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행렬 연산과 역행렬

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Academic year: 2022

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전체 글

(1)

행렬 연산과 역행렬

Matrix Operations and Inverse Matrix

Keon M. Lee

(2)

 행렬 연산

 전치행렬

 역행렬

 가역행렬

 특이행렬

 행연산을 통한 역행렬 계산

 가역행렬 정리

(3)

행렬 연산

 행렬의 덧셈

 크기 일치

 성분간 합

 행렬의 스칼라곱셈

 성분별 스칼라 곱

(4)

행렬 연산

 행렬의 곱

 앞 행렬의 열 개수 = 뒤 행렬의 행 개수

(5)

행렬의 곱

 결합법칙

(6)

행렬 연산

 행렬연산의 성질

(7)

행렬 연산

 연산시 주의사항 (Matrix Crime)

 일반적으로 AB  BA 이다.

 행렬곱에서 소거법칙은 성립하지 않는다.

• AB = AC라고 해서, B=C는 아니다.

 AB = 0이라고 해서 일반적으로 A = 0 또는 B = 0이라고 할 수 없다.

(A+B)2 = A2 + 2AB + B2 ?

(8)

행렬 연산

 거듭제곱(Power) 연산

 A가 nn 행렬일 때 행렬 거듭제곱

(9)

행렬 연산

 전치 행렬 (轉置, transpose)

 행렬 A의 행과 열을 바꾸어 놓은 행렬: AT

 성질

(10)

역행렬 (inverse matrix)

 가역행렬 (invertible matrix, 정칙행렬: nonsingular matrix)

 nn 행렬 A에 대해 CA = I, AC = I가 되는 nxn 행렬 C이 존재한 것

 C를 역행렬이라 하고, A-1로 표현

 특이행렬(singular matrix)

 가역적이지 않은 행렬

(11)

역행렬 (inverse matrix)

 의 역행렬

 행렬식(determinant)

(12)

역행렬 (inverse matrix)

 어떤 행렬 A의 역행렬은 유일하다.

 증명

• B와 C가 A의 역행렬이라고 하자.

• B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

• 즉, B와 C는 같아야 하기 때문에, 역행렬은 유일하다.

 A가 nxn 가역행렬(invertible matrix)이면, Rn의 b에 대해서, 방정식

Ax = b는 유일한 해 x = A

-1

b를 갖는다.

 증명

• 이기 때문에 해가 존재한다.

• u가 임의의 해라고 하면, u = A-1b 를 보임으로 유일함을 증명한다.

(13)

역행렬 (inverse matrix)

 성질

(14)

역행렬 (inverse matrix)

 nxn 가열행렬들의 곱은 invertible 이고,

각 행렬의 역행렬들을 역순으로 곱하면 된다.

 Element matrix(기본 행렬)

 항등 행렬(identity)에 기본 행연산(row operation)을 한번 해서 얻은 행렬

(15)

역행렬 (inverse matrix)

 mxm 기본행렬 E은 단위행렬 I에 대한 행연산을 통해 만들어진다.

 I에 행연산을 하여 E가 만들어지면, E를 I로 되돌릴 수 있기 때문에, 기본 행렬은 가역적이다.

 어떤 행렬 A를 I로 하는 일련의 행연산은 A를 A-1로 변환시킨다.

(16)

A의 역행렬을 구하는 알고리즘

 첨가행렬 [A I]의 행을 축소시켜 A가 I의 행 등가(row equivalent)이면, [A I]는 [I A-1]에 행 등가이다.

(17)

Ax = b의 해법

 x = A-1

b를 하는 방법

 복잡한 계산

• 역행렬을 구해야 하기 때문

 정확도 낮음

 행축약에 의한 방법

 [A b]  [I b’]

 정확도 높음

(18)

가역행렬정리(Invertible Matrix Theorem)

 nxn 행렬 A에 대해서 다음 명제들은 동치이다.

a. A는 가역행렬(invertible matrix)이다.

b. A는 nxn 항등행렬 In과 행 등가(row equivalent)이다.

c. A의 기약 행 사다리꼴은 n개의 추축위치(pivot position)을 갖는다.

d. Ax = 0의 해는 자명한 해(trivial solution)뿐이다.

e. A의 열(column vector)들은 선형독립(linear independent)인 집합을 이 룬다.

f. 선형변환(linear transformation) 는 일대일이다.

g. Rn의 각 b에 대하여 Ax=b는 적어도 하나의 해를 갖는다.

h. A의 열들은 Rn을 생성(span)한다.

i. 선형변환 는 Rn을 Rn위로 사상(mapping)한다.

j. CA= I를 만족하는 nxn 행렬 C가 존재한다.

k. AD = I를 만족하는 nxn 행렬 D가 존재한다.

l. AT는 가역행렬이다.

(k)

(a) (g)

(g) (h) (i)

(d) (e) (f)

(a) (l) (a)

(j) (d) (c)

(b)

충분조건

(19)

삼각행렬(triangular matrix)

 상 삼각행렬(upper triangular matrix)

 주 대각선 아래 성분이 모두 0인 행렬

 하 삼각행렬(lower triangular matrix)

 주 대각선 위 성분이 모두 0인 행렬

 삼각행렬에서 주대각 원소가 모두 0이 아니면 가역(invertible)이다

(20)

Summary

 행렬의 곱셈에서 교환법칙과 소거법칙은 성립하지 않는다.

 두 행렬의 곱이 영행렬일 때 두 행렬의 어느 것 하나는 적어도 영행 렬이라는 보장은 없다.

 전치행렬(transpose)는 행렬의 행과 열의 바꿔놓은 행렬이다.

 두 행렬의 곱의 전치행렬은 각각 전치행렬의 역순의 곱과 같다.

 두 행렬의 곱이 항등행렬 I일 때, 두 행렬은 서로 역행렬이라 한다.

 역행렬이 존재하는 행렬을 가역행렬이라 하고, 그렇지 않은 것은 특 이 행렬이라 한다.

 어떤 행렬의 역행렬은 유일하다.

 두 행렬곱의 역행렬은 각각의 역행렬을 역순으로 곱한 것과 같고, 전치행렬의 역행렬은 역행렬의 전치시킨 것과 같다.

 역행렬은 행연산을 통해 계산해 낼 수 있다.

 정방행렬에 대한 가역행렬정리는 가역행렬에 대한 여러가지 성질을 나타낸 것이다.

참조

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