행렬 연산과 역행렬
Matrix Operations and Inverse Matrix
Keon M. Lee
행렬 연산
전치행렬
역행렬
가역행렬
특이행렬
행연산을 통한 역행렬 계산
가역행렬 정리
행렬 연산
행렬의 덧셈
크기 일치
성분간 합
행렬의 스칼라곱셈
성분별 스칼라 곱
행렬 연산
행렬의 곱
앞 행렬의 열 개수 = 뒤 행렬의 행 개수
행렬의 곱
결합법칙
행렬 연산
행렬연산의 성질
행렬 연산
연산시 주의사항 (Matrix Crime)
일반적으로 AB BA 이다.
행렬곱에서 소거법칙은 성립하지 않는다.
• AB = AC라고 해서, B=C는 아니다.
AB = 0이라고 해서 일반적으로 A = 0 또는 B = 0이라고 할 수 없다.
(A+B)2 = A2 + 2AB + B2 ?
행렬 연산
거듭제곱(Power) 연산
A가 nn 행렬일 때 행렬 거듭제곱
행렬 연산
전치 행렬 (轉置, transpose)
행렬 A의 행과 열을 바꾸어 놓은 행렬: AT
성질
역행렬 (inverse matrix)
가역행렬 (invertible matrix, 정칙행렬: nonsingular matrix)
nn 행렬 A에 대해 CA = I, AC = I가 되는 nxn 행렬 C이 존재한 것
C를 역행렬이라 하고, A-1로 표현
특이행렬(singular matrix)
가역적이지 않은 행렬
역행렬 (inverse matrix)
의 역행렬
행렬식(determinant)
역행렬 (inverse matrix)
어떤 행렬 A의 역행렬은 유일하다.
증명
• B와 C가 A의 역행렬이라고 하자.
• B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
• 즉, B와 C는 같아야 하기 때문에, 역행렬은 유일하다.
A가 nxn 가역행렬(invertible matrix)이면, Rn의 b에 대해서, 방정식
Ax = b는 유일한 해 x = A
-1b를 갖는다.
증명
• 이기 때문에 해가 존재한다.
• u가 임의의 해라고 하면, u = A-1b 를 보임으로 유일함을 증명한다.
역행렬 (inverse matrix)
성질
역행렬 (inverse matrix)
nxn 가열행렬들의 곱은 invertible 이고,
각 행렬의 역행렬들을 역순으로 곱하면 된다.
Element matrix(기본 행렬)
항등 행렬(identity)에 기본 행연산(row operation)을 한번 해서 얻은 행렬
역행렬 (inverse matrix)
mxm 기본행렬 E은 단위행렬 I에 대한 행연산을 통해 만들어진다.
I에 행연산을 하여 E가 만들어지면, E를 I로 되돌릴 수 있기 때문에, 기본 행렬은 가역적이다.
어떤 행렬 A를 I로 하는 일련의 행연산은 A를 A-1로 변환시킨다.
A의 역행렬을 구하는 알고리즘
첨가행렬 [A I]의 행을 축소시켜 A가 I의 행 등가(row equivalent)이면, [A I]는 [I A-1]에 행 등가이다.
Ax = b의 해법
x = A-1
b를 하는 방법
복잡한 계산
• 역행렬을 구해야 하기 때문
정확도 낮음
행축약에 의한 방법
[A b] [I b’]
정확도 높음
가역행렬정리(Invertible Matrix Theorem)
nxn 행렬 A에 대해서 다음 명제들은 동치이다.
a. A는 가역행렬(invertible matrix)이다.
b. A는 nxn 항등행렬 In과 행 등가(row equivalent)이다.
c. A의 기약 행 사다리꼴은 n개의 추축위치(pivot position)을 갖는다.
d. Ax = 0의 해는 자명한 해(trivial solution)뿐이다.
e. A의 열(column vector)들은 선형독립(linear independent)인 집합을 이 룬다.
f. 선형변환(linear transformation) 는 일대일이다.
g. Rn의 각 b에 대하여 Ax=b는 적어도 하나의 해를 갖는다.
h. A의 열들은 Rn을 생성(span)한다.
i. 선형변환 는 Rn을 Rn위로 사상(mapping)한다.
j. CA= I를 만족하는 nxn 행렬 C가 존재한다.
k. AD = I를 만족하는 nxn 행렬 D가 존재한다.
l. AT는 가역행렬이다.
(k)
(a) (g)
(g) (h) (i)
(d) (e) (f)
(a) (l) (a)
(j) (d) (c)
(b)
충분조건
삼각행렬(triangular matrix)
상 삼각행렬(upper triangular matrix)
주 대각선 아래 성분이 모두 0인 행렬
하 삼각행렬(lower triangular matrix)
주 대각선 위 성분이 모두 0인 행렬
삼각행렬에서 주대각 원소가 모두 0이 아니면 가역(invertible)이다
Summary
행렬의 곱셈에서 교환법칙과 소거법칙은 성립하지 않는다.
두 행렬의 곱이 영행렬일 때 두 행렬의 어느 것 하나는 적어도 영행 렬이라는 보장은 없다.
전치행렬(transpose)는 행렬의 행과 열의 바꿔놓은 행렬이다.
두 행렬의 곱의 전치행렬은 각각 전치행렬의 역순의 곱과 같다.
두 행렬의 곱이 항등행렬 I일 때, 두 행렬은 서로 역행렬이라 한다.
역행렬이 존재하는 행렬을 가역행렬이라 하고, 그렇지 않은 것은 특 이 행렬이라 한다.
어떤 행렬의 역행렬은 유일하다.
두 행렬곱의 역행렬은 각각의 역행렬을 역순으로 곱한 것과 같고, 전치행렬의 역행렬은 역행렬의 전치시킨 것과 같다.
역행렬은 행연산을 통해 계산해 낼 수 있다.
정방행렬에 대한 가역행렬정리는 가역행렬에 대한 여러가지 성질을 나타낸 것이다.