Analysis of the applicability of parameter estimation methods for a stochastic rainfall generation model

2017, 28

6)

1447–1456

강우모의모형의 모수 추정 최적화 기법의 적합성 분석 ^†

ᄌ

ᅩ현곤

¹

²

³

13경북대학교 건설환경에너지공학부 ·²경북대학교 통계학과

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 10ᄋ ᅯ ᆯ 30ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 11ᄋ ᅯ ᆯ 16ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 11ᄋ ᅯ ᆯ 21ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄀ

ᅡ ᆼᄋ ᅮᄒ ᅧ ᆫᄉ ᅡ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅮᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄒ ᅪᄒ ᅡ ᆫ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄌ ᅥ ᆨ ᄀ ᅡ ᆼᄋ ᅮᄆ ᅩᄋ ᅴᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅴ ᄒ ᅪ ᆯᄋ ᅭ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄋ ᅵ ᄌ ᅳ ᆼ ᄃ ᅢᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄌ ᅥ ᆨ ᄀ

ᅡ ᆼᄋ ᅮᄆ ᅩᄋ ᅴᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ ᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅪ ᆨ ᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅳ ᆫ ᄆ ᅢᄋ ᅮ ᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅭᄒ ᅡᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄌ ᅥ ᆨ ᄀ ᅡ ᆼᄋ ᅮᄆ ᅩᄋ ᅴᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ (Neyman-Scott rectangular pulse model, NSRPM)ᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅳ ᆯ DFP (Davidon-Fletcher-Powell), GA (genetic algorithm), Nelder-Mead, DE (differential evolution) ᄀ ᅵᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄆ ᅩ ᄉ

ᅮᄋ ᅴ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄉ ᅥ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄌ ᅵᄋ ᅧ ᆨᄐ ᅳ ᆨᄉ ᅥ ᆼᄋ ᅦ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄒ ᅡ ᆫ ᄆ ᅩᄉ ᅮ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼ ᄀ ᅵᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄉ ᅵᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄂ ᅡ ᆨᄃ ᅩ ᆼ ᄀ ᅡ ᆼ ᄋ ᅲᄋ ᅧ ᆨᄋ ᅴ 20ᄀ ᅢ ᄀ ᅡ ᆼᄋ ᅮ ᄀ ᅪ

ᆫᄎ ᅳ ᆨ ᄌ ᅵᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄃ ᅢᄉ ᅡ ᆼᄋ ᅳᄅ ᅩ 1973ᄂ ᅧ ᆫ-2017ᄂ ᅧ ᆫ ᄀ ᅵᄀ ᅡ ᆫ ᄃ ᅩ ᆼ ᄋ ᅡ ᆫᄋ ᅴ ᄋ ᅧᄅ ᅳ ᆷᄎ ᅥ ᆯ 1ᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫ ᄀ ᅡ ᆼᄉ ᅮᄌ ᅡᄅ ᅭ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄉ ᅡ ᆫᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ ᄆ ᅩ ᄉ

ᅮᄅ ᅳ ᆯ ᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪ, ᄌ ᅥ ᆫᄇ ᅡ ᆫᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅳᄅ ᅩ DE, Nelder-Meadᄀ ᅵᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅵ ᄀ ᅡᄌ ᅡ ᆼ ᄌ ᅩ ᇂᄋ ᅳ ᆫ ᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪᄅ ᅳ ᆯ ᄇ ᅩᄋ ᅧ ᆻᄋ ᅳᄆ ᅧ DFP, GAᄀ ᅵᄇ ᅥ ᆸ ᄋ

ᅳ

ᆫ ᄉ ᅡ ᆼᄃ ᅢᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄂ ᅡ ᆽᄋ ᅳ ᆫ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄇ ᅩᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: Davidon-Fletcher-Powell, ᄀ ᅧ ᆨᄎ ᅡ ᄌ ᅵ ᆫᄒ ᅪ, Nelder-Mead, ᄆ ᅩᄉ ᅮ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼ, ᄋ ᅲᄌ ᅥ ᆫᄌ ᅡᄋ ᅡ ᆯᄀ ᅩᄅ ᅵᄌ ᅳ ᆷ, ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄌ ᅥ ᆨ ᄀ

ᅡ ᆼᄋ ᅮᄆ ᅩᄋ ᅴᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ.

1. 서론 ᄀ

ᅡᆼ수는대기에서 일어나는많은자연현상 중에서 인간의 생활에큰영향을미치는주요한 기상요소이 ᄃ

ᅡ. 강수는 지구상에 존재하는모든생명체 및 사회 · 경제 · 문화 등광범위하게 직 · 간접적으로 영향 ᄋ

ᅳᆯ미치며 국가운영을위해 고려되어야 할 주요사항 중하나이다. 국지호우, 돌발홍수, 가뭄 등사회 전 ᄇ

ᅡᆫ에 큰피해를야기하는자연재해는 강수의 과다 및 부족으로 인해 발생하는것이며 최근 기후변화로 ᄋ

ᅵᆫ해 이러한 자연재해의 피해규모와 빈도가 증가하고 있는추세이다. IPCC 5차 보고서에 따르면 인간 ᄋ

ᅴ 산업활동이 주요한 원인이 되어 기후변화를초래한다는연구결과를발표하였으며 향후 이러한 기후 ᄇ

ᅧᆫ화 추세는지속될 것이라고 전망하였다.

ᄆ ᅡ

ᆭ은나라에서 강우에 의해 발생하는자연재해에 대응하기 위하여 홍수 및 가뭄예측과 정확한 평가 르

ᆯ위한 연구가활발히 이루어지고 있다. 강우 예측은관측기술의 한계와 강우 발생에관계된수문인자 ᄀ

ᅡᆫ의 복잡한 물리과정으로 한계를가진다. 또한 강우는시간 및 공간 스케일의 변동성이 매우 크며 지 ᄋ

ᅧ

ᆨ특성에 따라 상이한 거동을보이기 때문에 강우추정에 어려움이 있다. 일반적으로 강우 생성을위한 ᄆ

ᅩ형은 물리적,확률적 모형으로 구분되며 일반적으로확률적 모형은점과정 (point process)을이용한

†

ᄇ ᅩ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅮ ᆨ ᄐ ᅩᄀ ᅭᄐ ᅩ ᆼ ᄇ ᅮ/ᄀ ᅮ ᆨ ᄐ ᅩᄀ ᅭᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅪᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅵᄉ ᅮ ᆯᄌ ᅵ ᆫᄒ ᅳ ᆼᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅴ ᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄉ ᅮᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄋ ᅳ ᆷ (ᄀ ᅪᄌ ᅦᄇ ᅥ ᆫᄒ ᅩ 17AWMP-B083066- 04).

1

(41566) ᄃ ᅢᄀ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄅ ᅩ 80, ᄀ ᅧ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄀ ᅥ ᆫᄉ ᅥ ᆯᄒ ᅪ ᆫᄀ ᅧ ᆼ ᄋ ᅦᄂ ᅥᄌ ᅵᄀ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄇ ᅡ ᆨᄉ ᅡᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼ.

2

(41566) ᄃ ᅢᄀ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄅ ᅩ 80, ᄀ ᅧ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄇ ᅮᄀ ᅭᄉ ᅮ.

3

ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ: (41566) ᄃ ᅢᄀ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄅ ᅩ 80, ᄀ ᅧ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄀ ᅩ ᆼ ᄀ ᅪᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨ ᄀ ᅥ ᆫᄉ ᅥ ᆯᄒ ᅪ ᆫᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅦᄂ ᅥᄌ ᅵᄀ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: [email protected]

ᄃ

ᅡ. 확률적 모형은 입력변수에 따라 분 (minute)-월 (month)까지 다양한 시간 스케일의 강우를 생성 ᄒ

ᅡᆯ 수 있으며 강우의 발생, 지속시간, 강도 등강우구조의 통계 특성을고려 할 수 있는장점이 있다. 점 ᄀ

ᅪ정을 이용한 확률적 강우생성 모형은 RPM (Rectangular Pulse Model), BLRPM (Bartlett-Lewis Rectangular Pulse Model), NSRPM (Neyman-Scott Rectangular Pulse Model)등이 있다. RPM모 혀

ᆼ은강우의 발생, 지속시간, 강우강도를반영한 3개의 분포로 이루어져 있으며 BLPRM과 NSRPM은 ᄀ

ᅡᆼ우 (storm)외에 강우세포 (cell)의 특성을반영한 5개의 분포를이용하여 강우의 군집특성을반영한 ᄆ

ᅩ형이다. BLPRM과 NSRPM은다양한 시간 스케일의 강우가 가지고 있는 통계 특성을보존할 수 있 느

ᆫ모형으로 적합성이 뛰어난 것으로 평가 받고 있다 (Rodriguez-Iturbe, 1986; Rodriguez-Iturbe 등, 1987; Entekhabi 등, 1989; Islam 등, 1990; Cowpertwait, 1991; Velghe 등, 1994; Cowpertwait 등, 1996).

화

ᆨ률적 강우생성 모형은 가용지상기상자료의 기간 및 시간 스케일, 모수 추정 방법에 따라 생성되 느

ᆫ 강우의 통계적 특성과 분포에 차이를 보인다. Kum 등 (2001)은 NSRPM의 모수를 비선형계획 버

ᆸ (nonlinear programming, NLP)과 유전자 알고리즘 (genetic algorithm, GA)를이용하여 추정하 ᄀ

ᅩ 강우를 생성한 결과 GA를 이용하여 생성된 강우가 더 적합하다고 평가 하였다. 정창삼 (2009)는 NSRPM 모수 추정을 모멘트법과 직접적인 추정 방법에서 직접적인 추정 방법이 정확도가 더 높은 결 ᄀ

ᅪ를보였다. 김광섭 등 (2012)은 NSRPM모수 추정기법 비교에서 DE (differential evolution), DFP (Davidon-Fletcher-Powell), GA 중 DE를이용한 모형이 가장 적합한 결과를나타냈음을보였다. 이정 ᄌ

ᅵᆫ과 김용구 (2016)은근사적 우도함수를바탕으로한 베이지안 모형을이용하며 NSRPM의 공간구조적 ᄋ

ᅵᆫ 특성을 분석하였다. 본연구에서는 NSRPM모수 추정을위한 최적화 기법 중 DFP, DE, GA와 목 ᄌ

ᅥᆨ함수의 미분과 다차원의 제약이 없는 Nelder-Mead를이용하여 모수를추정하고 최적화 기법들의 적 ᄒ

ᅡᆸ도를평가하였다.

2. 자료 및 방법

2.1. 입력자료 보

ᆫ연구에서는기상청에서 운영하고 있는지상기상관측자료 중 종관기상관측 (ASOS)으로관측한 강 ᄉ

ᅮ자료를 이용하였다. 수집한 강수자료의 기간은 1973년-2017년으로 45년이며 시간 스케일은 1시간 ᄃ

ᅡᆫ위의 여름철 강수량이다. 대상유역은낙동강 유역을대상으로 하였으며 부산, 대구, 포항, 구미 등 총 20개소의관측지점에서 자료를수집하였다 (Figure 2.1).

2.2. NSRPM (Neyman-Scott rectangular pulse model)

Rodriguez-Iturbe (1987)은 RPM모형이 강우 현상의 군집특성을 잘 반영하지 못하는 단점을 보완 ᄒ

ᅡ기 위하여 NSRPM을 제시하였으며 NSRPM은 강우 (storm)의 시작, 강우세포의 개수, 강우세포 (cell)의 위치, 강우세포의 지속시간, 강우세포의 강우강도를나타내는 5개의 분포로 이루어져 있으며 구 ᄎ

ᅮ

ᆨ과정은다음과 같다 (Figure 2.2).

NSRPM의 지속시간 τ 시간인 강우의 평균 (E(Y_i^{(τ )})), 분산 (V ar(Yi^{(τ )})), 공분산 (Cov[Yi^{(τ )}, Y_i+k^{(τ )}])은 ᄃ

ᅡ음과 같다.

E(Y_i^{(τ )}) = λη⁻¹µξτ, (2.1)

Figure 2.1 Information of weather stations

V ar(Y_i^{(τ )}) =λη⁻³(ητ − 1 + e^−ητ)



4µξ²+ 2(µ²− µ)ξ² β² β²− η²



− λ(βτ − 1 + e^−βτ)2(µ²− µ)ξ²

β(β²− η²), (2.2)

Cov(Y_i^{(τ )}, Y_i+k^{(τ )}) =λη⁻³(1 − e^−ητ)²e^{−η(k−1)τ}



2µξ²+ (µ²− µ)ξ² β² β²− η²



− λ(1 − e^−βτ)²e^{−β(k−1)τ}(µ²− µ)ξ²

β(β²− η²), (2.3) ᄋ

ᅧ기서 Yi^{(τ )}는지속시간이 τ 인 강우량을의미하며 Yi+k^{(τ )}에서의 k는 lag를의미한다. 강우 시작은지 ᄉ

ᅮ분포를따르며 모수 λ를가진다. 강우세포 수는지수분포를따르며 모수 µ를가진다. 강우세포의 시 ᄌ

ᅡ

ᆨ은지수분포를따르며 모수 β를가진다. 강우세포의 지속시간은 η를모수로 하는지수분포를따른다.

ᄀ

ᅡᆼ우세포의 강우강도는 ξ를모수로 하는 지수분포를 따른다. 목적함수로는지속시간 1시간 강우의 평 규

ᆫ, 분산, lag 1의 자기상관계수, 지속시간 6시간 강우의 분산, lag1의 자기상관계수의 제곱오차의 최 ᄉ

ᅩ화를 통하여 모수를 추정하였다 (2.4). 추정되는 모수의 물리적 의미를 가지는 범위는 다음과 같다 (Table 2.1).

minK = 1 −E(Yˆ _i^{(τ )}) E(Y_i^{(τ )})

!2

+ 1 −V ar(Yd _i^{(τ )}) V ar(Y_i^{(τ )})

!2

+ 1 −corr(Yd _i+k^{(τ )}, Y_i^{(τ )}) corr(Y_i+k^{(τ )}, Y_i^{(τ )})

!2

. (2.4)

(a) Storm origin arrival according to a Poisson Process

(b) Rain cell generation of each storm

(c) Rain cell arrival according to the exponential distribution

(d) Rainfall intensity and duration generation

(e) Superposition of all active rain cells

Figure 2.2 Schematic diagram of the Neyman-Scott rectangular pulse model

Table 2.1 Range of NSRPM parameters for optimization in all the station

Parameter λ(h

) µ β(h

) η(h

) ξ (mm/h)

Minimum value 0.001 2.0 0.01 0.10 0.30

Maximum value 0.050 100.0 0.50 5.00 15.0

2.3. DFP (Davidon-Fletcher-Powell) ᄇ

ᅵ선형 비제약 문제를 수치해석적으로 해를 찾는 방법으로 가우스-뉴턴의 활선법 (secant equa- tion)에 양의 헤시안 행렬 (Hessian matrix)를 이용하여 곡률조건 (curvature condition)을 만족하는 ᄒ

ᅢ를 찾는방법이다. 따라서 DFP를이용하기 위해서는다차원미분이 가능해야하며 매번 헤시안 행렬 ᄋ

ᅴ 계산이 필요하다. DFP는 초기값에 민감하여 초기값 설정이 적절하지 않으면 발산과, 국소 최저치 (local minima)의 해를찾는단점이 있다. 또한 연속-이산 문제가 혼합되어 있는경우 미분이 불가능하 ᄋ

ᅧ 적용하기에 한계가 있다.

2.4. GA (genetic algorithm) ᄃ

ᅡ윈의 진화이론을기초로 한 EA (evolutionary algorithm)의 한 종류인 최적화 기법으로 경험적인 ᄇ

ᅡᆼ법으로 최적해를 찾는다. GA는 초기 모집단을 난수 생성기로 형성하고 이를 부모세대로 이용한다.

ᄇ

ᅮ모세대에서 선택 (selection) - 교배 (crossover) -돌연변이 (mutation)를 거쳐 다음세대를형성한다 (Lee와 Ko, 2009). 형성된다음세대는다시 부모세대가 되어 선택-교배-돌연변이 연산을반복하는과정 ᄋ

ᅦ서 만족하는해를찾는다. 부모세대의 각 개체는적합도의 크기에 따라 교배횟수가 차등 분배되어 적

ᄒ

ᅡᆸ도가 높은부모세대 개체의 유전자가 다음세대로 물려 줄 확률이 높아진다. GA는초기값이 필요하 ᄌ

ᅵ 않으며 미분을 하지 않고 함수값만 사용하는장점이 있으며 부모세대를형성 할 때 변수의 2-4배로 혀

ᆼ성하기 때문에 국소 최저치에 수렴 될가능이 낮은장점을 가지고 있으나 개체수가 작으면 국지해에 ᄉ

ᅮ렴될수 있으며 개체수가 많으면 연산에 소요되는시간이 많이 필요하다는단점이 있다.

2.5. Nelder-Mead

Nelder-Mead기법은 목적함수에 대한 미분을하지 않고 다차원비제약 문제를해결하기 위한 직접적 ᄋ

ᅵᆫ 최적화 기법이다. 따라서 목적함수가 비선형의 형태이거나, 비평활함수 또는 미분이 존재하지 않는 겨

ᆼ우, 함수 값이 불확실한 문제에 대한 최적화에 널리 쓰이고 있다. Nelder-Mead는 반사-확장-축소의 ᄋ

ᅧᆫ산 과정을거쳐 최적해를찾는다. Nelder-Mead는 목적함수의 값의 표준편차를이용하여 수렴 판정하 ᄀ

ᅥ나 심플렉스 크기를 이용하여 수렴판정을함으로 국지해에 수렴될위험성이 작아진다. 또한 목적함 ᄉ

ᅮ의 미분이 필요하지 않으며 순차적인 탐색절차를따르기 때문에 다른최적화 기법들에 비해 계산에 소 ᄋ

ᅭ되는시간이 짧아 시간과 비용적인 측면에서도 매우 효율적 장점이 있다.

2.6. DE (differential evolution)

DE는 직접적인 최적화 기법으로 초기 부모세대를형성하고 변형을 통하여 최적해를 찾는 방법이다.

DE는 돌연변이-교배-평가-선택의 연산과정을 거쳐 최적해를 탐색하며 일반적으로 유전자 알고리즘은 2진수 설계변수를취급하는반면 DE는 실수, 정수 등모든형태의 설계변수를취급할 수 있다. 또한 난 ᄉ

ᅮ 생성기로 생성된초기 세대는유한요소법 (FEM)으로 평가되어 설계 가능한 개체만 다음세대로 전이 ᄃ

ᅬ기 때문에 DE는모든 벡터가 설계 가능한 특징을가지며 앞어 언급한 것과 같이 실수, 정수 등모든 혀

ᆼ태의 설계변수를취급할 수 있어 국지해에 수렴될수 있는단점을보완한다. 현실문제에서 목적함수 느

ᆫ비선형이 대부분이며 미분이 불가능하거나 비평활함수가 존재하지 않는경우가 많다. DE는 목적함 ᄉ

ᅮ의 미분이 필요하지 않으며 비선형의 목적함수를다룰수 있다. 또한 병렬 탐색으로 계산 속도가 유전 ᄌ

ᅡ 알고리즘에 비해 빠른장정을가지고 있다.

3. 적용

NSRPM모수 추정 기법의 적합성 평가를위하여 낙동강 유역내에 위치한 부산, 대구, 거창, 거제, 구 ᄆ

ᅵ, 합천, 진주, 밀양, 문경, 남해, 포항, 산청, 통영, 의성, 울진, 울릉도, 울산, 영천, 영덕, 영주지점 ᄋ

ᅴ 1973년-2017년 기간 동안의 여름철 (6,7,8월) 시 강우자료를 수집하였다. 모수 추정은 DFP, GA, Nelder-Mead, DE기법을이용하여 추정하였다. 기법별 적합도를평가하기 위하여 강우관측자료의 통 ᄀ

ᅨ특성과 각 기법별로 추정된 모수를 이용한 모형자료의 상대오차를 이용하여 정확도를 분석 하였다.

ᄂ ᅡ

ᆨ동강 유역에 대하여 DFP, GA, Nelder-Mead, DE를 이용하여 추정한 모수는 다음과 같다 (Table 3.1).

ᄎ

ᅮ정된모수 λ, µ, β, η, ξ를이용하여 지속시간 1시간, 6시간, 12시간, 24시간 강우의 평균, 분산, 공 부

ᆫ산을 구하였다. 추정된 모수를 이용하여 2절에서 언급된 (2.1), (2.2), (2.3)을 이용하여 지속시간 1시간, 6시간, 12시간에 대한 통계량을 산정하고 관측자료에서 얻은 통계량과의 상대오차를구하였다 (2.5). 추정된강우의 상대오차는다음과 같다 (Table 3.2). 여기서 M은평균, V는 분산, C는 공분산을 ᄋ

ᅴ미하며괄호안의 숫자는지속시간을의미한다.

λ µ β η ξ λ µ β η ξ Busan DFP 0.0072 26.83 0.15 2.19 3.76 Pohang DFP 0.0090 44.57 0.25 3.96 2.33

GA 0.0093 55.80 0.28 4.77 3.05 GA 0.0095 80.62 0.28 2.22 0.73 N-M 0.0091 12.87 0.20 2.07 5.69 N-M 0.0091 15.13 0.17 2.49 4.33 DE 0.0091 15.82 0.22 2.61 5.82 DE 0.0093 20.97 0.20 3.83 4.74 Daegu DFP 0.0113 16.12 0.19 4.47 6.48 Sancheong DFP 0.0093 94.04 0.23 4.16 1.84 GA 0.0119 12.09 0.20 2.67 5.01 GA 0.0092 27.68 0.21 3.05 4.46 N-M 0.0108 14.24 0.21 3.40 5.76 N-M 0.0092 17.76 0.17 2.06 4.81 DE 0.0109 13.32 0.20 2.73 4.99 DE 0.0093 18.02 0.17 2.11 4.81 Geochange DFP 0.0149 8.15 0.23 1.14 3.17 Tongyeong DFP 0.0088 9.09 0.38 0.44 1.63 GA 0.0104 67.89 0.28 2.61 1.18 GA 0.0086 20.77 0.19 3.44 5.90 N-M 0.0114 16.35 0.19 2.98 5.20 N-M 0.0095 16.43 0.18 2.86 5.65 DE 0.0115 18.21 0.20 3.19 5.13 DE 0.0095 16.34 0.18 2.86 5.66 Geoje DFP 0.0099 27.27 0.21 3.70 5.46 Uiseong DFP 0.0027 21.79 0.02 1.56 6.52 GA 0.0085 74.98 0.30 0.94 0.56 GA 0.0122 38.21 0.33 3.64 2.05 N-M 0.0089 18.54 0.17 2.42 5.73 N-M 0.0104 7.55 0.11 1.87 5.98 DE 0.0089 16.28 0.16 2.14 5.76 DE 0.0116 19.19 0.24 10.95 12.37 Gumi DFP 0.0092 8.73 0.07 1.62 5.37 Uljin DFP 0.0063 41.65 0.14 4.16 3.31

GA 0.0100 38.54 0.29 3.69 2.41 GA 0.0081 21.05 0.27 0.69 0.85 N-M 0.0103 8.55 0.10 1.91 5.66 N-M 0.0068 13.45 0.10 1.28 3.03 DE 0.0117 14.42 0.20 4.07 6.28 DE 0.0079 30.14 0.17 3.05 2.78 Hapcheon DFP 0.0032 56.44 0.05 4.31 7.66 Ulleung-do DFP 0.0076 39.43 0.26 3.58 2.20 GA 0.0101 46.74 0.32 4.86 3.21 GA 0.0070 47.98 0.29 4.80 2.65 N-M 0.0112 15.18 0.23 3.33 6.35 N-M 0.0072 6.25 0.10 1.05 4.52 DE 0.0114 16.27 0.23 3.62 6.33 DE 0.0081 32.10 0.27 6.55 4.93 Jinju DFP 0.0107 52.47 0.28 3.17 2.00 Ulsan DFP 0.0090 76.22 0.28 3.94 1.58 GA 0.0110 19.69 0.23 2.37 3.84 GA 0.0094 25.32 0.23 3.76 4.33 N-M 0.0123 15.20 0.21 3.34 6.42 N-M 0.0091 23.19 0.23 3.28 4.21 DE 0.0110 20.54 0.21 3.78 5.94 DE 0.0092 21.92 0.22 3.13 4.19 Miryang DFP 0.0122 20.47 0.28 4.87 5.91 Yeongcheong DFP 0.0109 57.37 0.32 4.02 1.63 GA 0.0096 40.12 0.23 3.96 3.12 GA 0.0098 47.22 0.32 2.79 1.47 N-M 0.0117 15.13 0.20 3.48 6.00 N-M 0.0094 7.74 0.10 1.51 5.20 DE 0.0103 14.49 0.18 2.66 5.32 DE 0.0109 14.52 0.21 3.17 5.03 Mungyeong DFP 0.0046 14.19 0.03 1.09 5.33 Yeongdeok DFP 0.0098 20.43 0.18 3.31 3.87 GA 0.0117 26.55 0.30 1.23 1.28 GA 0.0102 24.95 0.21 3.77 3.49 N-M 0.0127 15.64 0.21 3.45 5.51 N-M 0.0087 18.15 0.18 2.40 3.39 DE 0.0128 15.97 0.21 3.60 5.62 DE 0.0086 32.76 0.21 5.76 4.53 Namhae DFP 0.0104 35.59 0.23 1.98 2.20 Yeongju DFP 0.0098 30.68 0.20 4.59 4.84 GA 0.0090 46.67 0.23 3.44 3.19 GA 0.0119 77.56 0.29 3.52 1.26 N-M 0.0096 26.67 0.19 3.73 5.81 N-M 0.0126 15.26 0.19 3.52 5.99 DE 0.0095 24.49 0.19 3.26 5.58 DE 0.0110 17.34 0.18 3.28 5.50

|E − O|

O × 100, (3.1)

ᄋ

ᅧ기서 E는모수추정을 통하여 산정된 평균, 분산, 공분산이며 O는샘플을 이용하여 계산된 평균, 분 ᄉ

ᅡᆫ, 공분산이다.

ᄂ ᅡ

ᆨ동강 모든지점에서 DFP, GA, Nelder-Mead, DE 기법 중 Nelder-Mead, DE를사용하여 추정한 ᄐ

ᅩ

ᆼ계량이 가장 좋은결과를보였다. 전체적인 강우 통계량에서 부산, 구미, 진주, 문경, 포항, 산청, 통 여

ᆼ, 의성, 울릉도, 울산, 영천, 영덕에서는 Nelder-Mead 기법이 가장 결과가 좋았으며 대구, 거창, 거 ᄌ

ᅦ, 진주, 밀양, 남해, 울진, 영주에서는 DE가 가장 좋은결과를보였다. 대구지점은 Nelder-Mead기법

Table 3.2 Relatvie error of NSRPM for sample moments

M (1) V (1) C (1) M (6) V (6) C (6) M (12) V (12) C (12) Busan DFP 3.05 12.67 0.33 3.03 0.80 29.21 3.03 10.18 27.26

GA 3.36 6.95 12.06 3.37 5.14 0.95 3.36 6.78 28.74 N-M 0.50 1.25 3.07 0.50 1.67 1.79 0.50 0.92 17.49 DE 0.00 0.01 0.00 0.01 2.59 2.60 0.01 0.00 20.74 Daegu DFP 1.11 7.74 13.86 1.11 7.76 1.61 1.10 5.91 15.15 GA 3.96 1.55 0.83 3.94 0.25 2.05 3.94 0.52 18.98 N-M 0.00 0.70 1.19 0.01 0.71 0.57 0.00 0.89 17.97 DE 0.00 0.00 0.01 0.00 0.21 0.22 0.00 0.00 14.51 Geochange DFP 3.91 9.18 12.55 3.91 1.47 14.47 3.91 4.42 33.05 GA 1.54 10.47 25.09 1.54 15.95 7.46 1.53 11.95 22.16 N-M 0.03 0.71 1.16 0.02 0.76 0.69 0.02 0.67 9.52

DE 0.03 0.01 0.01 0.03 1.44 1.44 0.03 0.02 8.17 Geoje DFP 1.84 0.92 2.12 1.83 1.62 4.93 1.83 1.58 20.94

GA 2.55 13.57 26.22 2.56 16.34 5.37 2.56 15.22 26.51 N-M 0.03 0.33 0.57 0.03 0.35 0.32 0.04 1.60 5.49

DE 0.03 0.03 0.03 0.01 1.92 1.94 0.01 0.01 4.15 Gumi DFP 2.70 2.23 7.83 2.72 2.73 1.71 2.71 4.39 33.81

GA 2.77 6.00 33.81 2.76 20.62 12.35 2.77 16.05 17.83 N-M 0.04 2.82 4.42 0.04 2.54 1.73 0.04 4.26 18.58 DE 0.00 0.00 0.01 0.01 2.02 2.02 0.01 0.00 9.22

ᄋ

ᅵ 강수의 평균추정에서 좋은결과를보였으나 분산, 공분산은 DE기법이 더 좋은결과를보였다. 그러 ᄂ

ᅡ 거제, 구미, 합천, 진주 등대부분의 지역에서 대체로 DE기법이 강수의 평균을잘 추정하는것으로 ᄂ

ᅡ타났으며 Nelder-Mead는 분산, 공분산을잘 추정하거나 DE기법와 비슷한 결과를보였다. 강수의 지 ᄉ

ᅩ

ᆨ시간별 적합도 평가에서는지속시간이 짧을수록 DE기법을이용한 평균, 분산, 공분산 추정이 더 높은 저

ᆼ확도를보였으며 지속시간이 길어질수록 분산, 공분산에서 Nelder-Mead 기법을이용한 것이 더 좋은 겨

ᆯ과를보였으나 DE기법과큰차이를보이지 않았다. 거제, 구미, 진주, 밀양, 의성, 울진, 영주 지점은 ᄌ

ᅵ속시간과 상관없이 평균, 분산, 공분산 추정에서 대부분 DE기법을이용하였을때 가장 좋은결과를 ᄇ

ᅩ였으며 거창, 남해, 산청, 통영, 울산지역에서는지속시간과관계없이 평균, 분산, 공분산에서 Nelder- Mead기법을이용하였을때 가장 좋은결과를나타냈다. 부산지점에서는 지속시간 1시간 강우의 적합 ᄃ

ᅩ는 DE가 가장 높지만 지속시간 6시간 분산의 추정에서는 DFP가 가장 좋은결과를보였으며 지속시 ᄀ

ᅡᆫ 6시간 공분산, 지속시간 24시간 분산 추정은 GA기법이 가장 좋은 결과를 보여 지속시간과 통계량 ᄋ

ᅦ 따라 가장 좋은결과를보이는기법이 일정하지 않았다. 전체적으로 DE, Nelder-Mead가 가장 좋은 겨

ᆯ과를보이며 DFP, GA기법의 결과와는상대적으로큰차이를보였다. DE와 Nelder-Mead기법 비교 ᄋ

ᅦ서는 DE가 지속시간이 짧은강우와 평균에서 좋은결과를보였으며 Nelder-Mead는지속시간 긴 강 ᄋ

ᅮ의 공분산을잘 추정하는 것으로 나타났으나 분산추정에서는뚜렷한 차이를보이지 않았다. (Figure 3.1). Figure 3.1에서 작은상자안의 지점은 울릉도이다.

4. 결론 화

ᆨ률적 강우생성 모형을이용한 강우생성은사용되는모수 추정 기법에 상이한 결과를보이므로 본연 ᄀ

ᅮ에서는 확률적 강우생성모형 NSRPM의 모수 추정 기법에 따른모형의 적합성을 분석하였다. 대상 ᄌ

ᅵ점은낙동강 유역의 20개 지점이며 사용자료는대상지점의 1973년-2017년 기간 동안의 여름철 1시 ᄀ

ᅡᆫ 단위의 강우 자료를 사용하였다. NSRPM모형의 모수 추정을 위한 최적화 기법으로는 DFP, GA, Nelder-Mead, DE기법을이용하였다.

Figure 3.1 Comparison of the relative accuracy of each sites

ᄋ

ᅧᆫ구 결과 DE와 Nelder-Mead기법이 지속시간별 상대오차 측면에서 가장 좋은 결과를 보였다.

DE기법은 지속시간이 짧은 강우의 평균, 분산, 공분산 추정에서 우수했으며 특히 평균의 추정은 지 ᄉ

ᅩ

ᆨ시간과관계없이 좋은결과를보였다. Nelder-Mead기법은상대적으로 긴 지속시간의 공분산 추정에 ᄉ

ᅥ 좋은 결과를 보였으며 분산에서는 두 기법의 차이는 미미하였다. DE와 Nelder-Mead기법의 정확 ᄃ

ᅩ와 DFP, GA기법의 정확도 비교에서는 상대적으로 큰 차이를 보였다. 본 연구의 결과를 바탕으로 NSRPM모수 추정을위해 사용된DE, Nelder-Mead기법은강우 사상의 발생과 시간분포 특성을잘 반 여

ᆼ할 수 있다고 판단되며 강우생성 모형의 수문학적 적용성을개선할 것으로 판단된다. 또한, 수문학적 ᄌ

ᅥ

ᆨ용에 있어서 장기유출과 가뭄 모의에 이용되는강우는년, 월단위 시간 스케일을 가지며 도시유출과 도

ᆯ발홍수 모의에 사용되는강우는초, 분단위의 시간 스케일을가진다. 이처럼 수문학적 평가 및 예측은 ᄃ

ᅢ상목적에 따라 사용되는강우의 시간 스케일이 상이하다. 본연구에서 사용한확률적 강우모의모형은

ᄌ ᅡ

ᆨ은단위의 시간 스케일을가지는강우를생성 할 수 있어 누적함으로서큰시간 스케일의 강우까지 포 ᄒ

ᅡᆷ 할 수 있으나 시간 스케일큰강우를이용하여 생성된강우와 다른거동을보일 수 있어 이에 대한 추 ᄀ

ᅡ적인 연구가 필요하다.

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gular pulse point process models for rainfall. Water Resource Research, 30, 2847-2857.

Analysis of the applicability of parameter estimation methods for a stochastic rainfall generation model ^†

Hyungon Cho

¹

²

³

13School of Architectural, Civil, Environment, and Energy Engineering, Kyungpook National University

2Department of Statistics, Kyungpook National University

Received 30 October 2017, revised 16 November 2017, accepted 21 November 2017

Abstract

Accurate inference of parameters of a stochastic rainfall generation model is essential to improve the applicability of the rainfall generation model which modeled the rainfall process and the structure of rainfall events. In this study, the model parameters of a stochastic rainfall generation model, NSRPM (Neyman-Scott rectangular pulse model), were estimated using DFP (Davidon-Fletcher-Powell), GA (genetic algorithm), Nelder- Mead, and DE (differential evolution) methods. Summer season hourly rainfall data of 20 rainfall observation sites within the Nakdong river basin from 1973 to 2017 were used to estimate parameters and the regional applicability of inference methods were analyzed. Overall results demonstrated that DE and Nelder-Mead methods generate better results than that of DFP and GA methods.

Keywords: Davidon-Fletcher-Powell, differential evolution, genetic algorithm, Nelder- Mead, parameter estimation, stochastic rainfall generation model.

†

This work is supported by the Korea Agency for Infrastructure Technology Advancement (KAIA) grant funded by the Ministry of Land, Infrastructure and Transport (Grant 17AWMP-B083066-04).

1

Graduate student, School of Architectural, Civil, Environment, and Energy Engineering, Kyungpook National University, Daegu 41566, Korea.

2

Associate professor, Department of Statistics, Kyungpook National University, Daegu 41566, Korea.

3

Corresponding author: Professor, School of Architectural, Civil, Environment, and Energy Engineer-

ing, Kyungpook National University, Daegu 41566, Korea. E-mail: [email protected]