고 3 - 2015 - 1 12 - 10월 - 2교시
수학 영역
1
`제 2 교시 A 형
1.
4;2!;_log™ 8의 값은? 〔2점〕① 2 ② 4
③ 6 ④ 8
⑤ 10
2.
두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 행렬 A+2B의 모든 성분의 합은? 〔2점〕① 5 ② 6
③ 7 ④ 8
⑤ 9
2 -1 -1 0 3 1
1 3
3.
의 값은? 〔2점〕① -1 ② -;2!;
③ ;2!; ④ 1
⑤ ;2#;
x+1 (x+1)(x+3)
xlim⁄-1
4.
함수 f(x)=2x‹ -3x+5에 대하여 의 값은?〔3점〕
① 1 ② 2
③ 3 ④ 4
⑤ 5
f(1+h)-f(1) lim h
h⁄0
전라북도교육청 주관 2015년 10월 고3 수능모의고사 문제지
수학 영역
2
고 3 - 2015 - 2 12 - 10월 - 2교시
A형
6.
표본공간 S의 두 사건 A, B에 대하여 P(A)= , P(BÇ )= , P(A;B)=일 때, P(A'B)의 값은? (단, BÇ 은 B의 여사건이다.) 〔3점〕
① ;8#; ② ;2!;
③ ;8%; ④ ;4#;
⑤ ;8&;
3 8 1
4 1
2
7.
{x¤ + }fi의 전개식에서 x의 계수는? 〔3점〕① 5 ② 10
③ 15 ④ 20
⑤ 25 1
5.
다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 M이 x 라 할 때, 행렬 M의 제1행의 모든 성분의 합은? 〔3점〕① 1 ② 3
③ 5 ④ 7
⑤ 9
수학 영역 3
고 3 - 2015 - 3 12 - 10월 - 2교시
A형
8.
의 값은? 〔3점〕① 1 ② ;3%;
③ ;3&; ④ 3
⑤ ;;¡3¡;;
3_2« —⁄
3« ±⁄
; ¶ n=1
9.
함수 f(x)=2x‹ +3x¤ -12x+17의 극댓값은? 〔3점〕① 28 ② 31
③ 34 ④ 37
⑤ 40
10.
세 실수 a, b, c가 다음 조건을 만족시킬 때, c-a의 값은?〔3점〕① 10 ② 15
③ 20 ④ 25
⑤ 30
(가) b, 0, 5는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.
(나) a, b, 5, c는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.
수학 영역
4
고 3 - 2015 - 4 12 - 10월 - 2교시
A형
12.
함수 f(x)=3x¤ +6x-:º⁄ f(t)dt에 대하여 :_1! f(x)dx의 값은?〔3점〕
① -2 ② -1
③ 0 ④ 1
⑤ 2
11.
온도가 5 ˘C인 물이 담겨 있는 어느 그릇에 얼음 1 kg을 넣은 지 t(0…t…10)분 후의 물의 온도를 T(˘C)라 할 때, 다음과 같은 관계식 이 성립한다고 한다.T=5+a log™(2t+1) (단, a는 0이 아닌 상수)
온도가 5 ˘C인 물이 담겨 있는 이 그릇에 얼음 1 kg을 넣은 지 1분 30 초 후의 물의 온도가 3 ˘C이었고, 그 후 p분이 더 흐른 후의 물의 온도 가 1 ˘C이었다. p의 값은? 〔3점〕
① 5 ② ;;¡2¡;;
③ 6 ④ ;;¡2£;;
⑤ 7
수학 영역 5
고 3 - 2015 - 5 12 - 10월 - 2교시
A형
〔13~14〕
이차함수 f(x)의 최고차항의 계수는 a이고, 좌표평면 에서 곡선 y=f(x)의 꼭짓점의 좌표는 (1, -n)이다. 13번과 14 번의 두 물음에 답하시오. (단, a는 상수이고, n은 자연수이다.)13.
a=1일 때, 이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a«, b«이라 하자.(a«¤ +b«¤ )의 값은?〔3점〕
① 130 ② 140
③ 150 ④ 160
⑤ 170
; 10 n=1
14.
n=2일 때, 이차방정식 f(x)=f'(x)가 중근을 갖는다. 곡선 y=f(x) 위의 점 (0, f(0))에서의 접선의 기울기는? 〔4점〕① -4 ② -2
③ 2 ④ 4
⑤ 8
수학 영역
6
고 3 - 2015 - 6 12 - 10월 - 2교시
A형
15.
첫째항이 5이고 공차가 4인 등차수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지 의 합을 S« (n=1, 2, 3, y)이라 하자. 등식 =q를 만 족시키는 두 상수 p, q에 대하여 p+q의 값은? 〔4점〕① 5 ② 6
③ 7 ④ 8
⑤ 9
S«-pn¤
lim n+1
nڦ
16.
0…x…3에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 옳 은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? 〔4점〕① ㄱ ② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1 2 3 x
y
y=f`{x}
2
1
O
ㄱ. f(x)=2
ㄴ. { f(x)+f(x+1)}=4
ㄷ. 함수 | f(x)-1|은 x=1에서 연속이다.
xlim⁄1+0 xlim⁄2+0
<보 기>
수학 영역 7
고 3 - 2015 - 7 12 - 10월 - 2교시
A형
17.
첫째항이 15인 수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라 하면a«≠¡=S«+n_4« ±⁄ +1 (næ1) ……… ㉠ 이 성립한다. 다음은 일반항 a«을 구하는 과정이다.
위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 p라 하고, (나)에 알맞은 식을 f(k) 라 할 때, p+f(5)의 값은? 〔4점〕
① 54 ② 56
③ 58 ④ 60
⑤ 62
18.
어느 양어장에서 출하되는 물고기의 무게 는 평균이 8 kg, 표준편차가 2 kg인 정규분 포를 따른다고 한다. 이 양어장에서 출하되는 물고기 중에서 임의로 한 마리를 선택할 때, 무게가 5.4 kg 이상이고 10.6 kg 이하일 확 률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구 한 것은? 〔4점〕① 0.62 ② 0.68
③ 0.74 ④ 0.80
⑤ 0.86
㉠으로부터
a«=S«–¡+(n-1)_4« +1 (næ2) ……… ㉡
㉠, ㉡의 각 변끼리 뺀 식을 정리하면 a«≠¡=2a«+(3n+1)_4« (næ2) 위의 등식의 양변을 2« ±⁄ 으로 나누면
= +(3n+1)_2« —⁄ (næ2)
이때, b«= (næ2)이라 하면 b™= 이므로 b«= + (3k+1)_2˚ —⁄
b«= + (3k+1)(2˚ -2˚ —⁄ )
b«= + (3k+1)_2˚ - (3k+1)_2˚ —⁄
b«= + (3k-2)_2˚ —⁄ - (3k+1)_2˚ —⁄
b«= +(3n-2)_2« —⁄ -14
+ {(3k-2)-(3k+1)}_2˚ —⁄
b«=(3n-2)_2« —⁄ - b«=(3n-5)_2« —⁄ +6 이다.
따라서, 수열 {a«}의 일반항은
a¡=15, a«=(3n-5)_2¤ « —⁄ +6_2« (næ2) 이다.
(나)
n-1;
k=2
n-1;
k=3
(가)
n-1;
k=2
; n
(가) k=3
n-1;
k=2 n-1;
(가) k=2
n-1; (가) k=2
n-1; (가) k=2
a« (가) 2«
a«
2«
a«≠¡
2« ±⁄
<표준정규분포표>
z P(0…Z…z) 1.0 0.34 1.3 0.40 1.5 0.43
수학 영역
8
고 3 - 2015 - 8 12 - 10월 - 2교시
A형
20.
두 이차정사각행렬 A, B가 AB-2B=E, A¤ +A=5E를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, E 는 단위행렬이다.) 〔4점〕
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ. AB=BA
ㄴ. 행렬 AB의 역행렬이 존재한다.
ㄷ. 행렬 A+B의 역행렬이 존재한다.
<보 기>
19.
그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 C¡에 내접하는 정삼각형 A¡B¡C¡이 있다. 선분 B¡C¡의 중점 D¡에서 두 선분 A¡B¡, A¡C¡에 내 린 수선의 발을 각각 E¡, F¡이라 하고, 삼각형 A¡E¡F¡에 내접하는 원 을 C™, 삼각형 D¡F¡E¡의 넓이를 S¡이라 하자. 원 C™에 내접하는 정삼 각형 A™B™C™가 있다. 선분 B™C™의 중점 D™에서 두 선분 A™B™, A™C™에 내린 수선의 발을 각각 E™, F™라 하고, 삼각형 A™E™F™에 내접하는 원을 C£, 삼각형 D™F™E™의 넓이를 S™라 하자. 모든 자연수 n에 대하여 원 C«에 내접하는 정삼각형 A«B«C«이 있다. 선분 B«C«의 중점 D«에 서 두 선분 A«B«, A«C«에 내린 수선의 발을 각각 E«, F«이라 하고, 삼 각형 A«E«F«에 내접하는 원을 C«≠¡, 삼각형 D«F«E«의 넓이를 S«이 라 할 때, S«의 값은? 〔4점〕
① ②
③ ④
⑤ 9'3 55
8'3 49 4'3
27
3'3 25 3'3
16
...
A¡
A™
B¡ D¡
B™ D™
C¡
C™
C¡
C™
E¡
E™
F¡
F™
; ¶ n=1
수학 영역 9
고 3 - 2015 - 9 12 - 10월 - 2교시
A형
단 답 형
23.
lim("√n¤ +10n -"√n¤ +10 )의 값을 구하시오. 〔3점〕n⁄¶
22.
:)2 (4x‹ +3x¤ +x+2)dx의 값을 구하시오. 〔3점〕21.
함수 f(x)=;3$;:º≈ {3t¤ -2(n+9)t+9n} dt (n은 자연수)가 다음 조 건을 만족시킨다.좌표평면에서 곡선 y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? 〔4점〕
① 724 ② 729
③ 734 ④ 739
⑤ 744
방정식 |f(x)|=|f(k)|가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 0이 아닌 실수 k의 개수는 3이다.
수학 영역
10
고 3 - 2015 - 10 12 - 10월 - 2교시
A형
24.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 등식(x+1)f(x)=x‹ +ax+2
를 만족시킬 때, f(-1)의 값을 구하시오. (단, a는 상수이다.) 〔3점〕
25.
두 개의 주사위를 동시에 던지는 시행을 80회 반복할 때, 두 개의 주사위 모두 홀수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하자. V(X)의 값을 구하시오. 〔3점〕26.
0…x…1에서 정의된 연속확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)가 f(x)=;5^;x¤ +a일 때, E(10X+5)의 값을 구하시오. (단, a는 상수이 다.)〔4점〕수학 영역 11
고 3 - 2015 - 11 12 - 10월 - 2교시
A형
27.
행렬 A=›'3 { }에 대하여 행렬 A« (n은 자연수)의 모든 성 분의 합을 `f(n)이라 하자. f(n)의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 n 의 최솟값을 m이라 할 때, f(m)의 값을 구하시오. (단, A⁄ =A)〔4점〕1 -1
1 1
28.
그림과 같이 흰 공 4개, 검은 공 3개가 들어 있는 주머니가 있다. 이주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 두 번 반복하였 다. 두 번째 시행에서 흰 공과 검은 공이 각각 1개씩 나왔을 때, 첫 번 째 시행에서도 흰 공과 검은 공이 각각 1개씩 나왔을 확률은 p이다.
100p의 값을 구하시오. (단, 모든 공의 모양과 크기는 같고, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) 〔4점〕
수학 영역
12
고 3 - 2015 - 12 12 - 10월 - 2교시
A형
♣ 확인 사항
답안지에 필요한 사항을 정확히 기입(표기)하였는지 확인하시오.
29.
모든 자연수 n에 대하여 집합 A«은 다음 조건을 만족시킨다.예를 들어, A£={2, 3, 4, 5, 6, 7}이고, 집합 A£의 원소의 최댓값은 7이다. 집합 A™º의 원소의 최댓값을 구하시오.〔4점〕
30.
다음 조건을 만족시키는 두 자연수 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하시오. 〔4점〕(가) 2…a…4, 2…b…50
(나) 2 이상의 어떤 실수 t에 대하여 |a† ±⁄ -b† —⁄ |<30이 성립한다.
(가) A¡={1, 2}
(나) 집합 A«은 2n개의 연속한 자연수의 집합이다.
(다) 집합 A«≠¡-A«의 원소의 개수는 n+1이다.
(라) 집합 A«≠¡의 원소의 최댓값은 집합 A«의 원소의 최댓값보다 크다.
