Ⅴ 도형의 기초

(1)

미술 작품 중에는 점, 선, 면을 다양하게 이용한 것들이 있다.

Ⅴ ^{도형의 기초}

¹⁴^{점, 선, 면}^{평행선의 성질} ²⁵^각 간단한 도형의 작도 ³6^{위치 관계} 삼각형의 작도 7 삼각형의 합동

(2)

되짚어 보기

선분과 직선 초 3~4

1

다음 도형의 이름을 말하시오.

⑴ ⑵

합동 초 5~6

▶ 모양과 크기가 같아서 포개 었을 때 완전히 겹쳐지는 두 도형을 서로 합동이라고 한 다.

4

오른쪽 그림의 두 사각형 ㄱㄴㄷㄹ과 ㅁㅂㅅㅇ은 서로 합동이다. 다음을 구하시오.

⑴ 꼭짓점 ㄱ의 대응점

⑵ 변 ㄴㄷ의 대응변

⑶ 각 ㄷㄹㄱ의 대응각

ㄱ

ㄴ ㄷ

ㄹ ㅁ

ㅂ ㅅ

ㅇ

ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ

수직과 평행 초 3~4

3

오른쪽 그림을 보고, 물음에 답하시오.

⑴ 서로 평행한 직선을 말하시오.

⑵ 직선 가의 수선을 말하시오.

가

다 라

나 예각, 직각, 둔각 초 3~4

▶ 예각 : 크기가 0ù보다 크고 90ù보다 작은 각

▶ 직각 : 크기가 90ù인 각

▶ 둔각 : 크기가 90ù보다 크고 180ù보다 작은 각

2

다음 시계의 시침과 분침이 이루는 각이 예각, 직각, 둔각 중 어느 것인지 각각 말하 시오.

⑴ ⑵ ⑶

이전에 배운 내용의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

140

^{Ⅴ. 도형의 기초}

139184중등수학류희찬교과서-05.indd 140 2017-04-26 오후 3:36:14

(3)

단원을 시작하며

시간이 흘러도 기본은 변하지 않는다.

고대 이집트에서는 나일강의 범람으로 토지의 경계선이 사라지는 일이 많았다. 사라진 토지의 경계 선을 다시 복구하기 위해 직선, 평행선, 수직선 등과 같은 도형에 대한 기본적인 지식이 필요하게 되 었으며, 측량에 관한 실용적인 수학이 발달하게 되었다.

시대는 변했지만 오늘날에도 도형의 기본 지식이 필요한 경우가 많다. 예를 들어 건물을 지을 때 필 요한 도면은 자와 컴퍼스를 이용하여 다양한 모양을 표현한다. 또한, 캐드[CAD: computer－aided design]는 작고 섬세한 반도체부터 큰 건물까지 다양한 사물을 입체 형태로 구현할 수 있어 여러 방 면에서 활용된다.

이 단원에서는 도면뿐만 아니라 주변에서 볼 수 있는 다양한 사물의 모양을 통해 기본 도형과 작도를 알아 본다.

(육인선 외, “수학은 아름다워1”)

(대한전자공학회, 1995년)

단원을 시작하며

141

(4)

탐구 학습

도형의 기본 요소는 무엇인가요?

키우기

열기 우리 생활 주변에는 점, 선, 면으로 생각할 수 있는 것들이 많이 있다. 다음 그림에서 점, 선, 면으로 볼 수 있는 것을 말하여 보자.

다지기 밤하늘의 별은 하나의 (으)로, 별이 움직인 자리는 (으)로 볼 수 있다. 또한, 자동차의 유리창에서 와이퍼가 움직인 자리는 (으)로 볼 수 있다.

도형은 무엇으로 이루어져 있을까?

점이 연속적으로 움직인 자리는 선이 되고, 선이 연속적으로 움직인 자리는 면 이 된다. 따라서 선은 무수히 많은 점으로 이루어져 있고, 면은 무수히 많은 선으 로 이루어져 있다.

도형의 기본 요소

선에는 직선과 곡선이 있으며, 면에는 평면과 곡면이 있다.

| 참고 |

점, 선, 면을 이해한다.

텔레비전이나 컴퓨터 모니터에서 볼 수 있는 디지털 이미지들은 픽셀(pixel) 이라는 작은 점들이 모여서 만들어진 것이다.

점, 선, 면

142

(5)

사각형, 원과 같이 한 평면 위에 있는 평면도형과 사각기둥, 원뿔과 같이 한 평 면 위에 있지 않은 입체도형은 모두 점, 선, 면으로 이루어져 있다. 따라서 점, 선, 면은 도형을 구성하는 기본 요소라고 할 수 있다.

오른쪽 직육면체 모양의 상자에서 교점의 개수와 교선의 개수 를 구하시오.

1

문제

평면도형 입체도형

점과 선은 두 도형이 만날 때도 생긴다. 선과 선 또는 선과 면이 만나서 생기는 점을 교점, 면과 면이 만나서 생기는 선을 교선이라고 한다.

교선은 직선인 경우와 곡선 인 경우가 있다.

교점

교점 교선 교선

입체도형에서 모서리의 교점은 꼭짓점, 면의 교선은 모서리!

평면도형에서 변의 교점은 꼭짓점!

개념 확인

1. 점, 선, 면

143

(6)

한 점 A를 지나는 직선은 무수히 많지만, 서로 다 른 두 점 A, B를 지나는 직선은 오직 하나뿐이다.

이때 두 점 A, B를 지나는 직선을 직선 AB라 하 고, 이것을 기호로 ABê와 같이 나타낸다. 이를 간단 히 직선 l로 나타내기도 한다.

직선 AB 위의 점 A에서 점 B쪽으로 뻗은 부분을 반직선 AB라 하고, 이것을 기호로 AB³와 같이 나타 낸다.

직선 AB 위의 점 A에서 점 B까지의 부분을 선분 AB라 하고, 이것을 기호로 ABÓ와 같이 나타낸다.

이때 ABÓ는 선분 AB의 길이를 나타내기도 한다.

예를 들어 선분 AB의 길이가 2`cm일 때에는 ABÓ=2`cm로 나타내고, 선분 AB의 길이와 선분 CD의 길이가 같을 때에는 ABÓ=CDÓ로 나타낸다.

일반적으로 점은 알파벳 대 문자 A, B, C, y를 사용 하여 나타내고, 직선은 알 파벳 소문자 l, m, n, y을 사용하여 나타낸다.

우리는 시작하는 점이 달라!

AB³ 와 BA³는

왜 다르지? 또, 뻗어 나가는

방향도 달라!

개념 확인

A B

직선 AB

A B

l

반직선 AB

A B

선분 AB

A B

오른쪽 그림과 같이 세 점 A, B, C가 있다. 다음 도형을 그리 고, 기호로 나타내시오.

⑴ 직선 AB ⑵ 반직선 BC ⑶ 선분 AC

2

문제 A

B C

직선, 반직선, 선분은 무엇인가요?

직선, 반직선, 선분

144

(7)

오른쪽 그림에서 점 M은 ABÓ의 중점이고, 점 N은 MBÓ의 중점이다. 다음 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

⑴ ABÓ= AMÓ

⑵ NBÓ= MBÓ

⑶ ABÓ=12`cm일 때, AMÓ= `cm, NBÓ= `cm

3

문제

A M N B

두 점 A, B를 양 끝점으로 하는 무수히 많은 선 중 에서 길이가 가장 짧은 것은 선분 AB이다. 이때 선분 AB의 길이를 두 점 A, B 사이의 거리라고 한다.

오른쪽 그림과 같이 선분 AB 위의 한 점 M에 대하 여 AMÓ=BMÓ일 때, 점 M을 선분 AB의 중점이라고

한다. 이때 점 M은 선분 AB를 이등분하므로 AMÓ=;2!; ABÓ이다.

두 점 사이의 거리란 무엇인가요?

다음 대화를 읽고 두 학생이 말한 거리는 어떤 차이가 있는지 말하여 보자.

추론

A B

A M B

개념 확인

AMÓ의 길이는?

서울 시청에서 목포 시청까지 지도상의 거리를 자로 잰 후 축척을 이용하여 실제

거리를 구하면 312`km 정도 되겠네.

어, 이상하다.

내비게이션에서는 거리가 351`km인데….

두 점 사이의 거리

1. 점, 선, 면

145

(8)

1

다음 도형에서 교점의 개수와 교선의 개수를 구하시오.

⑴ ⑵

3

오른쪽 그림과 같이 한 직선 위 에 세 점 A, B, C가 있다. 다음 중 서로 같은 것끼리 짝 지으시오.

ACê, BCÓ, CB³, BCê, CA³, CBÓ

A B C

5

오른쪽 그림에서 두 점 M, N은 각각 ABÓ, AMÓ의 중

점이다. ABÓ=16`cm일 때, 다음 선분의 길이를 구하시오.

⑴ MBÓ ⑵ NMÓ ⑶ NBÓ

A N M B

16 cm

4

오른쪽 그림과 같이 반원 위 에 있는 5개의 점 A, B, C, D, E 중에서 두 점을 지나 는 직선을 그을 때, 서로 다 른 직선은 모두 몇 개인지 구하시오.

A E

B D

C

정답 및 풀이 297쪽

스스로 확인하기

2

오른쪽 그림과 같은 오각기둥에서 면의 개수를 a, 교점의 개수를 b, 교선의 개 수를 c라고 할 때, a-b+c의 값을 구 하시오.

6

^{발전 문제}

다음 그림에서 점 C, D, E는 각각 ABÓ, CBÓ, ADÓ의 중 점이다. 이때 ABÓ의 길이는 ECÓ의 길이의 몇 배인지 구하 시오.

A E C D B

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

146

(9)

탐구 학습

각은 기호로 어떻게 나타내나요?

키우기

열기 오른쪽 그림은 사다리차에 세 점 O, A, B를 표시한 것이다.

그림 위에 반직선 OA와 반직선 OB를 각각 그려 보고, 두 반 직선 OA, OB가 이루는 도형을 말하여 보자.

다지기 반직선 OA와 반직선 OB를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 두 반직선 OA, OB가 이루는 도형은 이다.

각을 간단하게 나타낼 수 있는 방법이 있을까?

한 점 O에서 시작하는 두 반직선 OA와 OB로 이루어진 도형을 각 AOB라 하고, 이것을 기호로

∠AOB 와 같이 나타낸다.

또, ∠AOB는 ∠BOA로 나타내기도 하고, 간단히 ∠O 또는 ∠a로 나타내기도 한다.

∠AOB에서 점 O를 각의 꼭짓점, 두 반직선 OA, OB를 각의 변이라 하고 꼭 짓점 O를 중심으로 변 OB가 변 OA까지 회전한 양을 ∠AOB의 크기라고 한다.

이때 ∠AOB는 각의 크기를 나타내기도 한다.

예를 들어 ∠AOB의 크기가 50ù일 때, ∠AOB=50ù로 나타낸다.

O A

B

각의 기호

두 반직선 OA와 OB로 이 루어진 각은 2개이나, 특별 한 말이 없으면 크기가 작 은 쪽을 의미한다.

B A

O

–AOB의 크기 B A

O a 각을 이해한다.

어안 렌즈는 시야가 180ù가 넘는 범위를 촬영할 수 있는 특수한 렌즈이다.

각

(두산동아, “두산세계대백과사전”)

2. 각

147

(10)

개념 확인

오른쪽 그림에서 ∠a, ∠b를 점 O, A, B, C, D를 사용하여 나 타내시오.

1

문제 ^A ^D

B C

O a

b

다음 그림에서 ∠AOB가 평각일 때, ∠x의 크기를 구하시오.

⑴ ⑵

2

문제

A

120$ x30$

O B A

45$

O B x

평각

직각은 다음 그림과 같이 표시한다.

직각

O B

A

∠AOB의 두 변 OA와 OB가 한 직선을 이루고 점 O 에 대하여 서로 반대쪽에 있을 때, ∠AOB를 평각이라고 한다.

이때 평각의 크기는 180ù이다.

또, 평각의 크기의 ;2!;인 각, 즉 크기가 90ù인 각은 직각이다.

A O B

평각 각을 기호로 나타낼 때

각의 꼭짓점은 항상 가운데에 써야 해!

개념 확인

∠AOB가 평각 일 때, ∠x의

크기는?

148

(11)

오른쪽 그림과 같이 서로 다른 두 직선이 한 점에서 만 날 때 생기는 네 각 ∠a, ∠b, ∠c, ∠d를 두 직선의 교각 이라고 한다.

이 교각 중에서 ∠a와 ∠c, ∠b와 ∠d와 같이 서로 마주 보는 두 각을 맞꼭지각 이라고 한다.

오른쪽 그림에서

∠a+∠b=180ù, ∠b+∠c=180ù 이므로 ∠a+∠b=∠b+∠c이다.

따라서 ∠a=∠c이다.

같은 방법으로 ∠b=∠d임을 알 수 있다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

a b d c

180$

다음 그림에서 ∠a, ∠b의 크기를 구하시오.

⑴ ⑵

3

문제

a b 50$

a b 30$

30$

맞꼭지각은 무엇인가요?

a b

c d

마주 보는 각은 모두 맞꼭지 각인가요?

Q

다음과 같은 경우에 ∠a와

∠c, ∠b와 ∠d는 맞꼭지 각이 아닙니다.

A

개념 확인

∠a의 크기는?

맞꼭지각의 성질

맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

맞꼭지각

2. 각

149

(12)

오른쪽 그림과 같이 두 직선 AB와 CD의 교각이 직 각일 때, 이 두 직선은 직교한다고 하고, 이것을 기호 로

ABê⊥CDê 와 같이 나타낸다.

이때 두 직선 AB와 CD는 서로 수직이고, 한 직선은 다른 직선에 대한 수선 이다.

오른쪽 그림과 같이 선분 AB의 중점 M을 지나고 선 분 AB에 수직인 직선 l을 선분 AB의 수직이등분선이 라고 한다.

이때 AMÓ=BMÓ, ABÓ⊥l이다.

D C

A B

A

l

M B

다음 그림에서 직선 CD가 선분 AB의 수직이등분선일 때, 물음에 답하시오.

4

문제

⑴ 직교하는 두 직선을 찾아 기호 ⊥를 사용하여 나타내시오.

⑵ ABÓ의 길이를 구하시오.

직교, 수직이등분선, 수선의 발은 무엇인가요?

두 선분 AB, CD가 직교할 때 기호로

ABÓ⊥CDÓ 와 같이 나타낸다.

직교와 수직이등분선

개념 확인

직선 PO가 선분 AB의 수직이등분선일 때, AOÓ

의 길이는?

150

(13)

오른쪽 그림은 한 칸의 크기가 1인 모눈종이 위에 직선 l과 세 점 A, B, C를 나타낸 것이다. 물음에 답하시오.

⑴ 세 점 A, B, C에서 직선 l에 내린 수선의 발을 각 각 P, Q, R로 나타내시오.

⑵ 세 점 A, B, C와 직선 l 사이의 거리를 각각 구하 시오.

5

문제

l A

B

C

어

느 곳을 바라볼 때 머리나 눈을 움직이지 않고 볼 수 있는 범위를 시야(視野)라 하고, 시 야는 보통 각으로 나타낸다. 동물들은 생김새만큼이나 각기 다른 시야를 가지고 있는데 일 반적으로 초식 동물은 육식 동물에 비해 눈으로 볼 수 있는 범위가 매우 넓다.

數

수 ^군 수 ^군

동물의 시야 직선 l 위에 있지 않은 점 P에서 직선 l에 수선을 그

었을 때, 그 교점 H를 점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발이라고 한다.

이때 선분 PH는 점 P와 직선 l 위의 점을 이은 선 분 중에서 길이가 가장 짧다. 이 선분 PH의 길이를 점 P와 직선 l 사이의 거리라고 한다.

수선의 발

l H

P

점 P와 직선 l 사이의 거리

수선의 발

개념 확인

점 B와 변 AC 사이의 거리는 4`cm야!

(강영희, “생명과학대사전”)

2. 각

151

(14)

1

다음 그림에서 ∠AOB가 평각일 때, ∠x의 크기를 구하 시오.

⑴ ⑵

6

^창의^•^융합

다음 그림과 같이 직선으로 나 있는 해안 도로와 섬의 P 지점을 잇는 가장 짧은 다리를 만들려고 한다. 다리와 연 결되는 해안 도로의 지점을 그림 위에 표시하고, 그 이유 를 설명하시오. (단, 다리는 선분으로 생각한다.)

2x 3x x

A O B

x 100$

40$

A O B

2

오른쪽 그림에서 ∠AOB는 평각이고

∠POQ=;5!;∠AOP일 때,

∠QOB의 크기를 구하시오.

A O B

P Q

3

오른쪽 그림에서 ADê⊥BEê 일 때, x의 값을 구하시오.

4x$+5$

29$

A B

D C

E F

O

5

오른쪽 그림과 같은 사다리 꼴 ABCD에서 다음을 구 하시오.

⑴ 점 D에서 변 AB에 내린 수선의 발

⑵ 점 C와 변 AB 사이의 거리

9 cm 5 cm 7 cm

A

B C

D

4

오른쪽 그림에서 ∠x, ∠y의 크기를 구하시오.

3x-10$ 115$

y x

스스로 확인하기

0 50 100

152

(15)

탐구 학습

평면에서 점, 직선은 어떤 위치 관계가 있나요?

키우기

열기 오른쪽 그림과 같이 테니스 코트에 세 개의 공 A, B, C가 있다. 공 A, B, C 중에서 직선 l 위에 있는 것을 말하여 보자.

다지기 공 A, B, C 중에서 직선 l 위에 있는 공은 공 이다.

점과 직선의 위치 관계는 어떤 경우가 있을까?

탐구 학습에서 공을 점으로 생각하면 점 A는 직선 l 위에 있고, 점 B와 점 C는 직선 l 위에 있지 않다.

점과 직선의 위치 관계는 다음과 같은 경우가 있다.

➊ 점이 직선 위에 있다. ➋ 점이 직선 위에 있지 않다.

l A B

C

점과 직선의 위치 관계

l A

B l

개념 확인

점, 직선, 평면의 위치 관계를 설명할 수 있다.

호크아이(hawkeye)는 여러 대의 초고속 카메라를 이용하여 공의 위치를 추적하는 비디오 판독 시스템이다.

위치 관계

나를 피할 순 없어!

(위키백과, 2017년)

3. 위치 관계

153

(16)

개념 확인

오른쪽 그림과 같은 직사각형 모양의 축구장을 보고, 물음 에 답하시오.

⑴ 변 AB와 한 점에서 만나는 변을 구하시오.

⑵ 변 CD와 평행한 변을 찾아 기호 을 써서 나타내 시오.

2

문제 A

B

D

C

오른쪽 그림에서 세 점 A, B, C와 직선 BC의 위치 관계를 각 각 말하시오.

1

문제

B C A

한 평면에서 두 직선의 위치 관계

➊ 한 점에서 만난다. ➋ 평행하다. ➌ 일치한다.

m l

m l m l, m

l

m l m l, m

l

m l

l, m

한 평면 위의 두 직선 l, m이 서로 만나지 않을 때, 두 직선 l, m은 서로 평행 하다고 하고, 이것을 기호로

lm

과 같이 나타낸다. 이때 서로 평행한 두 직선을 평행선이라고 한다.

한 평면에서 두 직선의 위치 관계는 다음과 같은 경우가 있다.

평면에서 두 직선의 위치 관계

154

(17)

개념 확인

공간에서 두 직선은 서로 만나지도 않고 평행하지도 않 은 경우가 있다. 이와 같은 두 직선은 꼬인 위치에 있다 고 한다. 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지 않다.

공간에서 두 직선의 위치 관계는 다음과 같은 경우가 있다.

공간에서 두 직선의 위치 관계

두 직선 l, m이 한 점에서 만날 때, 그 점은 두 직선 l, m의 교점이다.

오른쪽 그림과 같은 직육면체에서 다음을 구하시오.

⑴ 모서리 AB와 한 점에서 만나는 모서리

⑵ 모서리 CG와 평행한 모서리

⑶ 모서리 EF와 꼬인 위치에 있는 모서리

3

문제

H A

B

F

C

G E

D

공간에서 직선, 평면은 어떤 위치 관계가 있나요?

공간에서 두 직선의 위치 관계

➊ 한 점에서 만난다. ➋ 평행하다. ➌ 일치한다. ➍ 꼬인 위치에 있다.

m l

m

l

l, m

한 평면 위에 있다. 한 평면 위에 있지 않다.

m l

m

l

m l, m l

m l

m

l

m l, m l

m l

m

l

l, m

3. 위치 관계

155

(18)

오른쪽 그림과 같은 삼각기둥에서 다음을 구하시오.

⑴ 면 ABC와 한 점에서 만나는 모서리

⑵ 면 ADEB와 평행한 모서리

⑶ 면 DEF에 포함된 모서리

4

문제 ^A

B C

D

E F

직선 l이 평면 P와 한 점 O에서 만나고 점 O를 지나는 평면 P 위의 모든 직선과 서로 수직일 때, 직선 l과 평면 P는 서로 수직이라 하고, 이것을 기호로 l⊥P와 같이 나 타낸다. 이때 직선 l을 평면 P의 수선이라고 한다.

평면 P의 수선인 직선 l과 평면 P가 만나는 점 O를

수선의 발이라고 한다. P

l

O

공간에서 직선 l이 평면 P와 만나지 않을 때, 직선 l과 평면 P는 서로 평행하 다고 하고, 이것을 기호로 lP와 같이 나타낸다.

공간에서 직선과 평면의 위치 관계는 다음과 같은 경우가 있다.

공간에서 직선과 평면의 위치 관계

➊ 한 점에서 만난다. ➋ 평행하다. ➌ 직선이 평면에 포함된다.

P l P

l l

P P

l P

l l

P P

l P

l l

P

개념 확인

156

(19)

곧게 뻗은 도로 위의 차선을 직선으로 생각하면 한 도로 위의 두 차선은 서로 평행하다. 이처럼 우리 주변에서 두 직선, 직선과 평 면, 두 평면의 위치 관계를 설명할 수 있는 예를 모둠별로 찾아 이 야기하여 보자.

의사소통

공간에서 두 평면 P, Q가 만나지 않을 때, 두 평면 P, Q는 서로 평행하다고 하 고, 이것을 기호로 PQ와 같이 나타낸다.

공간에서 두 평면의 위치 관계는 다음과 같은 경우가 있다.

공간에서 두 평면의 위치 관계

➊ 한 직선에서 만난다. ➋ 평행하다. ➌ 일치한다.

두 평면 P, Q가 한 직선에 서 만날 때, 그 직선은 두 평 면 P, Q의 교선이다.

P P

Q

P, Q

P P

Q

P, Q

P P

Q

P, Q

개념 확인

오른쪽 그림과 같은 삼각기둥에서 다음을 구하시오.

⑴ 면 ABED와 만나는 면

⑵ 면 DEF와 평행한 면

5

문제

A

B C

D

E F

3. 위치 관계

157

(20)

1

오른쪽 그림과 같은 정육각형 에서 각 변을 연장한 직선을 그 을 때, 다음을 구하시오.

⑴ 직선 AB와 한 점에서 만 나는 직선

⑵ 직선 CD와 평행한 직선

A F

B E

C D

2

오른쪽 그림과 같은 삼각뿔에 서 다음을 구하시오.

⑴ 모서리 AB와 한 점에서 만나는 모서리

⑵ 모서리 AC와 꼬인 위치 에 있는 모서리

A

B

C

D

4

공간에서 평면 P와 서로 다른 두 직선 l, m이 l⊥P, m⊥P를 만족할 때, 두 직선 l, m의 위치 관계를 말하 시오.

6

^{발전 문제}

오른쪽 그림은 직육면체를 세 꼭짓점 A, B, E를 지나 는 평면으로 잘라서 만든 입 체도형이다. 모서리 AB와

꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 a, 모서리 EB와 한 점 에서 만나는 면의 개수를 b, 면 ABC와 평행한 면의 개 수를 c라고 할 때, a+b-c의 값을 구하시오.

A

B C

D

E F

G 정답 및 풀이 298쪽

스스로 확인하기

3

오른쪽 그림과 같은 오각기둥에서 다음을 구하시오.

⑴ 면 ABCDE와 한 점에서 만 나는 모서리

⑵ 면 BGHC와 평행한 모서리

A B

C D

E

F G

H I

J

5

오른쪽 그림과 같이 밑면이 사 다리꼴인 각기둥이 있다. 다음 보기 중에서 옳은 것을 모두 찾 으시오.

A

B C

D

E

F G

H

ㄱ. 면 ABCD와 면 EFGH는 서로 평행하다.

ㄴ. 면 AEFB와 면 BFGC의 교선은 모서리 BF 이다.

ㄷ. 면 ABCD에 수직인 모서리는 4개이다.

ㄹ. 모서리 AE와 꼬인 위치에 있는 모서리는 5개 이다.

보기

0 50 100

158

(21)

탐구 학습

동위각과 엇각은 무엇인가요?

키우기

열기 오른쪽 그림은 한 평면 위에서 두 직선 l, m이 다른 한 직선 n과 만나서 생기는 각을 나타낸 것이다. ∠b와 ∠f는 위치가 같은 쪽에 있고 ∠b와 ∠h는 위치가 엇갈린 쪽에 있다고 할 때, ∠c와 같은 쪽에 위치한 각과 엇갈린 쪽에 위치한 각을 각각 말하여 보자.

다지기 ∠c와 같은 쪽에 위치한 각은 이고 ∠c와 엇갈린 쪽에 위치한 각은 이다.

같은 쪽에 위치한 두 각과 엇갈린 쪽에 위치한 두 각을 각각 무엇이라고 할까?

탐구 학습에서 한 평면 위의 두 직선 l, m이 다른 한 직선 n과 만날 때 생기는 8개의 교각 중에서

∠a와 ∠e, ∠b와 ∠f, ∠c와 ∠g, ∠d와 ∠h 처럼 같은 쪽에 위치한 두 각을 서로 동위각이라고 한다. 또,

∠b와 ∠h, ∠c와 ∠e

처럼 엇갈린 쪽에 위치한 두 각을 서로 엇각이라고 한다.

두 직선이 다른 한 직선과 서로 다른 두 점에서 만나 면 동위각은 4쌍, 엇각은 2 쌍이 생긴다.

개념 확인

오른쪽 그림에서 다음 각의 크기를 구하시오.

⑴ ∠a의 동위각 ⑵ ∠b의 엇각

1

문제

n

l a b

m 65$

l a

b c

e f g

h d

m

n 평행선에서 동위각과 엇각의 성질을 이해한다.

기찻길에서는 평행선 또는 평행선과 만나는 직선을 찾아볼 수 있다.

평행선의 성질

동위각과 엇각

4. 평행선의 성질

159

(22)

탐구 학습

평행선에는 어떤 성질이 있나요?

키우기

열기 색종이로 다음과 같은 활동을 한 후 물음에 답하여 보자.

다지기 ⑴ ∠a와 ∠b는 이다.

⑵ ∠a가 ∠b에 포개어지므로 ∠a와 ∠b의 크기는 서로 .

평행선에서 동위각은 어떤 성질이 있을까?

⑴ ∠a와 ∠b는 서로 어떤 위치에 있는 각인지 말하여 보자.

⑵ ∠a와 ∠b의 크기를 비교하여 보자.

오른쪽 그림과 같이 서로 평행한 두 직선 l, m이 다른 한 직선 n과 만날 때 생기는 동위각인 ∠a와 ∠b의 크기 는 서로 같다.

즉, lm이면 ∠a=∠b이다.

한편, 한 직선 n에 대하여 동위각인 ∠a와 ∠b의 크기가 서로 같도록 직선 l, m 을 그으면 두 직선 l, m은 서로 평행하다.

즉, ∠a=∠b이면 lm이다.

평행선과 동위각

m l

n a

b

평행선과 동위각

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

➊ 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다.

➋ 동위각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 평행하다.

➋ 색종이를 비스듬하게 한 번 접어 펼친다.

➊ 색종이를 나란히 두 번 접어 펼친다.

b a

➌ ∠a를 잘라서 ∠b에 포개어 본다.

160

(23)

개념 확인

다음 그림에서 lm일 때, ∠a, ∠b의 크기를 구하시오.

⑴ ⑵

2

문제

m

l 50$

b a

80$

m 35$

l b

a

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m이 서로 평행하면 ∠a 와 ∠c는 동위각이므로 ∠a=∠c이고, ∠b와 ∠c는 맞꼭 지각이므로 ∠b=∠c이다. 따라서 ∠a=∠b이다.

즉, lm이면 ∠a=∠b이다.

한편, 엇각인 ∠a와 ∠b의 크기가 같으면 동위각인 ∠a와 ∠c의 크기도 같아지 므로 두 직선 l, m은 서로 평행하다.

즉, ∠a=∠b이면 lm이다.

평행선과 엇각

m l

n

a

b c

평행선과 엇각

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

➊ 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.

➋ 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 평행하다.

동위각의 크기가 서로 같으니까 평행선이 되겠네.

삼각자 두 개를 그림처럼 이용하면 평행선을 그을 수 있어!

4. 평행선의 성질

161

(24)

개념 확인

다음 그림에서 lm일 때, ∠a, ∠b의 크기를 구하시오.

⑴ ⑵

3

문제

m 135$

a b

l 40$

70$

m

b

a l

오른쪽 그림에서 lm일 때, ∠a+∠b=180ù인 이유를 말하 여 보자.

추론

m

a b l

130$

49$

130$

m

n l

r s

오른쪽 그림에서 평행한 두 직선을 찾아 기호로 나타내시오.

4

문제

엇각의 크기는

항상 같을까? 두 직선이 평행할

때만 같아!

162

(25)

1

오른쪽 그림에서 다음 각의 크기를 구하시오.

⑴ ∠EPA의 동위각

⑵ ∠APQ의 엇각 _C ^50$ _D

A E

B P

F Q

3

오른쪽 그림에서 평행한 두 직 선을 찾고, ∠x의 크기를 구하 시오.

53$

52$

m x

l

n k

2

오른쪽 그림에서 lm일 때,

∠a, ∠b, ∠c, ∠d의 크기를 구하시오.

55$

m

l b

c d a

4

오른쪽 그림에서 lm일 때,

∠a, ∠b의 크기를 구하시오. ^115$

49$

m a

b l

6

^{발전 문제}

직사각형 모양의 종이를 선분 BC를 접는 선으로 하여 다 음 그림과 같이 접었다. ∠BCD=58ù일 때, 물음에 답하 시오.

⑴ ∠BCD와 크기가 같은 각을 모두 찾으시오.

⑵ ∠CAB의 크기를 구하시오.

58$

D C

A B

5

오른쪽 그림에서 lm일

때, ∠x의 크기를 구하시오. ^140$

125$

x

m l

스스로 확인하기

0 50 100 4. 평행선의 성질

163

(26)

의사소통 착시의 예를 모둠별로 조사해 발표하여 보자.

평행하게 보이지 않는 평행선?

오른쪽 그림에서 굵은 가로선들은 모두 평행한 선인데 주위의 사 선 때문에 비뚤어져 보인다. 이처럼 사물의 객관적인 성질과 사람의 눈을 통해 본 성질 사이에 차이가 있는 경우를 ‘착시 현상’이라고 한다.

그렇다면 오른쪽 그림의 굵은 가로선들이 평행하다는 것을 어떻 게 알 수 있을까?

동위각이나 엇각의 크기가 같으면 두 직선이 서로 평행하므로 각도기를 사용하여 직선 l에 의해 만 들어지는 동위각이나 엇각의 크기를 재어 보면 굵은 가로선들이 서로 평행하다는 것을 알 수 있다.

이 밖에도 평행선에 대해 착시를 일으키는 그림은 다음과 같은 것이 있다.

l

(이명옥 외, “명화 속 신기한 수학 이야기”; 한국교육방송공사, 2012년)

수학

세상 세상 세상

^속으로

164

(27)

작도의 뜻을 알고, 간단한 도형을 작도할 수 있다.

라파엘로(Raffaello Sanzio, 1483~1520)가 그린 벽화 ‘아테네 학당’에는 유클리드(Euclid, B.C. 325?~B.C. 265?)가 컴퍼스로 도형을 그리는 모습이 있다.

간단한 도형의 작도

탐구 학습

길이가 같은 선분은 어떻게 작도하나요?

키우기

열기 오른쪽 그림에서 두 선분 AB, CD의 길이를 컴퍼스를 사용 하여 비교하여 보자.

다지기 다음 그림과 같이 선분 AB의 길이를 컴퍼스로 재어 선분 CD의 길이와 비교하면 그 길이 가 .

눈금 없는 자와 컴퍼스로 주어진 선분과 길이가 같은 선분을 그릴 수 있을까?

우리가 흔히 사용하는 자에 는 눈금이 있지만, 작도할 때에는 이 눈금을 이용하지 않는다.

눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 작도라고 한다. 이때 눈금 없는 자는 두 점을 연결하여 선분을 그리거나 주어진 선분을 연장하는 데 사용하고, 컴퍼스는 원을 그리거나 주어진 선분의 길이를 재어서 옮기는 데 사용 한다.

A B C D

A B

C D

작도

(민성혜, “구봉구는 어쩌다 수학을 좋아하게 되었나”)

5. 간단한 도형의 작도

165

(28)

오른쪽 그림의 선분 AB와 길이가 같은 선분 PQ를 작도 하여 보자.

B A

컴퍼스를 사용하여 다음 수직선 위에 4와 -4에 대응하는 점을 나타내시오.

1

문제

0 2

B A

l P

➊ ➋

눈금 없는 자를 사용하여 직선 l을 그리 고, 그 위에 한 점 P를 잡는다.

컴퍼스를 사용하여 선분 AB의 길이를 잰다.

l P l P Q

➌ ➍

점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 ABÓ인 원을 그린다.

➌에서 그린 원과 직선 l의 교점을 Q라고 하면 PQÓ=ABÓ이다.

개념 확인

➊ → ➋ → ➌의 순서로 작도하면 돼.

166

(29)

오른쪽 그림의 ∠XOY와 크기가 같 고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각을 작도하여 보자.

Y X

O P Q

다음 그림의 ∠XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각을 작도하시오.

2

문제

Y X

O P Q

B Y X A

O P C Q

점 O를 중심으로 하는 원을 그려 OX³, OY³와의 교점을 각각 A, B라고 한다.

점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 OAÓ인 원을 그려 PQ³와의 교점을 C라고 한다.

C Q D

Q D

P C P

➊ ➋

➌ ➍

점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 ABÓ인 원을 그려 ➋에서 그린 원과의 교 점을 D라고 한다.

두 점 P와 D를 지나는 PD³를 그리면

∠DPC=∠XOY이다.

크기가 같은 각은 어떻게 작도하나요?

점 P를 중심으로 하는 원을 먼저 그리고 그 원의 반지 름의 길이를 이용하여 점 O 를 중심으로 하는 원을 그 릴 수도 있다.

개념 확인

크기가 같은 각의 작도

➊ → ➋ → ➌ → ➍ → ➎의 순서로 작도하면 돼.

5. 간단한 도형의 작도

167

(30)

168

다음 그림은 점 P를 지나고 직선 l에 평행한 직선을 작도한 것이다. 물음에 답하시오.

3

문제

⑴ 작도 순서를 차례로 쓰고, 이 과정에서 이용한 평행선의 성질을 친구들에게 설 명하시오.

⑵ 모둠별로 평행한 직선을 작도하는 다른 방법을 찾아 작도해 보고, 작도 방법을 토론하시오.

l l

P P

ㄱ

ㄴ

ㄷ ㄹ

ㅁ ㅂ

l

P

다음과 같이 컴퓨터 프로그램을 이용하면 주어진 선분 AB의 길이의 3배가 되는 선분을 작도 할 수 있다.

정보 처리

G D

B A AB=5

F C E

CG=15

컴퓨터 프로그램을 이용하여 각을 그리고, 그 각과 크기가 같은 각을 작도하여 보자.

➊ (반직선)으로 반직선 CD를 만든다.

➋ (컴퍼스)로 반지름 AB의 길이를 재어 점 C를 중심으로 하는 원을 그리고 (교점)으 로 반직선 CD와의 교점을 찍어 점 E를 만든다.

➌ ➋와 같은 방법으로 점 F와 점 G를 만든다.

➍ (길이)로 점 C와 점 G를 찍어 선분 CG의 길이가 선분 AB의 길이의 3배가 되 는지 확인한다.

➊

➌

➋

➍

(31)

1

다음 보기 중에서 작도에 사용되는 눈금 없는 자와 컴퍼 스의 용도로 알맞은 것을 각각 찾으시오.

4

^창의^•^융합

다음은 카시오페이아 별자리를 이용하여 북극성을 찾는 방법이다. 작도를 이용하여 북극성의 위치를 찾아 표시하 시오.

➊ 직선 AB와 직선 DE를 그리고 그 교점을 F라고 한다.

➋ 반직선 FC를 그린다.

➌ 반직선 FC 위의 점 중에서 점 C로부터의 거리 가 선분 CF의 길이의 5배가 되는 점이 북극성의 위치이다.

A B

C D

E

3

다음 그림의 ∠a, ∠b를 이용하여 ∠a+∠b와 크기가 같 은 각을 작도하시오.

a

b

스스로 확인하기

ㄱ. 선분의 연장선을 그린다.

ㄴ. 원을 그린다.

ㄷ. 서로 다른 두 점을 연결하여 선분을 그린다.

ㄹ. 선분의 길이를 재어서 옮긴다.

보기

2

다음 그림은 ∠XOY와 크기가 같은 각을 작도한 것이다.

보기 중에서 옳지 않은 것을 찾으시오.

O Y X A

B

P Q C

D

ㄱ ㄴ

ㄷ ㄹ

ㅁ

ㅂ

ㄱ. OAÓ=PCÓ ㄴ. OBÓ=PCÓ

ㄷ. OYÓ=PQÓ ㄹ. ∠AOB=∠CPD ㅁ. 작도 순서는 ㅂ → ㄷ → ㄹ → ㄱ → ㅁ → ㄴ이다.

보기

0 50 100 5. 간단한 도형의 작도

169

(32)

삼각형을 작도할 수 있다.

에펠 탑이나 교량 등에서 찾을 수 있는 삼각형 구조를 건축에서는 ‘트러스(truss) 구조’

라고 한다.

삼각형의 작도

삼각형 ABC를 기호로

△

ABC

와 같이 나타낸다. 이때

△

ABC에서 ∠A와 마주 보는 변 BC를 ∠A의 대변이라 하고 ∠A를 변 BC의 대각 이라고 한다. 또, ∠A, ∠B, ∠C의 대변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a, b, c로 나타내기도 한다.

탐구 학습

삼각형에서 대변과 대각은 무엇인가요?

키우기

열기 오른쪽 지도의 삼각형 ABC는 버뮤다 삼각 지대를 나타낸 것이다. 삼각형 ABC에서 ∠A와 마주 보는 변과 변 AB와 마주 보는 각을 각각 말하여 보자.

다지기 ∠A와 마주 보는 변은 이고 변 AB와 마주 보는 각은 이다.

삼각형에서 마주 보는 변과 각을 각각 무엇이라고 할까?

대변(對邊), 대각(對角)에서 대(對)는 ‘마주 본다.’는 뜻 이다.

개념 확인

마이애미

푸에르토리코 버뮤다 제도 A

B C

멕시코 만

카리브 해

A

B C

b

a c

변 BC의 대각

–A의 대변

△DEF에서 다음을 말하시오.

⑴ ∠E의 대변 ⑵ 변 EF의 대각

1

문제 대변과 대각

E F

D (Michael E. Plesha 외, “Engineering Mechanics: Statics, 2nd ed.”)

170

(33)

오른쪽 그림과 같이 길이가 각각 a, b, c인 세 선분을 세 변으 로 하는

△

ABC를 작도하여 보자.

위의 작도에서 알 수 있듯이 삼각형의 세 변의 길이가 주어지면 삼각형의 모양 과 크기는 하나로 정해진다.

세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형을 작도하고 자신의 방법을 설명하시오.

2

문제

b c

a

b c

a

l B a C

l B a

A

C

c b

l B a

A

C

➊ ➋

➌ ➍

직선 l을 그리고, 그 위에 길이가 a인 BCÓ 를 작도한다.

점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 c 인 원을 그린다.

점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 b 인 원을 그려 ➋에서 그린 원과의 교점을 A라고 한다.

두 점 A와 B, 두 점 A와 C를 이으면

△ABC가 된다.

삼각형은 어떻게 작도하나요?

세 변의 길이가 주어진 삼각형의 작도

직선 l을 그린 후 길이가 b 또는 c인 선분을 먼저 작도 할 수도 있다.

세 선분이 주어지면 항상 삼 각형이 만들어지나요?

Q

두 선분의 길이의 합이 다 른 한 선분의 길이보다 큰 경우에만 삼각형을 만들 수 있습니다.

A

5 cm 4 cm

7 cm 7<4+5

개념 확인 세 변의 길이가 주어졌을 때처럼 세 각의 크기가 주어져도

삼각형이 하나로 정해질까?

세 각의 크기가 주어지면 삼각형이 하나로

정해지지 않아.

6. 삼각형의 작도

171

(34)

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 다음과 같은 삼각형을 작도하고 자신의 방법을 설명 하시오.

3

문제

오른쪽 그림과 같이 길이가 각각 a, c인 선분을 두 변으로 하고, ∠B를 그 끼인각으로 하는

△

c B a

a

c

B

B a

Y X

B C

Y X

∠B와 크기가 같은 ∠XBY를 작도한다. 점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 a 인 원을 그려 BY³와의 교점을 C라고 한다.

➊ ➋

위의 작도에서 알 수 있듯이 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어 지면 삼각형의 모양과 크기는 하나로 정해진다.

a c

B Y

A X

C B a

Y A X

C c

➌ ➍

점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 c 인 원을 그려 BX³ 와의 교점을 A라고 한다.

두 점 A와 C를 이으면 △ABC가 된다.

길이가 a 또는 c인 선분을 먼저 작도한 후 ∠B를 작도 할 수도 있다.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 삼각형의 작도

개념 확인

두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 다른 한 각의 크기가 주어지면 삼각형이 하나로 정해지지 않아.

172

(35)

오른쪽 그림과 같이 길이가 a인 선분을 한 변으로 하고, ∠B와 ∠C를 양 끝 각으로 하는

△

위의 작도에서 알 수 있듯이 삼각형의 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주 어지면 삼각형의 모양과 크기는 하나로 정해진다.

한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 다음과 같은 삼각형을 작도하고 자신의 방법을 설명 하시오.

4

문제

B C

a

B C

l B a C

X

l B a C

➊ ➋

직선 l을 그리고, 그 위에 길이가 a인 BCÓ 를 작도한다.

점 B를 꼭짓점으로 하고 ∠B와 크기가 같 은 ∠XBC를 작도한다.

∠B 또는 ∠C를 먼저 작도 한 후 길이가 a인 선분을 작도할 수도 있다.

l a

a

B C

Y X

l B

Y AX

C

점 C를 꼭짓점으로 하고 ∠C와 크기가 같 은 ∠YCB를 작도한다.

BX³와 CY³의 교점을 A라고 하면

△ABC가 된다.

➌ ➍

한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 삼각형의 작도

개념 확인

한 변의 길이와 그 양 끝 각이 아닌 각의 크기가 주어지면 삼각형이

하나로 정해지지 않아.

6. 삼각형의 작도

173

(36)

삼각형의 작도를 통하여 삼각형의 모양과 크기는 다음의 각 경우에 하나로 정해 짐을 알 수 있다.

다음 중 △ABC가 하나로 정해지는 것을 모두 찾으시오.

⑴ ∠A=50ù, ∠B=60ù, ABÓ=8`cm

⑵ ABÓ=4`cm, BCÓ=7`cm, ∠B=45ù

⑶ ABÓ=9`cm, BCÓ=6`cm, ∠A=30ù

⑷ ABÓ=7`cm, BCÓ=11`cm, CAÓ=6`cm

5

문제

다음 그림과 같은 스테인드글라스에서 훼손된 삼각형 모양의 유리를 복원하려고 한다. 초록색 삼각형과 모양과 크기가 같은 삼각형을 작도하고, 자신의 방법을 설명하여 보자.

문제 해결

➊ 세 변의 길이가 주어질 때

➋ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때

➌ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어질 때 삼각형의 결정

개념 확인

174

(37)

1

오른쪽 그림과 같은

△ABC에서 다음을 구하 시오.

⑴ ∠A의 대변의 길이

⑵ ABÓ의 대각의 크기

⑶ BCÓ의 대각의 크기

B A

60$ C 3 cm

6 cm

3

다음 그림은 두 변의 길이 a, c와 그 끼인각인 ∠B의 크 기가 주어졌을 때, △ABC를 작도한 것이다. 작도 순서 를 차례로 쓰시오.

c

a

a X

C Y A

B B

c ㄱ

ㄴ

ㄷ ㄹ

A 70$ 45$ B 8 cm

4

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 8`cm이고,

∠A=70ù, ∠B=45ù인

△ABC를 모두 몇 개 작도할 수 있는지 말하시오.

6

^{발전 문제}

둘레의 길이가 21`cm인 삼각형 중에서 세 변의 길이가 a`cm, a`cm, b`cm인 이등변삼각형은 모두 몇 가지인지 구하시오. (단, a, b는 서로 다른 자연수이다.)

2

한 변의 길이가 다음과 같은 정삼각형을 작도하시오.

a

5

다음은 네 학생이 △ABC가 하나로 정해지는 예를 쓴 것 이다. 잘못 쓴 학생을 찾으시오.

유찬

민정

소미

성준 정답 및 풀이 300쪽

스스로 확인하기

0 50 100 6. 삼각형의 작도

175

(38)

삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다.

삼각형의 합동

△

^ABC와

△

DEF가 서로 합동 이고 꼭짓점 A와 D, B와 E, C와 F 가 각각 대응할 때, 이것을 기호로

△

^ABCª

△

^DEF

와 같이 나타낸다.

△

ABC와

△

DEF가 합동이면 대응하는 세 변의 길이가 각각 같고, 대응하는 세 각의 크기가 각각 같다.

두 삼각형에서 대응하는 세 변의 길이와 대응하는 세 각의 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 서로 합동이다. 삼각형은 다음의 각 경우 중 어느 하나의 조건이 주 어지면 그 모양과 크기가 하나로 정해진다.

➊ 세 변의 길이

➋ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기

➌ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기

A

B C E F

D

두 도형이 서로 합동임을 기호 ª을 써서 나타낼 때, 두 도형의 꼭짓점을 대응하 는 순서로 쓴다.

탐구 학습

삼각형의 합동 조건은 무엇인가요?

키우기

열기 오른쪽 그림과 같은 △ABC와 합동인 삼각형을 작도하려고 한 다. 이때 알아야 하는 최소한의 조건을 말하여 보자.

다지기 세 변의 길이만 알면 돼.

두 변의 길이와 그 의 크기만 알면 돼.

한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기만 알면 돼.

두 삼각형은 어떤 조건이 주어질 때 합동일까?

A

B C

삼각형의 합동 조건

우리 생활 주변에서 합동인 도형을 이용한 기하학적 무늬를 찾아볼 수 있다.

176

(39)

따라서 두 삼각형의 대응하는 세 변의 길이와 대응하는 세 각의 크기를 모두 비 교하지 않아도 두 삼각형이 서로 합동인지 알 수 있다.

이로부터 다음과 같은 삼각형의 합동 조건을 얻는다.

예제

1

다음 두 삼각형이 서로 합동인지 알아보고, 합동이면 삼각형의 합동 조건을 말하시오.

| 삼각형의 합동 조건 이해하기

80$

40$ 10 cm 40$ 60$

10 cm A

B

C

E

D

F

풀이 △ABC에서

∠C=180ù-(80ù+40ù)=60ù 이다. △ABC와 △DEF에서

BCÓ=EFÓ=10`cm, ∠B=∠E=40ù, ∠C=∠F=60ù 이다.

따라서 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므 로 △ABCª△DEF이다.

 풀이 참조

삼각형의 합동 조건을

‘Side(변)’와 ‘Angle(각)’의 첫 글자를 사용하여 다음과 같이 간단히 나타낼 수도 있다.

➊ SSS 합동

➋ SAS 합동

➌ ASA 합동

삼각형의 합동 조건

다음의 각 조건을 만족할 때, 두 삼각형은 서로 합동이다.

➊ 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때

➋ 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때

➌ 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크 기가 각각 같을 때

△ABCª△DFE로 나타내면 안 되나요?

Q

꼭짓점 A와 D, B와 E, C와 F가 각각 대응하므 로 대응하는 순서에 맞게

△ABCª△DEF로 나 타내어야 합니다.

A

7. 삼각형의 합동

Ⅴ 도형의 기초