제 7장. POISSON, 라플라 스 방정식
- V에 대한 미분 방정식
7.1 포아슨, 라플라스 방정식
, ρ
υ=
⋅
∇ D
,
E D
ε
= V
E
⋅
∇
−
=
ρ
υε
ε = −∇ ⋅ ∇ =
⋅
∇
=
⋅
∇ D ( E ) ( V )
ε ρ
υ−
=
∇
⋅
∇ V (
2)
ε ρ
υ−
=
∇
≡ V
ε ρ
υ−
=
∇ V
2,
: 포아슨 방정식
=0 : 라플라스 방정식
•
(직각좌표계)
(원통좌표계)
(구 좌표계)
2
= ?
∇ V
) ( )
( )
( z
V z y
V y x
V V x
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
= ∂
∇
⋅
∇
2 2 2
2 2
2
z V y
V x
V
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
2 2 2 2 2
2 1
) 1 (
z V V
V V
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
= ∂
∇
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
2 2 2 2 2
2 2
2
sin ) 1
sin (sin ) 1
1 (
ϕ θ θ θ
θ
θ
∂+ ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
= ∂
∇ V
r V r
r r V r V r
응용에제 7.1
) 3 , 2 , 1 ( 1.
4
2 p
x V yz
= +
7.2 해의 유일성 정리
라플라스 방정식 해 : 1개 (2개해가 일치)
7.3 라플라스 방정식 해
① X만의 함수
경계조건 at x=0 at x=d 0
0
22
2
=
∂
→ ∂
=
∇ x
V V
2
0
2
=
dx V d
dx A dV =
=0 V
V0
V =
d x V =V0
⇒ B
Ax V = +
⇒
정전용량?
I.
를 구한다. ( ) II. 를 구한다. ( )III. 전극판에서의 를 구한다. ( ) IV. 를 구한다. ( )
V. Q를 구한다. ( )
② 원통좌표계( 만의 함수)
( 제외)
경계조건 at
at
E
V E
= −∇
D
E D
ε
= D
N N
s D a
D
D = = ˆ
ρ
sρ
s= N
Nds Q
s
∫
s=
ρ
ρ
0 )
1 ( =
∂
∂
∂
∂ ρ ρ ρ ρ
V
0 ) 1 (
∂ =
∂
∂
∂ ρ ρ ρ ρ
V
ρ = 0
ddv = A ρ ρ
B A
V = ln ρ +
V
0V = ρ = a
= 0
V ρ = b
) / ln(
) / ln(
0
b a
V b
V = ρ C=?
7.4 포아슨 방정식 해
경계조건
= 상수 ρ
υε ρ ε ρ
υ υ
−
=
→
−
=
∇
2 2 2
dx V d V
B Ax x
V
A dx x
dV
+ +
−
=
+
−
=
2
2 ε ρ ε
ρυ
υ
a x a
h x dx
V d
a x a
h x
tanh 2 sec
tanh sec
2
0 2
2 0
ε ρ ρ
ρ
υ−
=
→
⋅
=
) 2 sec
(
2 sec
1 0
1 0
a C h x a
dx E dV
a C h x a
dx dV
−
−
=
−
=
+
=
ε ρ ε
ρ
경계조건
V 0 at V = 0 at x=0
2 1
/ 1 2
0
