한다. 만일 전류가 코일의 위에서 아래로 증가하면



_L은 아 래에서 위로 향하는 코일을 따라 퍼텐셜 차가 만들어지며, 전류가 감소하면 역방향으로



_L이 만들어 진다.

30.5 RL ^회로

RC

회로에서 충전과 방전은 27.5 에서 공부한 아래 수식에 의해 일어난다.

충전:

q  q

_o

(1  e

^t/C

)

(30.23)

방전:

q  q e

_o ^t/C (30.24)

시간상수(

Time constant

^또는

Relaxation time

^):



_C

 RC

^(30.25)

이와 유사한 관계식이

RL

회로에서도 얻어진다.

(i)

충전과정

(Charging)

그림에서 스위치를

a

에 연결하면 시계방향으로 전류가 증가하고 코일 에 역 기전력이 발생한다. 이때

Voltage law

를 적용하여 방정식을 세 우고 이것을 시간으로 미분하여 미분방정식을 만든다.

di 0 iR L

   dt 

(30.26)

2 2

2

0

2

0

d di d i d i R di

R L

dt dt dt dt L dt

      

^(30.27)

여기서 전지는 짧은 시간 동안에 변화가 없기 때문에

d  / dt  0

^.

i  Ke

rt를 (30.27)의 해라하고 지수

r

^{과 상수}

K

^{를 찾는다.}

di

r t

dt  Kre

^,

d i

²₂ ^{2 r t}

dt  Kr e

이들을 (30.27)에 대입하면

2

2

( )

^rt

0 0 ,

d i R di R R

Kr r e r r

dt  L dt   L      L

(30.28)

일반 해(

General solution

^): _{1 2}

Rt

i  K  K e

^L ^(30.29)

여기서

K

₁과

K

₂는 경계조건(

Boundary condition

)에서 결정되는 상수이다.

(a)

t  0

^에서는

i  0

^이므로

1 2

0  K  K

^(30.30)

(b)

t  

에서는 일정한 전류(

Constant current

)가 흐르므로

i  i

_o이다. (30.25)에서

1 o

K  i

^(30.31)

또한 이 상태에서 회로는 저항에 의한 영향밖에 없으므로 전류는

o

/

i   R

(30.32)

(30.31)을 (30.30)에 대입하면

2 o

K   i

(30.33)

그 결과 일반 해는

(1 )

o

Rt

i  i  e

^L ^(30.34)

여기서

L R /

은 유도기에 의한

Relaxation time

이라 하며



_L

 L R /

^{로 정의된다.}

만일

t  L R /

^이라면

(1

1

) 0.63

o o

i  i  e

^

 i

^(30.35)

저항에 걸리는 전압: _{R o}

(1 ) (1 )

R R

t t

L L

V  iR  i R  e

^

   e

^ (30.36) 유도기에 걸리는 전압: _{L o}

Rt Rt

L L

V L di i R e e

dt

^



^

  

^(30.37)

아래 그림은 (a)는 저항기에 걸리는 시간에 대한 포텐셜 차의 변화이고, 그림 (b)는 유도기에 걸 리는 퍼텐셜 차의 시간에 대한 그래프이다. 시간 좌표는 시간상수



_L

 L R /

단위로 표시한 시간 간격이며 여기서

R  2 kΩ

^,

L  4.0 H

^,

  10 V

^{일 때이다}

(ii)

방전과정

(Discharging)

처음 그림에서 스위치를 b에 연결하면 우측 그림과 같이 방전이 일어 난다. 이 때의 미분방정식은 다음과 같다.

0 0

di di R

iR L i

dt dt L

    

(30.38)

d i R

i   L dt

^(30.39)

양변을 적분하면

ln R '

i t C

  L 

1 '

t Rt

C RC L

i  e e

^

 i e

o ^ (30.40)

여기서

C '

은 적분상수이다.

보기문제 30.6 우측 그림은 저항 값

R  9.0 

으로 동일한 세 개의 저 항기와 용량

L  2.0 mH

로 동일한 두 개의 유도기, 기전력

  18V

인 이상적인 전지로 구성된 회로이다. (a) 여닫개가 닫힌 즉시 전지를 통해 흐르는 전류

i

는 얼마인가? (b) 여닫개를 닫고 오랜 시간이 흐른 후 전지를 통해 흐르는 전류

i

^{는 얼마인가?}

(풀이) (a) 여닫개가 닫힌 즉시 유도기에는 무한대의 저항이 걸린다. 즉 우 측 그림처럼 유도기 부분이 단절된 것처럼 회로는 반응한다. 따라서 여닫 개가 닫히는 순간은 전류가 중앙에 있는

R

을 통해서 흐른다.

18 V 2.0 A

t o

9.0

i R



 

  



(b) 여닫개를 닫고 오랜 시간이 지나면 유도기는 단지 코일 을 감아 놓은 것에 불과하므로 그 저항들은

0

으로 간주한 다. 따라서 회로는 단순한 저항들로 연결된 우측 그림의 (a) 와 같고 이들의 등가회로는 그림(b)와 같다.

18 V 18 V

6.0 A / 3 3.0

t

eq

i R R





   



30.6 자기장에 저장된 에너지

우측 그림과 같이 연결된 회로에서 전압법칙을 적용하고 양변에

i

를 곱하면 회로의 일률(Power)이 된다. 즉 전지에서 공급된 일률은 회로 에서 소모된 일률과 같다.

회로의 전압법칙:

di

iR L

   dt

(30.41)

일률: ²

di

i i R Li

   dt

^(30.42)

전지에서 회로에 공급되는 일률:

 i

^(30.43)

저항에서의 열에너지 발생률:

P

_R

 i R

^{2 (30.44)}

유도기에 저장되는 에너지 축적률: _L

di dU

^L

P Li

dt dt

 

(30.45)

L

L

dU di

Li dU Lidi

dt  dt  

^(30.46)

유도기에 축적된 자기에너지:

1

²

L L

2

U  L idi   U  Li

^(30.47)

※ 축전기에 축적된 전기에너지:

2

C

2 U q

 C

자기장의 에너지 밀도

단면적이

A

^{, 길이}

l

인 솔레노이드의 에너지 밀도

2

1 1

2

( ) ( )

2 2

L B

U L i

u Li

Al Al l A

  

(30.19)에서

L l /  

_o

n A

² 와 (29.34)의

B  

_o

ni

를 이용하도록 한다.

2 2

2

1

2 2

( )( ) ( )( )

2 2 2

B o B o

L i i

u n A u n i

l A  A 

   

^(30.48)

2

B

2

o

u B

 

^(30.49)

※

Capacitor

의 에너지 밀도:

2

2

o C

u  E



보기문제 30.7 유도용량은

L  53mH

^{, 저항은}

R  0.37 

인 전류고리가 있다. (a) 이것에 전지 를 연결하면 언제 평형전류의 반에 해당하는 전류가 흐르게 될까? (b)

  12 V

의 기전력을 전류 고리에 연결할 때 전류가 평형 값에 도달한 후 자기장으로 축적된 에너지는 얼마인가? (c) 시간 상수의 몇 배가 지난 후에 저장된 에너지가 평형상태 값의 반이 되겠는가?

(풀이) (a)

i t ( )  i

_o

[1  e

^{( / )R L t}

]

( / ) ( / )

/ 2 [1 ] 1/ 2

o o

R L t R L t

i  i  e

^

 e

^



ln 2 ln 2

R L

t t

L    R

53 10 H

3

(0.69) 0.10s t 0.37





 



(b)

i

_o

, R

 

2

( )

2

2 2

o B

Li L

U R

  

3

(53 10 H) 12 V

2

( ) 31J

2 0.37

U

B





 



(c)

2

2

1 1

( )

2 2 2 2

o

o

Li

Li    i i

( / )

( )

_o

[1

^{R L t}

]

i t  i  e

^ 에

i

를 대입하면

( / )

1 [1 ]

2

^{o o}

R L t

i  i  e

^

( / ) /

1 1

1 / ln(1 )

2

^L

2

t L R L t

e t

e

^



^{ }

      

, ( _L

L

  R

)

/

_L

1.23 t  

보기문제 30.8

L  3.56 H

,

R  12.8 

을 직렬로 연결하고 전지로

  3.24 V

를 공급할 때 (a)

0.278s

동안 전지가 전달한 에너지 전달률(Power)은 얼마인가? (b) 저항

R

에서 소모된 에너지율

P

R은 얼마인가? (c) 유도기의 에너지 축적률

P

_L의 값은 얼마인가?

(풀이) (a)

2

( / ) ( / )

[1 ] [1 ]

o

R L t R L t

P i i

e  R e

 

^{ }

    

^,

( i

_o

)

R

 

(3.24V)

2

12.8

[1 exp( (0.278s)] 0.5184 W

12.8 3.56H

P     



(b)

2

2 2 ( / ) 2 ( / ) 2

[1 ] [1 ]

R o

R L t R L t

P i R Ri

e

_

 R e

_

    

2

(3.24V) 12.8

2

[1 exp{ (0.278s)}] 0.33 W

12.8 3.56 H

P

R

    



(c) _L

di

_o

[1

^{( / )R L t}

]( ) R

^{( / )R L t} _o ^{( / )R L t}

[1

^{( / )R L t}

]

P Li Li i R

dt e

^

L e

^

e

^

e

^

    

( / ) ( / )

[1 ] 0.19 W

L

R L t R L t

P   e

^

 e

^



보기문제 30.9 그림의 긴 동축 케이블(

Coaxial cable

)은 각각 반지름이

a b ,

인 두 개의 얇은 도체 원통이 중심으로 구성되어 있다. 안쪽 원통은 전류

i

를 내보내고, 바깥 원통으로 같은 전 류가 들어온다. 이때 두 원통 사이에 자기장이 형성된다.

(a) 길이

L

의 동축 케이블에 저장된 자기에너지를 구하여라.

(b)

a  1.2 mm, b  3.5mm, i  2.7A

일 때 단위길이당 저장 된 에너지는 얼마인가?

(풀이) (a) 길이

L

의

dr

띠 부피:

dV  2  rLdr

자기장:

2

o

i

B r



 

, 에너지 밀도:

2

B

2

o

u B

 

띠 내의 에너지:

2 2

1

2

( ) (2 )

2 2 2 4

o o

B B

o o

i i l

B dr

dU u dV dV rldr

r r

  

   

   

2 2 2

[ln ] ln

4 4 4

b b

o o o

B a a

i l dr i l i l b

U r

r a

  

  

   

(b)

2 7 2

(4 10 H / m)(2.7 A) 3.5

7

ln ln 7.8 10 J / m

4 4 1.2

o

B

i

U b

l a

 

 

 

    

보기문제 30.10 한 변이

10 cm

인 정육면체에 (a)

100 kV / m

의 전기장을 만들기 위해 필요한 에 너지는 얼마인가? (b)

1.0 T

의 자기장을 만드는 데 필요한 에너지는 얼마인가?

(풀이) (a) 정육면체부피를

V

^{라 하면}

2 5 2 1 3 5

1 1

( )(1 10 V / m) (1 10 m) 4.4 10 J

2 2

E E o

U  u V   E V   

^

 

^

(b)

2 2

1 3

7

(1.0 T)

(1 10 m) 389 J 2 2(4 10 H / m )

B B

o

U u V B V

 



  



 



30.7 상호유도( Mutual Inductance ⁾

상호유도: 두 코일이 서로 가까이 있을 때

1

차 코일에 흐르는 전류

i

₁은

2

차 코일에 자기다발을 만들며 이때 전류

i

₁을 변화 시키면

2

차 코일에 기전력이 나타난다. 이것을 상호유도라 한다.

1차 코일에 의한 2차 코일의 상호유도 중심축이 같은 두 전류코일(고리)에서 코일

1

^{에 가변저항}

R

로 일정한 전류

i

1을 흐르게 하면(그림 a), 코일

1

^{이 코}

일

2

에 만드는 자기다발은

N

₂₁

코일

1

에 대한 코일

2

의 상호유도 용 량: ₂₁ ^{2 21} _{21 1 2 21}

1

M N M i N

i

    

전류

i

₁을 시간에 따라 변하게 하면(예 로 전지 대신 교류를 공급하면)

2

^{차 코}

일에 생기는 기전력은 다음과 같다.

Faraday induction law

에 의한 기전력: _{2 21}

di

¹

M dt

  

^(30.50)

코일

1

과

2

의 역할을 바꾸어 보면(그림 b)

Faraday induction law

에 의한 기전력: _{1 12}

di

²

M dt

  

(30.51)

상호유도

inductance

^:

M  M

₂₁

 M

₁₂ ^(30.52)

1 2

M di

   dt

, ₁

di

²

M dt

  

(30.53)

보기문제 30.11 그림처럼 원형으로 감겨 있는 줄 고리 두 개가 있다. 반지름은

R

₂^{, 감은 수는}

N

₂인 작은 것과 반 지름은

R

₁^{, 감은 수는}

N

₁인 큰 것은 중심이 같으며 공통 의 평면 위에 잇다. (a) 이러한 배열에서 두 줄 고리의 상 호유도 용량

M

을 구하여라. 이때

R

₁

R

₂^이다.

(b)

N

₁

 N

₂

 1200

^,

R

₂

 1.1cm

^{일 때}

M

^{은 얼마인가?}

(풀이) (a)

 

₂₁

B A

_{1 2}, _{1 1} ¹

2

1 o

i

B N

R

 

을 다음에 대입.

2

1 2 2

2 21 2 2

1

1 1 1

( )

2

o

N N R

N N A

M B

i i R

 

   

(b)

7 2 2

(4 10 H / m)(1200) (0.011m)

3

2.29 10 H 2(0.15 m)

M   

^ _

  